Espacio Banach

En matemáticas , más específicamente en análisis funcional , un espacio de Banach (pronunciado [ˈbanax] ) es un espacio vectorial normado completo . Por lo tanto, un espacio de Banach es un espacio vectorial con una métrica que permite el cálculo de la longitud del vector y la distancia entre vectores y es completo en el sentido de que una secuencia de Cauchy de vectores siempre converge a un límite bien definido que está dentro del espacio.

Los espacios de Banach reciben su nombre del matemático polaco Stefan Banach , quien introdujo este concepto y lo estudió sistemáticamente entre 1920 y 1922 junto con Hans Hahn y Eduard Helly . ^[1] Maurice René Fréchet fue el primero en utilizar el término «espacio de Banach» y Banach, a su vez, acuñó el término « espacio de Fréchet ». ^[2] Los espacios de Banach surgieron originalmente del estudio de los espacios funcionales por parte de Hilbert , Fréchet y Riesz a principios de siglo. Los espacios de Banach desempeñan un papel central en el análisis funcional. En otras áreas de análisis , los espacios en estudio suelen ser espacios de Banach.

Un espacio de Banach es un espacio normado completo Un espacio normado es un par ^{[nota 1]} que consiste en un espacio vectorial sobre un cuerpo escalar (donde es comúnmente o ) junto con una ^{[nota 2]} norma distinguida Como todas las normas, esta norma induce una función de distancia invariante de traducción ^{[nota 3]} , llamada métrica inducida canónica o ( norma ) , definida para todos los vectores por ^{[nota 4]} Esto se convierte en un espacio métrico Una secuencia se llama Cauchy en o -Cauchy o -Cauchy si para cada real existe algún índice tal que siempre que y son mayores que El espacio normado se llama espacio de Banach y la métrica canónica se llama métrica completa si es un espacio métrico completo , lo que por definición significa que para cada secuencia de Cauchy en existe algún índice tal que donde porque la convergencia de esta secuencia a se puede expresar de manera equivalente como: ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)~.}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\estilo de visualización \ X\}$${\displaystyle \mathbb {K}}$${\displaystyle \ \mathbb {K} \ }$${\displaystyle \\mathbb {R} \}$${\displaystyle \ \mathbb {C} \ }$ ${\displaystyle \ \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} ~.}$ ${\displaystyle \ x,y\en X\ }$$${\displaystyle \ d(x,y):=\|yx\|=\|xy\|~.}$$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle \ (X,d)~.}$${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots \ }$ ${\estilo de visualización \ (X,d)\ }$${\estilo de visualización d}$${\displaystyle \ \|\cdot \|}$${\displaystyle \ r>0\ ,}$${\estilo de visualización N}$$${\displaystyle \ d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<r\ }$$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización \ N~.}$${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$${\estilo de visualización \ d\}$${\estilo de visualización \ (X,d)\ }$ ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots \ }$${\estilo de visualización \ (X,d)\ ,}$${\displaystyle \ x\en X\}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ en }}(X,d)}$$${\displaystyle \left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right),}$${\estilo de visualización x}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0\;{\text{ en }}\mathbb {R} ~.}$$

La norma de un espacio normado se llama${\displaystyle \ \|\cdot \|\ }$${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$norma completa sies un espacio de Banach.${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$

Producto semi-interno L

Para cualquier espacio normado existe un L-producto semi-interno en tal que para todos en general, puede haber infinitos L-productos semi-internos que satisfagan esta condición. Los L-productos semi-internos son una generalización de los productos internos , que son los que distinguen fundamentalmente los espacios de Hilbert de todos los demás espacios de Banach. Esto demuestra que todos los espacios normados (y, por lo tanto, todos los espacios de Banach) pueden considerarse como generalizaciones de los espacios (pre-)Hilbert.${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ ,}$ ${\displaystyle \ \langle \cdot ,\cdot \rangle \ }$${\estilo de visualización \ X\}$${\textstyle \ \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\ }$${\displaystyle \ x\en X\ ;}$

Caracterización en términos de serie

La estructura del espacio vectorial permite relacionar el comportamiento de las secuencias de Cauchy con el de las series convergentes de vectores . Un espacio normado es un espacio de Banach si y solo si cada serie absolutamente convergente en converge a un valor que se encuentra dentro de ^[3]${\estilo de visualización \ X\}$${\estilo de visualización \ X\}$${\estilo de visualización \ X\ ,}$$${\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }\|v_{n}\|<\infty \quad {\text{ implica que }}\quad \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\ \ {\text{ converge en }}\ \ X~.}$$

La métrica canónica de un espacio normado induce la topología métrica usual a la que se denomina topología canónica o inducida por norma . Se supone automáticamente que todo espacio normado lleva esta topología de Hausdorff , a menos que se indique lo contrario. Con esta topología, todo espacio de Banach es un espacio de Baire , aunque existen espacios normados que son de Baire pero no de Banach. ^[4] La norma es siempre una función continua con respecto a la topología que induce.${\estilo de visualización d}$${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\displaystyle \\tau_{d}\}$${\estilo de visualización \ X\ ,}$${\displaystyle \ \|\,\cdot \,\|:\left(X,\tau _{d}\right)\to \mathbb {R} \ }$

Las bolas abiertas y cerradas de radio centradas en un punto son, respectivamente, los conjuntos Cualquier bola de este tipo es un subconjunto convexo y acotado de pero existe una bola / vecindad compacta si y solo si es un espacio vectorial de dimensión finita . En particular, ningún espacio normado de dimensión infinita puede ser localmente compacto o tener la propiedad de Heine-Borel . Si es un vector y es un escalar entonces Usando muestra que esta topología inducida por norma es invariante en la traslación , lo que significa que para cualquier y el subconjunto es abierto (respectivamente, cerrado ) en si y solo si esto es cierto para su traslación En consecuencia, la topología inducida por norma está completamente determinada por cualquier base de vecindad en el origen. Algunas bases de vecindad comunes en el origen incluyen: donde es una secuencia en de números reales positivos que converge a en (tal como o por ejemplo). Así, por ejemplo, cada subconjunto abierto de se puede escribir como una unión indexada por algún subconjunto donde cada se puede elegir de la secuencia antes mencionada (las bolas abiertas se pueden reemplazar con bolas cerradas, aunque entonces también puede ser necesario reemplazar el conjunto de indexación y los radios ). Además, siempre se puede elegir que sea contable si es un espacio separable , lo que por definición significa que contiene algún subconjunto denso contable . ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \ x\en X\}$$${\displaystyle \ B_{r}(x):=\{\ z\in X:\|z-x\|<r\ \}\qquad {\text{ and }}\qquad C_{r}(x):=\{\ z\in X:\|z-x\|\leq r\ \}~.}$$${\displaystyle \ X\ ,}$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ x_{0}\ }$${\displaystyle \ s\neq 0\ }$$${\displaystyle \ x_{0}+s\ B_{r}(x)=B_{|s|r}\!\left(\ x_{0}+s\ x\ \right)\qquad {\text{ and }}\qquad x_{0}+s\ C_{r}(x)=C_{|s|r}\!\left(\ x_{0}+s\ x\ \right)~.}$$${\displaystyle \ s=1\ }$${\displaystyle \ x\in X\ }$${\displaystyle \ S\subseteq X\ ,}$${\displaystyle \ S\ }$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ x+S:=\{\ x+s:s\in S\ \}~.}$$${\displaystyle \ \left\{\ B_{r}(0):r>0\ \right\},\qquad \left\{\ C_{r}(0):r>0\ \right\},\qquad \left\{\ B_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \ \right\},\qquad {\text{ or }}\qquad \left\{\ C_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \ \right\}\ }$$${\displaystyle \ r_{1},r_{2},\ldots \ }$${\displaystyle \ 0\ }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \ r_{n}:={\tfrac {1}{n}}\ }$${\displaystyle \ r_{n}:=1/2^{n}\ ,}$${\displaystyle \ U\ }$${\displaystyle \ X\ }$$${\displaystyle \ U=\bigcup _{x\in I}B_{r_{x}}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_{x}}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_{x}\ B_{1}(0)\ }$$${\displaystyle \ I\subseteq U\ ,}$${\displaystyle \ r_{x}\ }$${\displaystyle \ r_{1},r_{2},\ldots \ }$${\displaystyle \ I\ }$${\displaystyle \ r_{x}\ }$${\displaystyle \ I\ }$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ X\ }$

Clases de homeomorfismo de espacios de Banach separables

Todos los espacios normados de dimensión finita son espacios de Banach separables y dos espacios de Banach cualesquiera de la misma dimensión finita son linealmente homeomorfos. Todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es linealmente isométrico al espacio de secuencia${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ de Hilbert separable con su norma habitual. ${\displaystyle \ \|\cdot \|_{2}~.}$

El teorema de Anderson-Kadec establece que todo espacio de Fréchet separable de dimensión infinita es homeomorfo al espacio producto de un número contable de copias de (este homeomorfismo no necesita ser una función lineal ). ^{[5] [6]} Por lo tanto, todos los espacios de Fréchet separables de dimensión infinita son homeomorfos entre sí (o dicho de otra manera, su topología es única hasta un homeomorfismo). Dado que todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet, esto también es cierto para todos los espacios de Banach separables de dimensión infinita, incluido De hecho, incluso es homeomorfo a su propia esfera unitaria , lo que contrasta marcadamente con los espacios de dimensión finita (el plano euclidiano no es homeomorfo al círculo unitario , por ejemplo). ${\textstyle \ \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} \ }$${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )~.}$${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ \left\{\ x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ):\|x\|_{2}=1\ \right\}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}\ }$

Este patrón en las clases de homeomorfismo se extiende a generalizaciones de variedades topológicas metrizables ( localmente euclidianas ) conocidas como variedades de Banach métricas , que son espacios métricos que están alrededor de cada punto, localmente homeomorfos a algún subconjunto abierto de un espacio de Banach dado ( las variedades de Hilbert métricas y las variedades de Fréchet métricas se definen de manera similar). ^[6] Por ejemplo, cada subconjunto abierto de un espacio de Banach es canónicamente una variedad de Banach métrica modelada en ya que la función de inclusión es un homeomorfismo local abierto . Usando microfibrados del espacio de Hilbert , David Henderson mostró ^{[7] en 1969 que cada variedad métrica modelada en un espacio de Banach (o} de Fréchet ) separable de dimensión infinita puede ser topológicamente incrustada como un subconjunto abierto de y, en consecuencia, también admite una estructura suave única que la convierte en una variedad de Hilbert . ${\displaystyle \ U\ }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ U\to X\ }$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$${\displaystyle \ C^{\infty }\ }$

Subconjuntos compactos y convexos

Hay un subconjunto compacto cuya envoltura convexa no es cerrada y, por lo tanto, tampoco compacta (véase esta nota al pie [ ^{nota 5]} para un ejemplo). ^[8] Sin embargo, como en todos los espacios de Banach, la envoltura convexa cerrada de este (y cualquier otro) subconjunto compacto será compacta. ^[9] Pero si un espacio normado no es completo, entonces en general no se garantiza que sea compacto siempre que lo sea; un ejemplo ^{[nota 5]} puede encontrarse incluso en un subespacio vectorial pre-Hilbert (no completo) de${\displaystyle \ S\ }$${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {co} (S)\ }$ ${\displaystyle \ {\overline {\operatorname {co} }}S\ }$${\displaystyle \ {\overline {\operatorname {co} }}S\ }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$

Como espacio vectorial topológico

Esta topología inducida por normas también se convierte en lo que se conoce como un espacio vectorial topológico (TVS), que por definición es un espacio vectorial dotado de una topología que hace que las operaciones de adición y multiplicación escalar sean continuas. Se enfatiza que el TVS es solo un espacio vectorial junto con un cierto tipo de topología; es decir, cuando se lo considera como un TVS, no está asociado con ninguna norma o métrica en particular (ambas " olvidadas "). Este TVS de Hausdorff es incluso localmente convexo porque el conjunto de todas las bolas abiertas centradas en el origen forma una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos abiertos equilibrados convexos . Este TVS también es normable , lo que por definición se refiere a cualquier TVS cuya topología esté inducida por alguna norma (posiblemente desconocida) . Los TVS normables se caracterizan por ser de Hausdorff y tener una vecindad convexa acotada del origen. Todos los espacios de Banach son espacios con barriles , lo que significa que cada barril es un vecindario del origen (todas las bolas cerradas centradas en el origen son barriles, por ejemplo) y garantiza que se cumple el teorema de Banach-Steinhaus . ${\displaystyle \ \left(X,\tau _{d}\right)\ }$${\displaystyle \ \left(X,\tau _{d}\right)\ }$${\displaystyle \left(X,\tau _{d}\right)}$

Comparación de topologías vectoriales metrizables completas

El teorema de aplicación abierta implica que si y son topologías que hacen que tanto y como sean TVS metrizables completos (por ejemplo, espacios de Banach o Fréchet ) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si o entonces ). ^[10] Así, por ejemplo, si y son espacios de Banach con topologías y y si uno de estos espacios tiene alguna bola abierta que también es un subconjunto abierto del otro espacio (o equivalentemente, si uno de o es continuo), entonces sus topologías son idénticas y sus normas son equivalentes .${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \ \tau _{2}\ }$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ (X,\tau )\ }$${\displaystyle \ (X,\tau _{2})\ }$${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}}$${\displaystyle \ \tau _{2}\subseteq \tau \ }$${\displaystyle \ \tau =\tau _{2}\ }$${\displaystyle \ (X,p)\ }$${\displaystyle \ (X,q)\ }$${\displaystyle \tau _{p}}$${\displaystyle \ \tau _{q}\ }$${\displaystyle \ p:\left(X,\tau _{q}\right)\to \mathbb {R} \ }$${\displaystyle \ q:\left(X,\tau _{p}\right)\to \mathbb {R} \ }$

Normas completas y normas equivalentes

Se dice que dos normas, y en un espacio vectorial son equivalentes si inducen la misma topología; ^[11] esto sucede si y solo si existen números reales positivos tales que para todo Si y son dos normas equivalentes en un espacio vectorial, entonces es un espacio de Banach si y solo si es un espacio de Banach. Véase esta nota al pie para un ejemplo de una norma continua en un espacio de Banach que no es equivalente a la norma dada de ese espacio de Banach. ^{[nota 6] [11]} Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. ^[12]${\displaystyle \ p\ }$${\displaystyle q,}$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ c,\ C>0\ }$${\textstyle \ c\ q(x)\leq p(x)\leq C\ q(x)\ }$${\displaystyle \ x\in X~.}$${\displaystyle \ p\ }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ (X,p)\ }$${\displaystyle \ (X,q)\ }$

Normas completas vs métricas completas

Una métrica en un espacio vectorial es inducida por una norma en si y solo si es invariante en la traslación ^{[nota 3]} y absolutamente homogénea , lo que significa que para todos los escalares y todos en cuyo caso la función define una norma en y la métrica canónica inducida por es igual a${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D(sx,sy)=|s|D(x,y)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle \|x\|:=D(x,0)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle D.}$

Supóngase que es un espacio normado y que es la topología norma inducida en Supóngase que es cualquier métrica en tal que la topología que induce en es igual a Si es invariante en la traslación ^{[nota 3]} entonces es un espacio de Banach si y solo si es un espacio métrico completo. ^[13] Si no es invariante en la traslación, entonces puede ser posible que sea un espacio de Banach pero que no sea un espacio métrico completo ^[14] (véase esta nota al pie ^{[nota 7]} para un ejemplo). Por el contrario, un teorema de Klee, ^{[15] [16] [nota 8]} que también se aplica a todos los espacios vectoriales topológicos metrizables , implica que si existe alguna ^{[nota 9]} métrica completa en que induce la topología norma en entonces es un espacio de Banach.${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle (X,D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle (X,D)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$

Un espacio de Fréchet es un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología es inducida por alguna métrica completa invariante a la traslación. Todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet pero no a la inversa; de hecho, incluso existen espacios de Fréchet en los que ninguna norma es una función continua (como el espacio de sucesiones reales con la topología de producto ). Sin embargo, la topología de todo espacio de Fréchet es inducida por alguna familia numerable de funciones de valor real (necesariamente continuas) llamadas seminormas , que son generalizaciones de normas . Incluso es posible que un espacio de Fréchet tenga una topología inducida por una familia numerable de normas (tales normas serían necesariamente continuas) ^{[nota 10] [17]} pero que no sea un espacio de Banach/normable porque su topología no puede definirse por ninguna norma individual . Un ejemplo de dicho espacio es el espacio de Fréchet cuya definición se puede encontrar en el artículo sobre espacios de funciones de prueba y distribuciones .${\textstyle \ \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$

Normas completas vs espacios vectoriales topológicos completos

Existe otra noción de completitud además de la completitud métrica y es la noción de un espacio vectorial topológico completo (TVS) o TVS-completitud, que utiliza la teoría de espacios uniformes . Específicamente, la noción de TVS-completitud utiliza una uniformidad única invariante a la traducción , llamada uniformidad canónica , que depende solo de la resta vectorial y de la topología con la que está dotado el espacio vectorial, y por lo tanto, en particular, esta noción de completitud TVS es independiente de cualquier norma inducida por la topología (e incluso se aplica a TVS que ni siquiera son metrizables). Todo espacio de Banach es un TVS completo. Además, un espacio normado es un espacio de Banach (es decir, su métrica inducida por la norma es completa) si y solo si es completo como espacio vectorial topológico. Si es un espacio vectorial topológico metrizable (como cualquier topología inducida por normas, por ejemplo), entonces es un TVS completo si y solo si es un TVS secuencialmente completo, lo que significa que es suficiente comprobar que cada secuencia de Cauchy en converge en a algún punto de (es decir, no hay necesidad de considerar la noción más general de redes de Cauchy arbitrarias ).${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$

Si es un espacio vectorial topológico cuya topología es inducida por alguna norma (posiblemente desconocida) (tales espacios se denominan normables ), entonces es un espacio vectorial topológico completo si y solo si se le puede asignar una norma que induce sobre la topología y también convierte en un espacio de Banach. Un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es normable si y solo si su espacio dual fuerte es normable, ^[18] en cuyo caso es un espacio de Banach ( denota el espacio dual fuerte de cuya topología es una generalización de la topología dual inducida por norma sobre el espacio dual continuo ; véase esta nota al pie ^{[nota 11]} para más detalles). Si es un TVS localmente convexo metrizable , entonces es normable si y solo si es un espacio de Fréchet–Urysohn . ^[19] Esto muestra que en la categoría de TVS localmente convexos , los espacios de Banach son exactamente aquellos espacios completos que son metrizables y tienen espacios duales fuertes metrizables .${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Todo espacio normado puede ser incrustado isométricamente en un subespacio vectorial denso de algún espacio de Banach, donde este espacio de Banach se denomina compleción del espacio normado. Esta compleción de Hausdorff es única salvo el isomorfismo isométrico .

Más precisamente, para cada espacio normado existe un espacio de Banach y una aplicación tal que es una aplicación isométrica y es densa en Si es otro espacio de Banach tal que hay un isomorfismo isométrico de sobre un subconjunto denso de entonces es isométricamente isomorfo a Este espacio de Banach es la completitud de Hausdorff del espacio normado El espacio métrico subyacente para es el mismo que la completitud métrica de con las operaciones del espacio vectorial extendidas de a La completitud de a veces se denota por${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z,}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\widehat {X}}.}$

Si y son espacios normados sobre el mismo cuerpo fundamental, el conjunto de todas las aplicaciones lineales continuas se denota por En espacios de dimensión infinita, no todas las aplicaciones lineales son continuas. Una aplicación lineal de un espacio normado a otro espacio normado es continua si y solo si está acotada en la bola unitaria cerrada de Por lo tanto, al espacio vectorial se le puede dar la norma del operador${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle B(X,Y).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle B(X,Y)}$$${\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \|x\|_{X}\leq 1\right\}.}$$

En el caso de un espacio de Banach, el espacio es un espacio de Banach con respecto a esta norma. En contextos categóricos, a veces es conveniente restringir el espacio de funciones entre dos espacios de Banach únicamente a las funciones cortas ; en ese caso, el espacio reaparece como un bifuntor natural . ^[20]${\displaystyle Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$

Si es un espacio de Banach, el espacio forma un álgebra de Banach unital ; la operación de multiplicación está dada por la composición de aplicaciones lineales.${\displaystyle X}$${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$

Si y son espacios normados, son espacios normados isomorfos si existe una biyección lineal tal que y su inversa son continuas. Si uno de los dos espacios o es completo (o reflexivo , separable , etc.), entonces también lo es el otro espacio. Dos espacios normados y son isométricamente isomorfos si además, es una isometría , es decir, para cada en La distancia de Banach-Mazur entre dos espacios isomorfos pero no isométricos y da una medida de cuánto difieren los dos espacios y .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{-1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \|T(x)\|=\|x\|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Todo operador lineal continuo es un operador lineal acotado y, si se trata solo de espacios normados, entonces también es cierto lo inverso. Es decir, un operador lineal entre dos espacios normados está acotado si y solo si es una función continua . Entonces, en particular, debido a que el cuerpo escalar (que es o ) es un espacio normado, una función lineal en un espacio normado es una función lineal acotada si y solo si es una función lineal continua . Esto permite que los resultados relacionados con la continuidad (como los que se muestran a continuación) se apliquen a los espacios de Banach. Aunque la acotación es lo mismo que la continuidad para los mapas lineales entre espacios normados, el término "acotado" se usa más comúnmente cuando se trata principalmente con espacios de Banach.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Si es una función subaditiva (como una norma, una función sublineal o un funcional lineal real), entonces ^[21] es continua en el origen si y solo si es uniformemente continua en todos los ; y si además entonces es continua si y solo si su valor absoluto es continuo, lo que sucede si y solo si es un subconjunto abierto de ^{[21] [nota 12]} Y muy importante para aplicar el teorema de Hahn-Banach , un funcional lineal es continuo si y solo si esto es cierto para su parte real y además, y la parte real determina completamente , razón por la cual el teorema de Hahn-Banach a menudo se enuncia solo para funcionales lineales reales. Además, un funcional lineal en es continuo si y solo si la seminorma es continua, lo que sucede si y solo si existe una seminorma continua tal que ; esta última afirmación que involucra al funcional lineal y la seminorma se encuentra en muchas versiones del teorema de Hahn-Banach.${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|<1\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$${\displaystyle \|\operatorname {Re} f\|=\|f\|}$${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |f|\leq p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$

El producto cartesiano de dos espacios normados no está canónicamente equipado con una norma. Sin embargo, se utilizan comúnmente varias normas equivalentes, ^[22] como las que corresponden (respectivamente) al coproducto y al producto en la categoría de espacios de Banach y aplicaciones cortas (discutidas anteriormente). ^[20] Para los (co)productos finitos, estas normas dan lugar a espacios normados isomorfos, y el producto (o la suma directa ) es completo si y solo si los dos factores son completos.${\displaystyle X\times Y}$$${\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}$$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\oplus Y}$

Si es un subespacio lineal cerrado de un espacio normado existe una norma natural en el espacio cociente${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M,}$$${\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}$$

El cociente es un espacio de Banach cuando es completo. ^[23] La función cociente de sobre que envía a su clase es lineal, sobre y tiene norma excepto cuando en cuyo caso el cociente es el espacio nulo.${\displaystyle X/M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/M,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x+M,}$${\displaystyle 1,}$${\displaystyle M=X,}$

Se dice que el subespacio lineal cerrado de es un subespacio complementado de si es el rango de una proyección lineal acotada sobreyectiva . En este caso, el espacio es isomorfo a la suma directa de y al núcleo de la proyección.${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P:X\to M.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ker P,}$${\displaystyle P.}$

Supóngase que y son espacios de Banach y que Existe una factorización canónica de como ^[23] donde la primera función es la función del cociente, y la segunda función envía cada clase en el cociente a la imagen en Esto está bien definido porque todos los elementos en la misma clase tienen la misma imagen. La función es una biyección lineal de sobre el rango cuya inversa no necesita estar acotada.${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T\in B(X,Y).}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\ker(T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y}$$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle x+\ker T}$${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle X/\ker T}$${\displaystyle T(X),}$

Ejemplos básicos ^[24] de espacios de Banach incluyen: los espacios Lp y sus casos especiales, los espacios de secuencias que consisten en secuencias escalares indexadas por números naturales ; entre ellos, el espacio de secuencias absolutamente sumables y el espacio de secuencias cuadradas sumables; el espacio de secuencias que tienden a cero y el espacio de secuencias acotadas; el espacio de funciones escalares continuas en un espacio de Hausdorff compacto equipado con la norma máxima,${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle K,}$$${\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}$$

Según el teorema de Banach-Mazur , todo espacio de Banach es isométricamente isomorfo a un subespacio de algún ^[25] Para cada espacio de Banach separable existe un subespacio cerrado de tal que ^[26]${\displaystyle C(K).}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle X:=\ell ^{1}/M.}$

Cualquier espacio de Hilbert sirve como ejemplo de un espacio de Banach. Un espacio de Hilbert en es completo para una norma de la forma donde es el producto interno , lineal en su primer argumento que satisface lo siguiente:${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$$${\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}$$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbb {K} }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\quad {\text{ for all }}x,y\in H\\\langle x,x\rangle &\geq 0,\quad {\text{ for all }}x\in H\\\langle x,x\rangle =0{\text{ if and only if }}x&=0.\end{aligned}}}$$

Por ejemplo, el espacio es un espacio de Hilbert.${\displaystyle L^{2}}$

Los espacios de Hardy y los espacios de Sobolev son ejemplos de espacios de Banach que están relacionados con los espacios y tienen una estructura adicional. Son importantes en diferentes ramas del análisis, análisis armónico y ecuaciones diferenciales parciales, entre otras.${\displaystyle L^{p}}$

Un álgebra de Banach es un espacio de Banach sobre o junto con una estructura de álgebra sobre , tal que la función del producto es continua. Se puede encontrar una norma equivalente sobre de modo que para todo${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|ab\|\leq \|a\|\|b\|}$${\displaystyle a,b\in A.}$

• El espacio de Banach con el producto puntual es un álgebra de Banach.${\displaystyle C(K)}$
• El álgebra de discos consiste en funciones holomorfas en el disco unitario abierto y continuas en su cierre : Equipada con la norma máxima en el álgebra de discos es una subálgebra cerrada de${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }}.}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }},}$${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$${\displaystyle C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right).}$
• El álgebra de Wiener es el álgebra de funciones sobre el círculo unitario con series de Fourier absolutamente convergentes. Mediante la función que asocia una función a la sucesión de sus coeficientes de Fourier, esta álgebra es isomorfa al álgebra de Banach, donde el producto es la convolución de sucesiones.${\displaystyle A(\mathbf {T} )}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \ell ^{1}(Z),}$
• Para cada espacio de Banach, el espacio de operadores lineales acotados con la composición de mapas como producto, es un álgebra de Banach.${\displaystyle X,}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle X,}$
• Una C*-álgebra es un álgebra de Banach compleja con una involución antilineal tal que El espacio de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert es un ejemplo fundamental de C*-álgebra. El teorema de Gelfand-Naimark establece que toda C*-álgebra es isométricamente isomorfa a una C*-subálgebra de algún El espacio de funciones continuas complejas en un espacio de Hausdorff compacto es un ejemplo de C*-álgebra conmutativa, donde la involución asocia a cada función su conjugado complejo${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\|a\|^{2}.}$${\displaystyle B(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B(H).}$${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {f}}.}$

Si es un espacio normado y el cuerpo subyacente (ya sea los números reales o los complejos ), el espacio dual continuo es el espacio de aplicaciones lineales continuas de en o funcionales lineales continuos . La notación para el dual continuo se encuentra en este artículo. ^[27] Dado que es un espacio de Banach (usando el valor absoluto como norma), el dual es un espacio de Banach, para cada espacio normado El teorema de Dixmier-Ng caracteriza los espacios duales de los espacios de Banach.${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle X^{\prime }=B(X,\mathbb {K} )}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X.}$

La principal herramienta para demostrar la existencia de funcionales lineales continuos es el teorema de Hahn-Banach .

En particular, cada funcional lineal continuo en un subespacio de un espacio normado puede extenderse continuamente a todo el espacio, sin aumentar la norma del funcional. ^[28] Un caso especial importante es el siguiente: para cada vector en un espacio normado existe un funcional lineal continuo en tal que${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X^{\prime }}\leq 1.}$$

Cuando no es igual al vector, el funcional debe tener norma uno, y se llama funcional normalizador .${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$

El teorema de separación de Hahn-Banach establece que dos conjuntos convexos no vacíos y disjuntos en un espacio de Banach real, uno de ellos abierto, pueden estar separados por un hiperplano afín cerrado . El conjunto convexo abierto se encuentra estrictamente en un lado del hiperplano, el segundo conjunto convexo se encuentra en el otro lado pero puede tocar el hiperplano. ^[29]

Un subconjunto en un espacio de Banach es total si el espacio lineal de es denso en El subconjunto es total en si y solo si el único funcional lineal continuo que se desvanece en es el funcional: esta equivalencia se sigue del teorema de Hahn-Banach.${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

Si es la suma directa de dos subespacios lineales cerrados y entonces el dual de es isomorfo a la suma directa de los duales de y ^[30] Si es un subespacio lineal cerrado en uno se puede asociar el ortogonal de en el dual,${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$$${\displaystyle M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X:x^{\prime }(m)=0,\ {\text{ for all }}m\in M\right\}.}$$

El ortogonal es un subespacio lineal cerrado del dual. El dual de es isométricamente isomorfo a El dual de es isométricamente isomorfo a ^[31]${\displaystyle M^{\bot }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X'/M^{\bot }.}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle M^{\bot }.}$

El dual de un espacio de Banach separable no necesita ser separable, pero:

Cuando es separable, el criterio anterior para la totalidad se puede utilizar para demostrar la existencia de un subconjunto total contable en${\displaystyle X'}$${\displaystyle X.}$

La topología débil en un espacio de Banach es la topología más burda en la que todos los elementos en el espacio dual continuo son continuos. Por lo tanto, la topología normativa es más fina que la topología débil. Del teorema de separación de Hahn-Banach se deduce que la topología débil es Hausdorff y que un subconjunto convexo de un espacio de Banach cerrado en norma también es débilmente cerrado. ^[33] Una función lineal continua en norma entre dos espacios de Banach y también es débilmente continua , es decir, continua desde la topología débil de hasta la de ^[34]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

Si es de dimensión infinita, existen aplicaciones lineales que no son continuas. El espacio de todas las aplicaciones lineales de al cuerpo subyacente (este espacio se llama espacio dual algebraico , para distinguirlo de también induce una topología en la que es más fina que la topología débil, y mucho menos utilizada en el análisis funcional.${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$

En un espacio dual hay una topología más débil que la topología débil de llamada topología débil* . Es la topología más burda en la que todos los mapas de evaluación donde los rangos sobre son continuos. Su importancia proviene del teorema de Banach-Alaoglu .${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }\mapsto x^{\prime }(x),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$

El teorema de Banach-Alaoglu se puede demostrar utilizando el teorema de Tichonoff sobre productos infinitos de espacios de Hausdorff compactos. Cuando es separable, la bola unidad del dual es un compacto metrizable en la topología débil*. ^[35]${\displaystyle X}$${\displaystyle B^{\prime }}$

El dual de es isométricamente isomorfo a : para cada funcional lineal acotado en hay un elemento único tal que${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c_{0},}$${\displaystyle y=\left\{y_{n}\right\}\in \ell ^{1}}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.}$$

El dual de es isométricamente isomorfo a . El dual del espacio de Lebesgue es isométricamente isomorfo a cuando y${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$${\displaystyle L^{q}([0,1])}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

Para cada vector en un espacio de Hilbert la aplicación${\displaystyle y}$${\displaystyle H,}$$${\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }$$

define una función lineal continua en El teorema de representación de Riesz establece que toda función lineal continua en es de la forma para un vector definido de forma única en La aplicación es una biyección isométrica antilineal de sobre su dual Cuando los escalares son reales, esta aplicación es un isomorfismo isométrico.${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle y\in H\to f_{y}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H'.}$

Cuando es un espacio topológico de Hausdorff compacto, el dual de es el espacio de medidas de Radon en el sentido de Bourbaki. ^[36] El subconjunto de que consiste en medidas no negativas de masa 1 ( medidas de probabilidad ) es un subconjunto w*-cerrado convexo de la bola unitaria de Los puntos extremos de son las medidas de Dirac en El conjunto de medidas de Dirac en equipado con la topología w*, es homeomorfo a${\displaystyle K}$${\displaystyle M(K)}$${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle P(K)}$${\displaystyle M(K)}$${\displaystyle M(K).}$${\displaystyle P(K)}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle K.}$

^{Amir [39]} y Cambern ^[40] extendieron el resultado al caso en que la distancia multiplicativa de Banach-Mazur entre y es El teorema ya no es verdadero cuando la distancia es ^[41]${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle C(L)}$${\displaystyle <2.}$${\displaystyle =2.}$

En el álgebra conmutativa de Banach los ideales máximos son precisamente núcleos de medidas de Dirac en${\displaystyle C(K),}$${\displaystyle K,}$$${\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.}$$

De manera más general, por el teorema de Gelfand-Mazur , los ideales máximos de un álgebra de Banach conmutativa unitaria pueden identificarse con sus caracteres —no simplemente como conjuntos sino como espacios topológicos: los primeros con la topología hull-kernel y los segundos con la topología w*. En esta identificación, el espacio ideal máximo puede verse como un subconjunto w*-compacto de la bola unitaria en el dual${\displaystyle A'.}$

No todas las álgebras de Banach conmutativas unitarias son de la forma para algún espacio compacto de Hausdorff . Sin embargo, esta afirmación es válida si se la coloca en la categoría más pequeña de las C*-álgebras conmutativas . El teorema de representación de Gelfand para las C*-álgebras conmutativas establece que toda C *-álgebra unitaria conmutativa es isométricamente isomorfa a un espacio. ^[42] El espacio compacto de Hausdorff aquí es nuevamente el espacio ideal maximal, también llamado espectro de en el contexto de las C*-álgebras.${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$

Si es un espacio normado, el dual (continuo) del dual se llama${\displaystyle X}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle X'}$bidual , osegundo dual de Para cada espacio normadoexiste una función natural,${\displaystyle X.}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}\colon X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

Esto se define como una función lineal continua en es decir, un elemento de La función es una función lineal de a Como consecuencia de la existencia de una función normalizadora para cada esta función es isométrica, por lo tanto inyectiva .${\displaystyle F_{X}(x)}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$${\displaystyle F_{X}\colon x\to F_{X}(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle F_{X}}$

Por ejemplo, el dual de se identifica con y el dual de se identifica con el espacio de secuencias escalares acotadas. Bajo estas identificaciones, es la función de inclusión de a Es isométrica, pero no sobre.${\displaystyle X=c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{1},}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty },}$${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$