Categoría de módulos
En álgebra , dado un anillo R , la categoría de módulos izquierdos sobre R es la categoría cuyos objetos son todos módulos izquierdos sobre R y cuyos morfismos son todos homomorfismos de módulo entre R -módulos izquierdos. Por ejemplo, cuando R es el anillo de números enteros Z , es lo mismo que la categoría de grupos abelianos . La categoría de módulos derechos se define de manera similar.
También se puede definir la categoría de bimódulos sobre un anillo R pero esa categoría es equivalente a la categoría de módulos izquierdos (o derechos) sobre el álgebra envolvente de R (o sobre su opuesto).
Nota: Algunos autores utilizan el término categoría de módulo para la categoría de módulos. Este término puede ser ambiguo ya que también podría referirse a una categoría con una acción de categoría monoidal . [1]
Propiedades
Las categorías de módulos izquierdo y derecho son categorías abelianas . Estas categorías tienen suficientes proyectivas [2] y suficientes inyectivas [3] . El teorema de incrustación de Mitchell establece que cada categoría abeliana surge como una subcategoría completa de la categoría de módulos sobre algún anillo.
Existen límites proyectivos y límites inductivos en las categorías de módulos izquierdo y derecho. [4]
Sobre un anillo conmutativo , junto con el producto tensorial de módulos ⊗, la categoría de módulos es una categoría monoidal simétrica .
Objetos
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Un objeto monoide de la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R es exactamente un álgebra asociativa sobre R.
Ver también: objeto compacto (un objeto compacto en el R -mod es exactamente un módulo presentado finitamente).
Categoría de espacios vectoriales
La categoría K - Vect (algunos autores usan Vect K ) tiene todos los espacios vectoriales sobre un cuerpo K como objetos, y las aplicaciones K -lineales como morfismos. Dado que los espacios vectoriales sobre K (como cuerpo) son lo mismo que los módulos sobre el anillo K , K - Vect es un caso especial de R - Mod (algunos autores usan Mod R ), la categoría de los R -módulos izquierdos.
Gran parte del álgebra lineal se ocupa de la descripción de K - Vect . Por ejemplo, el teorema de dimensión para espacios vectoriales dice que las clases de isomorfismo en K - Vect corresponden exactamente a los números cardinales , y que K - Vect es equivalente a la subcategoría de K - Vect que tiene como objetos los espacios vectoriales K n , donde n es cualquier número cardinal.
Generalizaciones
La categoría de haces de módulos sobre un espacio anillado también tiene suficientes inyectivas (aunque no siempre suficientes proyectivas).
Véase también
- Teoría K algebraica (el invariante importante de la categoría de módulos).
- Categoría de anillos
- Categoría derivada
- Espectro del módulo
- Categoría de espacios vectoriales graduados
- Categoría de grupos abelianos
- Categoría de representaciones
- Cambio de anillos
- Equivalencia de Morita
Referencias
- ^ "categoría de módulo en nLab". ncatlab.org .
- ^ trivialmente ya que cualquier módulo es un cociente de un módulo libre.
- ^ Dummit y Foote, Cap. 10, Teorema 38.
- ^ Bourbaki, § 6.
Bibliografía
- Bourbaki. "Algèbre lineaire". Algebre .
- Dummit, David; Foote, Richard. Álgebra abstracta .
- Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 5 (segunda edición). Springer. ISBN 0-387-98403-8.Zbl 0906.18001 .
Enlaces externos
- http://ncatlab.org/nlab/show/Mod
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