Elementos de geometría algébrique

Elementos de geometría algébrique
Autor	Alexander Grothendieck y Jean Dieudonné
Idioma	Francés
Sujeto	Geometría algebraica
Editor	Instituto de Altos Estudios Científicos
Fecha de publicación	1960–1967

Tratado fundacional sobre geometría algebraica de 1960-1967 escrito por Alexander Grothendieck

Los Elementos de geometría algebraica ( EGA ; del francés : «Elementos de geometría algebraica ») de Alexander Grothendieck (con la ayuda de Jean Dieudonné ) es un tratado riguroso sobre geometría algebraica que se publicó (en ocho partes o fascículos ) entre 1960 y 1967 por el Institut des Hautes Études Scientifiques . En él, Grothendieck estableció fundamentos sistemáticos de la geometría algebraica, basándose en el concepto de esquemas , que él mismo definió. La obra se considera ahora la base y la referencia básica de la geometría algebraica moderna.

Ediciones

Inicialmente se planificaron trece capítulos, pero sólo se publicaron los cuatro primeros (que suman un total de aproximadamente 1500 páginas). Gran parte del material que se habría encontrado en los capítulos siguientes se puede encontrar, de forma menos pulida, en el Séminaire de géométrie algébrique (conocido como SGA ). De hecho, como explicó Grothendieck en el prefacio de la versión publicada de SGA , en 1970 había quedado claro que incorporar todo el material planeado en EGA requeriría cambios significativos en los capítulos anteriores ya publicados y que, por lo tanto, las perspectivas de completar EGA en el corto plazo eran limitadas. Un ejemplo obvio lo proporcionan las categorías derivadas , que se convirtieron en una herramienta indispensable en los volúmenes posteriores de SGA , pero que aún no se utilizaron en EGA III porque la teoría aún no estaba desarrollada en ese momento. Por lo tanto, se dedicó un esfuerzo considerable para llevar los volúmenes publicados de SGA a un alto grado de integridad y rigor. Antes de que se abandonara el trabajo sobre el tratado, hubo planes en 1966-67 para ampliar el grupo de autores para incluir a los estudiantes de Grothendieck, Pierre Deligne y Michel Raynaud , como lo demuestra la correspondencia publicada entre Grothendieck y David Mumford . ^[1] La carta de Grothendieck del 4 de noviembre de 1966 a Mumford también indica que la estructura revisada de la segunda edición ya estaba en su lugar en ese momento, con el Capítulo VIII ya destinado a cubrir el esquema de Picard . En esa carta, estimó que al ritmo de escritura hasta ese momento, los siguientes cuatro capítulos (V a VIII) habrían tardado ocho años en completarse, lo que indica una extensión prevista comparable a los primeros cuatro capítulos, que habían estado en preparación durante aproximadamente ocho años en ese momento.

Grothendieck, sin embargo, escribió una versión revisada de EGA I que fue publicada por Springer-Verlag . En ella se actualiza la terminología, reemplazando "preesquema" por "esquema" y "esquema" por "esquema separado", y se enfatiza fuertemente el uso de funtores representables . El nuevo prefacio de la segunda edición también incluye un plan ligeramente revisado del tratado completo, ahora dividido en doce capítulos.

El volumen EGA V de Grothendieck , que trata de los teoremas de tipo Bertini, está disponible hasta cierto punto en el sitio web del Círculo Grothendieck. La revista Monografie Matematyczne de Polonia ha aceptado publicar este volumen, pero el proceso de edición es bastante lento (a fecha de 2010). James Milne ha conservado algunas de las notas originales de Grothendieck y una traducción de las mismas al inglés. Pueden estar disponibles en sus sitios web relacionados con la Universidad de Michigan en Ann Arbor .

Capítulos

La siguiente tabla presenta el plan original y revisado del tratado e indica dónde (en SGA o en otro lugar) los temas previstos para los capítulos posteriores no publicados fueron tratados por Grothendieck y sus colaboradores.

#	Primera edición	Segunda edición	Comentarios
I	El lenguaje de los esquemas	El lenguaje de los esquemas	La segunda edición incorpora ciertos esquemas que representan funtores como los Grassmannianos , presumiblemente del Capítulo V previsto para la primera edición. Además, el contenido de la Sección 1 del Capítulo IV de la primera edición se trasladó al Capítulo I en la segunda edición.
II	Estudio global elemental de algunas clases de morfismos.	Estudio global elemental de algunas clases de morfismos.	Primera edición completa, segunda edición no apareció.
III	Estudio cohomológico de faisceaux coherentes.	Cohomologie des Faisceaux algébriques coherentes. Aplicaciones.	Primera edición completa excepto las últimas cuatro secciones, destinadas a ser publicadas después del Capítulo IV: dualidad proyectiva elemental, cohomología local y su relación con la cohomología proyectiva, y grupos de Picard (todos excepto la dualidad proyectiva tratados en SGA II ).
IV	Estudio local de esquemas y morfismos de esquemas	Estudio local de esquemas y morfismos de esquemas	Primera edición esencialmente completa; se hicieron algunos cambios en las últimas secciones; la sección sobre secciones de hiperplanos se convirtió en el nuevo Capítulo V de la segunda edición (existe borrador)
V	Procedimientos elementales de construcción de esquemas.	Complementos sobre los morfismos proyectivos	No apareció. Algunas construcciones elementales de esquemas aparentemente pensados para la primera edición aparecen en el Capítulo I de la segunda edición. El borrador existente del Capítulo V corresponde al plan de la segunda edición. Incluye también un tratamiento ampliado de algunos materiales de SGA VII .
VI	Técnica de descenso. Método general de construcción de esquemas.	Técnicas de construcción de esquemas.	No apareció. Grothendieck resumió la teoría del descenso y las técnicas de construcción relacionadas en FGA . En 1968, el plan había evolucionado para tratar espacios algebraicos y pilas algebraicas .
VII	Esquemas de grupos, espacios de fibras principales.	Esquemas en grupos, espacios de fibras principales.	No apareció. Tratado en detalle en SGA III .
VIII	Estudio diferencial de espacios de fibra.	El esquema de Picard	No apareció. El material aparentemente pensado para la primera edición se puede encontrar en SGA III , la construcción y los resultados del esquema de Picard se resumen en FGA .
IX	El grupo fundamental	El grupo fundamental	No apareció. Tratado en detalle en SGA I.
incógnita	Residuo y dualidad	Residuo y dualidad	No apareció. Se trata en detalle en la edición de Hartshorne de las notas de Grothendieck "Residuos y dualidad"
XI	Teoría de la intersección, clases de Chern, teoría de Riemann-Roch	Teoría de la intersección, clases de Chern, teoría de Riemann-Roch	No apareció. Tratado en detalle en SGA VI .
XII	Esquemas abéliens y esquemas de Picard	Cohomologie étale des schemas	No apareció. La cohomología de Étale se trata en detalle en SGA IV , SGA V.
XIII	Cohomología de Weil	ninguno	Destinado a cubrir la cohomología étale en la primera edición.

Además de los capítulos propiamente dichos, se dividió un extenso "Capítulo 0" sobre diversos preliminares entre los volúmenes en los que apareció el tratado. Los temas tratados abarcan desde la teoría de categorías , la teoría de haces y la topología general hasta el álgebra conmutativa y el álgebra homológica . La parte más larga del Capítulo 0, adjunta al Capítulo IV, tiene más de 200 páginas.

Grothendieck nunca dio permiso para que se reeditara la segunda edición de EGA I , por lo que las copias son escasas pero se encuentran en muchas bibliotecas. El trabajo sobre EGA finalmente se vio interrumpido por la salida de Grothendieck, primero del IHÉS en 1970 y poco después del mundo de las matemáticas. Las notas incompletas de Grothendieck sobre EGA V se pueden encontrar en Grothendieck Circle.

En términos históricos, el desarrollo del enfoque EGA marcó el comienzo de la aplicación de la teoría de haces a la geometría algebraica, iniciada por el artículo básico FAC de Serre . También contenía la primera exposición completa del enfoque algebraico al cálculo diferencial, a través de las partes principales. La unificación fundamental que proponía (véase, por ejemplo, teorías unificadoras en matemáticas ) ha resistido la prueba del tiempo.

EGA ha sido escaneada por NUMDAM y está disponible en su sitio web en "Publications mathématiques de l'IHÉS", volúmenes 4 (EGAI), 8 (EGAII), 11 (EGAIII.1re), 17 (EGAIII.2e), 20 (EGAIV.1re), 24 (EGAIV.2e), 28 (EGAIV.3e) y 32 (EGAIV.4e).

Información bibliográfica

Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (en francés). vol. 166 (2ª ed.). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 : 5–228. doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR 0217083.^[2]
Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. doi :10.1007/bf02699291. SEÑOR 0217084.
Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 : 5–167. doi :10.1007/bf02684274. SEÑOR 0217085.
Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1963). "Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 17 : 5–91. doi :10.1007/bf02684890. SEÑOR 0163911.
Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 : 5–259. doi :10.1007/bf02684747. SEÑOR 0173675.
Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 24 : 5–231. doi :10.1007/bf02684322. SEÑOR 0199181.
Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255. doi :10.1007/bf02684343. SEÑOR 0217086.
Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. doi :10.1007/bf02732123. SEÑOR 0238860.

Véase también

Fondementos de la Geometría Algébrique ( FGA )
Seminario de Geometría Algébrique du Bois Marie ( SGA )

Referencias

^ Mumford, David (2010). Ching-Li Chai ; Amnon Neeman; Takahiro Shiota. (eds.). Artículos seleccionados, Volumen II. Sobre geometría algebraica, incluida correspondencia con Grothendieck . Springer. págs. 720, 722. ISBN. 978-0-387-72491-1.
^ Lang, S. (1961). "Reseña: Éléments de géométrie algébrique, par A. Grothendieck, rédigés avec la colaboración de J. Dieudonné" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 67 (3): 239–246. doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10564-8 .

Enlaces externos

Copias escaneadas y traducciones parciales al inglés: Textos matemáticos (publicado) Archivado el 4 de noviembre de 2012 en Wayback Machine.
Tabla de contenidos detallada: EGA
SGA, EGA, FGA de Mateo Carmona
El círculo de Grothendieck mantiene copias de EGA, SGA y otros escritos de Grothendieck.

[1] Mumford, David (2010). Ching-Li Chai ; Amnon Neeman; Takahiro Shiota. (eds.). Artículos seleccionados, Volumen II. Sobre geometría algebraica, incluida correspondencia con Grothendieck . Springer. págs. 720, 722. ISBN. 978-0-387-72491-1.

[2] Lang, S. (1961). "Reseña: Éléments de géométrie algébrique, par A. Grothendieck, rédigés avec la colaboración de J. Dieudonné" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 67 (3): 239–246. doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10564-8 .