El axioma de Playfair

En geometría , el axioma de Playfair es un axioma que puede utilizarse en lugar del quinto postulado de Euclides (el postulado de las paralelas ):

En un plano , dada una recta y un punto que no está en él, se puede trazar como máximo una recta paralela ^{a la dada que pase por el punto. [1]}

Es equivalente al postulado de las paralelas de Euclides en el contexto de la geometría euclidiana ^[2] y recibió su nombre en honor al matemático escocés John Playfair . La cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita, ya que se puede demostrar a partir de los primeros cuatro axiomas que existe al menos una línea paralela dada una línea L y un punto P que no está en L , de la siguiente manera:

1. Construir una perpendicular : Utilizando los axiomas y teoremas previamente establecidos, se puede construir una recta perpendicular a la recta L que pase por P.
2. Construir otra perpendicular : Se traza una segunda línea perpendicular a la primera, comenzando desde el punto P.
3. Línea paralela : esta segunda línea perpendicular será paralela a L según la definición de líneas paralelas (es decir, los ángulos internos alternos son congruentes según el cuarto axioma).

La afirmación se escribe a menudo con la frase "hay una y sólo una paralela". En los Elementos de Euclides , se dice que dos líneas son paralelas si nunca se encuentran y no se utilizan otras caracterizaciones de líneas paralelas. ^{[3] [4]}

Este axioma se utiliza no solo en la geometría euclidiana, sino también en el estudio más amplio de la geometría afín, donde el concepto de paralelismo es central. En el contexto de la geometría afín, se necesita la forma más fuerte del axioma de Playfair (donde "a lo sumo uno" se reemplaza por "uno y solo uno"), ya que los axiomas de la geometría neutral no están presentes para proporcionar una prueba de existencia. La versión de Playfair del axioma se ha vuelto tan popular que a menudo se la conoce como el axioma de las paralelas de Euclides , ^[5] aunque no era la versión de Euclides del axioma.

Proclo (410–485 d. C.) hace esta afirmación claramente en su comentario sobre Euclides I.31 (Libro I, Proposición 31). ^[6]

En 1785 William Ludlam expresó el axioma paralelo de la siguiente manera: ^[7]

Dos líneas rectas que se encuentran en un punto no son ambas paralelas a una tercera línea.

Playfair adoptó esta breve expresión del paralelismo euclidiano en su libro de texto Elementos de geometría (1795), que se reeditó con frecuencia. Escribió ^[8]

Dos líneas rectas que se intersecan no pueden ser ambas paralelas a la misma línea recta.

Playfair reconoció a Ludlam y a otros por simplificar la afirmación euclidiana. En desarrollos posteriores, el punto de intersección de las dos líneas apareció primero, y la negación de dos paralelas se expresó como una paralela única a través del punto dado. ^[9]

En 1883 Arthur Cayley era presidente de la Asociación Británica y expresó esta opinión en su discurso ante la Asociación: ^[10]

Mi propia opinión es que el Duodécimo Axioma de Euclides, en la forma que le da Playfair, no necesita demostración, sino que es parte de nuestra noción de espacio, del espacio físico de nuestra experiencia, que es la representación que se encuentra en la base de toda experiencia externa.

Cuando David Hilbert escribió su libro, Fundamentos de geometría (1899), ^[11] proporcionando un nuevo conjunto de axiomas para la geometría euclidiana, utilizó la forma del axioma de Playfair en lugar de la versión euclidiana original para analizar líneas paralelas. ^[12]

El postulado paralelo de Euclides establece:

Si un segmento de línea interseca dos líneas rectas que forman dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos , entonces las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en aquel lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos. ^[13]

La complejidad de esta afirmación en comparación con la formulación de Playfair es sin duda una contribución importante a la popularidad de citar el axioma de Playfair en las discusiones sobre el postulado de las paralelas.

En el contexto de la geometría absoluta, las dos afirmaciones son equivalentes, lo que significa que cada una puede demostrarse suponiendo la otra en presencia de los axiomas restantes de la geometría. Esto no quiere decir que las afirmaciones sean lógicamente equivalentes (es decir, una puede demostrarse a partir de la otra utilizando solo manipulaciones formales de la lógica), ya que, por ejemplo, cuando se interpretan en el modelo esférico de la geometría elíptica, una afirmación es verdadera y la otra no. ^[14] Las afirmaciones lógicamente equivalentes tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos en los que tienen interpretaciones.

Las pruebas a continuación suponen que todos los axiomas de la geometría absoluta (neutral) son válidos.

La forma más fácil de demostrar esto es usando el teorema de Euclides (equivalente al quinto postulado) que establece que los ángulos de un triángulo suman dos ángulos rectos. Dada una línea y un punto P que no está en esa línea, construya una línea, t , perpendicular a la dada a través del punto P , y luego una perpendicular a esta perpendicular en el punto P . Esta línea es paralela porque no puede encontrarse y formar un triángulo, lo que se establece en la Proposición 27 del Libro 1 de los Elementos de Euclides . ^[15] Ahora se puede ver que no existen otras paralelas. Si n fuera una segunda línea a través de P , entonces n forma un ángulo agudo con t (ya que no es la perpendicular) y la hipótesis del quinto postulado se cumple, y por lo tanto, n se encuentra con . ^[16]${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$

Dado que el postulado de Playfair implica que sólo la perpendicular a la perpendicular es paralela, las líneas de la construcción euclidiana tendrán que cortarse entre sí en un punto. También es necesario demostrar que lo harán en el lado donde los ángulos suman menos de dos rectos, pero esto es más difícil. ^[17]

La equivalencia clásica entre el axioma de Playfair y el quinto postulado de Euclides colapsa en ausencia de congruencia de triángulos. ^[18] Esto se demuestra construyendo una geometría que redefine los ángulos de una manera que respeta los axiomas de Hilbert de incidencia, orden y congruencia, excepto la congruencia lado-ángulo-lado (SAS). Esta geometría modela el axioma clásico de Playfair pero no el quinto postulado de Euclides.

La proposición 30 de Euclides dice: "Dos líneas, cada una paralela a una tercera línea, son paralelas entre sí". Augustus De Morgan señaló ^[19] que esta proposición es lógicamente equivalente al axioma de Playfair. Esta observación fue relatada ^[20] por TL Heath en 1908. El argumento de De Morgan es el siguiente: Sea X el conjunto de pares de líneas distintas que se encuentran e Y el conjunto de pares de líneas distintas, cada una de las cuales es paralela a una sola línea común. Si z representa un par de líneas distintas, entonces la afirmación,

Para todo z , si z está en X entonces z no está en Y ,

es el axioma de Playfair (en términos de De Morgan, No X es Y ) y su contrapositivo lógicamente equivalente ,

Para todo z , si z está en Y entonces z no está en X ,

es Euclides I.30, la transitividad del paralelismo (No Y es X ).

Más recientemente, la implicación se ha expresado de manera diferente en términos de la relación binaria expresada por líneas paralelas : En geometría afín, la relación se toma como una relación de equivalencia , lo que significa que una línea se considera paralela a sí misma . Andy Liu ^[21] escribió: "Sea P un punto que no está en la línea 2. Supongamos que tanto la línea 1 como la línea 3 pasan por P y son paralelas a la línea 2. Por transitividad , son paralelas entre sí y, por lo tanto, no pueden tener exactamente P en común. Se deduce que son la misma línea, que es el axioma de Playfair".

• Playfair, John (1846). Elementos de geometría. WE Dean.
• Eves, Howard (1963), Un estudio de la geometría (volumen uno) , Boston: Allyn y Bacon
• Greenberg, Marvin Jay (1974), Geometrías euclidianas y no euclidianas/Desarrollo e historia , San Francisco: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
• Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides ([Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press , 1908] 2.ª ed.). Nueva York: Dover Publications .

(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).