El axioma de Pascua

En geometría , el axioma de Pasch es un enunciado en geometría plana , utilizado implícitamente por Euclides , que no puede derivarse de los postulados tal como Euclides los dio. [1] Su papel esencial fue descubierto por Moritz Pasch en 1882. [2]

Declaración

Dos líneas (en negro) que se encuentran con un lado del triángulo internamente y se encuentran con los otros lados interna y externamente.

El axioma establece que, [3]

Axioma de Pasch  :  Sean A , B , C tres puntos que no están sobre una recta y sea a una recta en el plano ABC que no corta ninguno de los puntos A , B , C. Si la recta a pasa por un punto del segmento AB , también pasa por un punto del segmento AC , o por un punto del segmento BC .

El hecho de que los segmentos AC y BC no sean ambos intersectados por la recta a se demuestra en el Suplemento I,1, escrito por P. Bernays . [4]

Una versión más moderna de este axioma es la siguiente: [5]

Una versión más moderna del axioma de Pasch  :  En el plano, si una línea interseca un lado de un triángulo internamente , entonces interseca precisamente otro lado internamente y el tercer lado externamente , si no pasa por un vértice del triángulo.

(En caso de que el tercer lado sea paralelo a nuestra línea, consideramos una "intersección en el infinito" como externa). A menudo se ve una versión más informal del axioma:

Una versión más informal del axioma de Pasch  :  si una línea que no pasa por ningún vértice de un triángulo se encuentra con un lado del triángulo, entonces se encuentra con otro lado.

Historia

Pasch publicó este axioma en 1882 [2] y demostró que los axiomas de Euclides eran incompletos. El axioma formaba parte del enfoque de Pasch para introducir el concepto de orden en la geometría plana.

Equivalencias

En otros tratamientos de la geometría elemental, utilizando diferentes conjuntos de axiomas, el axioma de Pasch puede demostrarse como un teorema; [6] es una consecuencia del axioma de separación de planos cuando este se toma como uno de los axiomas. Hilbert utiliza el axioma de Pasch en su tratamiento axiomático de la geometría euclidiana . [7] Dados los axiomas restantes en el sistema de Hilbert, se puede demostrar que el axioma de Pasch es lógicamente equivalente al axioma de separación de planos. [8]

El uso que hace Hilbert del axioma de Pasch

David Hilbert utiliza el axioma de Pasch en su libro Fundamentos de geometría , que proporciona una base axiomática para la geometría euclidiana. Según la edición, se numera como II.4 o II.5. [7] Su afirmación se encuentra más arriba.

En el tratamiento de Hilbert, este axioma aparece en la sección relativa a los axiomas de orden y se lo denomina axioma plano de orden . Puesto que no formula el axioma en términos de los lados de un triángulo (considerados como líneas en lugar de segmentos de línea), no hay necesidad de hablar de intersecciones internas y externas de la línea a con los lados del triángulo ABC .

Advertencias

El axioma de Pasch es distinto del teorema de Pasch , que es un enunciado sobre el orden de cuatro puntos en una línea. Sin embargo, en la literatura hay muchos casos en los que el axioma de Pasch se menciona como teorema de Pasch. Un ejemplo notable de esto es Greenberg (1974, p. 67).

El axioma de Pasch no debe confundirse con el axioma de Veblen-Young para geometría proyectiva , [9] que puede enunciarse como:

Axioma de Veblen-Young para geometría proyectiva  :  si una línea interseca dos lados de un triángulo, entonces también interseca el tercer lado.

No se mencionan intersecciones internas y externas en el enunciado del axioma de Veblen-Young, que solo se ocupa de la propiedad de incidencia de las líneas que se encuentran. En geometría proyectiva, el concepto de interrelación (necesario para definir lo interno y lo externo) no es válido y todas las líneas se encuentran (por lo que no se plantea la cuestión de las líneas paralelas).

Notas

  1. ^ Sin embargo, puede derivarse de axiomas más débiles de separación de planos que Euclides da por sentado, como se muestra en Pambuccian 2024.
  2. ^ desde Pascua 1912, pág. 21
  3. ^ Este texto está tomado de la traducción de Unger de la décima edición de Fundamentos de geometría de Hilbert y está numerado II.4.
  4. ^ Hilbert 1999, p. 200, la traducción de Unger.
  5. ^ Beutelspacher y Rosenbaum 1998, pág. 7
  6. ^ Wylie, Jr. 1964, pág. 100
  7. ^ El axioma II.5 de los Fundamentos de la geometría de Hilbert (traducción de Townsend a la que se hace referencia más abajo) aparece numerado II.4 en la traducción autorizada al inglés de la décima edición traducida por L. Unger (también publicada por Open Court). Existen varias diferencias entre estas traducciones.
  8. ^ Para ello sólo se necesitan los axiomas I.1,2,3 y II.1,2,3 de Hilbert. La prueba se encuentra en Faber (1983, pp. 116-117).
  9. ^ Beutelspacher y Rosenbaum 1998, pág. 6

Referencias

  • Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Geometría proyectiva: de los fundamentos a las aplicaciones , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48364-3, Sr.  1629468
  • Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 978-0-8247-1748-3
  • Greenberg, Marvin Jay (1974), Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia (1.ª ed.), San Francisco: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0454-6
    • Greenberg, Marvin Jay (2007), Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia (4.ª ed.), San Francisco: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-9948-1
  • Hilbert, David (1903), Grundlagen der Geometrie (en alemán), Leipzig: BG Teubner
    • Hilbert, David (1950) [1902], Los fundamentos de la geometría (PDF) , traducido por Townsend, EJ, LaSalle, IL: Open Court Publishing
    • Hilbert, David (1999) [1971], Fundamentos de geometría , traducido por Unger, Leo (2.ª ed.), LaSalle, IL: Open Court Publishing, ISBN 978-0-87548-164-7
  • Moise, Edwin (1990), Geometría elemental desde un punto de vista avanzado (tercera edición), Addison-Wesley, Reading, MA, pág. 74, ISBN 978-0-201-50867-3
  • Pambuccian, Victor (2011), "La axiomática de la geometría ordenada: I. Espacios de incidencia ordenados.", Expositiones Mathematicae (29): 24–66, doi : 10.1016/j.exmath.2010.09.004
  • Pambuccian, Victor (2024), "¿Por qué Euclides no necesitaba el axioma de Pascua?", Journal of Geometry (115), doi :10.1007/s00022-024-00712-x
  • Pasch, Moritz (1912) [primera edición 1882], Vorlesungen uber neuere Geometrie (en alemán) (2ª ed.), Leipzig: BG Teubner
  • Wylie, Jr., Clarence Raymond (1964), Fundamentos de geometría , Nueva York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-070-72191-3
    • Wylie, Jr., CR (2009) [1964], Fundamentos de geometría , Mineola, Nueva York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47214-0
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