Distribución de Erlang

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Erlang

Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulativa
Parámetros	${\displaystyle k\en \{1,2,3,\lpuntos \},}$ forma tasa alt.: escala ${\displaystyle \lambda \en (0,\infty ),}$ ${\displaystyle \beta =1/\lambda,}$
Apoyo	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}}$
CDF	${\displaystyle P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}}$
Significar	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}}$
Mediana	No hay una forma cerrada simple
Modo	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}(k-1)}$
Diferencia	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda ^{2}}}}$
Oblicuidad	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Exceso de curtosis	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Entropía	${\displaystyle (1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k}$
MGF	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}}$para${\estilo de visualización t<\lambda}$
CF	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}}$

La distribución de Erlang es una familia de distribuciones de probabilidad continuas de dos parámetros con soporte . Los dos parámetros son:${\displaystyle x\in [0,\infty )}$

• un entero positivo la "forma", y${\estilo de visualización k,}$
• un número real positivo la "tasa". En su lugar, a veces se utiliza la "escala", el recíproco de la tasa.${\estilo de visualización \lambda ,}$${\estilo de visualización \beta ,}$

La distribución de Erlang es la distribución de una suma de variables exponenciales independientes con media cada una. Equivalentemente, es la distribución del tiempo hasta el k ésimo evento de un proceso de Poisson con una tasa de . Las distribuciones de Erlang y Poisson son complementarias, en el sentido de que mientras que la distribución de Poisson cuenta los eventos que ocurren en una cantidad fija de tiempo, la distribución de Erlang cuenta la cantidad de tiempo hasta la ocurrencia de un número fijo de eventos. Cuando , la distribución se simplifica a la distribución exponencial . La distribución de Erlang es un caso especial de la distribución gamma en el que la forma de la distribución está discretizada.${\estilo de visualización k}$ ${\estilo de visualización 1/\lambda}$${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización k=1}$

La distribución de Erlang fue desarrollada por AK Erlang para examinar el número de llamadas telefónicas que podrían realizarse al mismo tiempo a los operadores de las centrales de conmutación. Este trabajo sobre ingeniería de tráfico telefónico se ha ampliado para considerar los tiempos de espera en los sistemas de colas en general. La distribución también se utiliza en el campo de los procesos estocásticos .

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Erlang es

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0,}$

El parámetro k se llama parámetro de forma y el parámetro k se llama parámetro de velocidad.${\displaystyle \lambda }$

Una parametrización alternativa, pero equivalente, utiliza el parámetro de escala , que es el recíproco del parámetro de velocidad (es decir, ):${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta =1/\lambda }$

${\displaystyle f(x;k,\beta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\beta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{for }}x,\beta \geq 0.}$

Cuando el parámetro de escala es igual a 2, la distribución se simplifica a la distribución de chi-cuadrado con 2 k grados de libertad. Por lo tanto, puede considerarse como una distribución de chi-cuadrado generalizada para números pares de grados de libertad.${\displaystyle \beta }$

La función de distribución acumulativa de la distribución de Erlang es

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},}$

donde es la función gamma incompleta inferior y es la función gamma regularizada inferior . La CDF también se puede expresar como${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle P}$

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.}$

La distribución Erlang -k (donde k es un entero positivo) se define estableciendo k en la PDF de la distribución Erlang. ^[1] Por ejemplo, la distribución Erlang-2 es , que es lo mismo que .${\displaystyle E_{k}(\lambda )}$${\displaystyle E_{2}(\lambda )={\lambda ^{2}x}e^{-\lambda x}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0}$${\displaystyle f(x;2,\lambda )}$

Se conoce una expansión asintótica para la mediana de una distribución de Erlang, ^[2] para la cual se pueden calcular coeficientes y se conocen los límites. ^{[3] [4]} Una aproximación es , por ejemplo, por debajo de la media ^[5]${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),}$${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}.}$

Las variables aleatorias distribuidas según Erlang se pueden generar a partir de números aleatorios distribuidos uniformemente ( ) utilizando la siguiente fórmula: ^[6]${\displaystyle U\in [0,1]}$

${\displaystyle E(k,\lambda )=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln U_{i}}$

Los eventos que ocurren de forma independiente con una tasa promedio determinada se modelan con un proceso de Poisson . Los tiempos de espera entre k ocurrencias del evento se distribuyen según Erlang. (La cuestión relacionada con la cantidad de eventos en una cantidad de tiempo dada se describe mediante la distribución de Poisson ).

La distribución de Erlang, que mide el tiempo entre llamadas entrantes, se puede utilizar junto con la duración esperada de las llamadas entrantes para generar información sobre la carga de tráfico medida en erlangs. Esto se puede utilizar para determinar la probabilidad de pérdida de paquetes o demora, según varias suposiciones realizadas sobre si las llamadas bloqueadas se cancelan (fórmula de Erlang B) o se ponen en cola hasta que se atienden (fórmula de Erlang C). Las fórmulas de Erlang-B y C todavía se utilizan a diario para el modelado de tráfico para aplicaciones como el diseño de centros de llamadas .

La distribución por edad de la incidencia del cáncer a menudo sigue la distribución de Erlang, mientras que los parámetros de forma y escala predicen, respectivamente, el número de eventos impulsores y el intervalo de tiempo entre ellos. ^{[7] [8]} De manera más general, se ha sugerido que la distribución de Erlang es una buena aproximación de la distribución del tiempo del ciclo celular, como resultado de modelos de múltiples etapas. ^{[9] [10]}

La kinesina es una máquina molecular con dos "pies" que "camina" a lo largo de un filamento. El tiempo de espera entre cada paso se distribuye exponencialmente. Cuando la proteína fluorescente verde se une a un pie de la kinesina, el punto verde se mueve visiblemente con una distribución de Erlang de k = 2. ^[11]

También se ha utilizado en marketing para describir los tiempos entre compras. ^[12]

• Si entonces con${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$${\displaystyle a\cdot X\sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• Si y entonces si son independientes${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )}$${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )}$${\displaystyle X,Y}$

• La distribución de Erlang es la distribución de la suma de k variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , cada una con una distribución exponencial . La tasa a largo plazo a la que ocurren los eventos es el recíproco de la expectativa de , es decir, La tasa (de eventos específicos de la edad) de la distribución de Erlang es, para monótona en aumento de 0 en a a medida que tiende al infinito. ^[13]${\displaystyle X,}$${\displaystyle \lambda /k.}$${\displaystyle k>1,}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x}$
  • Es decir: si entonces${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$$
• Debido a la función factorial en el denominador de la PDF y la CDF, la distribución de Erlang solo se define cuando el parámetro k es un entero positivo. De hecho, a esta distribución a veces se la denomina distribución Erlang - k (por ejemplo, una distribución Erlang-2 es una distribución Erlang con ). La distribución gamma generaliza la distribución Erlang al permitir que k sea cualquier número real positivo, utilizando la función gamma en lugar de la función factorial.${\displaystyle k=2}$
  • Es decir: si k es un entero y entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$
• Si y entonces${\displaystyle U\sim \operatorname {Exponential} (\lambda )}$${\displaystyle V\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$${\displaystyle {\frac {U}{V}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)}$
• La distribución de Erlang es un caso especial de la distribución de Pearson tipo III ^{[ cita requerida ]}
• La distribución de Erlang está relacionada con la distribución de chi-cuadrado . Si entonces ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda ),}$${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}.}$
• La distribución de Erlang está relacionada con la distribución de Poisson mediante el proceso de Poisson : Si tal que entonces y Tomando las diferencias se obtiene la distribución de Poisson.${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}$$${\displaystyle S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$$$${\displaystyle \operatorname {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{X}(x;n,\lambda )=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.}$$${\displaystyle n}$

• Distribución coxiana
• Cálculo de Engset
• Fórmula Erlang B
• Unidad Erlang
• Distribución por tipo de fase
• Modelo de generación de tráfico

• Ian Angus "Introducción a Erlang B y Erlang C", Telemanagement #187 (Documento PDF: contiene términos y fórmulas, además de una breve biografía)
• Stuart Harris "Cálculos Erlang vs. Simulación"

• Distribución de Erlang
• Dimensionamiento de recursos mediante Erlang-B y Erlang-C