Matriz de Grunsky

Análisis matemático → Análisis complejo
Análisis complejo
Números complejos
Número real Número imaginario Plano complejo Conjugado complejo Número complejo unitario
Funciones complejas
Función de valor complejo Función analítica Función holomorfa Ecuaciones de Cauchy-Riemann Serie de potencias formales
Teoría básica
Ceros y polos Teorema integral de Cauchy Primitivo local Fórmula integral de Cauchy Número de bobinado Serie Laurent Singularidad aislada Teorema del residuo Principio de argumentación Mapa conforme Lema de Schwarz Función armónica Ecuación de Laplace
Teoría de funciones geométricas
Gente
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En el análisis complejo y la teoría de funciones geométricas , las matrices de Grunsky , u operadores de Grunsky , son matrices infinitas introducidas en 1939 por Helmut Grunsky . Las matrices corresponden a una sola función holomorfa en el disco unitario o a un par de funciones holomorfas en el disco unitario y su complemento. Las desigualdades de Grunsky expresan propiedades de acotación de estas matrices, que en general son operadores de contracción o en casos especiales importantes operadores unitarios . Como mostró Grunsky, estas desigualdades se cumplen si y solo si la función holomorfa es univalente . Las desigualdades son equivalentes a las desigualdades de Goluzin, descubiertas en 1947. En términos generales, las desigualdades de Grunsky brindan información sobre los coeficientes del logaritmo de una función univalente; Las generalizaciones posteriores de Milin , a partir de la desigualdad de Lebedev-Milin , lograron exponenciar las desigualdades para obtener desigualdades para los coeficientes de la propia función univalente. La matriz de Grunsky y sus desigualdades asociadas se formularon originalmente en un contexto más general de funciones univalentes entre una región limitada por un número finito de curvas de Jordan suficientemente suaves y su complemento: los resultados de Grunsky, Goluzin y Milin se generalizan a ese caso.

Históricamente, las desigualdades para el disco se utilizaron para demostrar casos especiales de la conjetura de Bieberbach hasta el sexto coeficiente; las desigualdades exponenciales de Milin fueron utilizadas por de Branges en la solución final. Una exposición detallada utilizando estos métodos se puede encontrar en Hayman (1994). Los operadores de Grunsky y sus determinantes de Fredholm también están relacionados con las propiedades espectrales de los dominios acotados en el plano complejo . Los operadores tienen otras aplicaciones en la aplicación conforme , la teoría de Teichmüller y la teoría conforme de campos .

Si f ( z ) es una función univalente holomórfica en el disco unitario, normalizada de modo que f (0) = 0 y f′ (0) = 1, la función

${\displaystyle g(z)=f(z^{-1})^{-1}}$

es una función univalente no nula en | z | > 1 que tiene un polo simple en ∞ con residuo 1:

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

La misma fórmula de inversión aplicada a g devuelve f y establece una correspondencia uno a uno entre estas dos clases de funciones.

La matriz de Grunsky ( c _nm ) de g está definida por la ecuación

${\displaystyle \log {\frac {g(z)-g(\zeta )}{z-\zeta }}=-\sum _{m,n>0}c_{nm}z^{-m}\zeta ^{-n}}$

Es una matriz simétrica . Sus entradas se denominan coeficientes de Grunsky de g .

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \log {g(z^{-1})-g(\zeta ^{-1}) \over z^{-1}-\zeta ^{-1}}=\log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }-\log {f(z) \over z}-\log {f(\zeta ) \over \zeta },}$

de modo que los coeficientes se pueden expresar directamente en términos de f . De hecho, si

${\displaystyle \log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 0}d_{mn}z^{n}\zeta ^{n},}$

entonces para m , n > 0

${\displaystyle d_{mn}=c_{mn}}$

y d _{0 n} = d _{n 0} se da por

${\displaystyle \log {\frac {f(z)}{z}}=\sum _{n>0}d_{0n}z^{n}}$

con

${\displaystyle d_{00}=0.}$

Si f es una función holomorfa en el disco unitario con matriz de Grunsky ( c _nm ), las desigualdades de Grunsky establecen que

${\displaystyle \left|\sum _{1\leq m,n\leq N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{1\leq n\leq N}{\frac {|\lambda _{n}|^{2}}{n}}}$

para cualquier secuencia finita de números complejos λ ₁ , ..., λ _N .

Coeficientes de Grunsky de una función univalente normalizada en | z | > 1

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

son polinomios en los coeficientes b _i que pueden calcularse recursivamente en términos de los polinomios de Faber Φ _n , un polinomio mónico de grado n que depende de g .

Tomando la derivada en z de la relación definitoria de los coeficientes de Grunsky y multiplicando por z se obtiene

${\displaystyle {\frac {zg'(z)}{g(z)-g(\zeta )}}-{\frac {z}{z-\zeta }}=\sum _{m,n>0}mc_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}.}$

Los polinomios de Faber se definen por la relación

${\displaystyle {\frac {zg'(z)}{g(z)-w}}=\sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(w)z^{-n}.}$

Dividiendo esta relación por z e integrando entre z e ∞ se obtiene

${\displaystyle \log {\frac {g(z)-w}{z}}=-\sum _{n\geq 1}{1 \over n}\Phi _{n}(w)z^{-n}.}$

Esto da las relaciones de recurrencia para n > 0

${\displaystyle \Phi _{n}(w)=(w-b_{0})\Phi _{n-1}(w)-nb_{n}-\sum _{0\leq i\leq n-1}b_{n-i}\Phi _{i}(w)}$

con

${\displaystyle \Phi _{0}(w)\equiv 1.}$

De este modo

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(g(z))\zeta ^{-n}=1+\sum _{n\geq 1}\left(z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}\right)\zeta ^{-n},}$

de modo que para n ≥ 1

${\displaystyle \Phi _{n}(g(z))=z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}.}$

La última propiedad determina de forma única el polinomio de Faber de g .

Sea g ( z ) una función univalente en | z | > 1 normalizada de modo que

${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

y sea f ( z ) una función holomorfa no constante en C .

Si

${\displaystyle f(g(z))=\sum _{-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}}$

es la expansión de Laurent en z > 1, entonces

${\displaystyle \sum _{n>0}n|c_{n}|^{2}\leq \sum _{n>0}n|c_{-n}|^{2}.}$

Si Ω es una región abierta acotada con un borde suave ∂Ω y h es una función diferenciable en Ω que se extiende a una función continua en el cierre, entonces, por el teorema de Stokes aplicado a la 1-forma diferencial ${\displaystyle \omega =h(z)dz,}$

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }h(z)\,dz=\int _{\partial \Omega }\omega =\iint _{\Omega }d\omega =\iint _{\Omega }(i\partial _{x}-\partial _{y})h\,dx\,dy=2i\iint _{\Omega }\partial _{\overline {z}}h\,dx\,dy.}$

Para r > 1, sea Ω _r el complemento de la imagen de | z |> r bajo g ( z ), un dominio acotado. Entonces, por la identidad anterior con h = f′ , el área de f (Ω _r ) está dada por

${\displaystyle A(r)=\iint _{\Omega _{r}}|f'(z)|^{2}\,dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial \Omega _{r}}{\overline {f(z)}}f'(z)\,dz={1 \over 2i}\int _{|w|=r}{\overline {f(g(w)))}}f'(g(w))g'(w)\,dw.}$

Por eso

${\displaystyle A(r)=\pi \sum _{n}n|c_{-n}|^{2}r^{2n}.}$

Dado que el área no es negativa

${\displaystyle \sum _{n>0}n|c_{n}|^{2}r^{-2n}\leq \sum _{n>0}n|c_{-n}|^{2}r^{2n}.}$

El resultado se obtiene al dejar que r disminuya a 1.

Si

${\displaystyle p(w)=\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}\Phi _{n}(w),}$

entonces

${\displaystyle p(g(z))=\left(\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}z^{n}\right)+\left(\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}c_{nm}z^{-m}\right).}$

Aplicando el teorema del área de Milin,

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

(La igualdad se cumple aquí si y sólo si el complemento de la imagen de g tiene medida de Lebesgue cero.)

Así que a fortiori

${\displaystyle \sum _{m=1}^{N}m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

De ahí la matriz simétrica

${\displaystyle a_{mn}={\sqrt {mn}}c_{mn},}$

considerado como un operador en C ^N con su producto interno estándar, satisface

${\displaystyle \|Ax\|\leq \|x\|.}$

Así pues, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

${\displaystyle |(Ax,y)|\leq \|x\|\cdot \|y\|.}$

Con

${\displaystyle x_{n}={\frac {\lambda _{n}}{\sqrt {n}}}={\overline {y_{n}}},}$

Esto da la desigualdad de Grunsky:

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2},}$

Sea g ( z ) una función holomorfa en z > 1 con

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

Entonces g es univalente si y sólo si los coeficientes de Grunsky de g satisfacen las desigualdades de Grunsky para todo N.

De hecho, ya se ha demostrado que las condiciones son necesarias. Para comprobar su suficiencia, nótese que

${\displaystyle \log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}}$

tiene sentido cuando | z | y | ζ | son grandes y por lo tanto los coeficientes c _mn están definidos. Si se satisfacen las desigualdades de Grunsky, entonces es fácil ver que las | c _mn | están uniformemente acotadas y por lo tanto la expansión en el lado izquierdo converge para | z | > 1 y | ζ | > 1. Exponenciando ambos lados, esto implica que g es univalente.

Sean y funciones holomorfas univalentes en | z | < 1 y | ζ | > 1, tales que sus imágenes son disjuntas en C . Supóngase que estas funciones están normalizadas de modo que${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle g(\zeta )}$

${\displaystyle g(\zeta )=\zeta +a_{0}+b_{1}\zeta ^{-1}+b_{2}\zeta ^{-2}+\cdots }$

y

${\displaystyle F(z)=af(z)}$

con un ≠ 0 y

${\displaystyle f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots .}$

La matriz de Grunsky ( c _mn ) de este par de funciones está definida para todos los m y n distintos de cero mediante las fórmulas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {g(\zeta )-g(\eta ) \over \zeta -\eta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}\zeta ^{-m}\eta ^{-n}\\\log {g(\zeta )-f(z) \over \zeta }-\log {g(\zeta ) \over \zeta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,n}z^{m}\zeta ^{-n}\\\log {f(z)-f(w) \over z-w}-\log {f(z) \over z}-\log {f(w) \over w}&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,-n}z^{m}w^{n}\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle c_{m,-n}=c_{-n,m},\qquad m,n\geq 1,}$

de modo que ( c _mn ) es una matriz simétrica.

En 1972, el matemático estadounidense James Hummel extendió las desigualdades de Grunsky a esta matriz, demostrando que para cualquier secuencia de números complejos λ _±1 , ..., λ _{± N}

${\displaystyle \left|\sum _{n,m\neq 0}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{|n|}}|\lambda _{n}|^{2}.}$

La prueba se realiza calculando el área de la imagen del complemento de las imágenes de | z | < r < 1 bajo F y | ζ | > R > 1 bajo g bajo un polinomio de Laurent adecuado h ( w ).

Sean y los polinomios de Faber de g y y el conjunto${\displaystyle \phi _{n}}$${\displaystyle \phi _{-n}}$${\displaystyle f(z^{-1})^{-1}}$

${\displaystyle h(w)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\Phi _{n}(w)+\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}\Phi _{-n}\left({\frac {a}{w}}\right).}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}h(F(z))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}z^{-n}+\alpha +\sum _{n\geq 1}\alpha _{n}z^{n},&&|z|<1,\alpha _{n}=\sum _{m}c_{-n,m}\lambda _{m}\\h(g(\zeta ))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\zeta ^{n}+\beta +\sum _{n\geq 1}\beta _{n}\zeta ^{-n},&&|\zeta |>1,\beta _{n}=\sum _{m}c_{nm}\lambda _{m}\end{aligned}}}$

El área es igual

${\displaystyle \int |h'(z)|^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2i}}\int _{C_{1}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz-{\frac {1}{2i}}\int _{C_{2}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz,}$

donde C ₁ es la imagen del círculo |ζ| = R bajo g y C ₂ es la imagen del círculo | z | = r bajo F .

Por eso

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\iint |h'|^{2}\,dx\,dy=\left[\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}|\lambda _{-n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\alpha _{n}|^{2}r^{2n}\right]+\left[\sum _{n\geq 1}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\beta _{n}|^{2}R^{-2n}\right].}$

Como el área es positiva, el lado derecho también debe ser positivo. Si r aumenta a 1 y R disminuye a 1 , se deduce que

${\displaystyle \sum _{m\neq 0}|m|\left|\sum _{n\neq 0}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{m\neq 0}{1 \over |m|}|\lambda _{m}|^{2}}$

con igualdad si y sólo si el complemento de las imágenes tiene medida de Lebesgue cero.

Como en el caso de una sola función g , esto implica la desigualdad requerida.

La matriz

${\displaystyle a_{mn}={\sqrt {|mn|}}\cdot c_{mn}}$

de una sola función g o de un par de funciones F , g es unitaria si y sólo si el complemento de la imagen de g o la unión de las imágenes de F y g tiene medida de Lebesgue cero. Así, en términos generales, en el caso de una función la imagen es una región de rendija en el plano complejo; y en el caso de dos funciones las dos regiones están separadas por una curva de Jordan cerrada.

De hecho, la matriz infinita A que actúa sobre el espacio de Hilbert de secuencias cuadradas sumables satisface

${\displaystyle A^{*}A=I,}$

Pero si J denota la conjugación compleja de una secuencia, entonces

${\displaystyle JAJ=A^{*},\quad JA^{*}J=A}$

ya que A es simétrico. Por lo tanto

${\displaystyle AA^{*}=JA^{*}AJ=I}$

de modo que A es unitario.

Si g ( z ) es una función univalente normalizada en | z | > 1, z ₁ , ..., z _N son puntos distintos con | z _n | > 1 y α ₁ , ..., α _N son números complejos, las desigualdades de Goluzin, demostradas en 1947 por el matemático ruso Gennadi Mikhailovich Goluzin (1906-1953), establecen que

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}\alpha _{n}\log {g(z_{m})-g(z_{n}) \over z_{m}-z_{n}}\right|^{2}\leq \sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}{\overline {\alpha _{n}}}\log {1 \over 1-(z_{m}{\overline {z_{n}}})^{-1}}.}$

Para deducirlas de las desigualdades de Grunsky, sea

${\displaystyle \lambda _{k}=\sum _{n=1}^{N}\alpha _{n}z_{n}^{-k}.}$

para k > 0.

Por el contrario, las desigualdades de Grunsky se derivan de las desigualdades de Goluzin tomando

${\displaystyle \alpha _{m}={1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}z_{n}^{m}.}$

dónde

${\displaystyle z_{n}=re^{2\pi in \over N}}$

con r > 1, tendiendo a ∞.

Bergman y Schiffer (1951) dieron otra derivación de las desigualdades de Grunsky usando núcleos de reproducción y operadores integrales singulares en la teoría de funciones geométricas ; un enfoque relacionado más reciente se puede encontrar en Baranov y Hedenmalm (2008).

Sea f ( z ) una función univalente normalizada en | z | < 1, sean z ₁ , ..., z _N puntos distintos con | z _n | < 1 y sean α ₁ , ..., α _N números complejos. Las desigualdades de Bergman-Schiffer establecen que

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}\alpha _{n}\left[{\frac {f'(z_{m})f'(z_{n})}{(f(z_{m})-f(z_{n}))^{2}}}-{\frac {1}{(z_{m}-z_{n})^{2}}}\right]\right|\leq \sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}{\overline {\alpha _{n}}}{\frac {1}{(1-z_{m}{\overline {z_{n}}})^{2}}}.}$

Para deducir estas desigualdades a partir de las desigualdades de Grunsky, establezca

${\displaystyle \lambda _{k}=k\sum _{n=1}^{N}\alpha _{n}z_{n}^{k}.}$

para k > 0.

Por el contrario, las desigualdades de Grunsky se derivan de las desigualdades de Bergman-Schiffer al tomar

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\lambda _{n}z_{n}^{m}.}$

dónde

${\displaystyle z_{n}=re^{\frac {2\pi in}{N}}}$

con r < 1, tendiendo a 0.

Las desigualdades de Grunsky implican muchas desigualdades para funciones univalentes. También fueron utilizadas por Schiffer y Charzynski en 1960 para dar una prueba completamente elemental de la conjetura de Bieberbach para el cuarto coeficiente; Schiffer y Garabedian habían encontrado previamente una prueba mucho más complicada en 1955. En 1968, Pedersen y Ozawa utilizaron independientemente las desigualdades de Grunsky para demostrar la conjetura para el sexto coeficiente. ^{[1] [2]}

En la prueba de Schiffer y Charzynski, si

${\displaystyle f(x)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}+\cdots }$

es una función univalente normalizada en | z | < 1, entonces

${\displaystyle g(z)=f(z^{2})^{-1/2}=z+b_{1}z^{-1}+b_{3}z^{-3}+\cdots }$

es una función univalente impar en | z | > 1.

La combinación del teorema del área de Gronwall para f con las desigualdades de Grunsky para el primer menor 2 x 2 de la matriz de Grunsky de g conduce a una cota para | a ₄ | en términos de una función simple de a ₂ y un parámetro complejo libre. El parámetro libre puede elegirse de modo que la cota se convierta en una función de la mitad del módulo de a ₂ y luego puede comprobarse directamente que esta función no es mayor que 4 en el rango [0,1].

Como demostró Milin, las desigualdades de Grunsky pueden ser exponencializadas. El caso más simple se desarrolla escribiendo

${\displaystyle \log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{n\geq 1}a_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}.}$

con un _n ( w ) holomorfo en | w | < 1.

Las desigualdades de Grunsky, con λ _n = w ⁿ implican que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}n|a_{n}(w)|^{2}\leq -\log(1-|w|^{2}).}$

Por otra parte, si

${\displaystyle \sum _{m\geq 0}b_{m}t^{m}=\exp \sum _{n\geq 1}a_{n}t^{n}}$

como serie de potencias formales , entonces la primera de las desigualdades de Lebedev-Milin (1965) establece que ^{[3] [4]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|b_{n}|^{2}\leq \exp \sum _{n\geq 1}n|a_{n}|^{2}.}$

De manera equivalente, la desigualdad establece que si g ( z ) es un polinomio con g (0) = 0, entonces

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|e^{g}|^{2}\,d\theta \leq e^{A},}$

donde A es el área de g ( D ),

Para demostrar la desigualdad, observe que los coeficientes están determinados por la fórmula recursiva

${\displaystyle b_{n}={1 \over n}\sum _{m=1}^{n}ma_{m}b_{n-m}}$

de modo que por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

${\displaystyle |b_{n}|^{2}\leq {1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}|b_{n-m}|^{2}.}$

Las cantidades c _n se obtienen al imponer la igualdad aquí:

${\displaystyle c_{n}={1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}c_{n-m}}$

satisfacer y por lo tanto, revertir los pasos,${\displaystyle |b_{n}|^{2}\leq c_{n}}$

${\displaystyle \sum |b_{n}|^{2}\leq \sum c_{n}=\exp \sum _{m\geq 1}m|a_{m}|^{2}.}$

En particular, definiendo b _n ( w ) por la identidad

${\displaystyle \sum b_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}=\exp \sum a_{m}(\zeta ^{-1})z^{-m}={g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta },}$

La siguiente desigualdad debe cumplirse para | w | < 1

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|b_{n}(w)|^{2}\leq (1-|w|^{2})^{-1}.}$

La transformada de Beurling (también llamada transformada de Beurling-Ahlfors y transformada de Hilbert en el plano complejo ) proporciona uno de los métodos más directos para demostrar las desigualdades de Grunsky, siguiendo a Bergman y Schiffer (1951) y Baranov y Hedenmalm (2008).

La transformada de Beurling se define en L ² ( C ) como la operación de multiplicación por en las transformadas de Fourier . Por lo tanto, define un operador unitario. También se puede definir directamente como una integral de valor principal ^[5]${\displaystyle z/{\overline {z}}}$

${\displaystyle (Th)(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}-{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{h(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy.}$

Para cualquier región abierta acotada Ω en C se define un operador acotado T _Ω del conjugado del espacio de Bergman de Ω sobre el espacio de Bergman de Ω: una función holomorfa integrable al cuadrado se extiende a 0 de Ω para producir una función en L ² ( C ) a la que se aplica T y el resultado se restringe a Ω, donde es holomorfa. Si f es una función univalente holomorfa del disco unitario D sobre Ω, entonces el espacio de Bergman de Ω y su conjugado se pueden identificar con el de D y T _Ω se convierte en el operador integral singular con núcleo

${\displaystyle K_{f}(z,w)={\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}.}$

Define una contracción . Por otra parte, se puede comprobar que T _D = 0 calculando directamente las potencias utilizando el teorema de Stokes para trasladar la integral al límite.${\displaystyle {\overline {z}}^{n}}$

De ello se deduce que el operador con núcleo

${\displaystyle {f'(z)f'(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}={\partial ^{2} \over \partial z\partial w}\log {f(z)-f(w) \over z-w}=-\sum _{m,n\geq 1}mnc_{mn}z^{m-1}w^{n-1}}$

actúa como una contracción en el conjugado del espacio de Bergman de D . Por lo tanto, si

${\displaystyle p(z)=\lambda _{1}+\lambda _{2}{\overline {z}}+\lambda _{3}{\overline {z}}^{2}+\cdots +\lambda _{N}{\overline {z}}^{N-1},}$

entonces

${\displaystyle \sum _{m=1}^{N}\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}=\|(T_{f}-T_{z})p\|^{2}=\|T_{f}p\|^{2}\leq \|p\|^{2}=\sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

Si Ω es un dominio acotado en C con borde suave, el operador T _Ω puede considerarse como un operador contractivo antilineal acotado en el espacio de Bergman H = A ² (Ω). Se da por la fórmula

${\displaystyle (T_{\Omega }u)(z)=\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{{\overline {u(z)}} \over (z-w)^{2}}\,\,dx\,dy}$

para u en el espacio de Hilbert H = A ² (Ω). T _Ω se denomina operador de Grunsky de Ω (o f ). Su realización en D utilizando una función univalente f que mapea D sobre Ω y el hecho de que T _D = 0 muestra que está dada por restricción del núcleo

${\displaystyle {\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}-{\frac {1}{(z-w)^{2}}},}$

y por lo tanto es un operador de Hilbert-Schmidt .

El operador antilineal T = T _Ω satisface la relación de autoadjunción

${\displaystyle (Tu,v)=(Tv,u)}$

para u , v en H .

Por lo tanto, A = T ² es un operador lineal autoadjunto compacto en H con

${\displaystyle (Au,u)=(Tu,Tu)=\|Tu\|^{2}\geq 0,}$

de modo que A es un operador positivo. Por el teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos, existe una base ortonormal u _n de H que consta de vectores propios de A :

${\displaystyle Au_{n}=\mu _{n}u_{n},}$

donde μ _n no es negativo por la positividad de A . Por lo tanto

${\displaystyle \mu _{n}=\lambda _{n}^{2}}$

con λ _n ≥ 0. Puesto que T conmuta con A , deja sus espacios propios invariantes. La relación de positividad muestra que actúa trivialmente en el espacio propio cero. Los demás espacios propios distintos de cero son todos de dimensión finita y mutuamente ortogonales. Por lo tanto, se puede elegir una base ortonormal en cada espacio propio de modo que:

${\displaystyle Tu_{n}=\lambda _{n}u_{n}.}$

(Nótese que por antilinealidad de T .)${\displaystyle T(iu_{n})=-\lambda _{n}iu_{n}}$

_{Los λ n} distintos de cero (o a veces sus recíprocos) se denominan valores propios de Fredholm de Ω:

${\displaystyle 0\leq \lambda _{n}\leq \|T\|\leq 1.}$

Si Ω es un dominio acotado que no es un disco, Ahlfors demostró que

${\displaystyle \|T_{\Omega }\|<1.}$

El determinante de Fredholm para el dominio Ω está definido por ^{[6] [7]}

${\displaystyle \Delta _{\Omega }=\det(I-T_{\Omega }^{2})=\prod (1-\lambda _{n}^{2}).}$

Tenga en cuenta que esto tiene sentido porque A = T ² es un operador de clase de seguimiento .

Schiffer y Hawley (1962) demostraron que si y f fija 0, entonces ^{[8] [9]}${\displaystyle 0\in \Omega }$

${\displaystyle \Delta _{\Omega }=-{\frac {1}{12\pi }}\left[\|\partial _{z}\log f'\|_{D}^{2}+\|\partial _{z}\log g'\|_{D^{c}}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {f(z)}{z}}\right\|_{D}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {g(z)}{z}}\right\|_{D^{c}}^{2}\right].}$

Aquí las normas están en los espacios de Bergman de D y su complemento D ^c y g es una función univalente de D ^c sobre Ω ^c que fija ∞.

Una fórmula similar se aplica en el caso de un par de funciones univalentes (ver más abajo).

Sea Ω un dominio acotado simplemente conexo en C con borde liso C = ∂Ω. Por lo tanto, existe una función holomorfa univalente f desde el disco unitario D sobre Ω que se extiende hasta una función lisa entre los bordes S ¹ y C .

• Ahlfors, Lars V. (1952), "Observaciones sobre la ecuación integral de Neumann-Poincaré", Pacific J. Math. , 2 (3): 271–280, doi : 10.2140/pjm.1952.2.271
• Ahlfors, Lars V. (1966), Conferencias sobre aplicaciones cuasiconformales , Van Nostrand
• Ahlfors, Lars V. (2010), Invariantes conformes. Temas de teoría de funciones geométricas. Reimpresión del original de 1973. Con prólogo de Peter Duren, FW Gehring y Brad Osgood , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
• Astala, Kari; Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2009), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas y aplicaciones cuasiconformales en el plano , Princeton mathematics series, vol. 48, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13777-3
• Baranov, A.; Hedenmalm, H. (2008), "Propiedades de contorno de funciones de Green en el plano", Duke Math. J. , 145 : 1–24, arXiv : math/0608493 , doi : 10.1215/00127094-2008-044, S2CID  53692019
• Bell, SR (1992), La transformada de Cauchy, teoría del potencial y mapeo conforme , Estudios en Matemáticas Avanzadas, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8270-3
• Bell, SR (2016), La transformada de Cauchy, la teoría del potencial y el mapeo conforme , Estudios en Matemáticas Avanzadas (2.ª ed.), CRC Press, ISBN 9781498727211
• Bergman, S.; Schiffer, M. (1951), "Funciones de núcleo y mapeo conforme", Compositio Mathematica , 8 : 205–249
• Duren, PL (1983), Funciones univalentes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 259, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90795-6
• Gakhov, FD (1990), Problemas de valores de frontera. Reimpresión de la traducción de 1966 , Dover Publications, ISBN 978-0-486-66275-6
• Garnett, JB (2007), Funciones analíticas acotadas , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 236, Springer, ISBN 978-0-387-33621-3
• Goluzin, GM (1969), Teoría geométrica de funciones de una variable compleja , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 26, American Mathematical Society
• Gong, Sheng (1999), La conjetura de Bieberbach , AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, vol. 12, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0655-5
• Grinshpan, AZ (1999), "La conjetura de Bieberbach y los funcionales de Milin", The American Mathematical Monthly , 106 (3): 203–214, doi :10.2307/2589676, JSTOR  2589676, MR  1682341
• Grinshpan, Arcadii Z. (2002), "Geometría logarítmica, exponenciación y límites de coeficientes en la teoría de funciones univalentes y dominios no superpuestos", en Kuhnau, Reiner (ed.), Teoría de funciones geométricas , Manual de análisis complejo, vol. 1, Ámsterdam : Holanda Septentrional , págs. 273–332, ISBN 978-0-444-82845-3, MR  1966197, Zbl  1083.30017.
• Grunsky, Helmut (1939), "Koeffizientenbedingungen für schlicht abbildende meromorphe Funktionen", Mathematische Zeitschrift , 45 (1): 29–61, doi :10.1007/BF01580272, ISSN  0025-5874, S2CID  123606166
• Grunsky, Helmut (1978), Lecciones sobre teoría de funciones en dominios conexos múltiples , Studia Mathematica, vol. 4, Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 978-3-525-40142-2
• Hayman, WK (1994), "Teorema de De Branges", Funciones multivalentes , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 110 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0521460263
• Khavinson, D.; Putinar, M.; Shapiro, HS (2007), "El problema variacional de Poincaré en la teoría del potencial", Arch. Ration. Mech. Anal. , 185 (1): 143–184, Bibcode :2007ArRMA.185..143K, CiteSeerX  10.1.1.569.7145 , doi :10.1007/s00205-006-0045-1, S2CID  855706
• Koepf, W. (2007), "La conjetura de Bieberbach, las funciones de De Branges y Weinstein y la desigualdad de Askey-Gasper" (PDF) , The Ramanujan Journal , 13 (1–3): 103–129, doi :10.1007/s11139-006-0244-2, S2CID  16263023
• Milin, IM (1977), Funciones univalentes y sistemas ortonormales , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 49, American Mathematical Society
• Neretin, YA (1996), Categorías de simetrías y grupos de dimensión infinita , Monografías de la London Mathematical Society, vol. 16, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-851186-1
• Nikolski, NK (2002), Operadores, funciones y sistemas: una lectura fácil, vol. 1: Hardy, Hankel y Toeplitz , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 92, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1083-5
• Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck y Ruprecht
• Schiffer, M. (1948), "Polinomios de Faber en la teoría de funciones univalentes", Bull. Amer. Math. Soc. , 54 (6): 503–517, doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09027-9
• Schiffer, M. (1957), "Los valores propios de Fredholm de dominios planos", Pacific J. Math. , 7 (2): 1187–1225, doi : 10.2140/pjm.1957.7.1187
• Schiffer, M. (1959), "Valores propios de Fredholm de dominios conectados de forma múltiple", Pacific J. Math. , 9 : 211–269, doi : 10.2140/pjm.1959.9.211
• Schiffer, M.; Hawley, NS (1962), "Conexiones y mapeo conforme", Acta Math. , 107 (3–4): 175–274, doi : 10.1007/bf02545790
• Schiffer, M. (1981), "Valores propios de Fredholm y matrices de Grunsky", Ann. Polon. Math. , 39 : 149–164, doi : 10.4064/ap-39-1-149-164
• Schur, I. (1945), "Sobre los polinomios de Faber", Amer. J. Math. , 67 (1): 33–41, doi :10.2307/2371913, JSTOR  2371913
• Shapiro, HS (1992), La función de Schwarz y su generalización a dimensiones superiores , University of Arkansas Lecture Notes in the Mathematical Sciences, vol. 9, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-57127-8
• Takhtajan, Leon A. ; Teo, Lee-Peng (2006), "Métrica de Weil–Petersson en el espacio universal de Teichmüller", Mem. Amer. Math. Soc. , 183
• Widom, H. (1988), "Sobre una desigualdad de Osgood, Phillips y Sarnak", Proc. Amer. Math. Soc. , 102 (3): 773–774, doi : 10.1090/s0002-9939-1988-0929019-3