Filtro k constante

Los filtros k constantes , también llamados filtros de tipo k , son un tipo de filtro electrónico diseñado mediante el método de imágenes . Son los filtros originales y más simples producidos mediante esta metodología y consisten en una red en escalera de secciones idénticas de componentes pasivos . Históricamente, son los primeros filtros que podían acercarse a la respuesta de frecuencia ideal del filtro dentro de cualquier límite prescrito con la adición de un número suficiente de secciones. Sin embargo, rara vez se los considera para un diseño moderno, ya que los principios en los que se basan han sido reemplazados por otras metodologías que son más precisas en su predicción de la respuesta del filtro.

Los filtros de k constante fueron inventados por George Campbell . Publicó su trabajo en 1922, ^[1] pero claramente había inventado los filtros algún tiempo antes, ^[2] ya que su colega en AT&T Co , Otto Zobel , ya estaba haciendo mejoras al diseño en ese momento. Los filtros de Campbell eran muy superiores a los circuitos de un solo elemento más simples que se habían utilizado anteriormente. Campbell llamó a sus filtros filtros de ondas eléctricas, pero este término más tarde pasó a significar cualquier filtro que deje pasar ondas de algunas frecuencias pero no de otras. Posteriormente se inventaron muchas formas nuevas de filtro de ondas; una variación temprana (e importante) fue el filtro derivado de m de Zobel, quien acuñó el término k constante para el filtro Campbell con el fin de distinguirlos. ^[3]

La gran ventaja de los filtros de Campbell sobre el circuito RL y otros filtros simples de la época era que podían diseñarse para cualquier grado deseado de rechazo de banda de rechazo o inclinación de transición entre banda de paso y banda de rechazo. Solo era necesario agregar más secciones de filtro hasta obtener la respuesta deseada. ^[4]

Los filtros fueron diseñados por Campbell con el propósito de separar canales telefónicos multiplexados en líneas de transmisión , pero su uso posterior ha sido mucho más extendido que eso. Las técnicas de diseño utilizadas por Campbell han sido reemplazadas en gran medida. Sin embargo, la topología de escalera utilizada por Campbell con la constante k todavía se usa hoy en día con implementaciones de diseños de filtros modernos como el filtro Tchebyscheff . Campbell proporcionó diseños de k constante para filtros de paso bajo , paso alto y paso banda . También son posibles los filtros de banda supresora y de múltiples bandas. ^[5]

Algunos de los términos de impedancia y sección utilizados en este artículo se muestran en el diagrama siguiente. La teoría de imágenes define cantidades en términos de una cascada infinita de secciones de dos puertos y, en el caso de los filtros que se analizan, una red en escalera infinita de secciones L. Aquí, "L" no debe confundirse con la inductancia L ; en la topología de filtros electrónicos , "L" se refiere a la forma específica del filtro que se asemeja a la letra "L" invertida.

Las secciones del filtro infinito hipotético están formadas por elementos en serie que tienen una impedancia de 2 Z y elementos en derivación con una admitancia de 2 Y . El factor de dos se introduce por conveniencia matemática, ya que es habitual trabajar en términos de medias secciones donde desaparece. La impedancia de imagen del puerto de entrada y de salida de una sección generalmente no será la misma. Sin embargo, para una sección de mitad de serie (es decir, una sección desde la mitad de un elemento en serie hasta la mitad del siguiente elemento en serie) tendrá la misma impedancia de imagen en ambos puertos debido a la simetría. Esta impedancia de imagen se designa debido a la topología " " de una sección de mitad de serie. Del mismo modo, la impedancia de imagen de una sección de mitad de derivación se designa debido a la topología " ". La mitad de una o sección de este tipo se denomina media sección , que también es una sección en L pero con la mitad de los valores de los elementos de la sección en L completa. La impedancia de imagen de la semisección es diferente en los puertos de entrada y de salida: en el lado que presenta el elemento en serie es igual a la mitad de la serie , pero en el lado que presenta el elemento en derivación es igual a la mitad de la derivación . Por lo tanto, existen dos formas variantes de utilizar una semisección.ZiTTZiΠΠ"T""Π"ZiTZiΠ

Partes de este artículo o sección se basan en el conocimiento del lector de la representación de impedancia compleja de capacitores e inductores y del conocimiento de la representación de señales en el dominio de frecuencia .

El bloque de construcción de los filtros de k constante es la red de media sección "L", compuesta por una impedancia en serie Z y una admitancia en derivación Y. La "k" en "k constante" es el valor dado por, ^[6]

${\displaystyle k^{2}={\frac {Z}{Y}}}$

Por lo tanto, k tendrá unidades de impedancia, es decir, ohmios . Es evidente que para que k sea constante, Y debe ser la impedancia dual de Z. Se puede dar una interpretación física de k observando que k es el valor límite de Z _i a medida que el tamaño de la sección (en términos de valores de sus componentes, como inductancias, capacitancias, etc.) se acerca a cero, mientras que k se mantiene en su valor inicial. Por lo tanto, k es la impedancia característica , Z ₀ , de la línea de transmisión que estaría formada por estas secciones infinitesimalmente pequeñas. ^{[7] [8] [9]} También es la impedancia imagen de la sección en resonancia , en el caso de filtros de paso de banda, o en ω = 0 en el caso de filtros de paso bajo. ^[10] Por ejemplo, la semisección de paso bajo ilustrada tiene

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$.

Los elementos L y C pueden hacerse arbitrariamente pequeños manteniendo el mismo valor de k . Sin embargo, Z e Y se están acercando a cero y, a partir de las fórmulas (a continuación) para impedancias de imagen,

Las impedancias de imagen de la sección están dadas por ^[11]

${\displaystyle {Z_{\mathrm {iT} }}^{2}=Z^{2}+k^{2}}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{{Z_{\mathrm {i\Pi } }}^{2}}}={Y_{\mathrm {i\Pi } }}^{2}=Y^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}$

Dado que el filtro no contiene ningún elemento resistivo, la impedancia de imagen en la banda de paso del filtro es puramente real y en la banda de rechazo es puramente imaginaria . Por ejemplo, para la semisección de paso bajo ilustrada, ^[12]

${\displaystyle {Z_{\mathrm {iT} }}^{2}=-(\omega L)^{2}+{\frac {L}{C}}}$

La transición ocurre en una frecuencia de corte dada por

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

Por debajo de esta frecuencia , la impedancia de la imagen es real.

${\displaystyle Z_{\mathrm {iT} }=L{\sqrt {\omega _{c}^{2}-\omega ^{2}}}}$

Por encima de la frecuencia de corte, la impedancia de la imagen es imaginaria,

${\displaystyle Z_{\mathrm {iT} }=iL{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{c}^{2}}}}$

Los parámetros de transmisión para una semisección k constante general se dan en ^[13]

${\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\frac {Z}{k}}}$

y para una cadena de n semisecciones

${\displaystyle \gamma _{n}=n\gamma \,\!}$

Para la sección en forma de L de paso bajo, por debajo de la frecuencia de corte, los parámetros de transmisión se dan por ^[11]

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =0+i\sin ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}}$

Es decir, la transmisión es sin pérdidas en la banda de paso, y solo cambia la fase de la señal. Por encima de la frecuencia de corte, los parámetros de transmisión son: ^[11]

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =\cosh ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}+i{\frac {\pi }{2}}}$

Los gráficos presentados de impedancia de imagen, atenuación y cambio de fase corresponden a una sección de filtro prototipo de paso bajo . El prototipo tiene una frecuencia de corte de ω _c = 1 rad/s y una impedancia nominal k = 1 Ω. Esto se produce mediante una sección de filtro de media pulgada con inductancia L = 1 henry y capacitancia C = 1 faradio . Este prototipo puede escalarse en impedancia y frecuencia a los valores deseados. El prototipo de paso bajo también puede transformarse en tipos de paso alto, paso de banda o supresor de banda mediante la aplicación de transformaciones de frecuencia adecuadas . ^[14]

Varias semisecciones en forma de L pueden conectarse en cascada para formar un filtro compuesto. En estas combinaciones, la misma impedancia siempre debe encontrarse enfrentada a la misma. Por lo tanto, se pueden formar dos circuitos con dos semisecciones idénticas en forma de L. Cuando un puerto de impedancia de imagen Z_iT se encuentra enfrentado a otro Z_iT , la sección se denomina sección Π. Cuando Z_iΠ se encuentra enfrentado a Z,_iΠ la sección así formada es una sección en T. La adición de otras semisecciones a cualquiera de estas secciones forma una red en escalera que puede comenzar y terminar con elementos en serie o en derivación. ^[15]

Hay que tener en cuenta que las características del filtro predichas por el método de imagen sólo son precisas si la sección termina con su impedancia de imagen. Esto no suele ser así en el caso de las secciones de los extremos, que suelen terminar con una resistencia fija. Cuanto más alejada esté la sección del extremo del filtro, más precisa será la predicción, ya que los efectos de las impedancias de terminación quedan enmascarados por las secciones intermedias. ^[16]

Secciones de filtros de imagen
	Desequilibrado L Media sección Sección T Sección Π Red de escalera
	Equilibrado C Media sección Sección H Sección de caja Red de escalera Sección X (derivada de T media) Sección X (derivada de la mitad de la línea Π)
NÓTESE BIEN Los libros de texto y los dibujos de diseño generalmente muestran las implementaciones no balanceadas, pero en telecomunicaciones a menudo es necesario convertir el diseño a la implementación balanceada cuando se utiliza con líneas balanceadas . editar

• Impedancia de la imagen
• filtro derivado de m
• Filtro tipo mm
• Filtro de imagen compuesta

• Bray, J., Innovación y la revolución de las comunicaciones , Instituto de Ingenieros Eléctricos, 2002.
• Matthaei, G.; Young, L.; Jones, EMT, Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento McGraw-Hill 1964.
• Zobel, OJ, Teoría y diseño de filtros de ondas eléctricas uniformes y compuestos , Bell System Technical Journal, Vol. 2 (1923), págs. 1–46.
• Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew, The Feynman Lectures on Physics, Vol. II , Capítulo 22. Circuitos de CA, Sección 6. Una red en escalera, Instituto Tecnológico de California – edición HTML.

Para un tratamiento más sencillo del análisis véase,

• Ghosh, Smarajit (2005), Teoría de redes: análisis y síntesis, Nueva Delhi: Prentice Hall of India, págs. 544–563, ISBN 81-203-2638-5