Geometría diferencial

Geometría
Proyectar una esfera a un plano
Sucursales Euclidiano No euclidiano Elíptico Esférico Hiperbólico Geometría no arquimediana Descriptivo Afín Sintético Analítico Algebraico Aritmética Diofántico Diferencial Riemanniano Simpléctico Diferencial discreto Complejo Finito Discreto/Combinatorio Digital Convexo Computacional Fractal Incidencia Geometría no conmutativa Geometría algebraica no conmutativa
Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Cero-dimensional Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Longitud
Bidimensional Avión Área Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de Pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapecio Cometa Círculo Diámetro Circunferencia Área
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Dodecaedro Icosaedro Octaedro Pirámide Sólido platónico Esfera Tetraedro
Cuatro - / otras dimensiones Teseracto Hiperesfera
Geometrias
por nombre Aida Ariabhata Ahmes Alhazen Apolonio Arquímedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahma-upta Cartan Querido Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Grómov Hilbert Huygens Jyeṣṭhadeva Katyayana Khayyám Pequeño Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi Al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui Al-Yasamin Zhang Lista de geómetras
por periodo AEC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquímedes Apolonio 1-1400 Zhang Katyayana Ariabhata Brahma-upta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám Al-Yasamin Al-Tusi Yang Hui Parameshvara Década de 1400–1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Huygens Minggatu Euler Sakabe Aida Década de 1700 a 1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Pequeño Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Querido En la actualidad Atiyah Grómov
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La geometría diferencial es una disciplina matemática que estudia la geometría de formas y espacios suaves, también conocidos como variedades suaves . Utiliza las técnicas del cálculo diferencial , el cálculo integral , el álgebra lineal y el álgebra multilineal . El campo tiene sus orígenes en el estudio de la geometría esférica desde la antigüedad . También se relaciona con la astronomía , la geodesia de la Tierra y, más tarde, el estudio de la geometría hiperbólica por Lobachevsky . Los ejemplos más simples de espacios suaves son las curvas y superficies planas y espaciales en el espacio euclidiano tridimensional , y el estudio de estas formas formó la base para el desarrollo de la geometría diferencial moderna durante los siglos XVIII y XIX.

Desde finales del siglo XIX, la geometría diferencial se ha convertido en un campo que se ocupa de manera más general de las estructuras geométricas en variedades diferenciables . Una estructura geométrica es aquella que define alguna noción de tamaño, distancia, forma, volumen u otra estructura rigidizadora. Por ejemplo, en la geometría de Riemann se especifican las distancias y los ángulos, en la geometría simpléctica se pueden calcular los volúmenes, en la geometría conforme solo se especifican los ángulos y en la teoría de gauge se dan ciertos campos sobre el espacio. La geometría diferencial está estrechamente relacionada con la topología diferencial , y a veces se considera que la incluye , que se ocupa de las propiedades de las variedades diferenciables que no dependen de ninguna estructura geométrica adicional (consulte ese artículo para obtener más información sobre la distinción entre los dos temas). La geometría diferencial también está relacionada con los aspectos geométricos de la teoría de ecuaciones diferenciales , también conocida como análisis geométrico .

La geometría diferencial se aplica en las matemáticas y las ciencias naturales . El lenguaje de la geometría diferencial fue utilizado principalmente por Albert Einstein en su teoría de la relatividad general y, posteriormente, por los físicos en el desarrollo de la teoría cuántica de campos y el modelo estándar de física de partículas . Fuera de la física, la geometría diferencial se aplica en la química , la economía , la ingeniería , la teoría de control , los gráficos por ordenador y la visión artificial , y recientemente en el aprendizaje automático .

La historia y el desarrollo de la geometría diferencial como disciplina se remontan al menos a la antigüedad clásica . Está íntimamente ligada al desarrollo de la geometría en general, de la noción de espacio y forma, y ​​de la topología , especialmente el estudio de las variedades . En esta sección nos centramos principalmente en la historia de la aplicación de los métodos infinitesimales a la geometría, y más tarde en las ideas de espacios tangentes , y finalmente en el desarrollo del formalismo moderno de la disciplina en términos de tensores y campos tensoriales .

El estudio de la geometría diferencial, o al menos el estudio de la geometría de formas suaves, se remonta al menos a la antigüedad clásica . En particular, se sabía mucho sobre la geometría de la Tierra , una geometría esférica , en la época de los antiguos matemáticos griegos . Famosamente, Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra alrededor del 200 a. C., y alrededor del 150 d. C. Ptolomeo en su Geografía introdujo la proyección estereográfica con el fin de mapear la forma de la Tierra. ^[1] Implícitamente, durante todo este tiempo, los principios que forman la base de la geometría diferencial y el cálculo se utilizaron en geodesia , aunque de una forma mucho más simplificada. Es decir, ya en los Elementos de Euclides se entendía que una línea recta podía definirse por su propiedad de proporcionar la distancia más corta entre dos puntos, y la aplicación de este mismo principio a la superficie de la Tierra conduce a la conclusión de que los círculos máximos , que solo son localmente similares a las líneas rectas en un plano, proporcionan el camino más corto entre dos puntos en la superficie de la Tierra. De hecho, las mediciones de distancia a lo largo de tales trayectorias geodésicas realizadas por Eratóstenes y otros pueden considerarse una medida rudimentaria de la longitud de arco de las curvas, un concepto que no tuvo una definición rigurosa en términos de cálculo hasta el siglo XVII.

En esa época, la teoría de los infinitesimales sólo se aplicaba mínimamente al estudio de la geometría, lo que la convirtió en precursora del estudio moderno de la materia basado en el cálculo. En los Elementos de Euclides se analiza la noción de tangencia de una línea a un círculo, y Arquímedes aplicó el método de agotamiento para calcular las áreas de formas suaves como el círculo y los volúmenes de sólidos tridimensionales suaves como la esfera, los conos y los cilindros. ^[1]

Hubo poco desarrollo en la teoría de la geometría diferencial entre la Antigüedad y el comienzo del Renacimiento . Antes del desarrollo del cálculo por Newton y Leibniz , el desarrollo más significativo en la comprensión de la geometría diferencial provino del desarrollo de la proyección de Mercator por parte de Gerardus Mercator como una forma de cartografiar la Tierra. Mercator comprendía las ventajas y desventajas de su diseño de mapas, y en particular era consciente de la naturaleza conforme de su proyección, así como de la diferencia entre praga , las líneas de distancia más corta en la Tierra, y las directio , las trayectorias en línea recta en su mapa. Mercator notó que las praga eran curvaturas oblicuas en esta proyección. ^[1] Este hecho refleja la falta de un mapa que preservara la métrica de la superficie de la Tierra sobre un plano, una consecuencia del posterior Theorema Egregium de Gauss .

El primer tratamiento sistemático o riguroso de la geometría utilizando la teoría de los infinitesimales y nociones del cálculo comenzó alrededor del siglo XVII, cuando Gottfried Leibniz e Isaac Newton desarrollaron por primera vez el cálculo . En esta época, el trabajo reciente de René Descartes introduciendo coordenadas analíticas a la geometría permitió que se describieran rigurosamente formas geométricas de creciente complejidad. En particular, en esta época, Pierre de Fermat , Newton y Leibniz comenzaron el estudio de las curvas planas y la investigación de conceptos como puntos de inflexión y círculos de osculación , que ayudan en la medición de la curvatura . De hecho, ya en su primer artículo sobre los fundamentos del cálculo, Leibniz señala que la condición infinitesimal indica la existencia de un punto de inflexión. Poco después de esta época, los hermanos Bernoulli , Jacob y Johann hicieron importantes contribuciones tempranas al uso de infinitesimales para estudiar la geometría. En las lecciones que dio Johann Bernoulli en esa época, recopiladas más tarde por L'Hôpital en el primer libro de texto sobre cálculo diferencial , se calculan las tangentes a curvas planas de varios tipos utilizando la condición y, de manera similar, se calculan los puntos de inflexión. ^[1] En esta misma época se descubre la ortogonalidad entre los círculos osculadores de una curva plana y las direcciones tangentes, y se escribe la primera fórmula analítica para el radio de un círculo osculador, esencialmente la primera fórmula analítica para la noción de curvatura .${\displaystyle d^{2}y=0}$${\displaystyle dy=0}$

A raíz del desarrollo de la geometría analítica y las curvas planas, Alexis Clairaut comenzó el estudio de las curvas espaciales a la edad de 16 años. ^{[2] [1]} En su libro, Clairaut introdujo la noción de direcciones tangentes y subtangentes a las curvas espaciales en relación con las direcciones que se encuentran a lo largo de una superficie sobre la que se encuentra la curva espacial. De este modo, Clairaut demostró una comprensión implícita del espacio tangente de una superficie y estudió esta idea utilizando el cálculo por primera vez. Es importante destacar que Clairaut introdujo la terminología de curvatura y doble curvatura , esencialmente la noción de curvaturas principales estudiadas más tarde por Gauss y otros.

Por esta misma época, Leonhard Euler , originalmente un estudiante de Johann Bernoulli, proporcionó muchas contribuciones significativas no solo al desarrollo de la geometría, sino a las matemáticas en general. ^[3] Con respecto a la geometría diferencial, Euler estudió la noción de una geodésica en una superficie derivando la primera ecuación geodésica analítica , y más tarde introdujo el primer conjunto de sistemas de coordenadas intrínsecas en una superficie, comenzando la teoría de la geometría intrínseca en la que se basan las ideas geométricas modernas. ^[1] Por esta época, el estudio de la mecánica de Euler en Mechanica condujo a la comprensión de que una masa que viaja a lo largo de una superficie no bajo el efecto de ninguna fuerza atravesaría una trayectoria geodésica, un precursor temprano de las importantes ideas fundamentales de la relatividad general de Einstein , y también de las ecuaciones de Euler-Lagrange y la primera teoría del cálculo de variaciones , que sustenta en la geometría diferencial moderna muchas técnicas en geometría simpléctica y análisis geométrico . Esta teoría fue utilizada por Lagrange , uno de los creadores del cálculo de variaciones, para derivar la primera ecuación diferencial que describe una superficie mínima en términos de la ecuación de Euler-Lagrange. En 1760, Euler demostró un teorema que expresa la curvatura de una curva espacial sobre una superficie en términos de las curvaturas principales, conocido como teorema de Euler .

Más tarde, en el siglo XVIII, la nueva escuela francesa dirigida por Gaspard Monge comenzó a realizar contribuciones a la geometría diferencial. Monge realizó importantes contribuciones a la teoría de curvas planas, superficies y estudió superficies de revolución y envolventes de curvas planas y curvas espaciales. Varios estudiantes de Monge hicieron contribuciones a esta misma teoría y, por ejemplo, Charles Dupin proporcionó una nueva interpretación del teorema de Euler en términos del principio de curvaturas, que es la forma moderna de la ecuación. ^[1]

El campo de la geometría diferencial se convirtió en un área de estudio considerada por derecho propio, distinta de la idea más amplia de la geometría analítica, en el siglo XIX, principalmente a través del trabajo fundacional de Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann , y también en las importantes contribuciones de Nikolai Lobachevsky sobre la geometría hiperbólica y la geometría no euclidiana y, durante el mismo período, el desarrollo de la geometría proyectiva .

Considerada como la obra más importante en la historia de la geometría diferencial, ^[4] en 1827 Gauss produjo las Disquisitiones generales circa superficies curvas detallando la teoría general de superficies curvas. ^{[5] [4] [6]} En este trabajo y sus artículos posteriores y notas inéditas sobre la teoría de superficies, Gauss ha sido apodado el inventor de la geometría no euclidiana y el inventor de la geometría diferencial intrínseca. ^[6] En su artículo fundamental, Gauss introdujo el mapa de Gauss , la curvatura gaussiana , la primera y segunda formas fundamentales , demostró el Theorema Egregium que muestra la naturaleza intrínseca de la curvatura gaussiana y estudió geodésicas, calculando el área de un triángulo geodésico en varias geometrías no euclidianas sobre superficies.

En esa época, Gauss ya opinaba que el paradigma estándar de la geometría euclidiana debía descartarse, y estaba en posesión de manuscritos privados sobre geometría no euclidiana que informaban su estudio de los triángulos geodésicos. ^{[6] [7]} En esa misma época, János Bolyai y Lobachevsky descubrieron de forma independiente la geometría hiperbólica y demostraron así la existencia de geometrías consistentes fuera del paradigma de Euclides. Eugenio Beltrami produjo modelos concretos de geometría hiperbólica más tarde en la década de 1860, y Felix Klein acuñó el término geometría no euclidiana en 1871, y a través del programa de Erlangen puso las geometrías euclidianas y no euclidianas en el mismo pie de igualdad. ^[8] Implícitamente, la geometría esférica de la Tierra que se había estudiado desde la antigüedad era una geometría no euclidiana, una geometría elíptica .

El desarrollo de la geometría diferencial intrínseca en el lenguaje de Gauss fue impulsado por su alumno, Bernhard Riemann en su Habilitationsschrift , Sobre las hipótesis que se encuentran en el fundamento de la geometría . ^[9] En esta obra Riemann introdujo la noción de una métrica de Riemann y el tensor de curvatura de Riemann por primera vez, y comenzó el estudio sistemático de la geometría diferencial en dimensiones superiores. Este punto de vista intrínseco en términos de la métrica de Riemann, denotado por Riemann, fue el desarrollo de una idea de Gauss sobre el elemento lineal de una superficie. En esta época Riemann comenzó a introducir el uso sistemático del álgebra lineal y el álgebra multilineal en la materia, haciendo un gran uso de la teoría de las formas cuadráticas en su investigación de la métrica y la curvatura. En ese momento, Riemann aún no había desarrollado la noción moderna de variedad, ya que ni siquiera se había encontrado la noción de espacio topológico , pero sí propuso que podría ser posible investigar o medir las propiedades de la métrica del espacio-tiempo a través del análisis de masas dentro del espacio-tiempo, enlazándose con la observación anterior de Euler de que las masas bajo el efecto de ninguna fuerza viajarían a lo largo de geodésicas en superficies, y prediciendo la observación fundamental de Einstein del principio de equivalencia 60 años antes de que apareciera en la literatura científica. ^{[6] [4]}${\displaystyle ds^{2}}$${\displaystyle ds}$

A raíz de la nueva descripción de Riemann, el enfoque de las técnicas utilizadas para estudiar la geometría diferencial cambió de los métodos ad hoc y extrínsecos del estudio de curvas y superficies a un enfoque más sistemático en términos de cálculo tensorial y el programa Erlangen de Klein, y el progreso aumentó en el campo. La noción de grupos de transformaciones fue desarrollada por Sophus Lie y Jean Gaston Darboux , lo que condujo a resultados importantes en la teoría de grupos de Lie y geometría simpléctica . La noción de cálculo diferencial en espacios curvos fue estudiada por Elwin Christoffel , quien introdujo los símbolos de Christoffel que describen la derivada covariante en 1868, y por otros, incluido Eugenio Beltrami , quien estudió muchas cuestiones analíticas sobre variedades. ^[10] En 1899 Luigi Bianchi publicó sus Lecciones sobre geometría diferencial que estudiaba la geometría diferencial desde la perspectiva de Riemann, y un año después Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro produjeron su libro de texto desarrollando sistemáticamente la teoría del cálculo diferencial absoluto y el cálculo tensorial . ^{[11] [4]} Fue en este lenguaje que Einstein utilizó la geometría diferencial en el desarrollo de la relatividad general y la geometría pseudo-riemanniana .

El tema de la geometría diferencial moderna surgió a principios del siglo XX como respuesta a las contribuciones fundamentales de muchos matemáticos, incluido, de manera importante, el trabajo de Henri Poincaré sobre los fundamentos de la topología . ^[12] A principios del siglo XX hubo un movimiento importante dentro de las matemáticas para formalizar los aspectos fundamentales de la materia para evitar crisis de rigor y precisión, conocido como el programa de Hilbert . Como parte de este movimiento más amplio, la noción de un espacio topológico fue destilada por Felix Hausdorff en 1914, y en 1942 había muchas nociones diferentes de variedad de naturaleza combinatoria y diferencial-geométrica. ^[12]

El interés en el tema también se centró en la aparición de la teoría de la relatividad general de Einstein y la importancia de las ecuaciones de campo de Einstein. La teoría de Einstein popularizó el cálculo tensorial de Ricci y Levi-Civita e introdujo la notación para una métrica de Riemann y para los símbolos de Christoffel, ambos provenientes de G en Gravitación . Élie Cartan ayudó a reformular los fundamentos de la geometría diferencial de variedades suaves en términos de cálculo exterior y la teoría de marcos móviles , lo que llevó en el mundo de la física a la teoría de Einstein-Cartan . ^{[13] [4]}${\displaystyle g}$${\displaystyle \Gamma }$

Después de este desarrollo temprano, muchos matemáticos contribuyeron al desarrollo de la teoría moderna, incluyendo a Jean-Louis Koszul , quien introdujo conexiones en fibrados vectoriales , Shiing-Shen Chern, quien introdujo clases características al tema y comenzó el estudio de variedades complejas , Sir William Vallance Douglas Hodge y Georges de Rham, quienes ampliaron la comprensión de las formas diferenciales , Charles Ehresmann, quien introdujo la teoría de fibrados y conexiones de Ehresmann , y otros. ^{[13] [4]} De particular importancia fue Hermann Weyl , quien hizo importantes contribuciones a los fundamentos de la relatividad general, introdujo el tensor de Weyl, proporcionando información sobre la geometría conforme , y definió por primera vez la noción de calibre, lo que condujo al desarrollo de la teoría de calibre en física y matemáticas .

A mediados y finales del siglo XX, la geometría diferencial como disciplina se expandió en alcance y desarrolló vínculos con otras áreas de las matemáticas y la física. El desarrollo de la teoría de gauge y la teoría de Yang-Mills en física puso de relieve los haces y las conexiones, lo que llevó a desarrollos en la teoría de gauge . Se investigaron muchos resultados analíticos, incluida la prueba del teorema del índice de Atiyah-Singer . El desarrollo de la geometría compleja fue impulsado por resultados paralelos en geometría algebraica , y los resultados en la geometría y el análisis global de variedades complejas fueron demostrados por Shing-Tung Yau y otros. En la segunda mitad del siglo XX se desarrollaron nuevas técnicas analíticas con respecto a los flujos de curvatura, como el flujo de Ricci , que culminó en la prueba de Grigori Perelman de la conjetura de Poincaré . Durante este mismo período, principalmente debido a la influencia de Michael Atiyah , se formaron nuevos vínculos entre la física teórica y la geometría diferencial. Los matemáticos utilizaron técnicas derivadas del estudio de las ecuaciones de Yang-Mills y la teoría de gauge para desarrollar nuevos invariantes de variedades suaves. Físicos como Edward Witten , el único físico que recibió una medalla Fields , tuvieron un impacto nuevo en las matemáticas al utilizar la teoría cuántica de campos topológica y la teoría de cuerdas para hacer predicciones y proporcionar marcos para nuevas matemáticas rigurosas, lo que ha dado como resultado, por ejemplo, la simetría especular conjetural y los invariantes de Seiberg-Witten .

La geometría de Riemann estudia las variedades de Riemann , variedades suaves con una métrica de Riemann . Este es un concepto de distancia expresado por medio de una forma bilineal simétrica definida positiva suave definida en el espacio tangente en cada punto. La geometría de Riemann generaliza la geometría euclidiana a espacios que no son necesariamente planos, aunque todavía se parecen al espacio euclidiano en cada punto infinitesimalmente, es decir, en el primer orden de aproximación . Varios conceptos basados ​​en la longitud, como la longitud del arco de las curvas, el área de las regiones planas y el volumen de los sólidos, poseen análogos naturales en la geometría de Riemann. La noción de derivada direccional de una función del cálculo multivariable se extiende a la noción de derivada covariante de un tensor . Muchos conceptos de análisis y ecuaciones diferenciales se han generalizado al contexto de las variedades de Riemann.

Un difeomorfismo que preserva la distancia entre variedades de Riemann se llama isometría . Esta noción también se puede definir localmente , es decir, para pequeños vecindarios de puntos. Dos curvas regulares cualesquiera son localmente isométricas. Sin embargo, el Teorema Egregium de Carl Friedrich Gauss mostró que para las superficies, la existencia de una isometría local impone que las curvaturas gaussianas en los puntos correspondientes deben ser las mismas. En dimensiones superiores, el tensor de curvatura de Riemann es un invariante puntual importante asociado con una variedad de Riemann que mide qué tan cerca está de ser plana. Una clase importante de variedades de Riemann son los espacios simétricos de Riemann , cuya curvatura no es necesariamente constante. Estos son los análogos más cercanos al plano y al espacio "ordinarios" considerados en la geometría euclidiana y no euclidiana .

La geometría pseudoriemanniana generaliza la geometría riemanniana al caso en el que el tensor métrico no necesita ser definido positivo . Un caso especial de esto es una variedad lorentziana , que es la base matemática de la teoría de la relatividad general de la gravedad de Einstein .

La geometría de Finsler tiene como objeto principal de estudio las variedades de Finsler . Se trata de una variedad diferencial con una métrica de Finsler , es decir, una norma de Banach definida en cada espacio tangente. Las variedades de Riemann son casos especiales de las variedades de Finsler más generales. Una estructura de Finsler en una variedad es una función tal que:${\displaystyle M}$${\displaystyle F:\mathrm {T} M\to [0,\infty )}$

1. ${\displaystyle F(x,my)=mF(x,y)}$para todos y cada uno ,${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \mathrm {T} M}$${\displaystyle m\geq 0}$
2. ${\displaystyle F}$es infinitamente diferenciable en ,${\displaystyle \mathrm {T} M\setminus \{0\}}$
3. La hessiana vertical de es definida positiva.${\displaystyle F^{2}}$

La geometría simpléctica es el estudio de las variedades simplécticas . Una variedad casi simpléctica es una variedad diferenciable equipada con una forma bilineal antisimétrica no degenerada que varía suavemente en cada espacio tangente, es decir, una forma 2- no degenerada ω , llamada forma simpléctica . Una variedad simpléctica es una variedad casi simpléctica para la cual la forma simpléctica ω es cerrada: d ω = 0 .

Un difeomorfismo entre dos variedades simplécticas que preserva la forma simpléctica se llama simplectomorfismo . Las formas bilineales antisimétricas no degeneradas solo pueden existir en espacios vectoriales de dimensión par, por lo que las variedades simplécticas necesariamente tienen dimensión par. En dimensión 2, una variedad simpléctica es solo una superficie dotada de una forma de área y un simplécticomorfismo es un difeomorfismo que preserva el área. El espacio de fases de un sistema mecánico es una variedad simpléctica e hicieron una aparición implícita ya en el trabajo de Joseph Louis Lagrange sobre mecánica analítica y más tarde en las formulaciones de mecánica clásica de Carl Gustav Jacobi y William Rowan Hamilton .

En contraste con la geometría de Riemann, donde la curvatura proporciona un invariante local de las variedades de Riemann, el teorema de Darboux establece que todas las variedades simplécticas son localmente isomorfas. Los únicos invariantes de una variedad simpléctica son de naturaleza global y los aspectos topológicos juegan un papel destacado en la geometría simpléctica. El primer resultado en topología simpléctica es probablemente el teorema de Poincaré-Birkhoff , conjeturado por Henri Poincaré y luego demostrado por GD Birkhoff en 1912. Afirma que si una función que preserva el área de un anillo tuerce cada componente de contorno en direcciones opuestas, entonces la función tiene al menos dos puntos fijos. ^[14]

La geometría de contacto se ocupa de ciertas variedades de dimensión impar. Es cercana a la geometría simpléctica y, como esta última, se originó en cuestiones de mecánica clásica. Una estructura de contacto en una variedad de dimensión (2 n + 1) M está dada por un campo hiperplano suave H en el fibrado tangente que está lo más lejos posible de estar asociado con los conjuntos de nivel de una función diferenciable en M (el término técnico es "distribución hiperplana tangente completamente no integrable"). Cerca de cada punto p , una distribución hiperplana está determinada por una 1-forma que no se desvanece en ninguna parte , que es única hasta la multiplicación por una función que no se desvanece en ninguna parte:${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.}$

Una 1-forma local en M es una forma de contacto si la restricción de su derivada exterior a H es una biforma no degenerada y por lo tanto induce una estructura simpléctica en H _p en cada punto. Si la distribución H puede definirse por una uni-forma global , entonces esta forma es de contacto si y solo si la forma de dimensión superior${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}}$

es una forma de volumen en M , es decir, no se anula en ninguna parte. Se cumple un análogo de contacto del teorema de Darboux: todas las estructuras de contacto en una variedad de dimensión impar son localmente isomorfas y pueden llevarse a una cierta forma normal local mediante una elección adecuada del sistema de coordenadas.

La geometría diferencial compleja es el estudio de variedades complejas . Una variedad casi compleja es una variedad real , dotada de un tensor de tipo (1, 1), es decir, un endomorfismo de fibrado vectorial (llamado estructura casi compleja ).${\displaystyle M}$

${\displaystyle J:TM\rightarrow TM}$, de tal manera que${\displaystyle J^{2}=-1.\,}$

De esta definición se deduce que una variedad casi compleja es de dimensión par.

Una variedad casi compleja se llama compleja si , donde es un tensor de tipo (2, 1) relacionado con , llamado tensor de Nijenhuis (o a veces el tensor de torsión ). Una variedad casi compleja es compleja si y solo si admite un atlas de coordenadas holomorfas . Una estructura casi hermítica viene dada por una estructura casi compleja J , junto con una métrica riemanniana g , que satisface la condición de compatibilidad${\displaystyle N_{J}=0}$${\displaystyle N_{J}}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle g(JX,JY)=g(X,Y).\,}$

Una estructura casi hermítica define naturalmente una forma diferencial de dos

${\displaystyle \omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y).\,}$

Las dos condiciones siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle N_{J}=0{\mbox{ and }}d\omega =0\,}$
2. ${\displaystyle \nabla J=0\,}$

donde es la conexión de Levi-Civita de . En este caso, se denomina estructura de Kähler , y una variedad de Kähler es una variedad dotada de una estructura de Kähler. En particular, una variedad de Kähler es a la vez una variedad compleja y simpléctica . Una gran clase de variedades de Kähler (la clase de variedades de Hodge ) está dada por todas las variedades proyectivas complejas suaves .${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle g}$${\displaystyle (J,g)}$

La geometría CR es el estudio de la geometría intrínseca de los límites de los dominios en variedades complejas .

La geometría conforme es el estudio del conjunto de transformaciones que preservan los ángulos (conformes) en un espacio.

La topología diferencial es el estudio de invariantes geométricos globales sin forma métrica o simpléctica.

La topología diferencial comienza con operaciones naturales como la derivada de Lie de fibrados vectoriales naturales y la diferencial de De Rham de formas . Además de los álgebroides de Lie , también los álgebroides de Courant comienzan a desempeñar un papel más importante.

Un grupo de Lie es un grupo de la categoría de variedades suaves. Además de las propiedades algebraicas, también tiene propiedades geométricas diferenciales. La construcción más obvia es la de un álgebra de Lie, que es el espacio tangente en la unidad dotada del corchete de Lie entre cuerpos vectoriales invariantes por la izquierda . Además de la teoría de la estructura, también existe el amplio campo de la teoría de la representación .

El análisis geométrico es una disciplina matemática donde se utilizan herramientas de ecuaciones diferenciales, especialmente ecuaciones diferenciales parciales elípticas, para establecer nuevos resultados en geometría diferencial y topología diferencial.

La teoría de gauge es el estudio de las conexiones en fibrados vectoriales y fibrados principales, y surge de problemas de física matemática y teorías de gauge físicas que sustentan el modelo estándar de física de partículas . La teoría de gauge se ocupa del estudio de ecuaciones diferenciales para conexiones en fibrados, y los espacios de módulos geométricos resultantes de soluciones a estas ecuaciones, así como los invariantes que pueden derivarse de ellas. Estas ecuaciones a menudo surgen como ecuaciones de Euler-Lagrange que describen las ecuaciones de movimiento de ciertos sistemas físicos en la teoría cuántica de campos , y por lo tanto su estudio es de considerable interés en física.

El aparato de fibrados vectoriales , fibrados principales y conexiones sobre fibrados desempeña un papel extraordinariamente importante en la geometría diferencial moderna. Una variedad lisa siempre lleva un fibrado vectorial natural, el fibrado tangente . En términos generales, esta estructura por sí sola es suficiente sólo para desarrollar el análisis sobre la variedad, mientras que hacer geometría requiere, además, alguna forma de relacionar los espacios tangentes en diferentes puntos, es decir, una noción de transporte paralelo . Un ejemplo importante lo proporcionan las conexiones afines . Para una superficie en R ³ , los planos tangentes en diferentes puntos pueden identificarse utilizando un paralelismo natural por trayectorias inducido por el espacio euclidiano ambiental, que tiene una definición estándar bien conocida de métrica y paralelismo. En la geometría de Riemann , la conexión de Levi-Civita cumple una función similar. De manera más general, los geómetras diferenciales consideran espacios con un fibrado vectorial y una conexión afín arbitraria que no está definida en términos de una métrica. En física, la variedad puede ser el espacio-tiempo y los fibrados y las conexiones están relacionados con varios campos físicos.

Desde principios y hasta mediados del siglo XIX, la geometría diferencial se estudió desde el punto de vista extrínseco : las curvas y las superficies se consideraban situadas en un espacio euclídeo de mayor dimensión (por ejemplo, una superficie en un espacio circundante de tres dimensiones). Los resultados más simples son los de la geometría diferencial de curvas y la geometría diferencial de superficies. A partir de los trabajos de Riemann , se desarrolló el punto de vista intrínseco , en el que no se puede hablar de movimiento "fuera" del objeto geométrico porque se lo considera dado de manera independiente. El resultado fundamental aquí es el teorema egregium de Gauss , en el sentido de que la curvatura gaussiana es un invariante intrínseco.

El punto de vista intrínseco es más flexible. Por ejemplo, es útil en relatividad, donde el espacio-tiempo no puede tomarse naturalmente como extrínseco. Sin embargo, hay un precio que pagar en términos de complejidad técnica: las definiciones intrínsecas de curvatura y conexiones se vuelven mucho menos intuitivas visualmente.

Estos dos puntos de vista se pueden conciliar, es decir, la geometría extrínseca se puede considerar como una estructura adicional a la intrínseca. (Véase el teorema de incrustación de Nash .) En el formalismo del cálculo geométrico, tanto la geometría extrínseca como la intrínseca de una variedad se pueden caracterizar por una única forma unidimensional de valor bivectorial denominada operador de forma . ^[15]

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A continuación se presentan algunos ejemplos de cómo se aplica la geometría diferencial a otros campos de la ciencia y las matemáticas.

• En física , la geometría diferencial tiene muchas aplicaciones, entre ellas:
  • La geometría diferencial es el lenguaje en el que se expresa la teoría general de la relatividad de Albert Einstein . Según la teoría, el universo es una variedad lisa dotada de una métrica pseudo-riemanniana, que describe la curvatura del espacio-tiempo . Comprender esta curvatura es esencial para el posicionamiento de satélites en órbita alrededor de la Tierra. La geometría diferencial también es indispensable en el estudio de las lentes gravitacionales y los agujeros negros .
  • Las formas diferenciales se utilizan en el estudio del electromagnetismo .
  • La geometría diferencial tiene aplicaciones tanto en la mecánica lagrangiana como en la mecánica hamiltoniana . En particular, las variedades simplécticas pueden utilizarse para estudiar sistemas hamiltonianos .
  • La geometría de Riemann y la geometría de contacto se han utilizado para construir el formalismo de la geometrotermodinámica que ha encontrado aplicaciones en la termodinámica del equilibrio clásica .
• En química y biofísica, al modelar la estructura de la membrana celular bajo presión variable.
• En economía , la geometría diferencial tiene aplicaciones en el campo de la econometría . ^[16]
• El modelado geométrico (incluidos los gráficos por computadora ) y el diseño geométrico asistido por computadora se basan en ideas de la geometría diferencial.
• En ingeniería , la geometría diferencial se puede aplicar para resolver problemas en el procesamiento de señales digitales . ^[17]
• En la teoría de control , la geometría diferencial se puede utilizar para analizar controladores no lineales, particularmente el control geométrico ^[18].
• En probabilidad , estadística y teoría de la información , se pueden interpretar varias estructuras como variedades de Riemann, lo que da lugar al campo de la geometría de la información , en particular a través de la métrica de información de Fisher .
• En geología estructural , la geometría diferencial se utiliza para analizar y describir estructuras geológicas.
• En visión por computadora , se utiliza geometría diferencial para analizar formas. ^[19]
• En el procesamiento de imágenes , se utiliza la geometría diferencial para procesar y analizar datos en superficies no planas. ^[20]
• La prueba de Grigori Perelman de la conjetura de Poincaré utilizando las técnicas de flujos de Ricci demostró el poder del enfoque geométrico diferencial para las cuestiones de topología y destacó el importante papel desempeñado por sus métodos analíticos.
• En las comunicaciones inalámbricas , las variedades Grassmannianas se utilizan para técnicas de formación de haz en sistemas de antenas múltiples . ^[21]
• En geodesia , para calcular distancias y ángulos sobre la superficie media del nivel del mar de la Tierra , modelada por un elipsoide de revolución.

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