Cuerpo del mango

En el campo matemático de la topología geométrica , un cuerpo de asas es una descomposición de una variedad en piezas estándar. Los cuerpos de asas desempeñan un papel importante en la teoría de Morse , la teoría del cobordismo y la teoría de la cirugía de variedades de alta dimensión. Los cuerpos de asas se utilizan para estudiar particularmente variedades de 3 dimensiones .

Los cuerpos de manija desempeñan un papel similar en el estudio de variedades al que desempeñan los complejos simpliciales y los complejos CW en la teoría de la homotopía , permitiendo analizar un espacio en términos de piezas individuales y sus interacciones.

Si es una variedad -dimensional con borde, y ${\displaystyle (W,\W parcial)}$${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle S^{r-1}\times D^{nr}\subconjunto \parcial W}$

(donde representa una n-esfera y es una n-bola ) es una incrustación, la variedad -dimensional con borde$Estilo de visualización Sn$$Estilo de visualización D^{n}}$${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle (W',\parcial W')=((W\cup (D^{r}\times D^{nr})),(\parcial WS^{r-1}\times D^{nr})\cup (D^{r}\times S^{nr-1}))}$

Se dice que se obtiene de

${\displaystyle (W,\W parcial)}$

adjuntando un -handle . El límite se obtiene de por cirugía . Como ejemplos triviales, note que adjuntar un 0-handle es simplemente tomar una unión disjunta con una bola, y que adjuntar un n-handle a es pegar una bola a lo largo de cualquier componente de esfera de . La teoría de Morse fue utilizada por Thom y Milnor para demostrar que cada variedad (con o sin límite) es un handlebody, lo que significa que tiene una expresión como una unión de handles. La expresión no es única: la manipulación de las descomposiciones de handlebody es un ingrediente esencial de la prueba del teorema de h-cobordismo de Smale , y su generalización al teorema de s-cobordismo . Una variedad se llama "k-handlebody" si es la unión de r-handles, para r como máximo k. Esto no es lo mismo que la dimensión de la variedad. Por ejemplo, un cuerpo de 2 asas de 4 dimensiones es una unión de 0 asas, 1 asas y 2 asas. Cualquier variedad es un cuerpo de n asas, es decir, cualquier variedad es la unión de asas. No es demasiado difícil ver que una variedad es un cuerpo de (n-1) asas si y solo si tiene un borde no vacío. Cualquier descomposición de cuerpo de asas de una variedad define una descomposición compleja CW de la variedad, ya que adjuntar un asa r es lo mismo, hasta la equivalencia de homotopía, que adjuntar una celda r. Sin embargo, una descomposición de cuerpo de asas proporciona más información que solo el tipo de homotopía de la variedad. Por ejemplo, una descomposición de cuerpo de asas describe completamente la variedad hasta el homeomorfismo. En la dimensión cuatro, incluso describen la estructura suave, siempre que las funciones adjuntas sean suaves. Esto es falso en dimensiones superiores; Cualquier esfera exótica es la unión de un identificador 0 y un identificador n.${\estilo de visualización r}$${\displaystyle \parcial W'}$${\displaystyle \parcial W}$${\displaystyle (W,\W parcial)}$${\displaystyle \parcial W}$

Un cuerpo de manija se puede definir como una variedad orientable de 3 dimensiones con borde que contiene dos discos disjuntos, correctamente incrustados, de modo que la variedad resultante de cortar a lo largo de los discos es una bola de 3 dimensiones. Es instructivo imaginar cómo invertir este proceso para obtener un cuerpo de manija. (A veces, la hipótesis de la orientabilidad se descarta de esta última definición y se obtiene un tipo más general de cuerpo de manija con un mango no orientable).

El género de un cuerpo de manija es el género de su superficie límite . Hasta el homeomorfismo , hay exactamente un cuerpo de manija de cualquier género entero no negativo.

La importancia de los cuerpos de manija en la teoría de 3 variedades proviene de su conexión con las divisiones de Heegaard . La importancia de los cuerpos de manija en la teoría de grupos geométricos proviene del hecho de que su grupo fundamental es libre.

A un cuerpo con asas tridimensional a veces se lo denomina, particularmente en la literatura antigua, " cubo con asas" .

Sea G un grafo finito conexo embebido en el espacio euclidiano de dimensión n. Sea V un entorno regular cerrado de G en el espacio euclidiano. Entonces V es un cuerpo de manija de dimensión n. El grafo G se llama columna vertebral de V.

Cualquier cuerpo de manija de género cero es homeomorfo a la bola de tres B ³ . Un cuerpo de manija de género uno es homeomorfo a B ² × S ¹ (donde S ¹ es el círculo ) y se llama toro sólido . Todos los demás cuerpos de manija se pueden obtener tomando la suma conexa en el borde de una colección de toros sólidos.

• Manejar la descomposición

• Matsumoto, Yukio (2002), Introducción a la teoría de Morse, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 208, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1022-4, Sr.  1873233