Complejo CW

En matemáticas , y específicamente en topología , un complejo CW (también complejo celular o complejo de celdas ) es un espacio topológico que se construye pegando bolas topológicas (las llamadas celdas ) de diferentes dimensiones de formas específicas. Generaliza tanto las variedades como los complejos simpliciales y tiene un significado particular para la topología algebraica . ^[1] Fue introducido inicialmente por JHC Whitehead para satisfacer las necesidades de la teoría de homotopía . ^[2] Los complejos CW tienen mejores propiedades categóricas que los complejos simpliciales , pero aún conservan una naturaleza combinatoria que permite el cálculo (a menudo con un complejo mucho más pequeño).

La C en CW significa topología “finita de cierre” y la W significa topología “débil”. ^[2]

Un complejo CW se construye tomando la unión de una secuencia de espacios topológicos tales que cada uno se obtiene de pegando copias de k-celdas , cada una homeomorfa a la bola abierta , a pegando continuamente mapas . Los mapas también se denominan mapas de unión . Por lo tanto, como un conjunto, .$${\displaystyle \conjunto vacío =X_{-1}\subconjunto X_{0}\subconjunto X_{1}\subconjunto \cdots }$$$Estilo de visualización X_ {k}}$$Estilo de visualización X_{k-1}}$${\displaystyle (e_{\alpha }^{k})_{\alpha }}$${\estilo de visualización k}$ $Estilo de visualización B^{k}}$$Estilo de visualización X_{k-1}}$${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:\parcial e_{\alpha }^{k}\to X_{k-1}}$${\displaystyle X_{k}=X_{k-1}\sqcup _{\alpha }e_{\alpha }^{k}}$

Cada uno de ellos se denomina esqueleto k del complejo.$Estilo de visualización X_ {k}}$

La topología de es una topología débil : un subconjunto es abierto si y solo si es abierto para cada k-esqueleto .${\displaystyle X=\cup _{k}X_{k}}$${\displaystyle U\subconjunto X}$ $Estilo de visualización U\cap X_{k}}$$Estilo de visualización X_ {k}}$

En el lenguaje de la teoría de categorías, la topología en es el límite directo del diagrama. El nombre "CW" significa "topología débil finita de cierre", que se explica mediante el siguiente teorema:${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle X_{-1}\hookrightarrow X_{0}\hookrightarrow X_{1}\hookrightarrow \cdots }$$

Esta partición de X también se llama celulación .

La construcción compleja CW es una generalización directa del siguiente proceso:

• Un complejo CW de dimensión 0 es simplemente un conjunto de cero o más puntos discretos (con la topología discreta ).
• Un complejo CW unidimensional se construye tomando la unión disjunta de un complejo CW 0-dimensional con una o más copias del intervalo unitario . Para cada copia, hay una función que " pega " su límite (sus dos puntos finales) a elementos del complejo 0-dimensional (los puntos). La topología del complejo CW es la topología del espacio cociente definido por estas funciones de pegado.
• En general, un complejo CW n-dimensional se construye tomando la unión disjunta de un complejo CW k -dimensional (para algunos ) con una o más copias de la bola n -dimensional . Para cada copia, hay una función que "pega" su límite (la esfera -dimensional ) a elementos del complejo -dimensional. La topología del complejo CW es la topología de cociente definida por estas funciones de pegado.${\displaystyle k<n}$${\estilo de visualización (n-1)}$${\estilo de visualización k}$
• Se puede construir un complejo CW de dimensión infinita repitiendo el proceso anterior un número contable de veces. Como la topología de la unión es indeterminada, se toma la topología de límite directo, ya que el diagrama sugiere claramente un límite directo. Esto resulta tener grandes beneficios técnicos.${\displaystyle \cup _{k}X_{k}}$

Un complejo CW regular es un complejo CW cuyos mapas de adhesión son homeomorfismos. Por consiguiente, la partición de X también se denomina celulación regular .

Un grafo sin bucles se representa mediante un complejo CW regular unidimensional. Un grafo cerrado de 2 celdas que se incrusta en una superficie es un complejo CW regular bidimensional. Finalmente, la conjetura de celulación regular de 3 esferas afirma que cada grafo 2-conexo es el 1-esqueleto de un complejo CW regular en la esfera tridimensional . ^[3]

En términos generales, un complejo de CW relativo se diferencia de un complejo de CW en que le permitimos tener un bloque de construcción adicional que no necesariamente posee una estructura celular. Este bloque adicional puede tratarse como una célula de (-1) dimensión en la definición anterior. ^{[4] [5] [6]}

Cada espacio topológico discreto es un complejo CW de dimensión 0.

Algunos ejemplos de complejos CW unidimensionales son: ^[7]

• Un intervalo . Puede construirse a partir de dos puntos ( x e y ) y la bola unidimensional B (un intervalo), de modo que un extremo de B esté pegado a x y el otro a y . Los dos puntos x e y son las celdas 0; el interior de B es la celda 1. Alternativamente, puede construirse a partir de un solo intervalo, sin celdas 0.
• Un círculo . Puede construirse a partir de un único punto x y la bola unidimensional B , de modo que ambos extremos de B estén pegados a x . Alternativamente, puede construirse a partir de dos puntos x e y y y dos bolas unidimensionales A y B , de modo que los extremos de A estén pegados a x e y , y los extremos de B también estén pegados a x e y .
• Un grafo. Dado un grafo , se puede construir un complejo CW unidimensional en el que las celdas 0 son los vértices y las celdas 1 son las aristas del grafo. Los puntos finales de cada arista se identifican con los vértices incidentes a la misma. Esta realización de un grafo combinatorio como un espacio topológico a veces se denomina grafo topológico .
  • Los grafos 3-regulares pueden considerarse complejos CW unidimensionales genéricos . Específicamente, si X es un complejo CW unidimensional, la función de unión para una celda unidimensional es una función de un espacio de dos puntos a X , . Esta función puede ser perturbada para que sea disjunta del esqueleto 0 de X si y solo si y no son vértices de valencia 0 de X .${\displaystyle f:\{0,1\}\to X}$${\displaystyle f(0)}$${\displaystyle f(1)}$
• La estructura CW estándar de los números reales tiene como esqueleto 0 los números enteros y como celdas 1 los intervalos . De manera similar, la estructura CW estándar de tiene celdas cúbicas que son productos de las celdas 0 y 1 de . Esta es la estructura de celdas reticulares cúbicas estándar de .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Algunos ejemplos de complejos CW de dimensión finita son: ^[7]

• Una esfera n -dimensional . Admite una estructura CW con dos celdas, una celda 0 y una celda n. Aquí la celda n está unida por la constante de mapeo desde su límite a la celda 0. Una descomposición celular alternativa tiene una esfera ( n -1)-dimensional (el " ecuador ") y dos celdas n unidas a ella (el "hemisferio superior" y el "hemisferio inferior"). Inductivamente, esto da una descomposición CW con dos celdas en cada dimensión k tales que .${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$
• El espacio proyectivo real n -dimensional . Admite una estructura CW con una celda en cada dimensión.
• La terminología para un complejo CW bidimensional genérico es una sombra . ^[8]
• Un poliedro es naturalmente un complejo CW.
• Las variedades Grassmannianas admiten una estructura CW llamada células de Schubert .
• Las variedades diferenciables , algebraicas y proyectivas, tienen el tipo de homotopía de los complejos CW.
• La compactificación de un punto de una variedad hiperbólica cuspedosa tiene una descomposición CW canónica con una sola celda 0 (el punto de compactificación) llamada descomposición de Epstein-Penner . Estas descomposiciones de celdas se denominan con frecuencia descomposiciones poliédricas ideales y se utilizan en programas informáticos populares, como SnapPea .

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• Un espacio de Hilbert de dimensión infinita no es un complejo CW: es un espacio de Baire y, por lo tanto, no puede escribirse como una unión numerable de n -esqueletos, cada uno de los cuales es un conjunto cerrado con el interior vacío. Este argumento se extiende a muchos otros espacios de dimensión infinita.
• El espacio erizo es homotópicamente equivalente a un complejo CW (el punto) pero no admite una descomposición CW, ya que no es localmente contráctil .${\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C} }$
• El pendiente hawaiano no presenta descomposición en CW, porque no es localmente contráctil en su origen. Tampoco es homotópicamente equivalente a un complejo en CW, porque no tiene una buena cubierta abierta.

• Los complejos CW son localmente contráctiles (Hatcher, prop. A.4).
• Si un espacio es homotópicamente equivalente a un complejo CW, entonces tiene una buena cobertura abierta. ^[9] Una buena cobertura abierta es una cobertura abierta, tal que cada intersección finita no vacía es contráctil.
• Los complejos CW son paracompactos . Los complejos CW finitos son compactos . Un subespacio compacto de un complejo CW siempre está contenido en un subcomplejo finito. ^{[10] [11]}
• Los complejos CW satisfacen el teorema de Whitehead : una función entre complejos CW es una equivalencia de homotopía si y sólo si induce un isomorfismo en todos los grupos de homotopía.
• Un espacio de cobertura de un complejo CW también es un complejo CW.
• El producto de dos complejos CW se puede convertir en un complejo CW. Específicamente, si X e Y son complejos CW, entonces se puede formar un complejo CW X × Y en el que cada celda es un producto de una celda en X y una celda en Y , dotada de la topología débil . El conjunto subyacente de X × Y es entonces el producto cartesiano de X e Y , como se esperaba. Además, la topología débil en este conjunto a menudo concuerda con la topología de producto más familiar en X × Y , por ejemplo, si X o Y son finitos. Sin embargo, la topología débil puede ser más fina que la topología de producto, por ejemplo, si ni X ni Y son localmente compactos . En este caso desfavorable, el producto X × Y en la topología de producto no es un complejo CW. Por otro lado, el producto de X e Y en la categoría de espacios generados de forma compacta concuerda con la topología débil y, por lo tanto, define un complejo CW.
• Sean X e Y complejos CW. Entonces los espacios de funciones Hom( X , Y ) (con la topología compacta-abierta ) no son complejos CW en general. Si X es finito entonces Hom( X , Y ) es homotópicamente equivalente a un complejo CW por un teorema de John Milnor (1959). ^[12] Nótese que X e Y son espacios de Hausdorff generados de manera compacta , por lo que Hom( X , Y ) se toma a menudo con la variante generada de manera compacta de la topología compacta-abierta; las afirmaciones anteriores siguen siendo verdaderas. ^[13]
• Teorema de aproximación celular

La homología y cohomología singular de los complejos CW se puede calcular fácilmente mediante la homología celular . Además, en la categoría de complejos CW y mapas celulares, la homología celular se puede interpretar como una teoría de homología . Para calcular una teoría de (co)homología extraordinaria para un complejo CW, la secuencia espectral de Atiyah–Hirzebruch es el análogo de la homología celular.

Algunos ejemplos:

• Para la esfera, tomemos la descomposición celular con dos celdas: una sola celda 0 y una sola celda n . El complejo de cadena de homología celular y la homología están dados por:${\displaystyle S^{n},}$ ${\displaystyle C_{*}}$

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}\quad H_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}}$

ya que todos los diferenciales son cero.

Alternativamente, si utilizamos la descomposición ecuatorial con dos celdas en cada dimensión

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{2}&0\leqslant k\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

y los diferenciales son matrices de la forma Esto da el mismo cálculo de homología anterior, ya que el complejo de cadena es exacto en todos los términos excepto y${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{n}.}$

• Porque obtenemos algo similar${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H^{k}\left(\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &0\leqslant k\leqslant 2n,{\text{ even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Los dos ejemplos anteriores son particularmente simples porque la homología está determinada por el número de células, es decir, los mapas de unión celular no tienen ningún papel en estos cálculos. Este es un fenómeno muy especial y no es indicativo del caso general.

Existe una técnica, desarrollada por Whitehead, para reemplazar un complejo CW con un complejo CW homotópicamente equivalente que tiene una descomposición CW más simple .

Consideremos, por ejemplo, un complejo CW arbitrario. Su 1-esqueleto puede ser bastante complicado, siendo un grafo arbitrario . Ahora consideremos un bosque maximal F en este grafo. Dado que es una colección de árboles, y los árboles son contráctiles, consideremos el espacio donde la relación de equivalencia es generada por si están contenidos en un árbol común en el bosque maximal F . El mapa de cocientes es una equivalencia de homotopía. Además, hereda naturalmente una estructura CW, con celdas correspondientes a las celdas de que no están contenidas en F . En particular, el 1-esqueleto de es una unión disjunta de cuñas de círculos.${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle X\to X/{\sim }}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim }}$

Otra forma de decir lo anterior es que un complejo CW conectado puede ser reemplazado por un complejo CW homotópicamente equivalente cuyo esqueleto 0 consiste en un solo punto.

Consideremos subir por la escalera de conectividad: supongamos que X es un complejo CW simplemente conexo cuyo esqueleto 0 consiste en un punto. ¿Podemos, mediante modificaciones adecuadas, reemplazar X por un complejo CW homotópicamente equivalente donde consiste en un solo punto? La respuesta es sí. El primer paso es observar eso y las funciones adjuntas para construir a partir de formar una presentación de grupo . El teorema de Tietze para presentaciones de grupo establece que hay una secuencia de movimientos que podemos realizar para reducir esta presentación de grupo a la presentación trivial del grupo trivial. Hay dos movimientos de Tietze:${\displaystyle X^{1}}$${\displaystyle X^{1}}$${\displaystyle X^{2}}$${\displaystyle X^{1}}$

1) Adición/eliminación de un generador. La adición de un generador, desde la perspectiva de la descomposición CW, consiste en agregar una celda 1 y una celda 2 cuyo mapa de unión consiste en la nueva celda 1 y el resto del mapa de unión está en . Si dejamos que sea el complejo CW correspondiente , entonces hay una equivalencia de homotopía dada al deslizar la nueva celda 2 en X .${\displaystyle X^{1}}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}}$${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

2) Agregar o eliminar una relación. El acto de agregar una relación es similar, solo que se reemplaza X por donde la nueva celda de 3 tiene una función de unión que consiste en la nueva celda de 2 y el resto que se asigna a . Una diapositiva similar muestra una equivalencia de homotopía .${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{2}\cup e^{3}}$${\displaystyle X^{2}}$${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

Si un complejo CW X está n -conectado , se puede encontrar un complejo CW homotópicamente equivalente cuyo n -esqueleto consiste en un único punto. El argumento para es similar al caso, solo que uno reemplaza los movimientos de Tietze para la presentación del grupo fundamental por operaciones matriciales elementales para las matrices de presentación para (usando las matrices de presentación provenientes de la homología celular . es decir: uno puede realizar de manera similar operaciones matriciales elementales mediante una secuencia de adición/eliminación de células u homotopías adecuadas de los mapas adjuntos.${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )}$

La categoría de homotopía de los complejos CW es, en opinión de algunos expertos, la mejor, si no la única, candidata para la categoría de homotopía (por razones técnicas, en realidad se utiliza la versión para espacios puntiagudos ). ^[14] En ocasiones, deben utilizarse construcciones auxiliares que produzcan espacios que no sean complejos CW. Un resultado básico es que los funtores representables en la categoría de homotopía tienen una caracterización simple (el teorema de representabilidad de Brown ).

• Complejo celular abstracto
• El concepto de complejo CW tiene una adaptación a variedades suaves llamada descomposición en asa , que está estrechamente relacionada con la teoría de la cirugía .