Klein cuártico

En geometría hiperbólica , la superficie cuártica de Klein , llamada así por Felix Klein , es una superficie de Riemann compacta de género 3 con el grupo de automorfismos de orden más alto posible para este género, es decir, automorfismos que preservan la orientación de orden 168 , y 168 × 2 = 336 automorfismos si la orientación puede invertirse. Como tal, la superficie cuártica de Klein es la superficie de Hurwitz de género más bajo posible; véase el teorema de automorfismos de Hurwitz . Su grupo de automorfismos (que preserva la orientación) es isomorfo a PSL(2, 7) , el segundo grupo simple no abeliano más pequeño después del grupo alternante A ₅ . La superficie cuártica fue descrita por primera vez en (Klein 1878b).

La cuártica de Klein aparece en muchas ramas de las matemáticas, en contextos que incluyen la teoría de la representación , la teoría de la homología , el último teorema de Fermat y el teorema de Stark-Heegner sobre cuerpos numéricos cuadráticos imaginarios de clase uno; véase (Levy 1999) para un estudio de las propiedades.

Originalmente, la "cuártica de Klein" se refería específicamente al subconjunto del plano proyectivo complejo P ² ( C ) definido por una ecuación algebraica. Este tiene una métrica riemanniana específica (que lo convierte en una superficie mínima en P ² ( C ) ), bajo la cual su curvatura gaussiana no es constante. Pero más comúnmente (como en este artículo) ahora se piensa en ella como cualquier superficie de Riemann que sea conformemente equivalente a esta curva algebraica, y especialmente la que es un cociente del plano hiperbólico H ² por un cierto grupo cocompacto G que actúa libremente sobre H ² por isometrías. Esto le da a la cuártica de Klein una métrica riemanniana de curvatura constante −1 que hereda de H ² . Este conjunto de superficies riemannianas conformemente equivalentes es precisamente el mismo que todas las superficies riemannianas compactas de género 3 cuyo grupo de automorfismo conforme es isomorfo al único grupo simple de orden 168. Este grupo también se conoce como PSL(2, 7) , y también como el grupo isomorfo PSL(3, 2) . Por teoría del espacio de cobertura , el grupo G mencionado anteriormente es isomorfo al grupo fundamental de la superficie compacta de género 3 .

Es importante distinguir dos formas diferentes del cuártico. El cuártico cerrado es lo que generalmente se entiende en geometría; topológicamente tiene género 3 y es un espacio compacto . El cuártico abierto o "perforado" es de interés en la teoría de números; topológicamente es una superficie de género 3 con 24 perforaciones, y geométricamente estas perforaciones son cúspides . El cuártico abierto puede obtenerse (topológicamente) a partir del cuártico cerrado perforando en los 24 centros del mosaico con heptágonos regulares, como se analiza a continuación. Los cuárticos abiertos y cerrados tienen métricas diferentes, aunque ambos son hiperbólicos y completos ^[1] : geométricamente, las cúspides son "puntos en el infinito", no agujeros, por lo tanto, el cuártico abierto sigue siendo completo.

La cuártica de Klein puede verse como una curva algebraica proyectiva sobre los números complejos C , definida por la siguiente ecuación cuártica en coordenadas homogéneas [ x : y : z ] en P ² ( C ) :

${\displaystyle x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x=0.}$

El lugar geométrico de esta ecuación en P ² ( C ) es la superficie riemanniana original que describió Klein.

La cuártica compacta de Klein se puede construir como el cociente del plano hiperbólico por la acción de un grupo fuchsiano adecuado Γ( I ) que es el subgrupo de congruencia principal asociado con el ideal en el anillo de enteros algebraicos Z ( η ) del cuerpo Q ( η ) donde η = 2 cos(2 π /7) . Nótese la identidad${\displaystyle I=\langle \eta -2\rangle }$

${\displaystyle (2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2},}$

exhibiendo 2 – η como un factor primo de 7 en el anillo de números enteros algebraicos.

El grupo Γ( I ) es un subgrupo del grupo de triángulos hiperbólicos (2,3,7) . Es decir, Γ( I ) es un subgrupo del grupo de elementos de norma unitaria en el álgebra de cuaterniones generada como álgebra asociativa por los generadores i,j y las relaciones

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=\eta,\qquad ij=-ji.}$

Se elige un orden de cuaternión de Hurwitz adecuado en el álgebra de cuaternión, Γ( I ) es entonces el grupo de elementos de norma 1 en . El valor absoluto mínimo de una traza de un elemento hiperbólico en Γ( I ) es , que corresponde al valor 3,936 para la sístole del cuártico de Klein, uno de los más altos en este género.${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$${\displaystyle 1+I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$${\displaystyle \eta ^{2}+3\eta +2}$

La cuártica de Klein admite teselación conectada con el grupo de simetría (una " mapa regular " ^[2] ), y estas se utilizan para comprender el grupo de simetría, remontándose al artículo original de Klein. Dado un dominio fundamental para la acción del grupo (para el grupo de simetría completo, de inversión de orientación, un triángulo (2,3,7)), los dominios de reflexión (imágenes de este dominio bajo el grupo) dan una teselación de la cuártica tal que el grupo de automorfismos de la teselación es igual al grupo de automorfismos de la superficie – las reflexiones en las líneas de la teselación corresponden a las reflexiones en el grupo (las reflexiones en las líneas de un triángulo fundamental dado dan un conjunto de 3 reflexiones generadoras). Esta teselación es un cociente de la teselación heptagonal bisecada de orden 3 del plano hiperbólico (la cubierta universal de la cuártica), y todas las superficies de Hurwitz están teseladas de la misma manera, como cocientes.

Este teselado es uniforme pero no regular (está formado por triángulos escalenos ), y a menudo se utilizan en su lugar teselados regulares. Se puede utilizar un cociente de cualquier teselado de la familia (2,3,7) (y tendrá el mismo grupo de automorfismos); de estos, los dos teselados regulares son el teselado formado por 24 heptágonos hiperbólicos regulares , cada uno de grado 3 (que se encuentran en 56 vértices), y el teselado dual formado por 56 triángulos equiláteros , cada uno de grado 7 (que se encuentran en 24 vértices). El orden del grupo de automorfismos está relacionado, siendo el número de polígonos multiplicado por el número de aristas del polígono en ambos casos.

24 × 7 = 168

56 × 3 = 168

Las teselaciones de cobertura en el plano hiperbólico son la teselación heptagonal de orden 3 y la teselación triangular de orden 7 .

El grupo de automorfismos se puede aumentar (por una simetría que no se realiza mediante una simetría del teselado) para producir el grupo de Mathieu M ₂₄ . ^[3]

A cada teselación del cuártico (partición de la variedad cuártica en subconjuntos) le corresponde un poliedro abstracto , que se abstrae de la geometría y solo refleja la combinatoria de la teselación (esta es una forma general de obtener un politopo abstracto a partir de una teselación): los vértices, aristas y caras del poliedro son iguales como conjuntos a los vértices, aristas y caras de la teselación, con las mismas relaciones de incidencia, y el grupo de automorfismos (combinatorio) del poliedro abstracto es igual al grupo de automorfismos (geométrico) del cuártico. De esta manera, la geometría se reduce a la combinatoria.

Lo anterior es un teselado del cuártico proyectivo (una variedad cerrada); el cuártico afín tiene 24 cúspides (topológicamente, punciones), que corresponden a los 24 vértices del teselado triangular regular, o equivalentemente a los centros de los 24 heptágonos en el teselado heptagonal, y se puede realizar de la siguiente manera.

Considerando la acción de SL(2, R ) sobre el modelo del semiplano superior H ² del plano hiperbólico mediante transformaciones de Möbius , la cuártica de Klein afín se puede realizar como el cociente Γ(7)\ H ² . (Aquí Γ(7) es el subgrupo de congruencia de SL(2, Z ) que consiste en matrices que son congruentes con la matriz identidad cuando todas las entradas se toman módulo 7).

La cuártica de Klein se puede obtener como cociente del plano hiperbólico por la acción de un grupo fuchsiano. El dominio fundamental es un 14-gono regular, que tiene área por el teorema de Gauss-Bonnet . Esto se puede ver en la figura adjunta, que también incluye los 336 triángulos (2,3,7) que teselan la superficie y generan su grupo de simetrías.${\estilo de visualización 8\pi}$

Dentro de la teselación de triángulos (2,3,7) hay una teselación de 24 heptágonos regulares. La sístole de la superficie pasa por los puntos medios de 8 lados del heptágono; por esta razón se la ha denominado "geodésica de ocho pasos" en la literatura, y es la razón del título del libro en la sección siguiente. Todas las curvas coloreadas en la figura que muestra la descomposición de Pants son sístoles, sin embargo, esto es solo un subconjunto; hay 21 en total. La duración de la sístole es

${\displaystyle 16\sinh ^{-1}\left(\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\csc ^{2}\left({\tfrac {\pi }{7}}\right)-4}}\right)\sin \left({\tfrac {\pi }{7}}\right)\right)\approx 3.93594624883.}$

Una fórmula cerrada equivalente es

${\displaystyle 8\cosh ^{-1}\left({\tfrac {3}{2}}-2\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi }{7}}\right)\right).}$

Mientras que la cuártica de Klein maximiza el grupo de simetría para superficies de género 3, no maximiza la longitud de la sístole. El maximizador conjeturado es la superficie denominada "M3" (Schmutz 1993). M3 proviene de una teselación de (2,3,12) triángulos, y su sístole tiene multiplicidad 24 y longitud

${\displaystyle 2\cosh ^{-1}\left(2+{\sqrt {3}}\right)\aproximadamente 3,9833047820988736.}$

La cuártica de Klein se puede descomponer en cuatro pares de pantalones cortando a lo largo de seis de sus sístoles. Esta descomposición da un conjunto simétrico de coordenadas de Fenchel-Nielsen , donde los parámetros de longitud son todos iguales a la longitud de la sístole, y los parámetros de torsión son todos iguales a la longitud de la sístole. En particular, tomando como la longitud de la sístole, las coordenadas son${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$${\displaystyle l(S)}$

${\displaystyle \left\{l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}}\right\}.}$

El grafo cúbico correspondiente a esta descomposición de pantalones es el grafo tetraédrico, es decir, el grafo de 4 nodos, cada uno conectado a los otros 3. El grafo tetraédrico es similar al grafo del plano proyectivo de Fano ; de hecho, el grupo de automorfismos del cuártico de Klein es isomorfo al del plano de Fano.

Poco se ha demostrado sobre la teoría espectral de la cuártica de Klein. Debido a que la cuártica de Klein tiene el grupo de simetría de superficies más grande en su clase topológica, al igual que la superficie de Bolza en el género 2, se ha conjeturado que maximiza el primer valor propio positivo del operador de Laplace entre todas las superficies compactas de Riemann de género 3 con curvatura negativa constante. También maximiza la multiplicidad del primer valor propio positivo (8) entre todas esas superficies, un hecho que se ha demostrado recientemente. ^[4] Los valores propios de la cuártica de Klein se han calculado con diversos grados de precisión. Los primeros 15 valores propios positivos distintos se muestran en la siguiente tabla, junto con sus multiplicidades.

Cálculos numéricos de los primeros 15 valores propios positivos del cuartico de Klein

Valor propio	Valor numérico	Multiplicidad
${\displaystyle \lambda _{0}}$	0	1
${\displaystyle \lambda _{1}}$	2.67793	8
${\displaystyle \lambda _{2}}$	6.62251	7
${\displaystyle \lambda _{3}}$	10.8691	6
${\displaystyle \lambda _{4}}$	12.1844	8
${\displaystyle \lambda _{5}}$	17.2486	7
${\displaystyle \lambda _{6}}$	21.9705	7
${\displaystyle \lambda _{7}}$	24.0811	8
${\displaystyle \lambda _{8}}$	25.9276	6
${\displaystyle \lambda _{9}}$	30.8039	6
${\displaystyle \lambda_{10}}$	36.4555	8
${\displaystyle \lambda _{11}}$	37.4246	8
${\displaystyle \lambda_{12}}$	41.5131	6
${\displaystyle \lambda _{13}}$	44.8884	8
${\displaystyle \lambda _{14}}$	49.0429	6
${\displaystyle \lambda _{15}}$	50.6283	6

La cuártica de Klein no puede realizarse como una figura tridimensional, en el sentido de que ninguna figura tridimensional tiene simetrías (rotacionales) iguales a PSL(2,7) , ya que PSL(2,7) no se integra como un subgrupo de SO(3) (o O(3) ) – no tiene una representación lineal tridimensional (no trivial) sobre los números reales.

Sin embargo, se han dado muchos modelos tridimensionales de la cuártica de Klein, comenzando por el artículo original de Klein, ^{[2] [5] [6] [7] [8]} que buscan demostrar características de la cuártica y preservar las simetrías topológicamente, aunque no todas geométricamente. Los modelos resultantes tienen con mayor frecuencia simetrías tetraédricas (orden 12) u octaédricas (orden 24); la simetría restante de orden 7 no se puede visualizar tan fácilmente y, de hecho, es el título del artículo de Klein.

La mayoría de las veces, el cuártico se modela ya sea por una superficie de género 3 suave con simetría tetraédrica (reemplazando los bordes de un tetraedro regular con tubos/asas se obtiene dicha forma), que se han denominado "tetrusas", ^[8] o por aproximaciones poliédricas, que se han denominado "tetroides"; ^[8] en ambos casos se trata de una incrustación de la forma en 3 dimensiones. El modelo suave (tetrus) más notable es la escultura The Eightfold Way de Helaman Ferguson en el Instituto de Ciencias Matemáticas Simons Laufer en Berkeley, California , hecha de mármol y serpentina, y presentada el 14 de noviembre de 1993. El título se refiere al hecho de que comenzando en cualquier vértice de la superficie triangulada y moviéndose a lo largo de cualquier borde, si se gira alternativamente a la izquierda y a la derecha al llegar a un vértice, siempre se regresa al punto original después de ocho bordes. La adquisición de la escultura condujo a su debido tiempo a la publicación de un libro de artículos (Levy 1999), que detalla las propiedades del cuártico y contiene la primera traducción al inglés del artículo de Klein. Los modelos poliédricos con simetría tetraédrica suelen tener una envoltura convexa de un tetraedro truncado ; véase (Schulte y Wills 1985) y (Scholl, Schürmann y Wills 2002) para ejemplos e ilustraciones. Algunos de estos modelos consisten en 20 triángulos o 56 triángulos (en abstracto, el poliedro oblicuo regular {3,7|,4}, con 56 caras, 84 aristas y 24 vértices), que no se pueden realizar como equiláteros, con giros en los brazos del tetraedro; mientras que otros tienen 24 heptágonos – estos heptágonos pueden considerarse planos, aunque no convexos, ^[9] y los modelos son más complejos que los triangulares porque la complejidad se refleja en las formas de las caras heptagonales (no flexibles), en lugar de en los vértices (flexibles). ^[2]

Alternativamente, el cuártico puede ser modelado por un poliedro con simetría octaédrica: Klein modeló el cuártico por una forma con simetrías octaédricas y con puntos en el infinito (un "poliedro abierto"), ^[6] es decir, tres hiperboloides que se encuentran en ejes ortogonales, ^[2] mientras que también puede ser modelado como un poliedro cerrado que debe estar sumergido (tener autointersecciones), no incrustado. ^[2] Tales poliedros pueden tener varias envolturas convexas, incluyendo el cubo truncado , ^[10] el cubo romo , ^[9] o el rombicuboctaedro , como en el pequeño cubicuboctaedro de la derecha. ^[3] La inmersión del pequeño cuboctaedro cúbico se obtiene uniendo algunos de los triángulos (2 triángulos forman un cuadrado, 6 forman un octógono), lo que se puede visualizar coloreando los triángulos Archivado 2016-03-03 en Wayback Machine (el mosaico correspondiente es topológicamente pero no geométricamente el mosaico 3 4 | 4 ). Esta inmersión también se puede utilizar para construir geométricamente el grupo de Mathieu M ₂₄ añadiendo a PSL(2,7) la permutación que intercambia los puntos opuestos de las líneas bisectrices de los cuadrados y octógonos. ^[3]

El dessin d'enfant en el cuártico de Klein asociado con el mapa cociente por su grupo de automorfismos (con cociente la esfera de Riemann) es precisamente el 1-esqueleto del teselado heptagonal de orden 3. ^[11] Es decir, el mapa cociente se ramifica sobre los puntos 0, 1728 e ∞ ; dividiendo por 1728 se obtiene una función de Belyi (ramificada en 0, 1 e ∞ ), donde los 56 vértices (puntos negros en dessin) se encuentran sobre 0, los puntos medios de las 84 aristas (puntos blancos en dessin) se encuentran sobre 1 y los centros de los 24 heptágonos se encuentran sobre el infinito. El dessin resultante es un dessin "platónico", es decir, transitivo en las aristas y "limpio" (cada punto blanco tiene valencia 2).

La cuártica de Klein está relacionada con varias otras superficies de Riemann.

Geométricamente, es la superficie de Hurwitz más pequeña (género más bajo); la siguiente es la superficie de Macbeath (género 7), y la siguiente es el primer triplete de Hurwitz (3 superficies de género 14). De manera más general, es la superficie más simétrica de un género dado (al ser una superficie de Hurwitz); en esta clase, la superficie de Bolza es la superficie de género 2 más simétrica, mientras que la superficie de Bring es una superficie de género 4 altamente simétrica; consulte las isometrías de las superficies de Riemann para obtener más información.

Algebraicamente, la cuártica de Klein (afín) es la curva modular X(7) y la cuártica de Klein proyectiva es su compactificación, así como el dodecaedro (con una cúspide en el centro de cada cara) es la curva modular X(5); esto explica la relevancia para la teoría de números.

Más sutilmente, la cuártica de Klein (proyectiva) es una curva de Shimura (como lo son las superficies de Hurwitz de género 7 y 14), y como tal parametriza principalmente variedades abelianas polarizadas de dimensión 6. ^[12]

Más excepcionalmente, la cuártica de Klein forma parte de una " trinidad " en el sentido de Vladimir Arnold , que también puede describirse como una correspondencia de McKay . En esta colección, los grupos lineales especiales proyectivos PSL(2,5), PSL(2,7) y PSL(2,11) (órdenes 60, 168, 660) son análogos. Nótese que 4 × 5 × 6/2 = 60, 6 × 7 × 8/2 = 168 y 10 × 11 × 12/2 = 660. Estos corresponden a la simetría icosaédrica (género 0), las simetrías de la cuártica de Klein (género 3) y la superficie de buckyball (género 70). ^[13] Estos están conectados además con muchos otros fenómenos excepcionales, que se desarrollan en " trinidades ".

• Configuración de Grünbaum-Rigby
• Curva de Shimura
• Superficie de Hurwitz
• Superficie de Bolza
• La curva de Bring
• Superficie de Macbeath
• Primer triplete de Hurwitz

• Curva cuártica de Klein, John Baez, 28 de julio de 2006
• Curva cuártica de Klein, por Greg Egan – ilustraciones
• Ecuaciones cuárticas de Klein, por Greg Egan – ilustraciones