Conectividad homotópica

En topología algebraica , la conectividad homotópica es una propiedad que describe un espacio topológico en función de la dimensión de sus agujeros. En general, una conectividad homotópica baja indica que el espacio tiene al menos un agujero de baja dimensión. El concepto de n -conectividad generaliza los conceptos de conectividad de trayectorias y conectividad simple .

Una definición equivalente de conectividad homotópica se basa en los grupos de homotopía del espacio. Un espacio está n -conexo (o n -conexo simple ) si sus primeros n grupos de homotopía son triviales.

La conectividad homotópica también se define para los mapas. Un mapa está n -conexo si es un isomorfismo "hasta la dimensión n, en homotopía ".

Todas las definiciones a continuación consideran un espacio topológico X.

Un agujero en X es, informalmente, algo que impide que una esfera colocada adecuadamente se encoja continuamente hasta convertirse en un punto. ^{[1] : 78} De manera equivalente, es una esfera que no se puede extender continuamente hasta convertirse en una bola . Formalmente,

• Una esfera de dimensión d en X es una función continua .${\displaystyle f_{d}:S^{d}\to X}$
• Una bola de dimensión d en X es una función continua .${\displaystyle g_{d}:B^{d}\to X}$
• Un agujero de dimensión d en el límite de X es una esfera de dimensión d que no es homotópica nula (no se puede encoger continuamente hasta un punto). De manera equivalente, es una esfera de dimensión d que no se puede extender continuamente hasta una bola de dimensión ( d +1). A veces se lo denomina agujero de dimensión ( d +1) ( d +1 es la dimensión de la "bola faltante").
• X se llama n -conexo si no contiene agujeros de dimensión límite d ≤ n . ^{[1] : 78, Sec.4.3}
• La conectividad homotópica de X , denotada , es el entero más grande n para el cual X está n -conectado.${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$
• Una definición ligeramente diferente de conectividad, que simplifica algunos cálculos, es: el entero más pequeño d tal que X contiene un agujero de dimensión d . Este parámetro de conectividad se denota por , y difiere del parámetro anterior en 2, es decir, . ^[2]${\displaystyle \eta _{\pi }(X)}$${\displaystyle \eta _{\pi }(X):={\text{conn}}_{\pi }(X)+2}$

• Un agujero bidimensional (un agujero con un límite unidimensional) es un círculo (S ¹ ) en X , que no se puede encoger continuamente hasta un punto en X . Un ejemplo se muestra en la figura de la derecha. La región amarilla es el espacio topológico X ; es un pentágono con un triángulo eliminado. El círculo azul es una esfera unidimensional en X . No se puede encoger continuamente hasta un punto en X; por lo tanto; X tiene un agujero bidimensional. Otro ejemplo es el plano perforado - el plano euclidiano con un solo punto eliminado, . Para hacer un agujero bidimensional en una bola tridimensional, haz un túnel a través de ella. ^[1] En general, un espacio contiene un agujero con límite unidimensional si y solo si no es simplemente conexo . Por lo tanto, simplemente conexo es equivalente a 1-conexo. X es 0-conexo pero no 1-conexo, por lo que . La dimensión más baja de un agujero es 2, por lo que .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=2}$

  

• En la figura de la derecha se muestra un agujero tridimensional (un agujero con un límite bidimensional). Aquí, X es un cubo (amarillo) al que se le ha quitado una bola (blanco). La esfera bidimensional (azul) no puede reducirse continuamente a un único punto. X está simplemente conexo, pero no biconexo, por lo que . La dimensión más pequeña de un agujero es 3, por lo que .${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=1}$${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=3}$

• Para un agujero unidimensional (un agujero con un límite dimensional 0), debemos considerar : - la esfera dimensional cero. ¿Qué es una esfera dimensional cero? - Para cada entero d , la esfera es el límite de la bola dimensional ( d +1) . También lo es el límite de , que es el segmento [0,1]. Por lo tanto, es el conjunto de dos puntos disjuntos {0, 1}. Una esfera dimensional cero en X es solo un conjunto de dos puntos en X . Si existe un conjunto que no se puede reducir continuamente a un solo punto en X (o extender continuamente a un segmento en X ), esto significa que no hay un camino entre los dos puntos, es decir, X no está conexo por caminos ; vea la figura a la derecha. Por lo tanto, conexo por caminos es equivalente a conexo 0. X no está conexo 0, por lo que . La dimensión más baja de un agujero es 1, por lo que .${\estilo de visualización S^{0}}$$Estilo de visualización S^{d}}$ $Estilo de visualización B^{d+1}}$${\estilo de visualización S^{0}}$$Estilo de visualización B^{1}}$${\estilo de visualización S^{0}}$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-1}$${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=1}$
• Un agujero de dimensión 0 es una bola de dimensión 0 que falta. Una bola de dimensión 0 es un único punto; su límite es un conjunto vacío. Por lo tanto, la existencia de un agujero de dimensión 0 es equivalente a que el espacio esté vacío. Por lo tanto, no vacío es equivalente a (-1)-conexo. Para un espacio vacío X , y , que es su valor más pequeño posible.$Estilo de visualización S-1$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-2}$${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=0}$
• Una pelota no tiene agujeros de ninguna dimensión, por lo tanto su conectividad es infinita: .${\displaystyle \eta _{\pi }(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)=\infty }$

En general, para cada entero d , (y ) ^{[1] : 79, Teoría 4.3.2} La prueba requiere dos direcciones:${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})=d-1}$${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{d})=d+1}$

• Demostrando que , es decir, no puede reducirse continuamente a un único punto. Esto se puede demostrar utilizando el teorema de Borsuk-Ulam .${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})<d}$$Estilo de visualización S^{d}}$
• Demostrando que , es decir, es decir, cada mapa continuo para puede reducirse continuamente a un solo punto.${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})\geq d-1}$${\displaystyle S^{k}\to S^{d}}$${\displaystyle k<d}$

Un espacio X se llama n -conexo , para n ≥ 0, si no está vacío, y todos sus grupos de homotopía de orden d ≤ n son el grupo trivial : donde denota el i -ésimo grupo de homotopía y 0 denota el grupo trivial. ^[3] Las dos definiciones son equivalentes. El requisito para un espacio n -conexo consiste en requisitos para todos los d ≤ n :$${\displaystyle \pi _{d}(X)\cong 0,\quad -1\leq d\leq n,}$$$estilo de visualización {\pi _{i}(X)}$

• El requisito de d = -1 significa que X no debe estar vacío.
• El requisito de d = 0 significa que X debe estar conectado por trayectorias.
• El requisito de que cualquier d ≥ 1 significa que X no contiene agujeros de dimensión límite d . Es decir, cada esfera d -dimensional en X es homotópica a una función constante. Por lo tanto, el d -ésimo grupo de homotopía de X es trivial. Lo opuesto también es cierto: si X tiene un agujero con una dimensión límite d , entonces hay una esfera d -dimensional que no es homotópica a una función constante, por lo que el d -ésimo grupo de homotopía de X no es trivial. En resumen, X tiene un agujero con una dimensión límite d , si y solo si . La conectividad homotópica de X es el entero más grande n para el cual X está n -conexo. ^[4]${\displaystyle \pi _{d}(X)\no \cong 0}$

Los requisitos de no estar vacío y estar conectado por trayectorias se pueden interpretar como (−1)-conectado y 0-conectado , respectivamente, lo que resulta útil para definir mapas 0-conectados y 1-conectados, como se muestra a continuación. El conjunto de homotopía 0 se puede definir como:

${\displaystyle \pi _{0}(X,*):=\left[\left(S^{0},*\right),\left(X,*\right)\right].}$

Este es solo un conjunto puntiagudo , no un grupo, a menos que X sea en sí mismo un grupo topológico ; el punto distinguido es la clase de la función trivial, enviando S ⁰ al punto base de X. Usando este conjunto, un espacio es 0-conexo si y solo si el 0º conjunto de homotopía es el conjunto de un punto. La definición de grupos de homotopía y este conjunto de homotopía requieren que X sea puntiagudo (tenga un punto base elegido), lo que no se puede hacer si X está vacío.

Un espacio topológico X es conexo por caminos si y solo si su grupo de homotopía 0 se anula de manera idéntica, ya que la conexidad por caminos implica que dos puntos cualesquiera x ₁ y x ₂ en X pueden conectarse con un camino continuo que comienza en x ₁ y termina en x ₂ , lo que es equivalente a la afirmación de que cada aplicación de S ⁰ (un conjunto discreto de dos puntos) a X puede deformarse continuamente a una aplicación constante. Con esta definición, podemos definir que X es n -conexo si y solo si

${\displaystyle \pi _{i}(X)\simeq 0,\quad 0\leq i\leq n.}$

• Un espacio X es (−1)-conexo si y sólo si no está vacío.
• Un espacio X es 0-conexo si y solo si no está vacío y es conexo por trayectorias .
• Un espacio es 1-conexo si y sólo si es simplemente conexo .
• Una n -esfera está ( n  − 1)-conexa.

La noción relativa correspondiente a la noción absoluta de un espacio n -conexo es una función n -conexa , que se define como una función cuya fibra de homotopía Ff es un espacio ( n  − 1)-conexo. En términos de grupos de homotopía, significa que una función es n -conexa si y solo si: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• ${\displaystyle \pi _{i}(f)\colon \pi _{i}(X)\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \pi _{i}(Y)}$es un isomorfismo para , y${\displaystyle i<n}$
• ${\displaystyle \pi_{n}(f)\colon \pi_{n}(X)\twoheadrightarrow \pi_{n}(Y)}$es una sobreyección.

La última condición es frecuentemente confusa; se debe a que la desaparición del ( n  − 1)-ésimo grupo de homotopía de la fibra de homotopía Ff corresponde a una sobreyección sobre los n ^ésimos grupos de homotopía en la secuencia exacta.

${\displaystyle \pi _{n}(X)\mathrel {\overset {\pi _{n}(f)}{\to }} \pi _{n}(Y)\to \pi _{n- 1}(Ff).}$

Si el grupo de la derecha desaparece, entonces el mapa de la izquierda es una sobreyección.${\displaystyle \pi_{n-1}(Ff)}$

Ejemplos de baja dimensión:

• Un mapa conectado (mapa conectado-0) es uno que está sobre componentes de la ruta (grupo de homotopía 0); esto corresponde a que la fibra de homotopía no esté vacía.
• Un mapa simplemente conexo (mapa 1-conexo) es uno que es un isomorfismo en los componentes de la trayectoria (grupo de homotopía 0) y en el grupo fundamental (grupo de homotopía 1).

La n -conectividad de los espacios puede definirse a su vez en términos de la n -conectividad de las funciones: un espacio X con punto base x ₀ es un espacio n -conexo si y solo si la inclusión del punto base es una función n -conexa. El conjunto de puntos es contráctil, por lo que todos sus grupos de homotopía se anulan y, por lo tanto, el "isomorfismo por debajo de n y sobre en n " corresponde a la anulación de los primeros n grupos de homotopía de X.${\displaystyle x_{0}\hookrightarrow X}$

Esto es instructivo para un subconjunto: una inclusión n -conectada es aquella que, hasta la dimensión n  − 1, las homotopías en el espacio mayor X pueden ser homotopadas en homotopías en el subconjunto A .${\displaystyle A\hookrightarrowX}$

Por ejemplo, para que un mapa de inclusión sea 1-conectado, debe ser:${\displaystyle A\hookrightarrowX}$

• sobre$estilo de visualización {\pi _{0}(X),}$
• uno a uno en y${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X),}$
• sobre$estilo_de_visualización \pi _{1}(X).}$

Uno a uno significa que si hay un camino que conecta dos puntos pasando por X, hay un camino en A que los conecta, mientras que sobre significa que, de hecho, un camino en X es homotópico a un camino en A.${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X)}$${\displaystyle a,b\en A}$$Estilo de visualización: pi _{1}(X)}$

En otras palabras, una función que es un isomorfismo en solo implica que todos los elementos de que son homotópicos en X son abstractamente homotópicos en A – la homotopía en A puede no estar relacionada con la homotopía en X – mientras que estar n -conectado (por lo tanto también sobre ) significa que (hasta la dimensión n  − 1) las homotopías en X pueden ser empujadas hacia homotopías en A .${\displaystyle \pi _{n-1}(A)\to \pi _{n-1}(X)}$$estilo de visualización {\pi _{n-1}(A)}$$Estilo de visualización: pi_n(X)$

Esto da una explicación más concreta de la utilidad de la definición de n -conectividad: por ejemplo, un espacio donde la inclusión del k -esqueleto está n -conectada (para n  >  k ) –como la inclusión de un punto en la n -esfera– tiene la propiedad de que cualquier celda en dimensiones entre k y n no afecta los tipos de homotopía de dimensión inferior.

Muchas demostraciones topológicas requieren límites inferiores para la conectividad homotópica. Existen varias "recetas" para demostrar dichos límites inferiores.

El teorema de Hurewicz relaciona la conectividad homotópica con la conectividad homológica , denotada por . Esto es útil para calcular la conectividad homotópica, ya que los grupos homológicos se pueden calcular más fácilmente.${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)}$

Supóngase primero que X es simplemente conexo, es decir, . Sea ; por lo que para todos , y . El teorema de Hurewicz ^{[5] : 366, Teoría 4.32} dice que, en este caso, para todos , y es isomorfo a , así también. Por lo tanto: Si X no es simplemente conexo ( ), entonces sigue siendo válido. Cuando esto es trivial. Cuando (por lo que X es conexo por trayectorias pero no simplemente conexo), se debería demostrar que . ^{[ aclaración necesaria ]}${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1}$${\displaystyle n:={\text{conn}}_{\pi }(X)+1\geq 2}$${\displaystyle \pi_{i}(X)=0}$${\displaystyle i<n}$$Estilo de visualización: pi _{n}(X)\neq 0$${\displaystyle {\tilde {H_{i}}}(X)=0}$${\displaystyle i<n}$${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)}$$Estilo de visualización: pi_n(X)$${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)\neq 0}$$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X).}$$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0}$$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)}$$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq -1}$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$${\displaystyle {\tilde {H_{0}}}(X)=0}$

La desigualdad puede ser estricta: hay espacios en los que pero . ^[6]${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)=\infty }$

Por definición, el k -ésimo grupo de homología de un complejo simplicial depende únicamente de los símplices de dimensión k +1 como máximo (véase homología simplicial ). Por lo tanto, el teorema anterior implica que un complejo simplicial K está k -conexo si y solo si su esqueleto ( k +1)-dimensional (el subconjunto de K que contiene únicamente símplices de dimensión k +1 como máximo) está k -conexo. ^{[1] : 80, Prop.4.4.2}

Sean K y L complejos de celdas no vacías . Su unión se denota comúnmente por . Entonces: ^{[1] : 81, Prop.4.4.3}${\displaystyle K*L}$$${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(K*L)\geq {\text{conn}}_{\pi }(K)+{\text{conn}}_{\pi }(L)+2.}$$

La identidad es más sencilla con la notación eta: como ejemplo, supongamos un conjunto de dos puntos desconectados. Hay un agujero unidimensional entre los puntos, por lo que eta es 1. La unión es un cuadrado, que es homeomorfo a un círculo, por lo que su eta es 2. La unión de este cuadrado con una tercera copia de K es un octaedro , que es homeomorfo a , y su eta es 3. En general, la unión de n copias de es homeomorfa a y su eta es n .$${\displaystyle \eta _{\pi }(K*L)\geq \eta _{\pi }(K)+\eta _{\pi }(L).}$$${\displaystyle K=L=S^{0}=}$${\displaystyle K*L}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S^{n-1}}$

La prueba general se basa en una fórmula similar para la conectividad homológica.

Sean K ₁ ,..., K _n complejos simples abstractos , y denotemos su unión por K .

Denotemos el complejo nervioso de { K ₁ , ... , K _n } (el complejo abstracto que registra el patrón de intersección de K _i ) por N .

Si, para cada no vacío , la intersección está vacía o ( k −| J |+1)-conectada, entonces para cada j ≤ k , el j -ésimo grupo de homotopía de N es isomorfo al j -ésimo grupo de homotopía de K.${\displaystyle J\subset I}$${\textstyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

En particular, N está k -conectado si y sólo si K está k -conectado. ^{[7] : Teoría 6}

En topología geométrica , se dice que los casos en los que la inclusión de un espacio definido geométricamente, como el espacio de inmersiones, en un espacio topológico más general, como el espacio de todas las aplicaciones continuas entre dos espacios asociados que están n -conectados, satisfacen un principio de homotopía o "principio h". Hay varias técnicas generales poderosas para demostrar los principios h.${\displaystyle M\to N,}$${\displaystyle X(M)\to X(N),}$

• Espacio conectado
• Espectro conectivo
• Conectado a un camino
• Simplemente conectado