Magma medial

En álgebra abstracta , un magma medial o grupoide medial es un magma o grupoide (es decir, un conjunto con una operación binaria ) que satisface la identidad

( x • y ) • ( u • v ) = ( x • u ) • ( y • v ) ,

o más simplemente,

xy • uv = xu • yv

para todos los x , y , u y v , utilizando la convención de que la yuxtaposición denota la misma operación pero tiene mayor precedencia. Esta identidad ha sido llamada de diversas formas: medial , abeliana , alternancia , transposición , intercambio , biconmutativa , bisimétrica , superconmutativa , entrópica, etc. ^[1]

Cualquier semigrupo conmutativo es un magma medial, y un magma medial tiene un elemento identidad si y solo si es un monoide conmutativo . La dirección "solo si" es el argumento de Eckmann-Hilton . Otra clase de semigrupos que forman magmas mediales son las bandas normales . ^[2] Los magmas mediales no necesitan ser asociativos: para cualquier grupo abeliano no trivial con operación + y números enteros m ≠ n , la nueva operación binaria definida por x • y = mx + ny produce un magma medial que en general no es asociativo ni conmutativo.

Utilizando la definición categórica de producto , para un magma M , se puede definir el magma  cuadrado cartesiano M  ×  M con la operación

( x ,  y ) • ( u ,  v ) = ( x • u ,  y • v ) .

La operación binaria • de  M , considerada como una aplicación de M × M a M , asigna ( x ,  y ) a x • y , ( u ,  v ) a u • v , y ( x • u ,  y • v )  a ( x • u ) • ( y • v )  . Por lo tanto, un magma  M es medial si y solo si su operación binaria es un homomorfismo de magma de  M × M a  M . Esto se puede expresar fácilmente en términos de un diagrama conmutativo , y por lo tanto conduce a la noción de un objeto de magma medial en una categoría con un producto cartesiano . (Véase la discusión en objeto de magma auto.)

Si f y g son endomorfismos de un magma medial, entonces la función f • g se define por la multiplicación puntual

( f • g )( x ) = f ( x ) • g ( x )

es en sí mismo un endomorfismo. De ello se deduce que el conjunto End( M ) de todos los endomorfismos de un magma medial M es en sí mismo un magma medial.

El teorema de Bruck–Murdoch–Toyoda proporciona la siguiente caracterización de los cuasigrupos mediales . Dado un grupo abeliano A y dos automorfismos conmutativos φ y ψ de A , defina una operación • sobre A mediante

x • y = φ ( x ) + ψ ( y ) + c ,

donde c es un elemento fijo de  A. No es difícil demostrar que A forma un cuasigrupo medial bajo esta operación. El teorema de Bruck-Toyoda establece que todo cuasigrupo medial es de esta forma, es decir, es isomorfo a un cuasigrupo definido a partir de un grupo abeliano de esta manera. ^[3] En particular, todo cuasigrupo medial es isotópico a un grupo abeliano.

El resultado fue obtenido de forma independiente en 1941 por Murdoch y Toyoda. ^{[4] [5]} Luego fue redescubierto por Bruck en 1944. ^[6]

El término medial o (más comúnmente) entrópico también se utiliza para una generalización a operaciones múltiples. Una estructura algebraica es un álgebra entrópica ^[7] si cada dos operaciones satisfacen una generalización de la identidad medial. Sean f y g operaciones de aridad m y n , respectivamente. Entonces se requiere que f y g satisfagan

${\displaystyle f(g(x_{11},\ldots ,x_{1n}),\ldots ,g(x_{m1},\ldots ,x_{mn}))=g(f(x_{11},\ldots ,x_{m1}),\ldots ,f(x_{1n},\ldots ,x_{mn})).}$

Un ejemplo particularmente natural de un magma medial no asociativo lo dan los puntos colineales en curvas elípticas . La operación x • y = −( x + y ) para puntos en la curva, que corresponde a trazar una línea entre x e y y definir x • y como el tercer punto de intersección de la línea con la curva elíptica, es un magma medial (conmutativo) que es isotópico a la operación de adición de curvas elípticas.

A diferencia de la suma de curvas elípticas, x • y es independiente de la elección de un elemento neutro en la curva y, además, satisface las identidades x • ( x • y ) = y . Esta propiedad se utiliza comúnmente en pruebas puramente geométricas de que la suma de curvas elípticas es asociativa.