Teoría clásica de campos

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Mecánica clásica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ Segunda ley del movimiento
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Una teoría clásica de campos es una teoría física que predice cómo uno o más campos de la física interactúan con la materia a través de ecuaciones de campo , sin considerar los efectos de la cuantización ; las teorías que incorporan la mecánica cuántica se denominan teorías cuánticas de campos . En la mayoría de los contextos, la "teoría clásica de campos" está destinada específicamente a describir el electromagnetismo y la gravitación , dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza.

Un campo físico puede considerarse como la asignación de una cantidad física en cada punto del espacio y del tiempo . Por ejemplo, en un pronóstico del tiempo, la velocidad del viento durante un día sobre un país se describe asignando un vector a cada punto del espacio. Cada vector representa la dirección del movimiento del aire en ese punto, por lo que el conjunto de todos los vectores del viento en un área en un punto dado del tiempo constituye un campo vectorial . A medida que avanza el día, las direcciones en las que apuntan los vectores cambian a medida que cambian las direcciones del viento.

Las primeras teorías de campo, la gravitación newtoniana y las ecuaciones de Maxwell de los campos electromagnéticos, se desarrollaron en la física clásica antes de la llegada de la teoría de la relatividad en 1905, y tuvieron que ser revisadas para que fueran coherentes con esa teoría. En consecuencia, las teorías de campo clásicas suelen clasificarse como no relativistas y relativistas . Las teorías de campo modernas suelen expresarse utilizando las matemáticas del cálculo tensorial . Un formalismo matemático alternativo más reciente describe los campos clásicos como secciones de objetos matemáticos llamados haces de fibras .

Michael Faraday acuñó el término "campo" y líneas de fuerza para explicar los fenómenos eléctricos y magnéticos. Lord Kelvin en 1851 formalizó el concepto de campo en diferentes áreas de la física.

Algunos de los campos físicos más simples son los campos de fuerza vectoriales. Históricamente, la primera vez que los campos se tomaron en serio fue con las líneas de fuerza de Faraday al describir el campo eléctrico . Luego se describió de manera similar el campo gravitacional .

La primera teoría de campo de la gravedad fue la teoría de la gravitación de Newton, en la que la interacción mutua entre dos masas obedece a una ley del cuadrado inverso . Esto fue muy útil para predecir el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

Cualquier cuerpo masivo M tiene un campo gravitatorio g que describe su influencia sobre otros cuerpos masivos. El campo gravitatorio de M en un punto r en el espacio se encuentra determinando la fuerza F que M ejerce sobre una pequeña masa de prueba m ubicada en r , y luego dividiendo por m : ^[1] Estipulando que m es mucho más pequeño que M se asegura que la presencia de m tiene una influencia despreciable en el comportamiento de M .$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$$

Según la ley de gravitación universal de Newton , F ( r ) se expresa mediante ^[1] donde es un vector unitario que apunta a lo largo de la línea de M a m y G es la constante gravitacional de Newton . Por lo tanto, el campo gravitacional de M es ^[1]$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$$

La observación experimental de que la masa inercial y la masa gravitatoria son iguales con niveles de precisión sin precedentes conduce a la identificación de la intensidad del campo gravitatorio como idéntica a la aceleración experimentada por una partícula. Este es el punto de partida del principio de equivalencia , que conduce a la relatividad general .

Para una colección discreta de masas, M _i , ubicadas en los puntos, r _i , el campo gravitacional en un punto r debido a las masas es$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,}$$

Si tenemos una distribución de masa continua ρ en cambio, la suma se reemplaza por una integral,$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,}$$

Obsérvese que la dirección del campo apunta desde la posición r hasta la posición de las masas r _i ; esto se garantiza mediante el signo menos. En pocas palabras, esto significa que todas las masas se atraen.

En forma integral la ley de Gauss para la gravedad es mientras que en forma diferencial es$${\displaystyle \iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}}$$

Por lo tanto, el campo gravitacional g puede escribirse en términos del gradiente de un potencial gravitacional φ ( r ) : Esto es una consecuencia de que la fuerza gravitacional F es conservativa .$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).}$$

Una partícula de prueba cargada con carga q experimenta una fuerza F basada únicamente en su carga. De manera similar, podemos describir el campo eléctrico E generado por la carga fuente Q de modo que F = q E :$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{q}}.}$$

Usando esto y la ley de Coulomb, el campo eléctrico debido a una sola partícula cargada es$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.}$$

El campo eléctrico es conservativo y, por lo tanto, está dado por el gradiente de un potencial escalar, V ( r )$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.}$$

La ley de Gauss para la electricidad está en forma integral mientras que en forma diferencial$${\displaystyle \iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{0}}}\,.}$$

Una corriente constante I que fluye a lo largo de una trayectoria ℓ ejercerá una fuerza sobre partículas cargadas cercanas que es cuantitativamente diferente de la fuerza del campo eléctrico descrita anteriormente. La fuerza ejercida por I sobre una carga cercana q con velocidad v es donde B ( r ) es el campo magnético , que se determina a partir de I mediante la ley de Biot-Savart :$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$$$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$$

El campo magnético no es conservativo en general y, por lo tanto, no se puede escribir en términos de un potencial escalar. Sin embargo, se puede escribir en términos de un potencial vectorial , A ( r ):$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$$

La ley de Gauss para el magnetismo en forma integral es mientras que en forma diferencial es$${\displaystyle \iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}$$

La interpretación física es que no hay monopolos magnéticos .

En general, en presencia de una densidad de carga ρ ( r , t ) y una densidad de corriente J ( r , t ), habrá un campo eléctrico y un campo magnético, y ambos variarán en el tiempo. Están determinados por las ecuaciones de Maxwell , un conjunto de ecuaciones diferenciales que relacionan directamente E y B con la densidad de carga eléctrica (carga por unidad de volumen) ρ y la densidad de corriente (corriente eléctrica por unidad de área) J . ^[2]

Alternativamente, se puede describir el sistema en términos de sus potenciales escalares y vectoriales V y A . Un conjunto de ecuaciones integrales conocidas como potenciales retardados permiten calcular V y A a partir de ρ y J , ^{[nota 1]} y a partir de allí se determinan los campos eléctricos y magnéticos a través de las relaciones ^[3]$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

La dinámica de fluidos tiene campos de presión, densidad y caudal que están conectados por leyes de conservación de la energía y el momento. La ecuación de continuidad de masa es una ecuación de continuidad, que representa la conservación de la masa y las ecuaciones de Navier-Stokes representan la conservación del momento en el fluido, que se encuentra a partir de las leyes de Newton aplicadas al fluido, si se dan la densidad ρ , la presión p , el tensor de tensión desviatoria τ del fluido, así como las fuerzas externas del cuerpo b . El campo de velocidad u es el campo vectorial que se debe resolver.$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b} }$$

En 1839, James MacCullagh presentó ecuaciones de campo para describir la reflexión y la refracción en "Un ensayo hacia una teoría dinámica de la reflexión y refracción cristalinas". ^[4]

El término " teoría del potencial " surge del hecho de que, en la física del siglo XIX, se creía que las fuerzas fundamentales de la naturaleza se derivaban de potenciales escalares que satisfacían la ecuación de Laplace . Poisson abordó la cuestión de la estabilidad de las órbitas planetarias , que ya había sido resuelta por Lagrange en primer grado de aproximación a partir de las fuerzas de perturbación, y derivó la ecuación de Poisson , que lleva su nombre. La forma general de esta ecuación es

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\sigma }$$

donde σ es una función fuente (como una densidad, una cantidad por unidad de volumen) y ø el potencial escalar a resolver.

En la gravitación newtoniana, las masas son las fuentes del campo, de modo que las líneas de campo terminan en los objetos que tienen masa. De manera similar, las cargas son las fuentes y los sumideros de los campos electrostáticos: las cargas positivas emanan líneas de campo eléctrico y las líneas de campo terminan en cargas negativas. Estos conceptos de campo también se ilustran en el teorema general de divergencia , específicamente en la ley de Gauss para la gravedad y la electricidad. Para los casos de gravedad y electromagnetismo independientes del tiempo, los campos son gradientes de potenciales correspondientes, por lo que al sustituirlos en la ley de Gauss para cada caso se obtiene$${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi _{g}\,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi _{e}}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi _{g}=4\pi G\rho _{g}\,,\quad \nabla ^{2}\phi _{e}=4\pi k_{e}\rho _{e}=-{\rho _{e} \over \varepsilon _{0}}}$$

donde ρ _g es la densidad de masa , ρ _e la densidad de carga , G la constante gravitacional y k _e = 1/4πε ₀ la constante de fuerza eléctrica.

Por cierto, esta similitud surge de la similitud entre la ley de gravitación de Newton y la ley de Coulomb .

En el caso en que no existe un término fuente (por ejemplo, vacío o cargas emparejadas), estos potenciales obedecen la ecuación de Laplace :$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0.}$$

Para una distribución de masa (o carga), el potencial se puede expandir en una serie de armónicos esféricos , y el término n -ésimo de la serie se puede considerar como un potencial que surge de los 2 ⁿ -momentos (véase expansión multipolar ). Para muchos propósitos, solo se necesitan los términos monopolo, dipolar y cuadrupolo en los cálculos.

Las formulaciones modernas de las teorías de campo clásicas generalmente requieren la covarianza de Lorentz , ya que ahora se reconoce que es un aspecto fundamental de la naturaleza. Una teoría de campo tiende a expresarse matemáticamente mediante el uso de lagrangianos . Esta es una función que, cuando se somete a un principio de acción , da lugar a las ecuaciones de campo y a una ley de conservación para la teoría. La acción es un escalar de Lorentz, del cual se pueden derivar fácilmente las ecuaciones de campo y las simetrías.

A lo largo de todo el texto utilizamos unidades tales que la velocidad de la luz en el vacío es 1, es decir, c = 1. ^{[nota 2]}

Dado un tensor de campo , se puede construir un escalar llamado densidad lagrangiana a partir de y sus derivadas. A partir de esta densidad, se puede construir la función de acción mediante la integración en el espacio-tiempo,${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)}$$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.}$$

¿Dónde está la forma del volumen en el espacio-tiempo curvo?${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$${\displaystyle (g\equiv \det(g_{\mu \nu }))}$

Por lo tanto, el Lagrangiano en sí es igual a la integral de la densidad Lagrangiana en todo el espacio.

Luego, al aplicar el principio de acción , se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange

$${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.}$$

A continuación se describen dos de las teorías de campos clásicos covariantes de Lorentz más conocidas.

Históricamente, las primeras teorías de campos (clásicas) fueron las que describían los campos eléctrico y magnético (por separado). Después de numerosos experimentos, se encontró que estos dos campos estaban relacionados, o, de hecho, eran dos aspectos del mismo campo: el campo electromagnético . La teoría del electromagnetismo de Maxwell describe la interacción de la materia cargada con el campo electromagnético. La primera formulación de esta teoría de campos utilizaba campos vectoriales para describir los campos eléctrico y magnético . Con el advenimiento de la relatividad especial, se encontró una formulación más completa utilizando campos tensoriales . En lugar de utilizar dos campos vectoriales que describan los campos eléctrico y magnético, se utiliza un campo tensor que representa estos dos campos juntos.

El tetrapotencial electromagnético se define como A _a = (− φ , A ) , y la tetracorriente electromagnética j _a = (− ρ , j ) . El campo electromagnético en cualquier punto del espacio-tiempo se describe mediante el tensor de campo electromagnético antisimétrico de rango (0,2)$${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.}$$

Para obtener la dinámica de este campo, intentamos construir un escalar a partir del campo. En el vacío, tenemos$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.}$$

Podemos utilizar la teoría de campos de calibre para obtener el término de interacción, y esto nos da$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.}$$

Para obtener las ecuaciones de campo, el tensor electromagnético en la densidad lagrangiana debe reemplazarse por su definición en términos del potencial 4 A , y es este potencial el que entra en las ecuaciones de Euler-Lagrange. El campo electromagnético F no varía en las ecuaciones EL. Por lo tanto,$${\displaystyle \partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.}$$

Evaluando la derivada de la densidad lagrangiana con respecto a los componentes de campo y las derivadas de los componentes de campo se obtienen las ecuaciones de Maxwell en el vacío. Las ecuaciones fuente (la ley de Gauss para la electricidad y la ley de Maxwell-Ampère) son mientras que las otras dos (la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Faraday) se obtienen del hecho de que F es el 4-rotativo de A , o, en otras palabras, del hecho de que la identidad de Bianchi se cumple para el tensor de campo electromagnético. ^[5]$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,}$$$${\displaystyle \partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.}$$$${\displaystyle 6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.}$$

donde la coma indica una derivada parcial .

Después de que se descubrió que la gravitación newtoniana era incompatible con la relatividad especial , Albert Einstein formuló una nueva teoría de la gravitación llamada relatividad general . Esta trata la gravitación como un fenómeno geométrico (' espacio-tiempo curvado ') causado por masas y representa el campo gravitacional matemáticamente mediante un campo tensorial llamado tensor métrico . Las ecuaciones de campo de Einstein describen cómo se produce esta curvatura. La gravitación newtoniana ahora ha sido reemplazada por la teoría de la relatividad general de Einstein , en la que se piensa que la gravitación se debe a un espacio-tiempo curvado , causado por masas. Las ecuaciones de campo de Einstein describen cómo se produce esta curvatura por la materia y la radiación, donde G _ab es el tensor de Einstein , escrito en términos del tensor de Ricci R _ab y el escalar de Ricci R = R _ab g ^ab , T _ab es el tensor de tensión-energía y κ = 8 πG / c ⁴ es una constante. En ausencia de materia y radiación (incluidas las fuentes) , las ecuaciones de campo del vacío se pueden derivar variando la acción de Einstein-Hilbert con respecto a la métrica, donde g es el determinante del tensor métrico g ^ab . Las soluciones de las ecuaciones de campo del vacío se denominan soluciones de vacío . Una interpretación alternativa, debida a Arthur Eddington , es que es fundamental, es simplemente un aspecto de y está forzada por la elección de unidades.$${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab}}$$$${\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$$ $${\displaystyle G_{ab}=0}$$$${\displaystyle S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \kappa }$

Otros ejemplos de teorías de campos clásicos covariantes de Lorentz son

• Teoría de Klein-Gordon para campos escalares reales o complejos
• Teoría de Dirac para un campo de espinores de Dirac
• Teoría de Yang-Mills para un campo de calibración no abeliano

Los intentos de crear una teoría de campo unificado basada en la física clásica son las teorías de campo unificado clásicas. Durante los años entre las dos guerras mundiales, la idea de unificar la gravedad con el electromagnetismo fue perseguida activamente por varios matemáticos y físicos como Albert Einstein , Theodor Kaluza , ^[6] Hermann Weyl , ^[7] Arthur Eddington , ^[8] Gustav Mie ^[9] y Ernst Reichenbacher. ^[10]

Los primeros intentos de crear dicha teoría se basaron en la incorporación de campos electromagnéticos en la geometría de la relatividad general . En 1918, Hermann Weyl propuso la primera geometrización del campo electromagnético. ^{[11] En 1919,} Theodor Kaluza sugirió la idea de un enfoque de cinco dimensiones . ^[11] A partir de eso, se desarrolló una teoría llamada teoría de Kaluza-Klein . Intenta unificar la gravitación y el electromagnetismo en un espacio-tiempo de cinco dimensiones . Hay varias formas de extender el marco de representación para una teoría de campo unificado que han sido consideradas por Einstein y otros investigadores. Estas extensiones en general se basan en dos opciones. ^[11] La primera opción se basa en relajar las condiciones impuestas a la formulación original, y la segunda se basa en introducir otros objetos matemáticos en la teoría. ^[11] Un ejemplo de la primera opción es relajar las restricciones al espacio-tiempo de cuatro dimensiones considerando representaciones de dimensiones superiores. ^[11] Esto se utiliza en la teoría de Kaluza-Klein . En cuanto al segundo, el ejemplo más destacado surge del concepto de conexión afín que se introdujo en la teoría de la relatividad general principalmente a través del trabajo de Tullio Levi-Civita y Hermann Weyl . ^[11]

El desarrollo posterior de la teoría cuántica de campos cambió el enfoque de la búsqueda de la teoría unificada de campos, pasando de la descripción clásica a la cuántica. Debido a eso, muchos físicos teóricos abandonaron la búsqueda de una teoría unificada de campos clásica. ^[11] La teoría cuántica de campos incluiría la unificación de otras dos fuerzas fundamentales de la naturaleza , la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil que actúan a nivel subatómico. ^{[12] [13]}

• Thidé, Bo . «Teoría del campo electromagnético» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de septiembre de 2003. Consultado el 14 de febrero de 2006 .
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• Binney, James J. "Lecture Notes on Classical Fields" (PDF) . Consultado el 30 de abril de 2007 .
• Sardanashvily, G. (noviembre de 2008). "Teoría clásica avanzada de campos". Revista internacional de métodos geométricos en física moderna . 5 (7): 1163–1189. arXiv : 0811.0331 . Código Bibliográfico :2008IJGMM..05.1163S. doi :10.1142/S0219887808003247. ISBN 978-981-283-895-7. Número de identificación del sujeto  13884729.