Grupo de Lorentz

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
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Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

En física y matemáticas , el grupo de Lorentz es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo de Minkowski , la configuración clásica y cuántica para todos los fenómenos físicos (no gravitacionales) . El grupo de Lorentz recibe su nombre del físico holandés Hendrik Lorentz .

Por ejemplo, las siguientes leyes, ecuaciones y teorías respetan la simetría de Lorentz:

• Las leyes cinemáticas de la relatividad especial
• Las ecuaciones de campo de Maxwell en la teoría del electromagnetismo
• La ecuación de Dirac en la teoría del electrón
• El modelo estándar de la física de partículas

El grupo de Lorentz expresa la simetría fundamental del espacio y el tiempo de todas las leyes fundamentales conocidas de la naturaleza . En regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo donde las variaciones gravitacionales son despreciables, las leyes físicas son invariantes respecto de Lorentz, de la misma manera que la relatividad especial.

El grupo de Lorentz es un subgrupo del grupo de Poincaré —el grupo de todas las isometrías del espaciotiempo de Minkowski— . Las transformaciones de Lorentz son, precisamente, isometrías que dejan fijo el origen. Así, el grupo de Lorentz es el subgrupo de isotropía respecto del origen del grupo de isometría del espaciotiempo de Minkowski. Por esta razón, al grupo de Lorentz a veces se le llama grupo de Lorentz homogéneo mientras que al grupo de Poincaré a veces se le llama grupo de Lorentz no homogéneo . Las transformaciones de Lorentz son ejemplos de transformaciones lineales ; las isometrías generales del espaciotiempo de Minkowski son transformaciones afines .

Supongamos dos marcos de referencia inerciales ( t , x , y , z ) y ( t ′, x ′, y ′, z ′) , y dos puntos P ₁ , P ₂ , el grupo de Lorentz es el conjunto de todas las transformaciones entre los dos marcos de referencia que preservan la velocidad de la luz que se propaga entre los dos puntos:

${\displaystyle c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z')^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$

En forma matricial estas son todas las transformaciones lineales Λ tales que:

${\displaystyle \Lambda ^{\textsf {T}}\eta \Lambda =\eta \qquad \eta =\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}$

Éstas se denominan transformaciones de Lorentz.

Matemáticamente, el grupo de Lorentz puede describirse como el grupo ortogonal indefinido O(1, 3) , el grupo de Lie matricial que conserva la forma cuadrática.

${\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

en R ⁴ (el espacio vectorial dotado de esta forma cuadrática se escribe a veces R ^1,3 ). Esta forma cuadrática, cuando se pone en forma matricial (véase Grupo ortogonal clásico ), se interpreta en física como el tensor métrico del espacio-tiempo de Minkowski.

El grupo de Lorentz es un grupo de Lie real no abeliano, no compacto y de seis dimensiones que no está conexo . Los cuatro componentes conexos no están simplemente conexos . ^[1] El componente identidad (es decir, el componente que contiene el elemento identidad) del grupo de Lorentz es en sí mismo un grupo, y a menudo se denomina grupo de Lorentz restringido , y se denota SO ⁺ (1, 3) . El grupo de Lorentz restringido consiste en aquellas transformaciones de Lorentz que preservan tanto la orientación del espacio como la dirección del tiempo. Su grupo fundamental tiene orden 2, y su cobertura universal, el grupo de espín indefinido Spin(1, 3) , es isomorfo tanto al grupo lineal especial SL(2, C ) como al grupo simpléctico Sp(2, C ) . Estos isomorfismos permiten que el grupo de Lorentz actúe sobre una gran cantidad de estructuras matemáticas importantes para la física, en particular los espinores . Así, en la mecánica cuántica relativista y en la teoría cuántica de campos , es muy común llamar a SL(2, C ) el grupo de Lorentz, entendiendo que SO ⁺ (1, 3) es una representación específica (la representación vectorial) del mismo.

Una representación recurrente de la acción del grupo de Lorentz en el espacio de Minkowski utiliza biquaternions , que forman un álgebra de composición . La propiedad de isometría de las transformaciones de Lorentz se cumple de acuerdo con la propiedad de composición .${\displaystyle |pq|=|p|\times |q|}$

Otra propiedad del grupo de Lorentz es la conformidad o conservación de los ángulos. Los impulsos de Lorentz actúan mediante la rotación hiperbólica de un plano del espacio-tiempo, y tales "rotaciones" conservan el ángulo hiperbólico , la medida de rapidez utilizada en la relatividad. Por lo tanto, el grupo de Lorentz es un subgrupo del grupo conforme del espacio-tiempo .

Tenga en cuenta que este artículo se refiere a O(1, 3) como el "grupo de Lorentz", SO(1, 3) como el "grupo de Lorentz propiamente dicho" y SO ⁺ (1, 3) como el "grupo de Lorentz restringido". Muchos autores (especialmente en física) utilizan el nombre "grupo de Lorentz" para SO(1, 3) (o a veces incluso SO ⁺ (1, 3) ) en lugar de O(1, 3) . Al leer a dichos autores es importante tener claro exactamente a qué se refieren.

Como es un grupo de Lie , el grupo de Lorentz O(1, 3) es un grupo y también tiene una descripción topológica como variedad lisa . Como variedad, tiene cuatro componentes conexos. Intuitivamente, esto significa que consta de cuatro partes separadas topológicamente.

Los cuatro componentes conectados se pueden clasificar según dos propiedades de transformación que tienen sus elementos:

• Algunos elementos se invierten bajo transformaciones de Lorentz que invierten el tiempo, por ejemplo, un vector temporal que apunta al futuro se invertiría en un vector que apunta al pasado.
• Algunos elementos tienen la orientación invertida por transformaciones de Lorentz incorrectas , por ejemplo, ciertas vierbeinas (tétradas)

Las transformaciones de Lorentz que preservan la dirección del tiempo se denominanortócronas . El subgrupo de transformaciones ortócronas se denota a menudoO ⁺ (1, 3). Las que conservan la orientación se denominanpropiasy, como transformaciones lineales, tienen determinante+1. (Las transformaciones de Lorentz impropias tienen determinante−1). El subgrupo de transformaciones de Lorentz propias se denotaSO(1, 3).

El subgrupo de todas las transformaciones de Lorentz que preservan tanto la orientación como la dirección del tiempo se denomina grupo de Lorentz propio, ortócrono o grupo de Lorentz restringido , y se denota por SO ⁺ (1, 3) . ^[a]

Al conjunto de los cuatro componentes conexos se le puede dar una estructura de grupo como el grupo cociente O(1, 3) / SO ⁺ (1, 3) , que es isomorfo al cuatrigrupo de Klein . Cada elemento en O(1, 3) se puede escribir como el producto semidirecto de una transformación propia, ortócrona y un elemento del grupo discreto

{1, P , T , PT }

donde P y T son los operadores de paridad e inversión de tiempo :

P = diag(1, −1, −1, −1)

T = diag(−1, 1, 1, 1) .

De este modo, una transformación de Lorentz arbitraria puede especificarse como una transformación de Lorentz ortócrona propia junto con otros dos bits de información que seleccionan uno de los cuatro componentes conectados. Este patrón es típico de los grupos de Lie de dimensión finita.

El grupo de Lorentz restringido SO ⁺ (1,3) es el componente identidad del grupo de Lorentz, lo que significa que está formado por todas las transformaciones de Lorentz que pueden conectarse con la identidad mediante una curva continua que se encuentra en el grupo. El grupo de Lorentz restringido es un subgrupo normal conectado del grupo de Lorentz completo con la misma dimensión, en este caso con dimensión seis.

El grupo de Lorentz restringido se genera mediante rotaciones espaciales ordinarias y aumentos de Lorentz (que son rotaciones en un espacio hiperbólico que incluye una dirección temporal ^[2] ). Dado que cada transformación de Lorentz propia y ortócrona se puede escribir como un producto de una rotación (especificada por 3 parámetros reales ) y un aumento (también especificado por 3 parámetros reales), se necesitan 6 parámetros reales para especificar una transformación de Lorentz propia y ortócrona arbitraria. Esta es una forma de entender por qué el grupo de Lorentz restringido es hexadimensional. (Véase también el álgebra de Lie del grupo de Lorentz).

El conjunto de todas las rotaciones forma un subgrupo de Lie isomorfo al grupo de rotación ordinario SO(3) . Sin embargo, el conjunto de todos los boosts no forma un subgrupo, ya que la composición de dos boosts no da como resultado, en general, otro boost. (Más bien, un par de boosts no colineales es equivalente a un boost y una rotación, y esto se relaciona con la rotación de Thomas ). Un boost en alguna dirección, o una rotación sobre algún eje, genera un subgrupo de un parámetro .

Si un grupo G actúa sobre un espacio V , entonces una superficie S ⊂ V es una superficie de transitividad si S es invariante bajo G (es decir, ∀ g ∈ G , ∀ s ∈ S : gs ∈ S ) y para cualesquiera dos puntos s ₁ , s ₂ ∈ S existe un g ∈ G tal que gs ₁ = s ₂ . Por definición del grupo de Lorentz, conserva la forma cuadrática

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$

Las superficies de transitividad del grupo de Lorentz ortócrono O ⁺ (1, 3) , Q ( x ) = const. que actúa sobre el espaciotiempo plano R ^1,3 son las siguientes: ^[3]

• Q ( x ) > 0, x ₀ > 0 es la rama superior de un hiperboloide de dos láminas. Los puntos de esta lámina están separados del origen por un vector de tiempo futuro .
• Q ( x ) > 0, x ₀ < 0 es la rama inferior de este hiperboloide. Los puntos de esta hoja son vectores de tiempo pasado .
• Q ( x ) = 0, x ₀ > 0 es la rama superior del cono de luz , el futuro cono de luz.
• Q ( x ) = 0, x ₀ < 0 es la rama inferior del cono de luz, el cono de luz pasado.
• Q ( x ) < 0 es un hiperboloide de una lámina. Los puntos de esta lámina estánseparados del origen por una distancia espacial .
• El origen x ₀ = x ₁ = x ₂ = x ₃ = 0 .

Estas superficies son tridimensionales , por lo que las imágenes no son fieles, pero sí lo son para los hechos correspondientes sobre O ⁺ (1, 2) . Para el grupo de Lorentz completo, las superficies de transitividad son solo cuatro, ya que la transformación T lleva una rama superior de un hiperboloide (cono) a una inferior y viceversa.

Una forma equivalente de formular las superficies de transitividad anteriores es como un espacio simétrico en el sentido de la teoría de Lie. Por ejemplo, la capa superior del hiperboloide se puede escribir como el espacio cociente SO ⁺ (1, 3) / SO(3) , debido al teorema del estabilizador de órbita . Además, esta capa superior también proporciona un modelo para el espacio hiperbólico tridimensional .

Estas observaciones constituyen un buen punto de partida para encontrar todas las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz, de hecho, del grupo de Poincaré, utilizando el método de representaciones inducidas . ^[4] Se comienza con un "vector estándar", uno para cada superficie de transitividad, y luego se pregunta qué subgrupo preserva estos vectores. Estos subgrupos son llamados pequeños grupos por los físicos. El problema se reduce entonces esencialmente al problema más fácil de encontrar representaciones de los pequeños grupos. Por ejemplo, un vector estándar en una de las hipérbolas de dos láminas podría elegirse adecuadamente como ( m , 0, 0, 0) . Para cada m ≠ 0 , el vector perfora exactamente una lámina. En este caso, el pequeño grupo es SO(3) , el grupo de rotación , todas cuyas representaciones son conocidas. La representación unitaria de dimensión infinita precisa bajo la cual una partícula se transforma es parte de su clasificación. No todas las representaciones pueden corresponder a partículas físicas (hasta donde se sabe). Los vectores estándar en las hipérbolas de una sola hoja corresponderían a los taquiones . Las partículas en el cono de luz son los fotones y, más hipotéticamente, los gravitones . La "partícula" correspondiente al origen es el vacío.

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Hay otros grupos que son homomórficos o isomorfos al grupo restringido de Lorentz SO ⁺ (1, 3) . Estos homomorfismos desempeñan un papel fundamental en la explicación de diversos fenómenos de la física.

• El grupo lineal especial SL(2, C ) es un recubrimiento doble del grupo de Lorentz restringido. Esta relación se utiliza ampliamente para expresar la invariancia de Lorentz de la ecuación de Dirac y la covariancia de los espinores . En otras palabras, el grupo de Lorentz (restringido) es isomorfo a SL(2, C ) / Z ₂
• El grupo simpléctico Sp(2, C ) es isomorfo a SL(2, C ) ; se utiliza para construir espinores de Weyl , así como para explicar cómo los espinores pueden tener masa.
• El grupo de espín Spin(1, 3) es isomorfo a SL(2, C ) ; se utiliza para explicar el espín y los espinores en términos del álgebra de Clifford , lo que deja claro cómo generalizar el grupo de Lorentz a entornos generales en geometría de Riemann , incluidas las teorías de supergravedad y la teoría de cuerdas .
• El grupo de Lorentz restringido es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL(2, C ) que, a su vez, es isomorfo al grupo de Möbius , el grupo de simetría de la geometría conforme en la esfera de Riemann . Esta relación es central para la clasificación de los subgrupos del grupo de Lorentz según un esquema de clasificación anterior desarrollado para el grupo de Möbius.

La representación de Weyl o mapa de espinores es un par de homomorfismos sobreyectivos desde SL(2, C ) hasta SO ⁺ (1, 3) . Forman un par emparejado bajo transformaciones de paridad , correspondientes a espinores quirales izquierdo y derecho .

Se puede definir una acción de SL(2, C ) en el espaciotiempo de Minkowski escribiendo un punto del espaciotiempo como una matriz hermítica de dos por dos en la forma

${\displaystyle {\overline {X}}={\begin{bmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&ct-z\end{bmatrix}}=ct1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

en términos de matrices de Pauli .

Esta presentación, la presentación Weyl, satisface

${\displaystyle \det \,{\overline {X}}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Por lo tanto, se ha identificado el espacio de matrices hermíticas (que es tetradimensional, como un espacio vectorial real ) con el espaciotiempo de Minkowski, de tal manera que el determinante de una matriz hermítica es la longitud al cuadrado del vector correspondiente en el espaciotiempo de Minkowski. Un elemento S ∈ SL(2, C ) actúa sobre el espacio de matrices hermíticas mediante

${\displaystyle {\overline {X}}\mapsto S{\overline {X}}S^{\dagger }~,}$

donde es la transpuesta hermítica de S . Esta acción preserva el determinante y, por lo tanto, SL(2, C ) actúa sobre el espacio-tiempo de Minkowski mediante isometrías (lineales). La forma de paridad invertida de lo anterior es${\displaystyle S^{\dagger }}$

${\displaystyle X=ct1\!\!1-{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

que se transforma como

${\displaystyle X\mapsto \left(S^{-1}\right)^{\dagger }XS^{-1}}$

Que ésta es la transformación correcta se deduce del hecho de que

${\displaystyle {\overline {X}}X=\left(c^{2}t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\right)1\!\!1=\left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)1\!\!1}$

permanece invariante bajo el par de transformaciones anterior.

Estos mapas son sobreyectivos y el núcleo de cada mapa es el subgrupo de dos elementos ± I. Por el primer teorema de isomorfismo , el grupo cociente PSL(2, C ) = SL(2, C ) / {± I } es isomorfo a SO ⁺ (1, 3) .

El mapa de paridad intercambia estos dos recubrimientos. Corresponde a la conjugación hermítica siendo un automorfismo de SL(2, C ) . Estos dos recubrimientos distintos corresponden a las dos acciones quirales distintas del grupo de Lorentz sobre los espinores . La forma no sobrelineada corresponde a los espinores diestros que se transforman como ⁠ ⁠${\displaystyle \psi _{R}\mapsto S\psi _{R}}$ , mientras que la forma sobrelineada corresponde a los espinores zurdos que se transforman como ⁠ ⁠${\displaystyle \psi _{L}\mapsto \left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{L}}$ . ^[b]

Es importante observar que este par de recubrimientos no sobrevive a la cuantificación; cuando se cuantifica, esto conduce al fenómeno peculiar de la anomalía quiral . Las simetrías clásicas (es decir, no cuantificadas) del grupo de Lorentz se rompen por la cuantificación; este es el contenido del teorema del índice de Atiyah-Singer .

En física, es convencional denotar una transformación de Lorentz Λ ∈ SO ⁺ (1, 3) como ⁠ ⁠${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }}$ , mostrando así la matriz con índices espacio-temporales μ , ν = 0, 1, 2, 3 . Se puede crear un cuatrivector a partir de las matrices de Pauli de dos formas diferentes: como y como ⁠ ⁠ . Las dos formas están relacionadas por una transformación de paridad . Nótese que ⁠ ⁠ .${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }=\left(I,-{\vec {\sigma }}\right)}$${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }=\sigma ^{\mu }}$

Dada una transformación de Lorentz ⁠ ⁠${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$ , el doble recubrimiento del grupo de Lorentz ortócrono por S ∈ SL(2, C ) dado anteriormente se puede escribir como

${\displaystyle x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }}_{\mu }={\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

Al dejar caer esto se obtiene la forma${\displaystyle x^{\mu }}$

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

La forma conjugada de paridad es

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

No resulta obvio de inmediato que la forma anterior sea la correcta para la notación indexada, en parte porque, cuando se trabaja en notación indexada, es bastante fácil confundir accidentalmente una transformada de Lorentz con su inversa o su transpuesta. Esta confusión surge debido a que la identidad es difícil de reconocer cuando se escribe en forma indexada. ¡Las transformadas de Lorentz no son tensores bajo transformaciones de Lorentz! Por lo tanto, una prueba directa de esta identidad es útil para establecer su corrección. Se puede demostrar comenzando con la identidad${\displaystyle \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}}$

${\displaystyle \omega \sigma ^{k}\omega ^{-1}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{\textsf {T}}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{*}}$

donde de modo que las anteriores son simplemente las matrices de Pauli habituales, y es la matriz transpuesta, y es la conjugación compleja. La matriz es${\displaystyle k=1,2,3}$${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$${\displaystyle (\cdot )^{*}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

Escrita como cuatro vectores, la relación es

${\displaystyle \sigma _{\mu }^{\textsf {T}}=\sigma _{\mu }^{*}=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}}$

Esto se transforma como

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mu }^{\textsf {T}}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }&=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\\&=\omega S\;{\overline {\sigma }}_{\nu }\,S^{\dagger }\omega ^{-1}\\&=\left(\omega S\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega {\overline {\sigma }}_{\nu }\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega S^{\dagger }\omega ^{-1}\right)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\textsf {T}}\,\sigma _{\nu }^{\textsf {T}}\,\left(S^{-1}\right)^{*}\end{aligned}}}$

Tomando una transposición más, se obtiene

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

El grupo simpléctico Sp(2, C ) es isomorfo a SL(2, C ) . Este isomorfismo se construye de manera que se conserve una forma bilineal simpléctica en C ² , es decir, que la forma permanezca invariable ante las transformaciones de Lorentz. Esto se puede expresar de la siguiente manera. El grupo simpléctico se define como

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbf {C} )=\left\{S\in \operatorname {GL} (2,\mathbf {C} ):S^{\textsf {T}}\omega S=\omega \right\}}$

dónde

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

Otras notaciones comunes son para este elemento; a veces se utiliza J , pero esto invita a confusión con la idea de estructuras casi complejas , que no son lo mismo, ya que se transforman de manera diferente.${\displaystyle \omega =\epsilon }$

Dado un par de espinores de Weyl (espinores de dos componentes)

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}~,\quad v={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}}$

La forma bilineal invariante se escribe convencionalmente como

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

Esta forma es invariante bajo el grupo de Lorentz, de modo que para S ∈ SL(2, C ) se tiene

${\displaystyle \langle Su,Sv\rangle =\langle u,v\rangle }$

Esto define un tipo de "producto escalar" de espinores, y se usa comúnmente para definir un término de masa invariante de Lorentz en lagrangianos . Hay varias propiedades notables que se deben mencionar y que son importantes para la física. Una es que y así${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$${\displaystyle \omega ^{-1}=\omega ^{\textsf {T}}=\omega ^{\dagger }=-\omega }$

La relación definitoria se puede escribir como

${\displaystyle \omega S^{\textsf {T}}\omega ^{-1}=S^{-1}}$

que se asemeja mucho a la relación definitoria del grupo de Lorentz

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}}$

donde está el tensor métrico para el espacio de Minkowski y por supuesto, como antes.${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$

Como SL(2, C ) es simplemente conexo, es el grupo de recubrimiento universal del grupo de Lorentz restringido SO ⁺ (1, 3) . Por restricción, existe un homomorfismo SU(2) → SO(3) . Aquí, el grupo unitario especial SU(2), que es isomorfo al grupo de cuaterniones de norma unidad , también es simplemente conexo, por lo que es el grupo de recubrimiento del grupo de rotación SO(3) . Cada una de estas funciones de recubrimiento son funciones dobles en el sentido de que precisamente dos elementos del grupo de recubrimiento se asignan a cada elemento del cociente. A menudo se dice que el grupo de Lorentz restringido y el grupo de rotación están doblemente conexos . Esto significa que el grupo fundamental de cada grupo es isomorfo al grupo cíclico de dos elementos Z ₂ .

Los recubrimientos dobles son característicos de los grupos de espín . De hecho, además de los recubrimientos dobles

Espín ⁺ (1, 3) = SL(2, C ) → SO ⁺ (1, 3)

Espín(3) = SU(2) → SO(3)

Tenemos las cubiertas dobles

Pin(1, 3) → O(1, 3)

Giro(1, 3) → SO(1, 3)

Espín ⁺ (1, 2) = SU(1, 1) → SO(1, 2)

Estas dobles cubiertas espinoriales se construyen a partir de álgebras de Clifford .

Los grupos izquierdo y derecho en la doble cobertura

SU(2) → SO(3)

son retracciones de deformación de los grupos izquierdo y derecho, respectivamente, en la doble cubierta

SL(2, C ) → SO ⁺ (1, 3) .

Pero el espacio homogéneo SO ⁺ (1, 3) / SO(3) es homeomorfo al hiperbólico 3-espacio H ³ , por lo que hemos exhibido el grupo de Lorentz restringido como un fibrado principal con fibras SO(3) y base H ³ . Como este último es homeomorfo a R ³ , mientras que SO(3) es homeomorfo al espacio proyectivo real tridimensional R P ³ , vemos que el grupo de Lorentz restringido es localmente homeomorfo al producto de R P ³ con R ³ . Como el espacio base es contráctil, esto se puede extender a un homeomorfismo global. ^{[ aclaración necesaria ]}

Dado que el grupo de Lorentz restringido SO ⁺ (1, 3) es isomorfo al grupo de Möbius PSL(2, C ) , sus clases de conjugación también se dividen en cinco clases:

• Transformaciones elípticas
• Transformaciones hiperbólicas
• Transformaciones loxodrómicas
• Transformaciones parabólicas
• La transformación trivial de la identidad

En el artículo sobre transformaciones de Möbius se explica cómo surge esta clasificación al considerar los puntos fijos de las transformaciones de Möbius en su acción sobre la esfera de Riemann, lo que corresponde aquí a espacios propios nulos de transformaciones de Lorentz restringidas en su acción sobre el espaciotiempo de Minkowski.

En las subsecciones siguientes se ofrece un ejemplo de cada tipo, junto con el efecto del subgrupo de un parámetro que genera (por ejemplo, en la apariencia del cielo nocturno).

Las transformaciones de Möbius son las transformaciones conformes de la esfera de Riemann (o esfera celeste). Luego, al conjugarlas con un elemento arbitrario de SL(2, C ), se obtienen los siguientes ejemplos de transformaciones de Lorentz arbitrarias elípticas, hiperbólicas, loxodrómicas y parabólicas (restringidas), respectivamente. El efecto sobre las líneas de flujo de los subgrupos de un parámetro correspondientes es transformar el patrón visto en los ejemplos mediante alguna transformación conforme. Por ejemplo, una transformación de Lorentz elíptica puede tener dos puntos fijos distintos en la esfera celeste, pero los puntos aún fluyen a lo largo de arcos circulares desde un punto fijo hacia el otro. Los otros casos son similares.

Un elemento elíptico de SL(2, C ) es

${\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\theta \right)\end{bmatrix}}}$

y tiene puntos fijos ξ = 0, ∞. Escribiendo la acción como X ↦ P ₁ X P ₁ ^† y reuniendo términos, la función de espinor convierte esto en la transformación de Lorentz (restringida)

${\displaystyle Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

Esta transformación representa entonces una rotación alrededor del eje z , exp( iθJ _z ). El subgrupo de un parámetro que genera se obtiene tomando θ como una variable real, el ángulo de rotación, en lugar de una constante.

Las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten los mismos dos puntos fijos, los polos Norte y Sur. Las transformaciones mueven todos los demás puntos alrededor de círculos de latitud, de modo que este grupo produce una rotación continua en sentido antihorario alrededor del eje z a medida que θ aumenta. La duplicación del ángulo evidente en el mapa de espinores es una característica característica de los recubrimientos dobles espinoriales .

Un elemento hiperbólico de SL(2, C ) es

${\displaystyle P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$

y tiene puntos fijos ξ = 0, ∞. Bajo la proyección estereográfica desde la esfera de Riemann al plano euclidiano, el efecto de esta transformación de Möbius es una dilatación desde el origen.

El mapa de espinor convierte esto en la transformación de Lorentz.

${\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

Esta transformación representa un impulso a lo largo del eje z con rapidez η . El subgrupo de un parámetro que genera se obtiene tomando η como una variable real, en lugar de una constante. Las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten todas los mismos puntos fijos (los polos Norte y Sur), y mueven todos los demás puntos a lo largo de las longitudes alejándolos del polo Sur y acercándolos al polo Norte.

Un elemento loxodrómico de SL(2, C ) es

${\displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}}$

y tiene puntos fijos ξ = 0, ∞. La función de espinor convierte esto en la transformación de Lorentz.

${\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&0&0&\eta \\0&0&\theta &0\\0&-\theta &0&0\\\eta &0&0&0\end{bmatrix}}~.}$

El subgrupo de un parámetro que esto genera se obtiene reemplazando η + i θ con cualquier múltiplo real de esta constante compleja. (Si η , θ varían independientemente, entonces se obtiene un subgrupo abeliano bidimensional , que consiste en rotaciones simultáneas sobre el eje z y aumentos a lo largo del eje z ; en contraste, el subgrupo unidimensional discutido aquí consiste en aquellos elementos de este subgrupo bidimensional tales que la rapidez del aumento y el ángulo de la rotación tienen una relación fija .)

Las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten los mismos dos puntos fijos (los polos Norte y Sur). Mueven todos los demás puntos alejándolos del polo Sur y acercándolos al polo Norte (o viceversa), a lo largo de una familia de curvas llamadas loxodromias . Cada loxodromia gira en espiral infinitamente a menudo alrededor de cada polo.

Un elemento parabólico de SL(2, C ) es

${\displaystyle P_{4}={\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$

y tiene un único punto fijo ξ = ∞ en la esfera de Riemann. Bajo la proyección estereográfica, aparece como una traslación ordinaria a lo largo del eje real .

El mapa de espinor convierte esto en la matriz (que representa una transformación de Lorentz)

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{4}&={\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&1&\operatorname {Im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\\\operatorname {Re} (\alpha )&0&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&0&\operatorname {Im} (\alpha )\\0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}$

Esto genera un subgrupo abeliano de dos parámetros, que se obtiene al considerar α como una variable compleja en lugar de una constante. Las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (excepto la transformación identidad) mueven puntos a lo largo de una familia de círculos que son todos tangentes en el polo Norte a un cierto círculo máximo . Todos los puntos que no sean el propio polo Norte se mueven a lo largo de estos círculos.

Las transformaciones parabólicas de Lorentz se denominan a menudo rotaciones nulas . Dado que es probable que sean las menos conocidas de los cuatro tipos de transformaciones de Lorentz no idénticas (elípticas, hiperbólicas, loxodrómicas y parabólicas), aquí se ilustra cómo determinar el efecto de un ejemplo de una transformación parabólica de Lorentz en el espacio-tiempo de Minkowski.

La matriz dada arriba produce la transformación

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}+\operatorname {Re} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}x\\t-z\\0\\x\end{bmatrix}}-\operatorname {Im} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}y\\0\\z-t\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{bmatrix}}.}$

Ahora, sin pérdida de generalidad, elijamos Im( α ) = 0 . Al diferenciar esta transformación con respecto al parámetro de grupo ahora real α y evaluar en α = 0 se produce el campo vectorial correspondiente (operador diferencial parcial lineal de primer orden),

${\displaystyle x\,\left(\partial _{t}+\partial _{z}\right)+(t-z)\,\partial _{x}.}$

Aplique esto a una función f ( t , x , y , z ) y exija que permanezca invariante; es decir, que se anule mediante esta transformación. La solución de la ecuación diferencial parcial lineal de primer orden resultante se puede expresar en la forma

${\displaystyle f(t,x,y,z)=F\left(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}\right),}$

donde F es una función arbitrariamente uniforme. Los argumentos de F dan tres invariantes racionales que describen cómo se mueven los puntos (eventos) bajo esta transformación parabólica, ya que ellos mismos no se mueven.

${\displaystyle y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.}$

La elección de valores reales para las constantes de los lados derechos produce tres condiciones y, por lo tanto, especifica una curva en el espacio-tiempo de Minkowski. Esta curva es una órbita de la transformación.

La forma de los invariantes racionales muestra que estas líneas de flujo (órbitas) tienen una descripción simple: suprimiendo la coordenada no esencial y , cada órbita es la intersección de un plano nulo , t = z + c ₂ , con un hiperboloide , t ² − x ² − z ² = c ₃ . En el caso c ₃ = 0, el hiperboloide degenera en un cono de luz y las órbitas se convierten en parábolas que se encuentran en los planos nulos correspondientes.

Una línea nula particular que se encuentra sobre el cono de luz se deja invariante ; esto corresponde al único punto fijo (doble) en la esfera de Riemann mencionado anteriormente. Las otras líneas nulas que pasan por el origen se "hacen girar alrededor del cono" mediante la transformación. Seguir el movimiento de una de esas líneas nulas a medida que α aumenta corresponde a seguir el movimiento de un punto a lo largo de una de las líneas de flujo circulares en la esfera celeste, como se describió anteriormente.

Una elección Re( α ) = 0 , en cambio, produce órbitas similares, ahora con los roles de x e y intercambiados.

Las transformaciones parabólicas conducen a la simetría de calibración de partículas sin masa (como los fotones ) con helicidad | h | ≥ 1. En el ejemplo explícito anterior, una partícula sin masa que se mueve en la dirección z , por lo que con 4-momento P = ( p , 0, 0, p ) , no se ve afectada en absoluto por la combinación de impulso x y rotación y K _x − J _y definida a continuación, en el "pequeño grupo" de su movimiento. Esto es evidente a partir de la ley de transformación explícita analizada: como cualquier vector similar a la luz, P en sí mismo ahora es invariante; es decir, todos los rastros o efectos de α han desaparecido. c ₁ = c ₂ = c ₃ = 0 , en el caso especial analizado. (El otro generador similar, K _y + J _x , así como él y J _z comprenden en conjunto el pequeño grupo del vector similar a la luz, isomorfo a E (2) .)

Este isomorfismo tiene como consecuencia que las transformaciones de Möbius de la esfera de Riemann representan la forma en que las transformaciones de Lorentz cambian la apariencia del cielo nocturno, tal como lo ve un observador que está maniobrando a velocidades relativistas relativas a las "estrellas fijas".

Supongamos que las "estrellas fijas" viven en el espacio-tiempo de Minkowski y están modeladas por puntos en la esfera celeste. Entonces, un punto dado en la esfera celeste puede asociarse con ξ = u + iv , un número complejo que corresponde al punto en la esfera de Riemann , y puede identificarse con un vector nulo (un vector similar a la luz ) en el espacio de Minkowski

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\\u^{2}+v^{2}-1\end{bmatrix}}}$

o, en la representación de Weyl (el mapa de espinor), la matriz hermítica

${\displaystyle N=2{\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\\u-iv&1\end{bmatrix}}.}$

El conjunto de múltiplos escalares reales de este vector nulo, llamado línea nula que pasa por el origen, representa una línea de visión desde un observador en un lugar y tiempo determinados (un acontecimiento arbitrario que podemos identificar con el origen del espacio-tiempo de Minkowski) hacia diversos objetos distantes, como las estrellas. Luego, los puntos de la esfera celeste (equivalentemente, las líneas de visión) se identifican con determinadas matrices hermíticas.

Esta imagen surge claramente en el lenguaje de la geometría proyectiva. El grupo de Lorentz (restringido) actúa sobre la esfera celeste proyectiva . Este es el espacio de vectores nulos no nulos con bajo el cociente dado para espacios proyectivos: si para . Esto se conoce como la esfera celeste ya que nos permite reescalar la coordenada de tiempo a 1 después de actuar utilizando una transformación de Lorentz, asegurando que la parte similar al espacio se asiente en la esfera unitaria.${\displaystyle t>0}$${\displaystyle (t,x,y,z)\sim (t',x',y',z')}$${\displaystyle (t',x',y',z')=(\lambda t,\lambda x,\lambda y,\lambda z)}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle t}$

Desde el lado de Möbius, SL(2, C ) actúa sobre el espacio proyectivo complejo C P ¹ , que puede demostrarse que es difeomórfico con respecto a la 2-esfera; a veces se la denomina esfera de Riemann . El cociente en el espacio proyectivo conduce a un cociente en el grupo SL(2, C ) .

Finalmente, estos dos pueden vincularse entre sí utilizando el vector proyectivo complejo para construir un vector nulo. Si es un vector proyectivo C P ¹ , puede tensarse con su conjugado hermítico para producir una matriz hermítica. De otra parte de este artículo sabemos que este espacio de matrices puede verse como 4-vectores. El espacio de matrices que surge de convertir cada vector proyectivo en la esfera de Riemann en una matriz se conoce como la esfera de Bloch .${\displaystyle \xi }$${\displaystyle 2\times 2}$

Lie groups and Lie algebras
Classical groups General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Simple Lie groups Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Other Lie groups Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Lie algebras Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

Al igual que con cualquier grupo de Lie, una forma útil de estudiar muchos aspectos del grupo de Lorentz es a través de su álgebra de Lie . Dado que el grupo de Lorentz SO(1, 3) es un grupo de Lie matricial , su álgebra de Lie correspondiente es un álgebra de Lie matricial, que puede calcularse como ^[5]${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)=\left\{4\times 4\,\,\,\mathbf {R} {\text{-valued matrices}}\,X\mid e^{tX}\in \mathrm {SO} (1,3)\,\mathrm {for} \,\mathrm {all} \,t\right\}}$.

Si es la matriz diagonal con entradas diagonales (1, −1, −1, −1) , entonces el álgebra de Lie consta de matrices tales que ^[6]${\displaystyle \eta }$${\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,3)}$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \eta X\eta =-X^{\textsf {T}}}$.

Explícitamente, consta de matrices de la forma${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$${\displaystyle 4\times 4}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&b&c\\a&0&d&e\\b&-d&0&f\\c&-e&-f&0\end{pmatrix}}}$,

donde son números reales arbitrarios. Esta álgebra de Lie es de seis dimensiones. La subálgebra de que consta de elementos en los que , , y es igual a cero es isomorfa a .${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

El grupo de Lorentz completo O(1, 3) , el grupo de Lorentz propio SO(1, 3) y el grupo de Lorentz ortócrono propio SO ⁺ (1, 3) (el componente conectado a la identidad) tienen todos el mismo álgebra de Lie, que normalmente se denota ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$ .

Dado que el componente identidad del grupo de Lorentz es isomorfo a un cociente finito de SL(2, C ) (ver la sección anterior sobre la conexión del grupo de Lorentz con el grupo de Möbius), el álgebra de Lie del grupo de Lorentz es isomorfa al álgebra de Lie ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$ . Como álgebra de Lie compleja es tridimensional, pero es hexadimensional cuando se la considera un álgebra de Lie real.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$

Las matrices de base estándar se pueden indexar como donde toman valores en {0, 1, 2, 3} . Estos surgen de tomar solo uno de como uno y los demás como cero, a su vez. Los componentes se pueden escribir como${\displaystyle M^{\mu \nu }}$${\displaystyle \mu ,\nu }$${\displaystyle a,b,\cdots ,f}$

${\displaystyle (M^{\mu \nu })_{\rho \sigma }=\delta ^{\mu }{}_{\rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }-\delta ^{\nu }{}_{\rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }}$.

Las relaciones de conmutación son

${\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}$

Existen diferentes opciones posibles de convención en uso. En física, es común incluir un factor de con los elementos base, lo que da un factor de en las relaciones de conmutación.${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

Luego genera impulsos y genera rotaciones.${\displaystyle M^{0i}}$${\displaystyle M^{ij}}$

Las constantes de estructura del álgebra de Lorentz se pueden leer a partir de las relaciones de conmutación. Cualquier conjunto de elementos de base que satisfaga estas relaciones forma una representación del álgebra de Lorentz.

El grupo de Lorentz puede considerarse como un subgrupo del grupo de difeomorfismos de R ⁴ y, por lo tanto, su álgebra de Lie puede identificarse con campos vectoriales en R ⁴ . En particular, los vectores que generan isometrías en un espacio son sus vectores de Killing , lo que proporciona una alternativa conveniente al campo vectorial invariante por la izquierda para calcular el álgebra de Lie. Podemos escribir un conjunto de seis generadores :

• Campos vectoriales en R ⁴ que generan tres rotaciones i J ,

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}~;}$

• Los campos vectoriales en R ⁴ generan tres impulsos i K ,

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}\equiv iK_{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}.}$

El factor i parece garantizar que los generadores de rotaciones sean hermíticos.

Puede ser útil recordar brevemente aquí cómo obtener un grupo de un parámetro a partir de un campo vectorial , escrito en forma de un operador diferencial parcial lineal de primer orden tal como

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}.}$

El problema de valor inicial correspondiente (considere una función de un escalar y resuélvalo con algunas condiciones iniciales) es${\displaystyle r=(x,y)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \partial _{\lambda }r={\mathcal {L}}r}$

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=-y,\;{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=x,\;x(0)=x_{0},\;y(0)=y_{0}.}$

La solución se puede escribir

${\displaystyle x(\lambda )=x_{0}\cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )}$

o

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}}$

donde reconocemos fácilmente el grupo matricial de rotaciones de un parámetro exp( iλJ _z ) alrededor del eje z.

Derivando respecto del parámetro de grupo λ y fijándolo λ = 0 en ese resultado, recuperamos la matriz estándar,

${\displaystyle iJ_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}~,}$

que corresponde al campo vectorial con el que empezamos. Esto ilustra cómo pasar de representaciones matriciales a representaciones vectoriales de elementos del álgebra de Lie. La función exponencial desempeña este papel especial no solo para el grupo de Lorentz, sino para los grupos de Lie en general.

Invirtiendo el procedimiento de la sección anterior, vemos que las transformaciones de Möbius que corresponden a nuestros seis generadores surgen de exponenciar respectivamente η /2 (para los tres impulsos) o iθ /2 (para las tres rotaciones) por las tres matrices de Pauli .

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Otro grupo generador surge a través del isomorfismo al grupo de Möbius. La siguiente tabla enumera los seis generadores, en los que

• La primera columna da un generador del flujo bajo la acción de Möbius (después de la proyección estereográfica de la esfera de Riemann) como un campo vectorial real en el plano euclidiano.
• La segunda columna proporciona el subgrupo de un parámetro correspondiente de las transformaciones de Möbius.
• La tercera columna da el subgrupo de un parámetro correspondiente de las transformaciones de Lorentz (la imagen bajo nuestro homomorfismo del subgrupo de un parámetro anterior).
• La cuarta columna da el generador correspondiente del flujo bajo la acción de Lorentz como un campo vectorial real en el espacio-tiempo de Minkowski.

Tenga en cuenta que los generadores constan de

• Dos parabólicas (rotaciones nulas)
• Un hiperbólico (impulso en la dirección)${\displaystyle \partial _{z}}$
• Tres elípticas (rotaciones sobre los ejes x , y , z , respectivamente)

Campo vectorial en R 2	Subgrupo de un parámetro de SL(2, C ) , que representa transformaciones de Möbius	Subgrupo de un parámetro de SO + (1, 3) , que representa transformaciones de Lorentz	Campo vectorial en R 1,3
Parabólico
${\displaystyle \partial _{u}\,\!}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\\alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}=x&(\partial _{t}+\partial _{z})+{}\\&(t-z)\partial _{x}\end{aligned}}}$
${\displaystyle \partial _{v}\,\!}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&i\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}=y&(\partial _{t}+\partial _{z})+{}\\&(t-z)\partial _{y}\end{aligned}}}$
Hiperbólico
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(u\partial _{u}+v\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{3}=z\partial _{t}+t\partial _{z}\,\!}$
Elíptico
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(-v\partial _{u}+u\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i\theta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left({\frac {-i\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{4}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}}$
${\displaystyle {\frac {v^{2}-u^{2}-1}{2}}\partial _{u}-uv\,\partial _{v}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{5}=-x\partial _{z}+z\partial _{x}}$
${\displaystyle uv\,\partial _{u}+{\frac {1-u^{2}+v^{2}}{2}}\partial _{v}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{6}=-z\partial _{y}+y\partial _{z}}$

Empezar con

${\displaystyle \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&i\\-i&0\end{bmatrix}}.}$

Exponenciar:

${\displaystyle \exp \left({\frac {i\theta }{2}}\,\sigma _{2}\right)={\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}.}$

Este elemento de SL(2, C ) representa el subgrupo de un parámetro de las transformaciones de Möbius (elípticas):

${\displaystyle \xi \mapsto \xi '={\frac {\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi -\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi +\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}.}$

Próximo,

${\displaystyle \left.{\frac {d\xi '}{d\theta }}\right|_{\theta =0}=-{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}.}$

El campo vectorial correspondiente en C (considerado como la imagen de S ² bajo proyección estereográfica) es

${\displaystyle -{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}\,\partial _{\xi }.}$

Al escribir , esto se convierte en el campo vectorial en R ²${\displaystyle \xi =u+iv}$

${\displaystyle -{\frac {1+u^{2}-v^{2}}{2}}\,\partial _{u}-uv\,\partial _{v}.}$

Volviendo a nuestro elemento de SL(2, C ) , escribiendo la acción y recolectando términos, encontramos que la imagen bajo el mapa de espinor es el elemento de SO ⁺ (1, 3)${\displaystyle X\mapsto PXP^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}.}$

Diferenciando con respecto a θ en θ = 0 , se obtiene el campo vectorial correspondiente en R ^1,3 ,

${\displaystyle z\partial _{x}-x\partial _{z}.\,\!}$

Este es evidentemente el generador de rotación en sentido antihorario alrededor del eje y .

Las subálgebras del álgebra de Lie del grupo de Lorentz se pueden enumerar hasta la conjugación, a partir de las cuales se pueden enumerar los subgrupos cerrados del grupo de Lorentz restringido, hasta la conjugación (véase el libro de Hall citado a continuación para obtener más detalles). Estos se pueden expresar fácilmente en términos de los generadores que se dan en la tabla anterior.${\displaystyle X_{n}}$

Las subálgebras unidimensionales corresponden, por supuesto, a las cuatro clases de conjugación de elementos del grupo de Lorentz:

• ${\displaystyle X_{1}}$genera una subálgebra de un parámetro de parábolas SO(0, 1) ,
• ${\displaystyle X_{3}}$genera una subálgebra de un parámetro de impulsos SO(1, 1) ,
• ${\displaystyle X_{4}}$genera un parámetro único de rotaciones SO(2) ,
• ${\displaystyle X_{3}+aX_{4}}$(para cualquier ) genera una subálgebra de un parámetro de transformaciones loxodrómicas.${\displaystyle a\neq 0}$

(Estrictamente hablando, esto último corresponde a infinitas clases, ya que distintas dan clases diferentes.) Las subálgebras bidimensionales son:${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$generar una subálgebra abeliana que consiste enteramente en parábolas,
• ${\displaystyle X_{1},X_{3}}$generar una subálgebra no abeliana isomorfa al álgebra de Lie del grupo afín Aff(1) ,
• ${\displaystyle X_{3},X_{4}}$generar un subálgebra abeliana que consta de impulsos, rotaciones y loxodrómicas, todos compartiendo el mismo par de puntos fijos.

Las subálgebras tridimensionales utilizan el esquema de clasificación de Bianchi :

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$generar una subálgebra de Bianchi V , isomorfa al álgebra de Lie de Hom(2) , el grupo de homotecias euclidianas ,
• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{4}}$generar una subálgebra de Bianchi VII ₀ , isomorfa al álgebra de Lie de E (2) , el grupo euclidiano ,
• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}+aX_{4}}$, donde , genera una _subálgebra de Bianchi VII ,${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle X_{1},X_{3},X_{5}}$generar una subálgebra de Bianchi VIII , isomorfa al álgebra de Lie de SL(2, R ) , el grupo de isometrías del plano hiperbólico ,
• ${\displaystyle X_{4},X_{5},X_{6}}$generar una subálgebra de Bianchi IX , isomorfa al álgebra de Lie de SO(3) , el grupo de rotación.

Los tipos Bianchi se refieren a la clasificación de las álgebras de Lie tridimensionales del matemático italiano Luigi Bianchi .

Las subálgebras de cuatro dimensiones son todas conjugadas a

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}}$generar una subálgebra isomorfa al álgebra de Lie de Sim(2) , el grupo de similitudes euclidianas .

Las subálgebras forman una red (véase la figura) y cada subálgebra genera por exponenciación un subgrupo cerrado del grupo de Lie restringido. A partir de ellos, se pueden construir todos los subgrupos del grupo de Lorentz, hasta la conjugación, multiplicando por uno de los elementos del cuatrigrupo de Klein.

Al igual que con cualquier grupo de Lie conexo, los espacios de clases laterales de los subgrupos cerrados del grupo de Lorentz restringido, o espacios homogéneos , tienen un interés matemático considerable. A continuación, se presentan algunas breves descripciones:

• El grupo Sim(2) es el estabilizador de una línea nula ; es decir, de un punto en la esfera de Riemann, por lo que el espacio homogéneo SO ⁺ (1, 3) / Sim(2) es la geometría kleiniana que representa la geometría conforme en la esfera S ² .
• El (componente identidad del) grupo euclidiano SE(2) es el estabilizador de un vector nulo , por lo que el espacio homogéneo SO ⁺ (1, 3) / SE(2) es el espacio de momento de una partícula sin masa; geométricamente, esta geometría kleiniana representa la geometría degenerada del cono de luz en el espacio-tiempo de Minkowski.
• El grupo de rotación SO(3) es el estabilizador de un vector temporal , por lo que el espacio homogéneo SO ⁺ (1, 3) / SO(3) es el espacio de momento de una partícula masiva; geométricamente, este espacio no es otro que el espacio hiperbólico tridimensional H ³ .

El concepto de grupo de Lorentz tiene una generalización natural al espacio-tiempo de cualquier número de dimensiones. Matemáticamente, el grupo de Lorentz del espacio de Minkowski de dimensión ( n +1) es el grupo ortogonal indefinido O( n ,1) de transformaciones lineales de Rn ^{+ 1} que conserva la forma cuadrática.