Poliedro de Kepler-Poinsot

En geometría , un poliedro de Kepler-Poinsot es cualquiera de los cuatro poliedros estrellados regulares . ^[1]

Se pueden obtener estelando el dodecaedro y el icosaedro convexos regulares , y se diferencian de estos en que tienen caras pentagrámicas regulares o figuras de vértice . Todos ellos pueden considerarse análogos tridimensionales del pentagrama de una forma u otra.

La longitud de la arista del gran icosaedro es 10 veces la longitud de la arista del icosaedro original. Las longitudes de las aristas del pequeño dodecaedro estrellado, del gran dodecaedro y del gran dodecaedro estrellado son, respectivamente , 10 veces la longitud de la arista del dodecaedro original.${\displaystyle \phi ^{4}={\frac {1}{2}}{\bigl (}7+3{\sqrt {5}}\,{\bigr )}}$${\displaystyle \phi ^{3}=2+{\sqrt {5}},}$ ${\displaystyle \phi ^{2}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}3+{\sqrt {5}}\,{\bigr )},}$${\displaystyle \phi ^{5}={\frac {1}{2}}{\bigl (}11+5{\sqrt {5}}\,{\bigr )}}$

Estas figuras tienen pentagramas (pentágonos estrellados) como caras o figuras de vértice. El pequeño y el gran dodecaedro estrellado tienen caras de pentagrama regular no convexas . El gran dodecaedro y el gran icosaedro tienen caras poligonales convexas , pero figuras de vértice pentagrámicas .

En todos los casos, dos caras pueden intersecarse a lo largo de una línea que no sea una arista de ninguna de las caras, de modo que parte de cada cara pase por el interior de la figura. Estas líneas de intersección no forman parte de la estructura poliédrica y a veces se denominan aristas falsas. Del mismo modo, cuando tres de estas líneas se intersecan en un punto que no es una esquina de ninguna cara, estos puntos son vértices falsos. Las imágenes siguientes muestran esferas en los vértices verdaderos y barras azules a lo largo de las aristas verdaderas.

Por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado tiene 12 caras en forma de pentagrama , con la parte pentagonal central oculta dentro del sólido. Las partes visibles de cada cara comprenden cinco triángulos isósceles que se tocan en cinco puntos alrededor del pentágono. Podríamos tratar estos triángulos como 60 caras separadas para obtener un nuevo poliedro irregular que parece idéntico por fuera. Cada arista estaría ahora dividida en tres aristas más cortas (de dos tipos diferentes), y los 20 vértices falsos se convertirían en verdaderos, de modo que tendríamos un total de 32 vértices (de nuevo de dos tipos). Los pentágonos internos ocultos ya no forman parte de la superficie poliédrica y pueden desaparecer. Ahora se cumple la fórmula de Euler : 60 − 90 + 32 = 2. Sin embargo, este poliedro ya no es el descrito por el símbolo de Schläfli {5/2, 5}, y por lo tanto no puede ser un sólido de Kepler-Poinsot, aunque todavía parezca uno desde fuera.

Un poliedro de Kepler-Poinsot cubre su esfera circunscrita más de una vez, actuando los centros de las caras como puntos de giro en las figuras que tienen caras pentagrámicas, y los vértices en las demás. Debido a esto, no son necesariamente equivalentes topológicamente a la esfera como lo son los sólidos platónicos, y en particular la relación de Euler.

${\displaystyle \chi =V-E+F=2\ }$

No siempre se cumple. Schläfli sostuvo que todos los poliedros deben tener χ = 2 y rechazó el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro como poliedros propios. Esta opinión nunca fue ampliamente aceptada.

Arthur Cayley presentó una forma modificada de la fórmula de Euler, que utiliza la densidad ( D ) de las figuras de vértice ( ) y las caras ( ) , y es válida tanto para poliedros convexos (donde los factores de corrección son todos 1) como para los poliedros de Kepler-Poinsot:$Estilo de visualización: dv$$estilo de visualización d_{f}}$

${\displaystyle d_{v}V-E+d_{f}F=2D.}$

Los poliedros de Kepler-Poinsot existen en pares duales . Los duales tienen el mismo polígono de Petrie o, más precisamente, polígonos de Petrie con la misma proyección bidimensional.

Las siguientes imágenes muestran los dos compuestos duales con el mismo radio de arista . También muestran que los polígonos de Petrie están sesgados . Dos relaciones descritas en el artículo a continuación también se ven fácilmente en las imágenes: que las aristas violetas son las mismas y que las caras verdes se encuentran en los mismos planos.

borde horizontal en el frente	borde vertical en el frente	Polígono de Petrie
pequeño dodecaedro estrellado ${\displaystyle \left\{{\frac {5}{2}},5\right\}}$	gran dodecaedro ${\displaystyle \izquierda\{5,{\frac {5}{2}}\derecha\}}$	hexágono ${\displaystyle \left\{{\frac {6}{1,3}}\right\}}$
gran icosaedro ${\displaystyle \izquierda\{3,{\frac {5}{2}}\derecha\}}$	gran dodecaedro estrellado ${\displaystyle \left\{{\frac {5}{2}},3\right\}}$	decagramo ${\displaystyle \left\{{\frac {10}{3,5}}\right\}}$

Nombre (abreviatura de Conway)	Imagen	Azulejo esférico	Diagrama de estelación	Schläfli {p, q} y Coxeter-Dynkin	Caras {p}	Bordes	Vértices {q}	Figura de vértice (config.)	Polígono de Petrie	χ	Densidad	Simetría	Dual
gran dodecaedro (gD)				{5, 5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	(5 5 )/2	{6}	-6	3	Yo soy	pequeño dodecaedro estrellado
dodecaedro estrellado pequeño (sD)				{5/2, 5}	12 {5/2}	30	12 {5}	(5/2) 5	{6}	-6	3	Yo soy	gran dodecaedro
gran icosaedro (gI)				{3, 5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	(3 5 )/2	{10/3}	2	7	Yo soy	gran dodecaedro estrellado
Gran dodecaedro estrellado (sgD = gsD)				{5/2, 3}	12 {5/2}	30	20 {3}	(5/2) 3	{10/3}	2	7	Yo soy	gran icosaedro

John Conway define los poliedros de Kepler-Poinsot como ensanchamientos y estelaciones de los sólidos convexos.
En su convención de nomenclatura, el pequeño dodecaedro estrellado es simplemente el dodecaedro estrellado .

La estelación transforma las caras pentagonales en pentagramas. (En este sentido, la estelación es una operación única y no debe confundirse con la estelación más general que se describe a continuación).

El acercamiento mantiene el tipo de caras, moviéndolas y redimensionándolas en planos paralelos.

Relaciones de Conway ilustradas
diagrama	Los poliedros de esta sección se muestran con el mismo radio medio .
estelación
agrandamiento
dualidad

El gran icosaedro es una de las estelaciones del icosaedro . (Ver Los cincuenta y nueve icosaedros )
Las otras tres son todas las estelaciones del dodecaedro .

El gran dodecaedro estrellado es una faceta del dodecaedro.
Los otros tres son facetas del icosaedro.

Estelaciones y facetas
Convexo	icosaedro			dodecaedro
Estelaciones	gI (el de las caras amarillas)			muy bueno	Dakota del Sur	gsD
Facetas	soldado americano	muy bueno	Dakota del Sur	gsD (el que tiene vértices amarillos)

Si las intersecciones se tratan como nuevos bordes y vértices, las figuras obtenidas no serán regulares , pero aún pueden considerarse estelaciones . ^{[ ejemplos necesarios ]}

(Véase también Lista de modelos de poliedros de Wenninger )

El gran dodecaedro estrellado comparte sus vértices con el dodecaedro. Los otros tres poliedros de Kepler-Poinsot comparten los suyos con el icosaedro.Los esqueletos de los sólidos que comparten vértices son topológicamente equivalentes.

icosaedro	gran dodecaedro	gran icosaedro	pequeño dodecaedro estrellado	dodecaedro	gran dodecaedro estrellado
compartir vértices y aristas		compartir vértices y aristas		compartir vértices,Los esqueletos forman un gráfico dodecaédrico.
Los vértices compartidos y los esqueletos forman un gráfico icosaédrico.

El dodecaedro estrellado pequeño y grande pueden verse como un dodecaedro regular y uno grande con sus aristas y caras extendidas hasta que se intersecan. Las caras pentagonales de estos núcleos son las partes invisibles de las caras pentagonales de los poliedros estrellados. En el caso del dodecaedro estrellado pequeño, la envoltura es 10 veces más grande que el núcleo, y en el caso del grande, es 10 veces más grande.

${\estilo de visualización \varphi}$${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$(Ver proporción áurea )
(El radio medio es una medida común para comparar el tamaño de diferentes poliedros).

Casco y núcleo del dodecaedro estrellado
Cáscara	Poliedro estrellado	Centro	${\displaystyle {\frac {\text{radio medio del casco}}{\text{radio medio del núcleo}}}}$	${\displaystyle {\frac {\text{radio medio del núcleo}}{\text{radio medio del casco}}}}$
			${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}=1.61803...}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=0,61803...}$
			${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}=2.61803...}$	${\displaystyle {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}=0,38196...}$
Los cascos platónicos de estas imágenes tienen el mismo radio medio . Esto implica que los pentagramas tienen el mismo tamaño y que los núcleos tienen la misma longitud de arista. (Compare las proyecciones ortográficas quíntuples que se muestran a continuación).

Tradicionalmente los poliedros de dos estrellas se han definido como aumentos (o acumulaciones ),es decir, como un dodecaedro y un icosaedro con pirámides añadidas a sus caras.

Kepler llama a la pequeña estelación " dodecaedro aumentado" (y luego la apodó "erizo" ). ^[3]

En su opinión, la gran estelación está relacionada con el icosaedro como la pequeña con el dodecaedro. ^[4]

Estas definiciones ingenuas todavía se utilizan. Por ejemplo, MathWorld afirma que los dos poliedros en estrella se pueden construir añadiendo pirámides a las caras de los sólidos platónicos. ^{[5] [6]}

Esto es sólo una ayuda para visualizar la forma de estos sólidos y no una afirmación real de que las intersecciones de los bordes (vértices falsos) sean vértices.Si lo fueran, los dos poliedros estelares serían topológicamente equivalentes al pentakis dodecaedro y al triakis icosaedro .

Dodecaedros estrellados como ampliaciones
Centro	Poliedro estrellado	Catalán sólido

Todos los poliedros de Kepler-Poinsot tienen simetría icosaédrica completa , al igual que sus envolturas convexas.

El gran icosaedro y su dual se parecen al icosaedro y su dual en que tienen caras y vértices en los ejes de simetría triple (amarillo) y quíntuple (rojo).
En el gran dodecaedro y su dual , todas las caras y vértices están en los ejes de simetría quíntuple (por lo que no hay elementos amarillos en estas imágenes).

En la siguiente tabla se muestran los sólidos en pares de duales. En la fila superior se muestran con simetría piritoédrica , en la fila inferior con simetría icosaédrica (a la que hacen referencia los colores mencionados).

La siguiente tabla muestra proyecciones ortográficas de los ejes de simetría quíntuple (rojo), tríple (amarillo) y 2 veces (azul).

{3, 5} ( I ) y {5, 3} ( D )	{5, 5/2} ( gD ) y {5/2, 5} ( sD )	{3, 5/2} ( gI ) ​​y {5/2, 3} ( gsD )
(animaciones)	(animaciones)	(animaciones)
(animaciones)	(animaciones)	(animaciones)

proyecciones ortográficas
Las envolturas platónicas en estas imágenes tienen el mismo radio medio , por lo que todas las proyecciones quíntuples a continuación están en un decágono del mismo tamaño.(Compare la proyección del compuesto .)Esto implica que sD , gsD y gI tienen la misma longitud de arista, es decir, la longitud del lado de un pentagrama en el decágono circundante.

La mayoría de los poliedros de Kepler-Poinsot, si no todos, eran conocidos de una forma u otra antes de Kepler. Un pequeño dodecaedro estrellado aparece en una tarsia de mármol (panel de incrustaciones) en el suelo de la Basílica de San Marcos , en Venecia , Italia. Data del siglo XV y a veces se atribuye a Paolo Uccello . ^[7]

En su Perspectiva corporum regularium ( Perspectivas de los sólidos regulares ), un libro de xilografías publicado en 1568, Wenzel Jamnitzer representa el gran dodecaedro estrellado y un gran dodecaedro (ambos mostrados a continuación). También hay una versión truncada del pequeño dodecaedro estrellado . ^[8] Está claro a partir de la disposición general del libro que él consideraba solo los cinco sólidos platónicos como regulares.

Los dodecaedros estrellados pequeños y grandes, a veces llamados poliedros de Kepler , fueron reconocidos por primera vez como regulares por Johannes Kepler alrededor de 1619. ^[9] Los obtuvo estelando el dodecaedro convexo regular, tratándolo por primera vez como una superficie en lugar de un sólido. Observó que al extender las aristas o caras del dodecaedro convexo hasta que se encontraran nuevamente, podía obtener pentágonos estrellados. Además, reconoció que estos pentágonos estrellados también son regulares. De esta manera construyó los dos dodecaedros estrellados. Cada uno tiene la región convexa central de cada cara "oculta" dentro del interior, con solo los brazos triangulares visibles. El paso final de Kepler fue reconocer que estos poliedros se ajustaban a la definición de regularidad, aunque no fueran convexos , como lo eran los sólidos platónicos tradicionales .

En 1809, Louis Poinsot redescubrió las figuras de Kepler, al ensamblar pentágonos estelares alrededor de cada vértice. También ensambló polígonos convexos alrededor de los vértices estelares para descubrir otras dos estrellas regulares, el gran icosaedro y el gran dodecaedro. Algunas personas las llaman los poliedros de Poinsot . Poinsot no sabía si había descubierto todos los poliedros estelares regulares.

Tres años más tarde, Augustin Cauchy demostró que la lista estaba completa al estelarizar los sólidos platónicos , y casi medio siglo después, en 1858, Bertrand proporcionó una prueba más elegante al facetarlos .

Al año siguiente, Arthur Cayley dio a los poliedros de Kepler-Poinsot los nombres con los que generalmente se los conoce hoy en día.

Cien años después, John Conway desarrolló una terminología sistemática para las estelaciones en hasta cuatro dimensiones. Dentro de este esquema, el pequeño dodecaedro estrellado es simplemente el dodecaedro estrellado .

Gran dodecaedro y gran dodecaedro estrellado en Perspectiva Corporum Regularium (1568)

Los poliedros estrellados regulares aparecen por primera vez en el arte renacentista. Un pequeño dodecaedro estrellado está representado en una tarsia de mármol en el suelo de la Basílica de San Marcos , en Venecia, Italia, que data de alrededor de 1430 y en ocasiones se atribuye a Paulo Uccello .

En el siglo XX, el interés del artista MC Escher por las formas geométricas a menudo condujo a obras basadas en sólidos regulares o que los incluían; Gravitación se basa en un pequeño dodecaedro estrellado.

Una disección del gran dodecaedro se utilizó para el rompecabezas de la década de 1980, La Estrella de Alejandro .

La escultura Estrella Kepler del artista noruego Vebjørn Sand se exhibe cerca del aeropuerto de Oslo, Gardermoen . La estrella mide 14 metros y está formada por un icosaedro y un dodecaedro dentro de un gran dodecaedro estrellado.

• Politopo regular
• Poliedro regular
• Lista de politopos regulares
• Poliedro uniforme
• Poliedro estrellado uniforme
• Compuesto poliédrico
• Politopos de estrellas regulares : los diez politopos de estrellas regulares , análogos de cuatro dimensiones de los poliedros de Kepler-Poinsot

• J. Bertrand , Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences , 46 (1858), págs. 79–82, 117.
• Augustin-Louis Cauchy , Investigaciones sobre los poliedres. J. de l'École Polytechnique 9, 68–86, 1813.
• Arthur Cayley , Sobre los cuatro nuevos sólidos regulares de Poinsot. Phil. Mag. 17 , págs. 123-127 y 209, 1859.
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , The Symmetry of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 24, Politopos estelares regulares, págs. 404-408) 
• Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Artículo 1) HSM Coxeter, Los nueve sólidos regulares [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
  • (Documento 10) HSM Coxeter, politopos estelares y la función Schlafli f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• Theoni Pappas , (Los sólidos de Kepler-Poinsot) El placer de las matemáticas . San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pág. 113, 1989.
• Louis Poinsot , Memoria sobre los polígonos y poliedres. J. de l'École Polytechnique 9 , págs. 16-48, 1810.
• Lakatos, Imre; Pruebas y refutaciones , Cambridge University Press (1976) - discusión de la prueba de la característica de Euler
• Wenninger, Magnus (1983). Modelos duales . Cambridge University Press. ISBN 0-521-54325-8., págs. 39–41.
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 404: Politopos estelares regulares, dimensión 3) 
• Anthony Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 8: Poliedros de Kepler Poisot

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Sólidos de Kepler-Poinsot .

• Weisstein, Eric W. "Kepler-Poinsot sólido". MundoMatemático .
• Modelos de papel de poliedros de Kepler-Poinsot
• Modelos de papel gratuitos (redes) de poliedros de Kepler-Poinsot
• Los poliedros uniformes
• Sólidos de Kepler-Poinsot en poliedros visuales
• Modelos VRML de los poliedros de Kepler-Poinsot
• Estelación y facetado: una breve historia
• Stella: Polyhedron Navigator: Software utilizado para crear muchas de las imágenes de esta página.