Hiparco

Hiparco
Grabado del siglo XIX basado en una amatista grabada de la colección de gemas Poniatowski [a]
Nacido	C.  190  a. C. Nicea , Reino de Bitinia (actual İznik, Bursa , Turquía)
Fallecido	C.  120  a. C. (alrededor de los 70 años) Rodas , República romana (actual Grecia)
Ocupaciones	Astrónomo Matemático Geógrafo

Hiparco ( griego : Ἵππαρχος , Hípparkhos ; c.  190  – c.  120 a. C. )  fue un astrónomo, geógrafo y matemático griego . Se le considera el fundador de la trigonometría , [ ^1] pero es más famoso por su descubrimiento incidental de la precesión de los equinoccios . [ 2 ] ^Hiparco nació en Nicea , Bitinia , y probablemente murió en la isla de Rodas , Grecia. Se sabe que fue un astrónomo en activo entre 162 y 127 a. C. ^[3]

Hiparco es considerado el mayor observador astronómico antiguo y, por algunos, el mayor astrónomo en general de la Antigüedad . ^{[4] [5]} Fue el primero cuyos modelos cuantitativos y precisos para el movimiento del Sol y la Luna sobreviven. Para esto, ciertamente hizo uso de las observaciones y quizás las técnicas matemáticas acumuladas durante siglos por los babilonios y por Metón de Atenas (siglo V a. C.), Timocaris , Arístilo , Aristarco de Samos y Eratóstenes , entre otros. ^[6]

Desarrolló la trigonometría y construyó tablas trigonométricas , y resolvió varios problemas de trigonometría esférica . Con sus teorías solar y lunar y su trigonometría, es posible que haya sido el primero en desarrollar un método fiable para predecir los eclipses solares . ^{[ cita requerida ] [ dudoso – discutir ]}

Entre sus otros logros se encuentran el descubrimiento y la medición de la precesión de la Tierra, la compilación del primer catálogo completo de estrellas conocido del mundo occidental y, posiblemente, la invención del astrolabio , así como de la esfera armilar que pudo haber utilizado para crear el catálogo de estrellas. A Hiparco se le llama a veces el "padre de la astronomía", ^{[7] [8]} un título que le confirió Jean Baptiste Joseph Delambre en 1817. ^[9]

Hiparco nació en Nicea ( en griego : Νίκαια ), en Bitinia . No se conocen las fechas exactas de su vida, pero Ptolomeo le atribuye observaciones astronómicas en el período de 147 a 127 a. C., y algunas de ellas se afirma que las hizo en Rodas ; también es posible que haya realizado observaciones anteriores desde 162 a. C. Su fecha de nacimiento ( c.  190  a. C.) fue calculada por Delambre basándose en pistas de su trabajo. Hiparco debe haber vivido algún tiempo después de 127 a. C. porque analizó y publicó sus observaciones de ese año. Hiparco obtuvo información de Alejandría así como de Babilonia , pero no se sabe cuándo visitó estos lugares ni si lo hizo. Se cree que murió en la isla de Rodas, donde parece haber pasado la mayor parte de su vida posterior.

En los siglos II y III se acuñaron en Bitinia monedas en su honor que llevan su nombre y lo muestran con un globo terráqueo . ^[10]

Relativamente poco del trabajo directo de Hiparco sobrevive hasta los tiempos modernos. Aunque escribió al menos catorce libros, solo su comentario sobre el popular poema astronómico de Arato fue preservado por copistas posteriores. La mayor parte de lo que se sabe sobre Hiparco proviene de la Geografía de Estrabón y la Historia natural de Plinio en el siglo I; el Almagesto de Ptolomeo del siglo II ; y referencias adicionales a él en el siglo IV por Pappus y Teón de Alejandría en sus comentarios al Almagesto . ^{[11] [12]}

La única obra conservada de Hiparco es el Comentario sobre los fenómenos de Eudoxo y Arato ( en griego : Τῶν Ἀράτου καὶ Εὐδόξου φαινομένων ἐξήγησις ). Se trata de un comentario muy crítico en forma de dos libros sobre un poema popular de Arato basado en la obra de Eudoxo . ^[13] Hiparco también hizo una lista de sus principales obras que aparentemente mencionaba unos catorce libros, pero que solo se conoce por referencias de autores posteriores. Su famoso catálogo de estrellas fue incorporado al de Ptolomeo y puede reconstruirse casi a la perfección restando dos grados y dos tercios de las longitudes de las estrellas de Ptolomeo ^{[ cita requerida ] [ dudoso – discutir ]} . La primera tabla trigonométrica fue aparentemente compilada por Hiparco, a quien en consecuencia ahora se lo conoce como "el padre de la trigonometría".

Los primeros astrónomos y matemáticos griegos estuvieron influenciados por la astronomía babilónica hasta cierto punto; por ejemplo, las relaciones de períodos del ciclo metónico y el ciclo de Saros pueden haber venido de fuentes babilónicas (ver " Diarios astronómicos babilónicos "). Hiparco parece haber sido el primero en explotar sistemáticamente el conocimiento y las técnicas astronómicas babilónicas. ^[14] Eudoxo en el siglo IV a. C. y Timocaris y Aristílo en el siglo III a. C. ya dividían la eclíptica en 360 partes (nuestros grados , griego: moira) de 60 minutos de arco e Hiparco continuó esta tradición. Fue solo en la época de Hiparco (siglo II a. C.) cuando se introdujo esta división (probablemente por Hipsícles, contemporáneo de Hiparco) para todos los círculos en matemáticas. Eratóstenes (siglo III a. C.), en contraste, utilizó un sistema sexagesimal más simple que dividía un círculo en 60 partes. Hiparco también adoptó la unidad astronómica babilónica del codo ( acadio ammatu , griego πῆχυς pēchys ) que equivalía a 2° o 2,5° ('codo grande'). ^[15]

Hiparco probablemente compiló una lista de observaciones astronómicas babilónicas; Gerald J. Toomer , un historiador de la astronomía, ha sugerido que el conocimiento de Ptolomeo de los registros de eclipses y otras observaciones babilónicas en el Almagesto provenía de una lista hecha por Hiparco. El uso de fuentes babilónicas por parte de Hiparco siempre se ha conocido de manera general, debido a las declaraciones de Ptolomeo, pero el único texto de Hiparco que sobrevive no proporciona información suficiente para decidir si el conocimiento de Hiparco (como su uso de las unidades codo y dedo, grados y minutos, o el concepto de estrellas horarias) se basaba en la práctica babilónica. ^[16] Sin embargo, Franz Xaver Kugler demostró que los períodos sinódicos y anomalísticos que Ptolomeo atribuye a Hiparco ya se habían utilizado en las efemérides babilónicas , específicamente la colección de textos hoy llamada "Sistema B" (a veces atribuida a Kidinnu ). ^{[17] [ páginas necesarias ]}

El largo período lunar draconítico de Hiparco (5.458 meses = 5.923 períodos nodales lunares) también aparece unas cuantas veces en los registros babilónicos . ^[18] Pero la única tablilla de este tipo fechada explícitamente es posterior a Hiparco, por lo que la dirección de transmisión no está establecida por las tablillas.

Hiparco fue reconocido como el primer matemático conocido en poseer una tabla trigonométrica , que necesitaba para calcular la excentricidad de las órbitas de la Luna y el Sol. Tabuló valores para la función de cuerda , que para un ángulo central en un círculo da la longitud del segmento de línea recta entre los puntos donde el ángulo interseca el círculo. Es posible que haya calculado esto para un círculo con una circunferencia de 21.600 unidades y un radio (redondeado) de 3.438 unidades; este círculo tiene una longitud unitaria para cada minuto de arco a lo largo de su perímetro. (Esto fue "probado" por Toomer, ^[19] pero más tarde "puso en duda" su afirmación anterior. ^[20] Otros autores han argumentado que Hiparco puede haber utilizado en cambio un círculo de radio de 3.600 unidades. ^[21] ) Tabuló las cuerdas para ángulos con incrementos de 7,5°. En términos modernos, la cuerda subtendida por un ángulo central en un círculo de radio dado R es igual a R multiplicado por el doble del seno de la mitad del ángulo, es decir:

${\displaystyle \operatorname {acorde} \theta =2R\cdot \sin {\tfrac {1}{2}}\theta }$

La obra ahora perdida en la que se dice que Hiparco desarrolló su tabla de cuerdas se llama Tōn en kuklōi eutheiōn ( De líneas dentro de un círculo ) en el comentario del siglo IV de Teón de Alejandría sobre la sección I.10 del Almagesto . Algunos afirman que la tabla de Hiparco puede haber sobrevivido en tratados astronómicos en la India, como el Surya Siddhanta . La trigonometría fue una innovación significativa, porque permitió a los astrónomos griegos resolver cualquier triángulo e hizo posible hacer modelos astronómicos cuantitativos y predicciones utilizando sus técnicas geométricas preferidas. ^[19]

Hiparco debe haber utilizado una mejor aproximación para π que la dada por Arquímedes de entre 3+10 ⁄ 71 (≈ 3,1408) y 3+1 ⁄ 7 (≈ 3,1429). Quizás tenía la aproximación que luego utilizó Ptolomeo, sexagesimal 3;08,30 (≈ 3,1417) ( Almagesto VI.7).

Hiparco podría haber construido su tabla de cuerdas utilizando el teorema de Pitágoras y un teorema conocido por Arquímedes. También podría haber utilizado la relación entre los lados y las diagonales de un cuadrilátero cíclico , hoy llamado teorema de Ptolomeo porque su fuente más antigua existente es una prueba en el Almagesto (I.10).

La proyección estereográfica fue atribuida ambiguamente a Hiparco por Sinesio (c. 400 d. C.), y sobre esa base a menudo se le atribuye a Hiparco su invención o al menos su conocimiento de la misma. Sin embargo, algunos estudiosos creen que esta conclusión no está justificada por la evidencia disponible. ^[22] La descripción existente más antigua de la proyección estereográfica se encuentra en el Planisferio de Ptolomeo (siglo II d. C.). ^[23]

Además de la geometría, Hiparco también utilizó técnicas aritméticas desarrolladas por los caldeos . Fue uno de los primeros matemáticos griegos en hacerlo y, de esta manera, amplió las técnicas al alcance de astrónomos y geógrafos.

Existen varios indicios de que Hiparco conocía la trigonometría esférica, pero el primer texto que se conserva que la analiza es de Menelao de Alejandría en el siglo I, a quien ahora, sobre esa base, se le atribuye comúnmente su descubrimiento. (Antes del hallazgo de las pruebas de Menelao hace un siglo, se atribuía a Ptolomeo la invención de la trigonometría esférica). Ptolomeo utilizó más tarde la trigonometría esférica para calcular cosas como los puntos de salida y puesta de la eclíptica , o para tener en cuenta la paralaje lunar . Si no utilizó la trigonometría esférica, Hiparco puede haber utilizado un globo para estas tareas, leyendo valores de cuadrículas de coordenadas dibujadas en él, o puede haber hecho aproximaciones a partir de la geometría plana, o tal vez utilizó aproximaciones aritméticas desarrolladas por los caldeos.

Hiparco también estudió el movimiento de la Luna y confirmó los valores precisos para dos períodos de su movimiento que se presume que poseían los astrónomos caldeos antes que él. El valor tradicional (del Sistema B de Babilonia) para el mes sinódico medio es de 29 días; 31,50,8,20 (sexagesimal) = 29,5305941... días. Expresado como 29 días + 12 horas + ⁠793/1080⁠  horas este valor ha sido usado posteriormente en el calendario hebreo . Los caldeos también sabían que 251 meses sinódicos ≈ 269 meses anomalísticos . Hiparco usó el múltiplo de este período por un factor de 17, porque ese intervalo también es un período de eclipse, y también está cerca de un número entero de años (4.267 lunas: 4.573 períodos anomalísticos: 4.630,53 períodos nodales: 4.611,98 órbitas lunares: 344,996 años: 344,982 órbitas solares: 126.007,003 días: 126.351,985 rotaciones). ^[b] Lo excepcional y útil del ciclo fue que todos los pares de eclipses con intervalos de 345 años ocurren con una diferencia de poco más de 126.007 días dentro de un rango estrecho de solo aproximadamente ± 1 ⁄ 2 hora, lo que garantiza (después de la división por 4.267) una estimación del mes sinódico correcta a una parte en orden de magnitud 10 millones.

Hiparco pudo confirmar sus cálculos comparando eclipses de su propia época (presumiblemente el 27 de enero de 141 a. C. y el 26 de noviembre de 139 a. C. según Toomer ^[24] ) con eclipses de registros babilónicos 345 años antes ( Almagesto IV.2 ^[12] ).

Más tarde, al-Biruni ( Qanun VII.2.II) y Copérnico ( de revolutionibus IV.4) observaron que el período de 4.267 lunas es aproximadamente cinco minutos más largo que el valor del período del eclipse que Ptolomeo atribuye a Hiparco. Sin embargo, los métodos de cronometraje de los babilonios tenían un error de no menos de ocho minutos. ^{[25] [26]} Los eruditos modernos coinciden en que Hiparco redondeó el período del eclipse a la hora más cercana y lo utilizó para confirmar la validez de los valores tradicionales, en lugar de intentar derivar un valor mejorado a partir de sus propias observaciones. A partir de las efemérides modernas ^[27] y teniendo en cuenta el cambio en la duración del día (véase ΔT ) nosotros ^{[ ¿quién? ]} estimamos que el error en la duración asumida del mes sinódico era inferior a 0,2 segundos en el siglo IV a. C. y inferior a 0,1 segundos en la época de Hiparco.

Desde hace mucho tiempo se sabe que el movimiento de la Luna no es uniforme: su velocidad varía. Esto se llama anomalía y se repite con su propio período: el mes anomalístico . Los caldeos lo tenían en cuenta aritméticamente y utilizaban una tabla que daba el movimiento diario de la Luna según la fecha en un largo período. Sin embargo, los griegos preferían pensar en modelos geométricos del cielo. A finales del siglo III a. C., Apolonio de Perge había propuesto dos modelos para el movimiento lunar y planetario:

1. En el primero, la Luna se movería uniformemente a lo largo de un círculo, pero la Tierra estaría excéntrica, es decir, a cierta distancia del centro del círculo. Por lo tanto, la velocidad angular aparente de la Luna (y su distancia) variaría.
2. La Luna se movería uniformemente (con algún movimiento medio en anomalía) en una órbita circular secundaria, llamada epiciclo , que se movería uniformemente (con algún movimiento medio en longitud) sobre la órbita circular principal alrededor de la Tierra, llamada deferente ; ver deferente y epiciclo .

Apolonio demostró que estos dos modelos eran, de hecho, matemáticamente equivalentes. Sin embargo, todo esto era teoría y no se había puesto en práctica. Hiparco es el primer astrónomo conocido que intentó determinar las proporciones relativas y los tamaños reales de estas órbitas. Hiparco ideó un método geométrico para encontrar los parámetros a partir de tres posiciones de la Luna en fases particulares de su anomalía. De hecho, lo hizo por separado para el modelo excéntrico y el epiciclo. Ptolomeo describe los detalles en el Almagesto IV.11. Hiparco utilizó dos conjuntos de tres observaciones de eclipses lunares que seleccionó cuidadosamente para satisfacer los requisitos. El modelo excéntrico lo ajustó a estos eclipses de su lista de eclipses babilónicos: 22/23 de diciembre de 383 a. C., 18/19 de junio de 382 a. C. y 12/13 de diciembre de 382 a. C. El modelo de epiciclo que ajustó a las observaciones del eclipse lunar realizadas en Alejandría el 22 de septiembre de 201 a. C., el 19 de marzo de 200 a. C. y el 11 de septiembre de 200 a. C.

• Para el modelo excéntrico, Hiparco encontró la relación entre el radio del excentro y la distancia entre el centro del excentro y el centro de la eclíptica (es decir, el observador en la Tierra): 3144 : 327+2 ⁄ 3 ;
• y para el modelo de epiciclo, la relación entre el radio del deferente y el epiciclo: 3122+1 ⁄ 2  : 247+1 ⁄ 2 .

Estas cifras se deben a la engorrosa unidad que utilizó en su tabla de cuerdas y pueden deberse en parte a algunos errores de cálculo y redondeo descuidados de Hiparco, por los que Ptolomeo lo criticó y también cometió errores de redondeo. Una reconstrucción alternativa más simple ^[28] concuerda con los cuatro números. Hiparco encontró resultados inconsistentes; más tarde utilizó la relación del modelo del epiciclo ( 3122+1 ⁄ 2  : 247+1 ⁄ 2 ), que es demasiado pequeña (60 : 4; 45 sexagesimal). Ptolomeo estableció una proporción de 60 : 5+1 ⁄ 4 . ^[29] (La desviación angular máxima que se puede producir con esta geometría es el arcoseno de 5+1 ⁄ 4 dividido por 60, o aproximadamente 5° 1', una cifra que a veces se cita como equivalente a la ecuación del centro de la Luna en el modelo de Hiparco.)

Esta sección necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayude a mejorar este artículo agregando citas de fuentes confiables en esta sección. El material sin fuentes puede ser cuestionado y eliminado. ( Julio de 2024 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje )

Antes de que Hiparco, Metón , Euctemón y sus discípulos en Atenas hicieran una observación del solsticio (es decir, cronometraran el momento del solsticio de verano ) el 27 de junio de 432 a. C. ( calendario juliano proléptico ). Se dice que Aristarco de Samos lo hizo en 280 a. C., e Hiparco también recibió una observación de Arquímedes . Observó los solsticios de verano en 146 y 135 a. C., ambos con una precisión de unas pocas horas, pero las observaciones del momento del equinoccio eran más simples, y realizó veinte durante su vida. Ptolomeo ofrece un extenso análisis del trabajo de Hiparco sobre la duración del año en el Almagesto III.1, y cita muchas observaciones que Hiparco hizo o utilizó, que abarcan desde el 162 al 128 a. C., incluida una cronología del equinoccio realizada por Hiparco (el 24 de marzo de 146 a. C. al amanecer) que difiere en 5 horas de la observación realizada en el gran anillo ecuatorial público de Alejandría ese mismo día (una hora antes del mediodía). Ptolomeo afirma que sus observaciones solares se realizaron con un instrumento de tránsito colocado en el meridiano.

Al final de su carrera, Hiparco escribió un libro titulado Peri eniausíou megéthous ("Sobre la duración del año") en relación con sus resultados. El valor establecido para el año trópico , introducido por Calipo en o antes del 330 a. C., era 365+1 ⁄ 4 días. ^[30] Es difícil especular sobre el origen babilónico del año calípico, ya que Babilonia no observaba solsticios, por lo que la única duración del año del Sistema B existente se basaba en los solsticios griegos (véase más abajo). Las observaciones de equinoccios de Hiparco dieron resultados variables, pero señala (citado en Almagesto III.1(H195)) que los errores de observación de él y sus predecesores pueden haber sido tan grandes como 1 ⁄ 4 de día. Utilizó antiguas observaciones de solsticios y determinó una diferencia de aproximadamente un día en aproximadamente 300 años. Por lo que estableció la duración del año trópico en 365+1 ⁄ 4 − 1 ⁄ 300 días (= 365,24666... ​​días = 365 días 5 horas 55 min, lo que difiere de la estimación moderna del valor (incluyendo la aceleración del giro de la Tierra), en su tiempo de aproximadamente 365,2425 días, un error de aproximadamente 6 min por año, una hora por década y diez horas por siglo.

Entre la observación del solsticio de Metón y la suya propia, transcurrieron 297 años que abarcaron 108.478 días; esto implica un año trópico de 365,24579... días = 365 días;14,44,51 (sexagesimal; = 365 días + ⁠14/60⁠ + ⁠44/60 ²⁠ + ⁠51/60 ³) , una duración de un año encontrada en una de las pocas tablillas de arcilla babilónicas que especifica explícitamente el mes del Sistema B. Es discutible si los babilonios conocían el trabajo de Hiparco o al revés.

Hiparco también dio el valor del año sideral en 365 + ⁠1/4⁠ + ⁠1/144⁠ días (= 365,25694... días = 365 días 6 horas 10 min). Otro valor del año sideral que se le atribuye a Hiparco (por el médico Galeno en el siglo II d.C.) es 365 + ⁠1/4⁠ + ⁠1/288⁠ días (= 365,25347... días = 365 días 6 horas 5 min), pero esto puede ser una corrupción de otro valor atribuido a una fuente babilónica: 365 + ⁠1/4⁠ + ⁠1/144⁠ días (= 365,25694... días = 365 días 6 horas 10 min). No está claro si Hiparco obtuvo el valor de los astrónomos babilónicos o lo calculó él mismo. ^[31]

Antes de Hiparco, los astrónomos sabían que las estaciones no duran lo mismo. Hiparco hizo observaciones de los equinoccios y solsticios, y según Ptolomeo ( Almagesto III.4) determinó que la primavera (desde el equinoccio de primavera hasta el solsticio de verano) duraba 94 1 ⁄ 2 días, y el verano (desde el solsticio de verano hasta el equinoccio de otoño) 92+1 ⁄ 2 días. Esto es inconsistente con la premisa de que el Sol se mueve alrededor de la Tierra en un círculo a velocidad uniforme. La solución de Hiparco fue colocar la Tierra no en el centro del movimiento del Sol, sino a cierta distancia del centro. Este modelo describía bastante bien el movimiento aparente del Sol. Hoy se sabe que los planetas , incluida la Tierra, se mueven en elipses aproximadas alrededor del Sol, pero esto no se descubrió hasta que Johannes Kepler publicó sus primeras dos leyes del movimiento planetario en 1609. El valor de la excentricidad atribuido a Hiparco por Ptolomeo es que el desplazamiento es 1 ⁄ 24 del radio de la órbita (que es un poco demasiado grande), y la dirección del apogeo estaría en la longitud 65,5° desde el equinoccio de primavera . Hiparco también puede haber utilizado otros conjuntos de observaciones, lo que conduciría a valores diferentes. Las longitudes solares de uno de sus dos tríos de eclipses son consistentes con su adopción inicial de longitudes inexactas para la primavera y el verano de 1995.+3 ⁄ 4 y 91+1 ⁄ 4 días. ^{[32] [ verificación fallida ]} Su otro triplete de posiciones solares es consistente con 94+1 ⁄ 4 y 92+1 ⁄ 2 días, ^{[12] [33] [ verificación fallida ]} una mejora en los resultados ( 94+1 ⁄ 2 y 92+1 ⁄ 2 días) atribuido a Hiparco por Ptolomeo. Ptolomeo no hizo cambios tres siglos después y expresó duraciones para las estaciones de otoño e invierno que ya estaban implícitas (como lo demuestra, por ejemplo, A. Aaboe ). ^{[ cita requerida ]}

Hiparco también se propuso hallar las distancias y tamaños del Sol y la Luna, en la obra ahora perdida Sobre tamaños y distancias ( ‹Ver Tfd› Griego : Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων Peri megethon kai apostematon ). Su obra se menciona en el Almagesto V.11 de Ptolomeo , y en un comentario al mismo de Pappus ; Teón de Esmirna (siglo II) también menciona la obra, bajo el título Sobre tamaños y distancias del Sol y la Luna .

Hiparco midió los diámetros aparentes del Sol y la Luna con su dioptría . Al igual que otros antes y después de él, descubrió que el tamaño de la Luna varía a medida que se mueve en su órbita (excéntrica), pero no encontró ninguna variación perceptible en el diámetro aparente del Sol. Encontró que a la distancia media de la Luna, el Sol y la Luna tenían el mismo diámetro aparente; a esa distancia, el diámetro de la Luna encaja 650 veces en el círculo, es decir, los diámetros aparentes medios son 360 ⁄ 650 = 0°33′14″.

Al igual que otros antes y después de él, también notó que la Luna tiene una notable paralaje , es decir, que parece desplazada de su posición calculada (en comparación con el Sol o las estrellas ), y la diferencia es mayor cuanto más cerca está del horizonte. Sabía que esto se debe a que en los modelos vigentes en ese momento la Luna gira alrededor del centro de la Tierra, pero el observador está en la superficie: la Luna, la Tierra y el observador forman un triángulo con un ángulo agudo que cambia todo el tiempo. A partir del tamaño de esta paralaje, se puede determinar la distancia de la Luna medida en radios terrestres . Para el Sol, sin embargo, no había una paralaje observable (ahora sabemos que es de aproximadamente 8,8", varias veces más pequeña que la resolución del ojo sin ayuda).

En el primer libro, Hiparco supone que la paralaje del Sol es 0, como si estuviera a una distancia infinita. Luego analizó un eclipse solar, que Toomer supone que fue el eclipse del 14 de marzo de 190 a. C. ^[34] Fue total en la región del Helesponto (y en su lugar de nacimiento, Nicea); en la época en que Toomer propone que los romanos se estaban preparando para la guerra con Antíoco III en la zona, y el eclipse es mencionado por Livio en su Ab Urbe Condita Libri VIII.2. También se observó en Alejandría, donde se informó que el Sol estaba oscurecido en 4/5 partes por la Luna. Alejandría y Nicea están en el mismo meridiano. Alejandría está a unos 31° Norte, y la región del Helesponto a unos 40° Norte. (Se ha sostenido que autores como Estrabón y Ptolomeo tenían valores bastante decentes para estas posiciones geográficas, por lo que Hiparco también debía conocerlas. Sin embargo, las latitudes dependientes de Hiparco de Estrabón para esta región son al menos 1° demasiado altas, y Ptolomeo parece copiarlas, colocando a Bizancio 2° más arriba en latitud.) Hiparco podía dibujar un triángulo formado por los dos lugares y la Luna, y a partir de una geometría simple pudo establecer una distancia de la Luna, expresada en radios terrestres. Debido a que el eclipse ocurrió por la mañana, la Luna no estaba en el meridiano , y se ha propuesto que, como consecuencia, la distancia encontrada por Hiparco era un límite inferior. En cualquier caso, según Pappus, Hiparco encontró que la distancia mínima es 71 (desde este eclipse), y la máxima 83 radios terrestres.

En el segundo libro, Hiparco parte del supuesto extremo opuesto: asigna una distancia (mínima) al Sol de 490 radios terrestres. Esto correspondería a una paralaje de 7′, que es aparentemente la mayor paralaje que Hiparco pensaba que no se notaría (a modo de comparación: la resolución típica del ojo humano es de unos 2′; Tycho Brahe hizo observaciones a simple vista con una precisión de hasta 1′). En este caso, la sombra de la Tierra es un cono en lugar de un cilindro como en el primer supuesto. Hiparco observó (en los eclipses lunares) que a la distancia media de la Luna, el diámetro del cono de sombra es de 2+1 ⁄ 2 diámetros lunares. Ese diámetro aparente es, como había observado, 360 ⁄ 650 grados. Con estos valores y una geometría sencilla, Hiparco pudo determinar la distancia media; como se calculó para una distancia mínima del Sol, es la distancia media máxima posible para la Luna. Con su valor para la excentricidad de la órbita, pudo calcular también las distancias mínima y máxima de la Luna. Según Pappus, encontró una distancia mínima de 62, una media de 67+1 ⁄ 3 , y en consecuencia una distancia máxima de 72+2 ⁄ 3 radios terrestres. Con este método, a medida que disminuye la paralaje del Sol (es decir, aumenta su distancia), el límite mínimo para la distancia media es 59 radios terrestres, exactamente la distancia media que Ptolomeo dedujo más tarde.

Hiparco llegó así al problemático resultado de que su distancia mínima (del libro 1) era mayor que su distancia media máxima (del libro 2). Fue intelectualmente honesto acerca de esta discrepancia, y probablemente se dio cuenta de que, especialmente el primer método, es muy sensible a la precisión de las observaciones y los parámetros. (De hecho, los cálculos modernos muestran que el tamaño del eclipse solar de 189 a. C. en Alejandría debe haber sido más cercano a 9 ⁄ 10 partes y no a las 4 ⁄ 5 partes reportadas, una fracción que coincide más estrechamente con el grado de totalidad en Alejandría de los eclipses que ocurrieron en 310 y 129 a. C. que también fueron casi totales en el Helesponto y que muchos consideran posibilidades más probables para el eclipse que Hiparco utilizó para sus cálculos).

Ptolomeo midió posteriormente directamente la paralaje lunar ( Almagesto V.13), y utilizó el segundo método de Hiparco con eclipses lunares para calcular la distancia al Sol ( Almagesto V.15). Critica a Hiparco por hacer suposiciones contradictorias y obtener resultados contradictorios ( Almagesto V.11): pero aparentemente no entendió la estrategia de Hiparco de establecer límites consistentes con las observaciones, en lugar de un valor único para la distancia. Sus resultados fueron los mejores hasta el momento: la distancia media real de la Luna es de 60,3 radios terrestres, dentro de los límites establecidos en el segundo libro de Hiparco.

Teón de Esmirna escribió que, según Hiparco, el Sol tiene 1.880 veces el tamaño de la Tierra y la Tierra veintisiete veces el tamaño de la Luna; aparentemente, esto se refiere a volúmenes , no a diámetros . De la geometría del libro 2 se deduce que el Sol está a 2.550 radios terrestres y la distancia media de la Luna es de 60+1 ⁄ 2 radios. De manera similar, Cleomedes cita a Hiparco para los tamaños del Sol y la Tierra como 1050:1; esto lleva a una distancia lunar media de 61 radios. Aparentemente, Hiparco refinó más tarde sus cálculos y derivó valores únicos precisos que podía usar para predecir eclipses solares.

Véase Toomer (1974) para una discusión más detallada. ^[35]

Plinio ( Naturalis Historia II.X) nos dice que Hiparco demostró que los eclipses lunares pueden ocurrir con cinco meses de diferencia, y los eclipses solares con siete meses (en lugar de los seis meses habituales); y que el Sol puede ocultarse dos veces en treinta días, pero visto por diferentes naciones. Ptolomeo discutió esto un siglo después en profundidad en el Almagesto VI.6. La geometría y los límites de las posiciones del Sol y la Luna cuando es posible un eclipse solar o lunar se explican en el Almagesto VI.5. Hiparco aparentemente hizo cálculos similares. El resultado de que dos eclipses solares pueden ocurrir con un mes de diferencia es importante, porque esto no puede basarse en observaciones: uno es visible en el hemisferio norte y el otro en el sur, como indica Plinio, y este último era inaccesible para los griegos.

La predicción de un eclipse solar, es decir, exactamente cuándo y dónde será visible, requiere una teoría lunar sólida y un tratamiento adecuado de la paralaje lunar. Hiparco debe haber sido el primero en poder hacer esto. Un tratamiento riguroso requiere trigonometría esférica , por lo que aquellos que siguen estando seguros de que Hiparco carecía de ella deben especular que pudo haberlo hecho con aproximaciones planares. Es posible que haya discutido estas cosas en Perí tēs katá plátos mēniaías tēs selēnēs kinēseōs ("Sobre el movimiento mensual de la Luna en latitud"), una obra mencionada en la Suda .

Plinio también señala que "él también descubrió por qué razón exacta, aunque la sombra que causa el eclipse debe desde el amanecer en adelante estar debajo de la tierra, sucedió una vez en el pasado que la Luna fue eclipsada en el oeste mientras que ambas luminarias eran visibles sobre la tierra" (traducción H. Rackham (1938), Loeb Classical Library 330 p. 207). Toomer argumentó que esto debe referirse al gran eclipse lunar total del 26 de noviembre de 139 a. C., cuando sobre un horizonte marino limpio visto desde Rodas, la Luna fue eclipsada en el noroeste justo después de que el Sol saliera en el sureste. ^[24] Este sería el segundo eclipse del intervalo de 345 años que Hiparco usó para verificar los períodos babilónicos tradicionales: esto pone una fecha tardía al desarrollo de la teoría lunar de Hiparco. No sabemos qué "razón exacta" encontró Hiparco para ver la Luna eclipsada mientras aparentemente no estaba en oposición exacta al Sol. El paralaje reduce la altitud de las luminarias; La refracción los eleva, y desde un punto de vista alto el horizonte se baja.

Hiparco y sus predecesores utilizaron diversos instrumentos para cálculos y observaciones astronómicas, como el gnomon , el astrolabio y la esfera armilar .

A Hiparco se le atribuye la invención o mejora de varios instrumentos astronómicos, que se utilizaron durante mucho tiempo para observaciones a simple vista. Según Sinesio de Ptolomeo (siglo IV), hizo el primer astrolabión : puede haber sido una esfera armilar (que Ptolomeo, sin embargo, dice que construyó, en el Almagesto V.1); o el predecesor del instrumento plano llamado astrolabio (también mencionado por Teón de Alejandría ). Con un astrolabio, Hiparco fue el primero en poder medir la latitud geográfica y el tiempo observando estrellas fijas. Anteriormente, esto se hacía durante el día midiendo la sombra proyectada por un gnomon, registrando la duración del día más largo del año o con el instrumento portátil conocido como escafo .

Ptolomeo menciona ( Almagesto V.14) que utilizó un instrumento similar al de Hiparco, llamado dioptra , para medir el diámetro aparente del Sol y la Luna. Pappus de Alejandría lo describió (en su comentario al Almagesto de ese capítulo), al igual que Proclo ( Hipotyposis IV). Era una varilla de cuatro pies con una escala, un orificio de observación en un extremo y una cuña que podía moverse a lo largo de la varilla para oscurecer exactamente el disco del Sol o la Luna.

Hiparco también observaba los equinoccios solares , lo que se puede hacer con un anillo ecuatorial : su sombra cae sobre sí mismo cuando el Sol está en el ecuador (es decir, en uno de los puntos equinocciales de la eclíptica ), pero la sombra cae por encima o por debajo del lado opuesto del anillo cuando el Sol está al sur o al norte del ecuador. Ptolomeo cita (en el Almagesto III.1 (H195)) una descripción de Hiparco de un anillo ecuatorial en Alejandría; un poco más adelante describe dos instrumentos de este tipo presentes en Alejandría en su propia época.

Hiparco aplicó su conocimiento de los ángulos esféricos al problema de denotar lugares en la superficie de la Tierra. Antes de él, Dicearco de Mesana había utilizado un sistema de cuadrícula , pero Hiparco fue el primero en aplicar el rigor matemático a la determinación de la latitud y longitud de los lugares de la Tierra. Hiparco escribió una crítica en tres libros sobre la obra del geógrafo Eratóstenes de Cirene (siglo III a. C.), llamada Pròs tèn Eratosthénous geographían ("Contra la geografía de Eratóstenes"). La conocemos por Estrabón de Amaseia, quien a su vez criticó a Hiparco en su propia Geographia . Al parecer, Hiparco hizo muchas correcciones detalladas a las ubicaciones y distancias mencionadas por Eratóstenes. Parece que no introdujo muchas mejoras en los métodos, pero sí propuso un medio para determinar las longitudes geográficas de diferentes ciudades en los eclipses lunares (Strabo Geographia 1 de enero de 2012). Un eclipse lunar es visible simultáneamente en la mitad de la Tierra y la diferencia de longitud entre lugares puede calcularse a partir de la diferencia horaria local en el momento en que se observa el eclipse. Su método daría resultados precisos si se aplicara correctamente, pero las limitaciones de precisión en la medición del tiempo en su época hicieron que este método fuera poco práctico.

A finales de su carrera (posiblemente alrededor del 135 a. C.), Hiparco compiló su catálogo de estrellas. Los eruditos lo han estado buscando durante siglos. ^[36] En 2022, se anunció que una parte de él fue descubierta en un manuscrito de pergamino medieval, el Codex Climaci Rescriptus , del Monasterio de Santa Catalina en la Península del Sinaí , Egipto, como texto oculto ( palimpsesto ). ^{[37] [38]}

Hiparco también construyó un globo celeste que representaba las constelaciones, basándose en sus observaciones. Su interés por las estrellas fijas puede haberse inspirado en la observación de una supernova (según Plinio), o en su descubrimiento de la precesión, según Ptolomeo, quien dice que Hiparco no pudo conciliar sus datos con las observaciones anteriores realizadas por Timocharis y Aristílo . Para más información, véase Descubrimiento de la precesión . En la pintura de Rafael La escuela de Atenas , Hiparco puede estar representado sosteniendo su globo celeste, como la figura representativa de la astronomía. No es seguro que la figura esté destinada a representarlo. ^[36]

Anteriormente, Eudoxo de Cnido , en el siglo IV a. C., había descrito las estrellas y las constelaciones en dos libros llamados Fenómenos y Entropón . Arato escribió un poema llamado Fenómenos o Arateia basado en la obra de Eudoxo. Hiparco escribió un comentario sobre Arateia —su única obra conservada— que contiene muchas posiciones estelares y horarios de salida, culminación y puesta de las constelaciones, y es probable que estos se hayan basado en sus propias mediciones.

Según fuentes romanas, Hiparco realizó sus mediciones con un instrumento científico y obtuvo las posiciones de aproximadamente 850 estrellas. Plinio el Viejo escribe en el libro II, 24-26 de su Historia Natural: ^[40]

Este mismo Hiparco, que nunca será lo suficientemente elogiado, ... descubrió una nueva estrella que se produjo en su propia época y, al observar sus movimientos en el día en que brilló, se vio inducido a dudar de si no sucede a menudo que esas estrellas tengan un movimiento que suponemos fijo. Y el mismo individuo intentó, lo que podría parecer presuntuoso incluso en una deidad, a saber, numerar las estrellas para la posteridad y expresar sus relaciones con nombres apropiados, habiendo ideado previamente instrumentos con los que pudiera marcar los lugares y las magnitudes de cada estrella individual. De esta manera podría descubrirse fácilmente, no sólo si se destruyeron o se produjeron, sino si cambiaron sus posiciones relativas y, asimismo, si aumentaron o disminuyeron; de esta manera, los cielos quedaron como herencia para cualquiera que fuera considerado competente para completar su plan.

Este pasaje informa que

• Hiparco se inspiró en una estrella emergente
• Duda de la estabilidad de los brillos estelares
• observó con instrumentos apropiados (plural—no se dice que observó todo con el mismo instrumento)
• Hizo un catálogo de estrellas

Se desconoce qué instrumento utilizó. La esfera armilar probablemente fue inventada más tarde, tal vez por Ptolomeo, 265 años después de Hiparco. El historiador de la ciencia S. Hoffmann encontró pistas de que Hiparco pudo haber observado las longitudes y latitudes en diferentes sistemas de coordenadas y, por lo tanto, con diferentes instrumentos. ^[16] Las ascensiones rectas, por ejemplo, podrían haberse observado con un reloj, mientras que las separaciones angulares podrían haberse medido con otro dispositivo.

Se cree que Hiparco clasificó las magnitudes aparentes de las estrellas en una escala numérica que iba desde 1, la más brillante, hasta 6, la más tenue. ^[41] Esta hipótesis se basa en la vaga afirmación de Plinio el Viejo, pero no puede probarse con los datos del comentario de Hiparco al poema de Arato. En esta única obra suya que ha sobrevivido hasta hoy, no utiliza la escala de magnitudes, sino que estima los brillos de forma no sistemática. Sin embargo, esto no prueba ni refuta nada, porque el comentario podría ser una obra temprana, mientras que la escala de magnitudes podría haberse introducido más tarde. ^[16]

Sin embargo, este sistema ciertamente precede a Ptolomeo , quien lo utilizó ampliamente alrededor del año 150 d. C. ^[41] Este sistema fue hecho más preciso y extendido por NR Pogson en 1856, quien colocó las magnitudes en una escala logarítmica, haciendo que las estrellas de magnitud 1 sean 100 veces más brillantes que las estrellas de magnitud 6, por lo que cada magnitud es ⁵ √ 100 o 2,512 veces más brillante que la siguiente magnitud más débil. ^[42]

Se discute qué sistema(s) de coordenadas utilizó. El catálogo de Ptolomeo en el Almagesto , que se deriva del catálogo de Hiparco, se da en coordenadas eclípticas . Aunque Hiparco distingue estrictamente entre "signos" (sección de 30° del zodíaco) y "constelaciones" en el zodíaco, es muy cuestionable si tenía o no un instrumento para observar/medir directamente las unidades en la eclíptica. ^{[16] [40]} Probablemente las marcó como una unidad en su globo celeste, pero se desconoce la instrumentación para sus observaciones. ^[16]

Delambre en su Histoire de l'Astronomie Ancienne (1817) concluyó que Hiparco conocía y utilizaba el sistema de coordenadas ecuatoriales , una conclusión desafiada por Otto Neugebauer en su History of Ancient Mathematical Astronomy (1975). Hiparco parece haber utilizado una mezcla de coordenadas eclípticas y ecuatoriales : en su comentario sobre Eudoxo proporciona la distancia polar de las estrellas (equivalente a la declinación en el sistema ecuatorial), la ascensión recta (ecuatorial), la longitud (eclíptica), la longitud polar (híbrida), pero no la latitud celeste. Esta opinión fue confirmada por la cuidadosa investigación de Hoffmann ^[40], quien estudió de forma independiente el material, las fuentes potenciales, las técnicas y los resultados de Hiparco y reconstruyó su globo celeste y su fabricación.

Al igual que la mayor parte de su obra, el catálogo de estrellas de Hiparco fue adoptado y quizás ampliado por Ptolomeo, quien (desde Brahe en 1598) ha sido acusado por algunos ^[43] de fraude por afirmar ( Sintaxis , libro 7, capítulo 4) que observó las 1025 estrellas; los críticos afirman que, para casi todas las estrellas, utilizó los datos de Hiparco y los precesó hasta su propia época 2+Dos siglos y medio después, añadiendo 2°40' a la longitud, utilizando una constante de precesión erróneamente pequeña de 1° por siglo. Esta afirmación es muy exagerada porque aplica estándares modernos de citación a un autor antiguo. Lo único cierto es que "el catálogo de estrellas antiguo" que inició Hiparco en el siglo II a. C. fue reelaborado y mejorado varias veces en los 265 años que duró el Almagesto (lo que es una buena práctica científica incluso hoy en día). ^[44] Aunque el catálogo de estrellas del Almagesto se basa en el de Hiparco, no es sólo una copia ciega, sino que ha sido enriquecido, mejorado y, por lo tanto, (al menos parcialmente) re-observado. ^[16]

El globo celeste de Hiparco era un instrumento similar a los ordenadores electrónicos modernos. ^[40] Lo utilizaba para determinar salidas, puestas y culminaciones (cf. también Almagesto, libro VIII, capítulo 3). Por tanto, su globo estaba montado en un plano horizontal y tenía un anillo meridiano con una escala. En combinación con una cuadrícula que dividía el ecuador celeste en 24 líneas horarias (longitudes iguales a nuestras horas de ascensión recta) el instrumento le permitía determinar las horas. La eclíptica estaba marcada y dividida en 12 secciones de igual longitud (los "signos", que él llamó zodion o dodekatemoria para distinguirlos de las constelaciones ( astron ). El globo fue reconstruido virtualmente por un historiador de la ciencia.

Para:

• Los errores comunes en el catálogo estelar reconstruido de Hiparco y en el Almagesto sugieren una transferencia directa sin necesidad de volver a observarlas en un plazo de 265 años. Hay 18 estrellas con errores comunes; en el caso de las otras 800 estrellas, los errores no existen o no están dentro de la elipse de error. Esto significa que no se permite ninguna otra afirmación sobre estos cientos de estrellas.
• Más argumentos estadísticos

Contra:

• A diferencia de Ptolomeo, Hiparco no utilizó coordenadas eclípticas para describir las posiciones estelares.
• Se dice que en la época romana el catálogo de Hiparco incluía unas 850 estrellas, pero el de Ptolomeo tiene 1025 estrellas, por lo que alguien ha añadido más entradas.
• Hay estrellas citadas en el Almagesto de Hiparco que no figuran en el catálogo estelar del Almagesto. Por tanto, a pesar de todas las modificaciones que se han hecho en el transcurso de los 265 años de progreso científico, no todas las estrellas de Hiparco han llegado a la versión del Almagesto del catálogo estelar.

Conclusión: El catálogo de estrellas de Hiparco es una de las fuentes del catálogo de estrellas del Almagesto, pero no la única. ^[44]

Hiparco es generalmente reconocido como el descubridor de la precesión de los equinoccios en el año 127 a. C. ^[45] Sus dos libros sobre la precesión, Sobre el desplazamiento de los puntos solsticial y equinoccial y Sobre la duración del año , se mencionan en el Almagesto de Claudio Ptolomeo . Según Ptolomeo, Hiparco midió la longitud de Spica y Régulo y otras estrellas brillantes. Comparando sus mediciones con los datos de sus predecesores, Timocharis y Aristillus , concluyó que Spica se había movido 2° con respecto al equinoccio de otoño . También comparó las duraciones del año trópico (el tiempo que tarda el Sol en volver a un equinoccio) y el año sideral (el tiempo que tarda el Sol en volver a una estrella fija), y encontró una ligera discrepancia. Hiparco concluyó que los equinoccios se movían ("precesaban") a través del zodíaco y que la tasa de precesión no era inferior a 1° en un siglo.

El tratado de Hiparco Contra la geografía de Eratóstenes en tres libros no se conserva. ^[46] La mayor parte de nuestro conocimiento sobre él proviene de Estrabón , según quien Hiparco criticó exhaustivamente y a menudo injustamente a Eratóstenes , principalmente por contradicciones internas e inexactitud en la determinación de posiciones de localidades geográficas. Hiparco insiste en que un mapa geográfico debe basarse únicamente en mediciones astronómicas de latitudes y longitudes y triangulación para encontrar distancias desconocidas. En teoría y métodos geográficos, Hiparco introdujo tres innovaciones principales. ^[47]

Fue el primero en utilizar la cuadrícula de grados para determinar la latitud geográfica a partir de observaciones de estrellas, y no solo de la altura del Sol, un método conocido mucho antes que él, y en sugerir que la longitud geográfica podría determinarse mediante observaciones simultáneas de eclipses lunares en lugares distantes. En la parte práctica de su trabajo, la llamada "tabla de climata ", Hiparco enumeró las latitudes de varias decenas de localidades. En particular, mejoró los valores de Eratóstenes para las latitudes de Atenas , Sicilia y el extremo sur de la India . ^{[48] ​​[49] [50]} Al calcular las latitudes de los climata (latitudes correlacionadas con la duración del día solsticial más largo), Hiparco utilizó un valor inesperadamente preciso para la oblicuidad de la eclíptica , 23°40' (el valor real en la segunda mitad del siglo II a. C. era aproximadamente 23°43'), mientras que todos los demás autores antiguos solo conocían un valor aproximadamente redondeado de 24°, e incluso Ptolomeo utilizó un valor menos preciso, 23°51'. ^[51]

Hiparco se opuso a la opinión generalmente aceptada en el período helenístico de que los océanos Atlántico e Índico y el mar Caspio son partes de un solo océano. Al mismo tiempo, extendió los límites de la oikoumene , es decir, la parte habitada de la tierra, hasta el ecuador y el círculo polar ártico . ^[52] Las ideas de Hiparco encontraron su reflejo en la Geografía de Ptolomeo . En esencia, la obra de Ptolomeo es un intento extendido de hacer realidad la visión de Hiparco de lo que debería ser la geografía.

Hiparco estuvo en las noticias internacionales en 2005, cuando se propuso nuevamente (como en 1898) que los datos del globo celeste de Hiparco o de su catálogo de estrellas pueden haberse conservado en el único globo celeste antiguo de gran tamaño que sobrevive y que representa las constelaciones con una precisión moderada, el globo que llevaba el Atlas Farnesio . ^{[53] [54]} La evidencia sugiere que el globo Farnesio puede mostrar constelaciones en la tradición arateana y desviarse de las constelaciones utilizadas por Hiparco. ^[40]

Una línea en las Conversaciones de sobremesa de Plutarco afirma que Hiparco contó 103.049 proposiciones compuestas que pueden formarse a partir de diez proposiciones simples. 103.049 es el décimo número de Schröder-Hipparchus , que cuenta el número de formas de agregar uno o más pares de paréntesis alrededor de subsecuencias consecutivas de dos o más elementos en cualquier secuencia de diez símbolos. Esto ha llevado a la especulación de que Hiparco conocía la combinatoria enumerativa , un campo de las matemáticas que se desarrolló de forma independiente en las matemáticas modernas. ^{[55] [56]}

En un artículo de 2013 se sugirió que Hiparco observó accidentalmente el planeta Urano en el año 128 a. C. y lo catalogó como una estrella, más de un milenio y medio antes de su descubrimiento formal en 1781. ^[57]

Hiparco puede ser representado frente a Ptolomeo en la pintura de Rafael de 1509-1511 La Escuela de Atenas , aunque esta figura generalmente se identifica con Zoroastro . ^[36]

El nombre formal de la misión de astrometría espacial Hipparcos de la ESA es Satélite Recolector de Paralaje de Alta Precisión, lo que forma un acrónimo , HiPParCoS, que hace eco y conmemora el nombre de Hiparco.

El cráter lunar Hiparco , el cráter marciano Hiparco y el asteroide 4000 Hiparco llevan su nombre.

Fue incluido en el Salón Internacional de la Fama del Espacio en 2004. ^[58]

Jean Baptiste Joseph Delambre , historiador de la astronomía, astrónomo matemático y director del Observatorio de París , en su Historia de la astronomía en el siglo XVIII (1821), consideró a Hiparco junto con Johannes Kepler y James Bradley los más grandes astrónomos de todos los tiempos. ^[59]

El Monumento a los Astrónomos en el Observatorio Griffith en Los Ángeles, California, Estados Unidos, presenta un relieve de Hiparco como uno de los seis más grandes astrónomos de todos los tiempos y el único de la Antigüedad. ^[60]

Johannes Kepler tenía un gran respeto por los métodos de Tycho Brahe y la precisión de sus observaciones, y lo consideraba el nuevo Hiparco, que proporcionaría las bases para una restauración de la ciencia de la astronomía. ^[61]

• Berger, Ernst Hugo, ed. (1869). Die geographischen Fragmente des Hipparch [ Los fragmentos geográficos de Hiparco ] (en alemán). Leipzig: Teubner. OCLC  981902787.
• Dicks, DR, ed. (1960). Los fragmentos geográficos de Hiparco . Estudios clásicos de la Universidad de Londres. Londres: Athlone Press. OCLC  490381.
• Manicio, Karl , ed. (1894). Hipparchou Tōn Aratou kai Eudoxou Phainomenōn exēgēseōs vivlia tria = Hipparchi in Arati et Eudoxi Phaenomena commentariorum libri tres [ Comentarios de Hiparco sobre los fenómenos de Arato y Eudoxo en tres libros ] (en griego antiguo y latín). Leipzig: Teubner. OCLC  1127047584.
• Cusinato, Bruna; Vanin, Gabriele, eds. (2022) [2013]. Commentari di Ipparco ai Fenomeni di Arato ed Eudosso [ Comentarios de Hiparco sobre los fenómenos de Arato y Eudoxo ] (en italiano). Traducción de Bruna Cusinato; Introducción y comentario astronómico de Gabriele Vanin (3ª ed.). arXiv : 2206.08243 .Publicado originalmente en Vanin, Gabriele (2013). Catasterismi . Feltre: Rheticus-DBS Zanetti. pp. 85–166.

• Aristarco de Samos (c.  310  – c.  230 a. C. ), matemático griego que calculó la distancia de la Tierra al Sol.
• Eratóstenes (c.  276  – c.  194/195 a. C. ), matemático griego que calculó la circunferencia de la Tierra y también la distancia de la Tierra al Sol.
• Matemáticas griegas
• Sobre los tamaños y las distancias (Aristarco)
• Sobre los tamaños y las distancias (Hiparco)
• Posidonio (c.  135  – c.  51 a. C. ), astrónomo y matemático griego que calculó la circunferencia de la Tierra.

• Berger, Ernst Hugo, ed. (1869). Die geographischen Fragmente des Hipparch [ Los fragmentos geográficos de Hiparco ] (en alemán). Leipzig: Teubner. OCLC  981902787.
• Cusinato, Bruna; Vanin, Gabriele, eds. (2022) [2013]. Commentari di Ipparco ai Fenomeni di Arato ed Eudosso [ Comentarios de Hiparco sobre los fenómenos de Arato y Eudoxo ] (en italiano). Traducción de Bruna Cusinato; Introducción y comentario astronómico de Gabriele Vanin (3ª ed.). arXiv : 2206.08243 .
• Dicks, DR, ed. (1960). Los fragmentos geográficos de Hiparco . Estudios clásicos de la Universidad de Londres. Londres: Athlone Press. OCLC  490381.
• Hoffmann, Susanne M. (2017). Hipparchs Himmelsglobus: ¿Ein Bindeglied in der babylonisch-griechischen Astrometrie? [ Globo celeste de Hiparco: ¿un vínculo en la astrometría griego-babilónica? ] (en alemán). Wiesbaden: Springer. doi :10.1007/978-3-658-18683-8. ISBN 978-3-658-18683-8.
• Jones, Alexander (2001). "Hipparchus". En Murdin, Paul (ed.). Enciclopedia de Astronomía y Astrofísica . Bristol: Instituto de Física. ISBN de la publicación. 978-0-333-75088-9.OCLC 1193410336  .
• Manicio, Karl , ed. (1894). Hipparchou Tōn Aratou kai Eudoxou Phainomenōn exēgēseōs vivlia tria = Hipparchi in Arati et Eudoxi Phaenomena commentariorum libri tres [ Comentarios de Hiparco sobre los fenómenos de Arato y Eudoxo en tres libros ] (en griego antiguo y latín). Leipzig: Teubner. OCLC  1127047584.
• Neugebauer, Otto E. (1975). Una historia de la astronomía matemática antigua . Berlín: Springer. Parte 1 , Parte 2 , Parte 3 .
• Ptolomeo (1984). Toomer, Gerald J. (ed.). Almagesto de Ptolomeo . Londres: Duckworth. ISBN 9780387912202.
• Shcheglov, Dmitry A. (2007). "Tabla de climata de Hiparco y geografía de Ptolomeo". Orbis Terrarum . 9 : 159-192. ISSN  1385-285X. OCLC  34941672. Academia : 214134 214134.
• Thurston, Hugh (2002). "Reconsideración de la astronomía matemática griega". Isis . 93 (1): 58–69. doi :10.1086/343242. ISSN  0021-1753. JSTOR  10.1086/343242. OCLC  907786460. S2CID  145527182.
• Toomer, Gerald J. (1978). "Hipparchus" . En Gillispie, CC (ed.). Dictionary of Scientific Biography . Vol. 15 (Suplemento I, Adams–Sejszner). Scribner. págs. 207–224.

• Clerke, Agnes Mary (1911). "Hipparchus"  . Encyclopædia Britannica . Vol. 13 (11.ª ed.). pág. 516.
• Dreyer, John LE (1953). Una historia de la astronomía desde Tales hasta Kepler . Nueva York: Dover.
• Heath, Thomas (1921). Una historia de las matemáticas griegas . Oxford: Clarendon. Vol. 1 , Vol. 2 .
• Lloyd, GER (1973). La ciencia griega después de Aristóteles . Nueva York: Norton. ISBN 978-0-393-04371-6.
• Neugebauer, Otto E. (1956). "Notas sobre Hiparco". En Weinberg, Saul S (ed.). El Egeo y el Cercano Oriente: estudios presentados a Hetty Goldman . Locust Valley, NY: JJ Augustin.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Hipparchus", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
• Thomson, J. Oliver (1948). Historia de la geografía antigua . Cambridge University Press.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Hiparco .

• David Ulansey sobre la comprensión de Hiparco de la precesión
• Una breve mirada de Carmen Rush al catálogo estelar de Hiparco