Cuadrado (álgebra)

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En matemáticas , un cuadrado es el resultado de multiplicar un número por sí mismo. El verbo "elevar al cuadrado" se utiliza para denotar esta operación. Elevar al cuadrado es lo mismo que elevar a la potencia  2 y se denota con un superíndice 2; por ejemplo, el cuadrado de 3 se puede escribir como 3 ² , que es el número 9. En algunos casos en los que no se dispone de superíndices, como por ejemplo en lenguajes de programación o archivos de texto sin formato , se pueden utilizar las notaciones x^2( caret ) o x**2en lugar de . El adjetivo que corresponde a elevar al cuadrado es cuadrático .x²

El cuadrado de un número entero también puede denominarse número cuadrado o cuadrado perfecto . En álgebra , la operación de elevar al cuadrado suele generalizarse a polinomios , otras expresiones o valores en sistemas de valores matemáticos distintos de los números. Por ejemplo, el cuadrado del polinomio lineal x + 1 es el polinomio cuadrático ( x + 1) ² = x ² + 2 x + 1 .

Una de las propiedades importantes de la elevación al cuadrado, tanto para los números como para muchos otros sistemas matemáticos, es que (para todos los números x ), el cuadrado de x es igual al cuadrado de su inverso aditivo − x . Es decir, la función al cuadrado satisface la identidad x ² = (− x ) ² . Esto también se puede expresar diciendo que la función al cuadrado es una función par .

La operación de elevar al cuadrado define una función real llamadafunción cuadrada o lafunción cuadrática . Sudominioes toda larecta realy suimagenes el conjunto de números reales no negativos.

La función cuadrado preserva el orden de los números positivos: los números mayores tienen cuadrados mayores. En otras palabras, el cuadrado es una función monótona en el intervalo [0, +∞) . En los números negativos, los números con mayor valor absoluto tienen cuadrados mayores, por lo que el cuadrado es una función monótonamente decreciente en (−∞,0] . Por lo tanto, cero es el mínimo (global) de la función cuadrado. El cuadrado x ² de un número x es menor que x (es decir, x ² < x ) si y solo si 0 < x < 1 , es decir, si x pertenece al intervalo abierto (0,1) . Esto implica que el cuadrado de un número entero nunca es menor que el número original x .

Todo número real positivo es el cuadrado de exactamente dos números, uno de los cuales es estrictamente positivo y el otro estrictamente negativo. El cero es el cuadrado de un solo número, él mismo. Por esta razón, es posible definir la función raíz cuadrada , que asocia a un número real no negativo el número no negativo cuyo cuadrado es el número original.

No se puede sacar ninguna raíz cuadrada de un número negativo dentro del sistema de números reales , porque los cuadrados de todos los números reales no son negativos . La falta de raíces cuadradas reales para los números negativos se puede utilizar para expandir el sistema de números reales a los números complejos , postulando la unidad imaginaria i , que es una de las raíces cuadradas de −1.

La propiedad "todo número real no negativo es un cuadrado" se ha generalizado a la noción de un cuerpo real cerrado , que es un cuerpo ordenado tal que todo elemento no negativo es un cuadrado y todo polinomio de grado impar tiene una raíz. Los cuerpos reales cerrados no se pueden distinguir del cuerpo de los números reales por sus propiedades algebraicas: cada propiedad de los números reales, que puede expresarse en lógica de primer orden (es decir, expresada por una fórmula en la que las variables que se cuantifican por ∀ o ∃ representan elementos, no conjuntos), es verdadera para todo cuerpo real cerrado, y, a la inversa, cada propiedad de la lógica de primer orden, que es verdadera para un cuerpo real cerrado específico, también es verdadera para los números reales.

Hay varios usos importantes de la función cuadrada en geometría.

El nombre de la función cuadrada muestra su importancia en la definición del área : proviene del hecho de que el área de un cuadrado con lados de longitud   l es igual a l ² . El área depende cuadráticamente del tamaño: el área de una forma n  veces mayor es n ²  veces mayor. Esto es válido para áreas en tres dimensiones así como en el plano: por ejemplo, el área de la superficie de una esfera es proporcional al cuadrado de su radio, un hecho que se manifiesta físicamente por la ley del cuadrado inverso que describe cómo la intensidad de las fuerzas físicas como la gravedad varía según la distancia.

La función cuadrada está relacionada con la distancia a través del teorema de Pitágoras y su generalización, la ley del paralelogramo . La distancia euclidiana no es una función suave : el gráfico tridimensional de la distancia desde un punto fijo forma un cono , con un punto no suave en la punta del cono. Sin embargo, el cuadrado de la distancia (denotado d ² o r ² ), que tiene un paraboloide como su gráfico, es una función suave y analítica .

El producto escalar de un vector euclidiano consigo mismo es igual al cuadrado de su longitud: v ⋅ v = v ² . Esto se generaliza aún más a las formas cuadráticas en espacios lineales mediante el producto interno . El tensor de inercia en mecánica es un ejemplo de una forma cuadrática. Demuestra una relación cuadrática del momento de inercia con el tamaño ( longitud ).

Existen infinitas ternas pitagóricas , conjuntos de tres números enteros positivos tales que la suma de los cuadrados de las dos primeras es igual al cuadrado de la tercera. Cada una de estas ternas da los lados enteros de un triángulo rectángulo.

La función cuadrada se define en cualquier cuerpo o anillo . Un elemento de la imagen de esta función se llama cuadrado y las imágenes inversas de un cuadrado se llaman raíces cuadradas .

La noción de cuadratura es particularmente importante en los cuerpos finitos Z / p Z formados por los números módulo un número primo impar p . Un elemento distinto de cero de este cuerpo se denomina residuo cuadrático si es un cuadrado en Z / p Z , y en caso contrario, se denomina no residuo cuadrático. El cero, aunque es un cuadrado, no se considera un residuo cuadrático. Todo cuerpo finito de este tipo tiene exactamente ( p − 1)/2 residuos cuadráticos y exactamente ( p − 1)/2 no residuos cuadráticos. Los residuos cuadráticos forman un grupo bajo la multiplicación. Las propiedades de los residuos cuadráticos se utilizan ampliamente en la teoría de números .

De manera más general, en los anillos, la función cuadrada puede tener diferentes propiedades que a veces se utilizan para clasificar los anillos.

El cero puede ser el cuadrado de algunos elementos distintos de cero. Un anillo conmutativo tal que el cuadrado de un elemento distinto de cero nunca es cero se denomina anillo reducido . De manera más general, en un anillo conmutativo, un ideal radical es un ideal  I tal que implica . Ambas nociones son importantes en geometría algebraica , debido al Nullstellensatz de Hilbert .${\displaystyle x^{2}\en I}$${\displaystyle x\en I}$

Un elemento de un anillo que es igual a su propio cuadrado se llama idempotente . En cualquier anillo, 0 y 1 son idempotentes.No existen otros idempotentes en los cuerpos y, más generalmente, en los dominios integrales . Sin embargo, el anillo de los enteros módulo  n tiene 2 ^k idempotentes, donde k es el número de factores primos distintos de  n . Un anillo conmutativo en el que cada elemento es igual a su cuadrado (cada elemento es idempotente) se llama anillo booleano ; un ejemplo de la informática es el anillo cuyos elementos son números binarios , con AND bit a bit como operación de multiplicación y XOR bit a bit como operación de adición.

En un anillo totalmente ordenado , x ² ≥ 0 para cualquier x . Además, x ² = 0  si y solo si  x = 0 .

En un álgebra supercommutativa donde 2 es invertible, el cuadrado de cualquier elemento impar es igual a cero.

Si A es un semigrupo conmutativo , entonces se tiene

${\displaystyle \para todo x,y\en A\quad (xy)^{2}=xyxy=xxyy=x^{2}y^{2}.}$

En el lenguaje de las formas cuadráticas , esta igualdad dice que la función cuadrada es una "forma que permite la composición". De hecho, la función cuadrada es la base sobre la que se construyen otras formas cuadráticas que también permiten la composición. El procedimiento fue introducido por LE Dickson para producir los octoniones a partir de cuaterniones mediante duplicación. El método de duplicación fue formalizado por AA Albert, quien comenzó con el cuerpo de números reales y la función cuadrada, duplicándolo para obtener el cuerpo de números complejos con forma cuadrática x ² + y ² , y luego duplicándolo nuevamente para obtener cuaterniones. El procedimiento de duplicación se llama construcción de Cayley-Dickson y se ha generalizado para formar álgebras de dimensión 2 ⁿ sobre un cuerpo F con involución. ${\displaystyle \mathbb {R}}$

La función cuadrada z ² es la "norma" del álgebra de composición , donde la función identidad forma una involución trivial para iniciar las construcciones de Cayley-Dickson que conducen a las álgebras de composición bicomplejas, bicuaterniones y bioctoniones.${\displaystyle \mathbb {C}}$

En los números complejos , la función cuadrada es una cobertura doble en el sentido de que cada número complejo distinto de cero tiene exactamente dos raíces cuadradas. ${\displaystyle z\to z^{2}}$

El cuadrado del valor absoluto de un número complejo se llama su cuadrado absoluto , módulo al cuadrado o magnitud al cuadrado . ^{[1] [ se necesita una mejor fuente ]} Es el producto del número complejo por su conjugado complejo y es igual a la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria del número complejo.

El cuadrado absoluto de un número complejo es siempre un número real no negativo, es decir, cero si y solo si el número complejo es cero. Es más fácil de calcular que el valor absoluto (no tiene raíz cuadrada) y es una función de valor real uniforme . Debido a estas dos propiedades, el cuadrado absoluto suele preferirse al valor absoluto para cálculos explícitos y cuando se utilizan métodos de análisis matemático (por ejemplo, optimización o integración ).

Para vectores complejos , el producto escalar se puede definir involucrando la transpuesta conjugada , lo que conduce a la norma al cuadrado .

Los cuadrados son omnipresentes en el álgebra, y más generalmente en casi todas las ramas de las matemáticas, y también en la física, donde muchas unidades se definen utilizando cuadrados y cuadrados inversos : véase más abajo.

Los mínimos cuadrados son el método estándar utilizado con sistemas sobredeterminados .

El cuadrado se utiliza en estadística y teoría de probabilidad para determinar la desviación estándar de un conjunto de valores o una variable aleatoria . La desviación de cada valor  x _i con respecto a la media  del conjunto se define como la diferencia . Estas desviaciones se elevan al cuadrado y luego se toma una media del nuevo conjunto de números (cada uno de los cuales es positivo). Esta media es la varianza y su raíz cuadrada es la desviación estándar.${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle x_{i}-{\overline {x}}}$

• Exponenciación por cuadrado
• Polinomio SOS , la representación de un polinomio no negativo como la suma de cuadrados de polinomios
• Decimoséptimo problema de Hilbert , para la representación de polinomios positivos como suma de cuadrados de funciones racionales
• Polinomio sin cuadrados
• Cubo (álgebra)
• Tensor métrico
• Ecuación cuadrática
• Anillo polinomial
• Sumas de cuadrados (página de desambiguación con varios enlaces relevantes)

Algebraico (necesita un anillo conmutativo )

• Diferencia de dos cuadrados
• Identidad de Brahmagupta-Fibonacci , relacionada con los números complejos en el sentido discutido anteriormente
• La identidad de cuatro cuadrados de Euler , relacionada con los cuaterniones de la misma manera
• La identidad de ocho cuadrados de Degen , relacionada con los octoniones de la misma manera
• La identidad de Lagrange

Otro

• Identidad trigonométrica pitagórica
• La identidad de Parseval

• aceleración , longitud por cuadrado de tiempo
• sección transversal (física) , una cantidad dimensionada en área
• constante de acoplamiento (tiene carga cuadrada en el denominador y puede expresarse con el cuadrado de la distancia en el numerador)
• energía cinética (dependencia cuadrática de la velocidad)
• energía específica , una cantidad dimensionada al cuadrado de la velocidad

• Marshall, Murray Polinomios positivos y sumas de cuadrados. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1 , ISBN 0-8218-4402-4  
• Rajwade, AR (1993). Squares . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 171. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-42668-5.Zbl 0785.11022  .