Espacio reflexivo

En el área de las matemáticas conocida como análisis funcional , un espacio reflexivo es un espacio vectorial topológico localmente convexo para el cual la función de evaluación canónica de en su bidual (que es el dual fuerte del dual fuerte de ) es un homeomorfismo (o equivalentemente, un isomorfismo TVS ). Un espacio normado es reflexivo si y solo si esta función de evaluación canónica es sobreyectiva , en cuyo caso esta función de evaluación (siempre lineal) es un isomorfismo isométrico y el espacio normado es un espacio de Banach . Aquellos espacios para los cuales la función de evaluación canónica es sobreyectiva se denominan espacios semirreflexivos . ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

En 1951, RC James descubrió un espacio de Banach, ahora conocido como el espacio de James , que no es reflexivo (lo que significa que la función de evaluación canónica no es un isomorfismo) pero que, sin embargo, es isométricamente isomorfo a su bidual (cualquier isomorfismo isométrico de este tipo no es necesariamente la función de evaluación canónica). Por lo tanto, es importante señalar que, para que un espacio de Banach sea reflexivo, no basta con que sea isométricamente isomorfo a su bidual; es la función de evaluación canónica, en particular, la que tiene que ser un homeomorfismo.

Los espacios reflexivos desempeñan un papel importante en la teoría general de los sistemas de transición televisiva localmente convexos y en la teoría de los espacios de Banach en particular. Los espacios de Hilbert son ejemplos destacados de espacios de Banach reflexivos. Los espacios de Banach reflexivos suelen caracterizarse por sus propiedades geométricas.

Definición del bidual

Supóngase que es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el cuerpo (que son los números reales o complejos) cuyo espacio dual continuo , separa puntos en (es decir, para cualquier existe alguno tal que ). Sea (algunos textos escriben ) el dual fuerte de que es el espacio vectorial de funcionales lineales continuos en dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ; esta topología también se llama topología dual fuerte y es la topología "predeterminada" colocada en un espacio dual continuo (a menos que se especifique otra topología). Si es un espacio normado, entonces el dual fuerte de es el espacio dual continuo con su topología de norma habitual. El bidual de denotado por es el dual fuerte de ; es decir, es el espacio ^[1] Si es un espacio normado, entonces es el espacio dual continuo del espacio de Banach con su topología de norma habitual. ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {F}}$${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle x\en X,x\neq 0}$${\displaystyle x^{\prime }\en X^{\prime }}$${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$${\estilo de visualización X,}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\estilo de visualización X,}$${\displaystyle X^{\prime \prime },}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$

Definiciones del mapa de evaluación y espacios reflexivos

Para cualquier sea definido por donde es una función lineal llamada función de evaluación en ; dado que es necesariamente continua, se sigue que Dado que separa puntos en la función lineal definida por es inyectiva donde esta función se llama función de evaluación o función canónica . Llamamos semirreflexivo si es biyectivo (o equivalentemente, sobreyectivo ) y llamamos reflexivo si además es un isomorfismo de TVS. ^[1] Un espacio normable es reflexivo si y solo si es semirreflexivo o equivalentemente, si y solo si la función de evaluación es sobreyectiva.${\displaystyle x\en X,}$${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x),}$$Estilo de visualización J_ {x}}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }.}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\estilo de visualización X,}$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$${\displaystyle J(x):=J_{x}}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

Supongamos que es un espacio vectorial normado sobre el cuerpo de números o (los números reales o los números complejos ), con una norma Consideremos su espacio normado dual que consta de todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la norma dual definida por${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|.}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }}$$${\displaystyle \|f\|^{\prime }=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|=1\}.}$$

El dual es un espacio normado (un espacio de Banach para ser precisos), y su espacio normado dual se llama espacio bidual porque El bidual consiste en todos los funcionales lineales continuos y está equipado con el dual de norma para Cada vector genera una función escalar por la fórmula: y es un funcional lineal continuo en es decir, Se obtiene de esta manera una función llamada función de evaluación , que es lineal. Se sigue del teorema de Hahn-Banach que es inyectiva y conserva las normas: es decir, se aplica isométricamente a su imagen en Además, la imagen está cerrada en pero no necesita ser igual a${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime \prime }=\left(X^{\prime }\right)^{\prime }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle h:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime \prime }}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle J(x):X^{\prime }\to \mathbb {F} }$$${\displaystyle J(x)(f)=f(x)\qquad {\text{ for all }}f\in X^{\prime },}$$${\displaystyle J(x)}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle J(x)\in X^{\prime \prime }.}$$${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$$${\displaystyle J}$$${\displaystyle {\text{ for all }}x\in X\qquad \|J(x)\|^{\prime \prime }=\|x\|,}$$${\displaystyle J}$${\displaystyle X}$${\displaystyle J(X)}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$${\displaystyle J(X)}$${\displaystyle X^{\prime \prime },}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

Un espacio normado se llama reflexivo si satisface las siguientes condiciones equivalentes:${\displaystyle X}$

1. El mapa de evaluación es sobreyectivo ,${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
2. El mapa de evaluación es un isomorfismo isométrico de espacios normados,${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
3. El mapa de evaluación es un isomorfismo de espacios normados.${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$

Un espacio reflexivo es un espacio de Banach, ya que es isométrico al espacio de Banach.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

Un espacio de Banach es reflexivo si es linealmente isométrico a su bidual bajo esta incrustación canónica. El espacio de James es un ejemplo de un espacio no reflexivo que es linealmente isométrico a su bidual . Además, la imagen del espacio de James bajo la incrustación canónica tiene codimensión uno en su bidual. ^[2] Un espacio de Banach se llama cuasi-reflexivo (de orden ) si el cociente tiene dimensión finita.${\displaystyle X}$${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle J}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X^{\prime \prime }/J(X)}$${\displaystyle d.}$

1. Todo espacio normado de dimensión finita es reflexivo, simplemente porque en este caso, el espacio, su dual y bidual tienen todos la misma dimensión lineal, por lo tanto la inyección lineal de la definición es biyectiva, por el teorema de rango-nulidad .${\displaystyle J}$
2. El espacio de Banach de sucesiones escalares que tienden a 0 en el infinito, dotado de la norma suprema, no es reflexivo. De las propiedades generales que se indican a continuación se deduce que y no son reflexivos, porque es isomorfo al dual de y es isomorfo al dual de${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{1}.}$
3. Todos los espacios de Hilbert son reflexivos, al igual que los espacios Lp para De manera más general: todos los espacios de Banach uniformemente convexos son reflexivos según el teorema de Milman-Pettis . Los espacios y no son reflexivos (a menos que sean de dimensión finita, lo que sucede, por ejemplo, cuando es una medida en un conjunto finito). Del mismo modo, el espacio de Banach de funciones continuas en no es reflexivo.${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 1<p<\infty .}$${\displaystyle L^{1}(\mu )}$${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle [0,1]}$
4. Los espacios de operadores en la clase Schatten en un espacio de Hilbert son uniformemente convexos, por lo tanto reflexivos, cuando Cuando la dimensión de es infinita, entonces (la clase traza ) no es reflexiva, porque contiene un subespacio isomorfo a y (los operadores lineales acotados en ) no son reflexivos, porque contienen un subespacio isomorfo a En ambos casos, el subespacio puede elegirse para que sea la diagonal de los operadores con respecto a una base ortonormal dada de${\displaystyle S_{p}(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle 1<p<\infty .}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S_{1}(H)}$${\displaystyle \ell ^{1},}$${\displaystyle S_{\infty }(H)=L(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$${\displaystyle H.}$

Dado que todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach reflexivo , sólo los espacios de dimensión infinita pueden ser no reflexivos.

Si un espacio de Banach es isomorfo a un espacio de Banach reflexivo , entonces es reflexivo. ^[3]${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Todo subespacio lineal cerrado de un espacio reflexivo es reflexivo. El dual continuo de un espacio reflexivo es reflexivo. Todo cociente de un espacio reflexivo por un subespacio cerrado es reflexivo. ^[4]

Sea un espacio de Banach. Los siguientes son equivalentes.${\displaystyle X}$

1. El espacio es reflexivo.${\displaystyle X}$
2. El dual continuo de es reflexivo. ^[5]${\displaystyle X}$
3. La bola unitaria cerrada de es compacta en la topología débil . (Esto se conoce como Teorema de Kakutani.) ^[6]${\displaystyle X}$
4. Toda secuencia acotada tiene una subsecuencia débilmente convergente. ^[7]${\displaystyle X}$
5. El enunciado del lema de Riesz se cumple cuando el número real ^{[nota 1]} es exactamente ^[8] Explícitamente, para cada subespacio vectorial propio cerrado de existe algún vector de norma unitaria tal que para todo${\displaystyle 1.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle u\in X}$${\displaystyle \|u\|=1}$${\displaystyle \|u-y\|\geq 1}$${\displaystyle y\in Y.}$
   • Usando para denotar la distancia entre el vector y el conjunto esto se puede reformular en un lenguaje más simple como: es reflexivo si y sólo si para cada subespacio vectorial propio cerrado hay algún vector en la esfera unitaria de que está siempre al menos a una distancia de del subespacio.${\displaystyle d(u,Y):=\inf _{y\in Y}\|u-y\|}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 1=d(u,Y)}$
   • Por ejemplo, si el espacio de Banach reflexivo está dotado de la norma euclidiana habitual y es el plano, entonces los puntos satisfacen la conclusión. Si en cambio es el eje , entonces cada punto perteneciente al círculo unitario en el plano satisface la conclusión.${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}}$${\displaystyle x-y}$${\displaystyle u=(0,0,\pm 1)}$${\displaystyle d(u,Y)=1.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x-y}$
6. Toda función lineal continua alcanza su supremo en la bola unitaria cerrada en ^[9] ( teorema de James )${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Dado que los subconjuntos convexos cerrados en un espacio de Banach son débilmente cerrados, ^[10] se deduce de la tercera propiedad que los subconjuntos convexos cerrados y acotados de un espacio reflexivo son débilmente compactos. Por lo tanto, para cada secuencia decreciente de subconjuntos convexos cerrados y acotados no vacíos de la intersección es no vacía. En consecuencia, cada función convexa continua en un subconjunto convexo cerrado de tal que el conjunto no es vacío y está acotado para algún número real alcanza su valor mínimo en${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$$${\displaystyle t,}$${\displaystyle C.}$

La propiedad geométrica prometida de los espacios de Banach reflexivos es la siguiente: si es un subconjunto convexo cerrado no vacío del espacio reflexivo entonces para cada existe un tal que minimiza la distancia entre y los puntos de Esto se deduce del resultado anterior para funciones convexas, aplicado a Nótese que si bien la distancia mínima entre y está definida de forma única por el punto no lo es. El punto más cercano es único cuando es uniformemente convexo.${\displaystyle C}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle \|x-c\|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle f(y)+\|y-x\|.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle X}$

Un espacio de Banach reflexivo es separable si y sólo si su dual continuo es separable. Esto se deduce del hecho de que para cada espacio normado la separabilidad del dual continuo implica la separabilidad de ^[11]${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y^{\prime }}$${\displaystyle Y.}$

De manera informal, un espacio de Banach superreflexivo tiene la siguiente propiedad: dado un espacio de Banach arbitrario , si todos los subespacios de dimensión finita de tienen una copia muy similar en algún lugar de entonces debe ser reflexivo. Según esta definición, el espacio en sí mismo debe ser reflexivo. Como ejemplo elemental, todo espacio de Banach cuyos subespacios bidimensionales son isométricos a los subespacios de satisface la ley del paralelogramo , por lo tanto ^[12] es un espacio de Hilbert, por lo tanto es reflexivo. Por lo tanto, es superreflexivo.${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=\ell ^{2}}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

La definición formal no utiliza isometrías, sino casi isometrías. Un espacio de Banach es finitamente representable ^[13] en un espacio de Banach si para cada subespacio de dimensión finita de y cada hay un subespacio de tal que la distancia de Banach-Mazur multiplicativa entre y satisface${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y_{0}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \epsilon >0,}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle Y_{0}}$$${\displaystyle d\left(X_{0},Y_{0}\right)<1+\varepsilon .}$$

Un espacio de Banach finitamente representable en es un espacio de Hilbert. Todo espacio de Banach es finitamente representable en El espacio Lp es finitamente representable en${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle c_{0}.}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$${\displaystyle \ell ^{p}.}$

Un espacio de Banach es superreflexivo si todos los espacios de Banach finitamente representables en son reflexivos o, en otras palabras, si ningún espacio no reflexivo es finitamente representable en La noción de ultraproducto de una familia de espacios de Banach ^[14] permite una definición concisa: el espacio de Banach es superreflexivo cuando sus ultrapotencias son reflexivas.${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

James demostró que un espacio es superreflexivo si y sólo si su dual es superreflexivo. ^[13]

Una de las caracterizaciones de James de la superreflexividad utiliza el crecimiento de árboles separados. ^[15] La descripción de un árbol binario vectorial comienza con un árbol binario enraizado etiquetado por vectores: un árbol de altura en un espacio de Banach es una familia de vectores de que se pueden organizar en niveles sucesivos, comenzando con el nivel 0 que consiste en un solo vector la raíz del árbol, seguido, por una familia de 2 vectores que forman el nivel que son los hijos de los vértices del nivel Además de la estructura del árbol , aquí se requiere que cada vector que sea un vértice interno del árbol sea el punto medio entre sus dos hijos:${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2^{n+1}-1}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x_{\varnothing },}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n,}$${\displaystyle s^{k}}$${\displaystyle k:}$$${\displaystyle \left\{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\right\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,}$$${\displaystyle k-1.}$$${\displaystyle x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.}$$

Dado un número real positivo, se dice que el árbol está -separado si para cada vértice interno, los dos hijos están -separados en la norma espacial dada:${\displaystyle t,}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle \left\|x_{1}-x_{-1}\right\|\geq t,\quad \left\|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\right\|\geq t,\quad 1\leq k<n.}$$

Teorema. ^[15] El espacio de Banach es superreflexivo si y sólo si para cada hay un número tal que cada árbol separado por - contenido en la bola unitaria de tiene una altura menor que${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in (0,2\pi ],}$${\displaystyle n(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n(t).}$

Los espacios uniformemente convexos son superreflexivos. ^[15] Sea uniformemente convexo, con módulo de convexidad y sea un número real en Por las propiedades del módulo de convexidad, un árbol separado en x de altura contenido en la bola unitaria, debe tener todos los puntos de nivel contenidos en la bola de radio Por inducción, se sigue que todos los puntos de nivel están contenidos en la bola de radio${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta _{X}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (0,2].}$${\displaystyle t}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle 1-\delta _{X}(t)<1.}$${\displaystyle n-k}$$${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{j},\ j=1,\ldots ,n.}$$

Si la altura fuera tan grande que los dos puntos del primer nivel no pudieran separarse, contrariamente a la suposición, esto daría como resultado la función límite requerida de solamente.${\displaystyle n}$$${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{n-1}<t/2,}$$${\displaystyle x_{1},x_{-1}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle n(t),}$${\displaystyle \delta _{X}(t)}$

Utilizando la caracterización de árboles, Enflo demostró ^[16] que los espacios de Banach superreflexivos admiten una norma uniformemente convexa equivalente. Los árboles en un espacio de Banach son una instancia especial de martingalas con valores vectoriales . Añadiendo técnicas de la teoría de martingalas escalares, Pisier mejoró el resultado de Enflo al mostrar ^[17] que un espacio superreflexivo admite una norma uniformemente convexa equivalente para la cual el módulo de convexidad satisface, para alguna constante y algún número real${\displaystyle X}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle q\geq 2,}$$${\displaystyle \delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad {\text{ whenever }}t\in [0,2].}$$

La noción de espacio de Banach reflexivo se puede generalizar a los espacios vectoriales topológicos de la siguiente manera.

Sea un espacio vectorial topológico sobre un cuerpo de números (de números reales o números complejos ). Considérese su espacio dual fuerte que consiste en todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la topología fuerte que es,, la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados en El espacio es un espacio vectorial topológico (para ser más precisos, un espacio localmente convexo), por lo que se puede considerar su espacio dual fuerte que se llama espacio bidual fuerte para Consiste en todos los funcionales lineales continuos y está equipado con la topología fuerte Cada vector genera una función mediante la siguiente fórmula: Esta es una funcional lineal continua en que es,, Esto induce una función llamada función de evaluación : Esta función es lineal. Si es localmente convexa, del teorema de Hahn-Banach se deduce que es inyectiva y abierta (es decir, para cada vecindad de cero en hay una vecindad de cero en tal que ). Pero puede ser no sobreyectiva y/o discontinua.${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right),}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right).}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$$${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X^{\prime }.}$$${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle J}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$

Un espacio localmente convexo se llama ${\displaystyle X}$

• semirreflexiva si el mapa de evaluación es sobreyectivo (por lo tanto biyectivo),${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
• reflexivo si el mapa de evaluación es sobreyectivo y continuo (en este caso es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos ^[18] ).${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle J}$

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff entonces los siguientes son equivalentes:${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es semireflexiva;
2. La topología débil de tenía la propiedad de Heine-Borel (es decir, para la topología débil cada subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$${\displaystyle X_{\sigma }}$
3. Si la forma lineal es continua cuando tiene la topología dual fuerte, entonces es continua cuando tiene la topología débil; ^[24]${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$
4. ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$tiene cañón; ^[24]
5. ${\displaystyle X}$con la topología débil es cuasi-completa . ^[24]${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff entonces los siguientes son equivalentes:${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es reflexivo;
2. ${\displaystyle X}$es semirreflexiva e infrabarrilada ; ^[23]
3. ${\displaystyle X}$es semireflexiva y abarrilada ;
4. ${\displaystyle X}$tiene forma de barril y la topología débil tiene la propiedad de Heine-Borel (es decir, para la topología débil cada subconjunto cerrado y acotado de es débilmente compacto). ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$${\displaystyle X_{\sigma }}$
5. ${\displaystyle X}$es semireflexiva y cuasibarrilada . ^[25]

Si es un espacio normado entonces los siguientes son equivalentes:${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es reflexivo;
2. La bola unitaria cerrada es compacta cuando tiene la topología débil ^[26]${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right).}$
3. ${\displaystyle X}$es un espacio de Banach y es reflexivo. ^[27]${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$
4. Toda secuencia con para todos los subconjuntos convexos cerrados no vacíos y acotados de tiene intersección no vacía. ^[28]${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty },}$${\displaystyle C_{n+1}\subseteq C_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

Espacios normados

Un espacio normado que es semirreflexivo es un espacio de Banach reflexivo. ^[30] Un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Banach reflexivo es reflexivo. ^[23]

Sea un espacio de Banach y un subespacio vectorial cerrado de Si dos de y son reflexivos, entonces todos lo son. ^[23] Es por esto que se hace referencia a la reflexividad como una propiedad de tres espacios . ^[23]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X,M,}$${\displaystyle X/M}$

Espacios vectoriales topológicos

Si un espacio de Hausdorff localmente convexo y con forma de barril es semirreflexivo, entonces es reflexivo. ^[1]

El dual fuerte de un espacio reflexivo es reflexivo. ^[31] Todo espacio de Montel es reflexivo. ^[26] Y el dual fuerte de un espacio de Montel es un espacio de Montel (y por lo tanto es reflexivo). ^[26]

Un espacio reflexivo de Hausdorff localmente convexo tiene forma de barril . Si es un espacio normado, entonces es una isometría sobre un subespacio cerrado de ^[30]. Esta isometría se puede expresar mediante:${\displaystyle X}$${\displaystyle I:X\to X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$$${\displaystyle \|x\|=\sup _{\stackrel {x^{\prime }\in X^{\prime },}{\|x^{\prime }\|\leq 1}}\left|\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \right|.}$$

Supóngase que es un espacio normado y que su bidual está dotado de la norma bidual. Entonces la bola unitaria de es densa en la bola unitaria de para la topología débil ^[30]${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I(\{x\in X:\|x\|\leq 1\})}$${\displaystyle \left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\left\|x^{\prime \prime }\right\|\leq 1\right\}}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right).}$

1. Todo espacio vectorial topológico de Hausdorff de dimensión finita es reflexivo, porque es biyectivo por álgebra lineal y porque existe una topología de espacio vectorial de Hausdorff única en un espacio vectorial de dimensión finita.${\displaystyle J}$
2. Un espacio normado es reflexivo como espacio normado si y sólo si es reflexivo como espacio localmente convexo. Esto se deduce del hecho de que para un espacio normado su espacio normado dual coincide como espacio vectorial topológico con el espacio dual fuerte . Como corolario, la función de evaluación coincide con la función de evaluación y las siguientes condiciones se vuelven equivalentes:${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$
   1. ${\displaystyle X}$es un espacio normado reflexivo (es decir, es un isomorfismo de espacios normados),${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
   2. ${\displaystyle X}$es un espacio localmente convexo reflexivo (es decir, es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos ^[18] ),${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
   3. ${\displaystyle X}$es un espacio localmente convexo semirreflexivo (es decir, es sobreyectivo).${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
3. Un ejemplo (algo artificial) de un espacio semirreflexivo que no es reflexivo se obtiene de la siguiente manera: sea un espacio de Banach reflexivo de dimensión infinita, y sea el espacio vectorial topológico , es decir, el espacio vectorial equipado con la topología débil. Entonces, el dual continuo de y son el mismo conjunto de funcionales, y los subconjuntos acotados de (es decir, los subconjuntos débilmente acotados de ) están acotados por norma, por lo tanto, el espacio de Banach es el dual fuerte de Como es reflexivo, el dual continuo de es igual a la imagen de bajo la incrustación canónica , pero la topología en (la topología débil de ) no es la topología fuerte que es igual a la topología de norma de${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right),}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{\prime }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X^{\prime }=Y^{\prime }}$${\displaystyle J(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle J,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right),}$${\displaystyle Y.}$
4. Los espacios de Montel son espacios vectoriales topológicos reflexivos localmente convexos. En particular, los siguientes espacios funcionales que se utilizan con frecuencia en el análisis funcional son espacios reflexivos localmente convexos: ^[32]
   • el espacio de funciones suaves en una variedad suave arbitraria (real) y su fuerte espacio dual de distribuciones con soporte compacto en${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle \left(C^{\infty }\right)^{\prime }(M)}$${\displaystyle M,}$
   • el espacio de funciones suaves con soporte compacto en una variedad suave arbitraria (real) y su fuerte espacio dual de distribuciones en${\displaystyle {\mathcal {D}}(M)}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(M)}$${\displaystyle M,}$
   • el espacio de funciones holomorfas en una variedad compleja arbitraria y su fuerte espacio dual de funcionales analíticos en${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\prime }(M)}$${\displaystyle M,}$
   • el espacio de Schwartz en y su fuerte espacio dual de distribuciones templadas en${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

• Existe un TVS localmente convexo no reflexivo cuyo dual fuerte es reflexivo. ^[33]

Un espacio estereotípico, o espacio reflexivo polar, se define como un espacio vectorial topológico (TVS) que satisface una condición similar de reflexividad, pero con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos totalmente acotados (en lugar de subconjuntos acotados ) en la definición de espacio dual. Más precisamente, un TVS se llama reflexivo polar ^[34] o estereotipo si la función de evaluación en el segundo espacio dual es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos . ^[18] Aquí el espacio dual estereotípico se define como el espacio de funcionales lineales continuos dotados de la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados en (y el segundo espacio dual estereotípico es el espacio dual a en el mismo sentido).${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle J:X\to X^{\star \star },\quad J(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }}$$${\displaystyle X^{\star }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star \star }}$${\displaystyle X^{\star }}$

A diferencia de los espacios reflexivos clásicos, la clase Ste de espacios estereotípicos es muy amplia (contiene, en particular, todos los espacios de Fréchet y, por tanto, todos los espacios de Banach ), forma una categoría monoidal cerrada y admite operaciones estándar (definidas dentro de Ste ) de construcción de nuevos espacios, como tomar subespacios cerrados, espacios cocientes, límites proyectivos e inyectivos, el espacio de operadores, productos tensoriales, etc. La categoría Ste tiene aplicaciones en la teoría de dualidad para grupos no conmutativos.

De manera similar, se puede reemplazar la clase de subconjuntos acotados (y totalmente acotados) en la definición de espacio dual por otras clases de subconjuntos, por ejemplo, por la clase de subconjuntos compactos en – los espacios definidos por la condición de reflexividad correspondiente se denominan reflectivos , ^{[35] [36]} y forman una clase incluso más amplia que Ste , pero no está claro (2012), si esta clase forma una categoría con propiedades similares a las de Ste .${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle X}$

• Espacio Grothendieck
  • Una generalización que tiene algunas de las propiedades de los espacios reflexivos e incluye muchos espacios de importancia práctica es el concepto de espacio de Grothendieck .
• Álgebra de operadores reflexiva  : álgebra de operadores que tiene suficientes subespacios invariantes para caracterizarla.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

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