Base
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En un sistema de numeración posicional , la base es el número de dígitos únicos , incluido el dígito cero, que se utilizan para representar números. Por ejemplo, para el sistema decimal ( el sistema más común en uso hoy en día), la base es diez, porque utiliza los diez dígitos del 0 al 9.
En cualquier sistema de numeración posicional estándar, un número se escribe convencionalmente como ( x ) y con x como la cadena de dígitos e y como su base, aunque para la base diez se suele asumir el subíndice (y omitirlo, junto con el par de paréntesis ), ya que es la forma más común de expresar el valor . Por ejemplo, (100) 10 es equivalente a 100 (el sistema decimal está implícito en este último) y representa el número cien, mientras que (100) 2 (en el sistema binario con base 2) representa el número cuatro. [1]
Etimología
Radix es una palabra latina que significa "raíz". Raíz puede considerarse un sinónimo de base, en el sentido aritmético.
En sistemas numéricos
En general, en un sistema con base b ( b > 1 ), una cadena de dígitos d 1 ... d n denota el número d 1 b n −1 + d 2 b n −2 + … + d n b 0 , donde 0 ≤ d i < b . [1] A diferencia del decimal, o base 10, que tiene un lugar de unidades, un lugar de decenas, un lugar de centenas, etc., la base b tendría un lugar de unidades, luego un lugar de b 1 , un lugar de b 2 , etc. [2]
Por ejemplo, si b = 12, una cadena de dígitos como 59A (donde la letra "A" representa el valor de diez) representaría el valor 5 × 12 2 + 9 × 12 1 + 10 × 12 0 = 838 en base 10.
Los sistemas de numeración comúnmente utilizados incluyen:
| Base/raíz | Nombre | Descripción |
|---|---|---|
| 2 | Sistema de numeración binario | Se utiliza internamente en casi todas las computadoras . Los dos dígitos son "0" y "1", expresados por interruptores que muestran OFF y ON, respectivamente. Se utiliza en la mayoría de los contadores eléctricos . |
| 8 | Sistema octal | Se utiliza ocasionalmente en informática. Los ocho dígitos son "0" a "7" y representan 3 bits (2 3 ). |
| 10 | Sistema decimal | Utilizado por los humanos en la gran mayoría de culturas. Sus diez dígitos son "0"–"9". Se utiliza en la mayoría de los contadores mecánicos . |
| 12 | Sistema duodecimal (docena) | A veces se defiende debido a su divisibilidad por 2, 3, 4 y 6. Se utilizaba tradicionalmente como parte de cantidades expresadas en docenas y unidades brutas . |
| 16 | Sistema hexadecimal | Se utiliza a menudo en informática como una representación más compacta del sistema binario (1 dígito hexadecimal por cada 4 bits). Los dieciséis dígitos son "0"–"9" seguidos de "A"–"F" o "a"–"f". |
| 20 | Sistema vigesimal | Sistema de numeración tradicional en varias culturas, que todavía se utiliza para contar. Históricamente también se lo conoce como sistema de puntuación en inglés, y ahora es famoso por la frase "hace cuatro veintenas y siete años" del discurso de Gettysburg . |
| 36 | Base36 | Base36 es un esquema de codificación de binario a texto que representa datos binarios en un formato de cadena ASCII traduciéndolos a una representación de base 36. La elección de 36 es conveniente porque los dígitos se pueden representar utilizando los números arábigos del 0 al 9 y las letras latinas de la A a la Z (el alfabeto latino básico ISO ). Cada dígito de base36 necesita menos de 6 bits de información para ser representado. |
| 60 | Sistema sexagesimal | Originalmente utilizado en forma modificada en la antigua Sumeria y transmitido a los babilonios . [3] Se utiliza hoy como base del sistema de coordenadas circulares moderno (grados, minutos y segundos) y de medición del tiempo (minutos y segundos) por analogía con la rotación de la Tierra. |
Los sistemas octal y hexadecimal se utilizan a menudo en informática debido a su facilidad como abreviatura del binario. Cada dígito hexadecimal corresponde a una secuencia de cuatro dígitos binarios, ya que dieciséis es la cuarta potencia de dos; por ejemplo, el sistema hexadecimal 78 16 es el binario 111 1000 2 . De manera similar, cada dígito octal corresponde a una secuencia única de tres dígitos binarios, ya que ocho es el cubo de dos.
Esta representación es única. Sea b un entero positivo mayor que 1. Entonces, todo entero positivo a puede expresarse de forma única en la forma
donde m es un entero no negativo y los r' son enteros tales que
- 0 < r m < b y 0 ≤ r i < b para i = 0, 1, ... , m − 1. [4]
Los radicales son generalmente números naturales . Sin embargo, son posibles otros sistemas posicionales, por ejemplo, base áurea (cuyo radical es un número algebraico no entero ), [5] y base negativa (cuyo radical es negativo). [6] Una base negativa permite la representación de números negativos sin el uso de un signo menos. Por ejemplo, sea b = −10. Entonces una cadena de dígitos como 19 denota el número (decimal) 1 × (−10) 1 + 9 × (−10) 0 = −1.
Véase también
- Base (exponenciación)
- Radix mixto
- Polinomio
- Economía de Radix
- Ordenamiento por base
- Sistemas de numeración posicional no estándar
- Lista de sistemas de numeración
Notas
- ^ ab Mano, M. Morris; Kime, Charles (2014). Fundamentos de diseño de lógica y computadoras (4.ª ed.). Harlow: Pearson. págs. 13-14. ISBN 978-1-292-02468-4.
- ^ "Binario". experimentimonkey.com . Consultado el 14 de mayo de 2023 .
- ^ Bertman, Stephen (2005). Manual de vida en la antigua Mesopotamia (edición de bolsillo). Oxford [ua]: Oxford Univ. Press. pág. 257. ISBN 978-019-518364-1.
- ^ McCoy (1968, pág. 75)
- ^ Bergman, George (1957). "Un sistema numérico con una base irracional". Revista de Matemáticas . 31 (2): 98–110. doi :10.2307/3029218. JSTOR 3029218.
- ^ William J. Gilbert (septiembre de 1979). «Negative Based Number Systems» (PDF) . Revista de matemáticas . 52 (4): 240–244. doi :10.1080/0025570X.1979.11976792 . Consultado el 7 de febrero de 2015 .
Referencias
- McCoy, Neal H. (1968), Introducción al álgebra moderna, edición revisada , Boston: Allyn and Bacon , LCCN 68015225
Enlaces externos
- Entrada de MathWorld en la base
