Teorema de los números primos

En matemáticas , el teorema de los números primos ( NTP ) describe la distribución asintótica de los números primos entre los números enteros positivos. Formaliza la idea intuitiva de que los números primos se vuelven menos comunes a medida que se hacen más grandes al cuantificar con precisión la tasa a la que esto ocurre. El teorema fue demostrado de forma independiente por Jacques Hadamard ^[1] y Charles Jean de la Vallée Poussin ^[2] en 1896 utilizando ideas introducidas por Bernhard Riemann (en particular, la función zeta de Riemann ).

La primera distribución de este tipo encontrada es π ( N ) ~ ⁠norte/registro( N )⁠ , donde π ( N ) es la función de conteo de primos (el número de primos menores o iguales a N ) y log( N ) es el logaritmo natural de N . Esto significa que para un N suficientemente grande , la probabilidad de que un entero aleatorio no mayor que N sea primo es muy cercana a 1 / log( N ) . En consecuencia, un entero aleatorio con como máximo 2 n dígitos (para un n suficientemente grande) tiene aproximadamente la mitad de probabilidades de ser primo que un entero aleatorio con como máximo n dígitos. Por ejemplo, entre los enteros positivos de como máximo 1000 dígitos, aproximadamente uno en 2300 es primo ( log(10 ¹⁰⁰⁰ ) ≈ 2302.6 ), mientras que entre los enteros positivos de como máximo 2000 dígitos, aproximadamente uno en 4600 es primo ( log(10 ²⁰⁰⁰ ) ≈ 4605.2 ). En otras palabras, la brecha promedio entre números primos consecutivos entre los primeros N enteros es aproximadamente log( N ) . ^[3]

Sea π ( x ) la función de conteo de primos definida como el número de primos menores o iguales a x , para cualquier número real  x . Por ejemplo, π (10) = 4 porque hay cuatro números primos (2, 3, 5 y 7) menores o iguales a 10. El teorema de los números primos establece entonces que x / log x es una buena aproximación a π ( x ) (donde log aquí significa el logaritmo natural), en el sentido de que el límite del cociente de las dos funciones π ( x ) y x / log x cuando x aumenta sin límite es 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\log(x)}}\right]\;}}=1,}$

conocida como ley asintótica de distribución de números primos . Usando la notación asintótica, este resultado puede reformularse como

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$

Esta notación (y el teorema) no dice nada acerca del límite de la diferencia de las dos funciones a medida que x aumenta sin límite. En cambio, el teorema establece que x / log x se aproxima a π ( x ) en el sentido de que el error relativo de esta aproximación se acerca a 0 a medida que x aumenta sin límite.

El teorema de los números primos es equivalente a la afirmación de que el n- ésimo número primo p _n satisface

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n),}$

La notación asintótica significa, nuevamente, que el error relativo de esta aproximación se acerca a 0 a medida que n aumenta sin límite. Por ejemplo,2 × 10 ^17.º número primo es8 512 677 386 048 191 063 , ^[4] y (2 × 10 ¹⁷ )log(2 × 10 ¹⁷ ) se redondea a7 967 418 752 291 744 388 , un error relativo de alrededor del 6,4%.

Por otra parte, las siguientes relaciones asintóticas son lógicamente equivalentes: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}&=1,\\\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log \pi (x)}{x}}&=1.\end{aligned}}}$

Como se describe a continuación, el teorema de los números primos también es equivalente a

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1,}$

donde ϑ y ψ son la primera y la segunda función de Chebyshev respectivamente, y

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {M(x)}{x}}=0,}$^[6]

¿Dónde está la función de Mertens ?${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

Basándose en las tablas de Anton Felkel y Jurij Vega , Adrien-Marie Legendre conjeturó en 1797 o 1798 que π ( a ) se aproxima mediante la función a / ( A log a + B ) , donde A y B son constantes no especificadas. En la segunda edición de su libro sobre teoría de números (1808) hizo una conjetura más precisa , con A = 1 y B = −1,08366 . Carl Friedrich Gauss consideró la misma cuestión a los 15 o 16 años "en el año 1792 o 1793", según su propio recuerdo en 1849. ^[7] En 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ideó su propia función de aproximación, la integral logarítmica li( x ) (bajo la forma ligeramente diferente de una serie, que comunicó a Gauss). Tanto la fórmula de Legendre como la de Dirichlet implican la misma equivalencia asintótica conjeturada de π ( x ) y x / log( x ) indicada anteriormente, aunque resultó que la aproximación de Dirichlet es considerablemente mejor si se consideran las diferencias en lugar de los cocientes.

En dos artículos de 1848 y 1850, el matemático ruso Pafnuty Chebyshev intentó demostrar la ley asintótica de distribución de números primos. Su trabajo es notable por el uso de la función zeta ζ ( s ) , para valores reales del argumento " s ", como en los trabajos de Leonhard Euler , ya en 1737. Los artículos de Chebyshev fueron anteriores a las célebres memorias de Riemann de 1859, y tuvo éxito en demostrar una forma ligeramente más débil de la ley asintótica, a saber, que si el límite cuando x tiende a infinito de π ( x ) / ( x / log( x )) existe en absoluto, entonces es necesariamente igual a uno. ^[8] Fue capaz de demostrar incondicionalmente que esta relación está acotada por encima y por debajo por 0,92129 y 1,10555, para todos los x suficientemente grandes . ^{[9] [10]} Aunque el artículo de Chebyshev no demostró el teorema de los números primos, sus estimaciones para π ( x ) fueron lo suficientemente fuertes como para permitirle demostrar el postulado de Bertrand de que existe un número primo entre n y 2 n para cualquier entero n ≥ 2 .

Un artículo importante sobre la distribución de los números primos fue la memoria de Riemann de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ", el único artículo que escribió sobre el tema. Riemann introdujo nuevas ideas en el tema, principalmente que la distribución de los números primos está íntimamente relacionada con los ceros de la función zeta de Riemann analíticamente extendida de una variable compleja. En particular, es en este artículo donde se origina la idea de aplicar métodos de análisis complejo al estudio de la función real π ( x ) . Extendiendo las ideas de Riemann, Jacques Hadamard ^[1] y Charles Jean de la Vallée Poussin ^[2] encontraron independientemente dos pruebas de la ley asintótica de la distribución de los números primos , que aparecieron el mismo año (1896). Ambas demostraciones utilizan métodos del análisis complejo, estableciendo como paso principal de la demostración que la función zeta de Riemann ζ ( s ) es distinta de cero para todos los valores complejos de la variable s que tienen la forma s = 1 + it con t > 0 . ^[11]

Durante el siglo XX, el teorema de Hadamard y de la Vallée Poussin también se conoció como el teorema de los números primos. Se encontraron varias demostraciones diferentes, incluidas las demostraciones "elementales" de Atle Selberg ^[12] y Paul Erdős ^[13] (1949). Las demostraciones originales de Hadamard y de la Vallée Poussin son largas y elaboradas; las demostraciones posteriores introdujeron varias simplificaciones mediante el uso de teoremas de Tauber, pero siguieron siendo difíciles de digerir. En 1980, el matemático estadounidense Donald J. Newman descubrió una demostración corta . ^{[14] [15]} La demostración de Newman es posiblemente la demostración más simple conocida del teorema, aunque no es elemental en el sentido de que utiliza el teorema integral de Cauchy del análisis complejo.

Aquí hay un bosquejo de la prueba a la que se hace referencia en una de las conferencias de Terence Tao . ^[16] Como la mayoría de las pruebas del PNT, comienza reformulando el problema en términos de una función de conteo de primos menos intuitiva, pero de mejor comportamiento. La idea es contar los primos (o un conjunto relacionado, como el conjunto de potencias de primos) con pesos para llegar a una función con un comportamiento asintótico más suave. La función de conteo generalizada más común es la función de Chebyshev ψ ( x ) , definida por

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\geq 1}\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p\;.}$

Esto a veces se escribe como

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\;,}$

donde Λ ( n ) es la función de von Mangoldt , es decir

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{ if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Ahora es relativamente fácil comprobar que el PNT es equivalente a la afirmación de que

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1\;.}$

De hecho, esto se desprende de las estimaciones sencillas.

${\displaystyle \psi (x)=\!\!\!\!\sum _{\stackrel {p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log x=\pi (x)\log x}$

y (usando la notación O mayúscula ) para cualquier ε > 0 ,

${\displaystyle \psi (x)\geq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p\geq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x\;.}$

El siguiente paso es encontrar una representación útil para ψ ( x ) . Sea ζ ( s ) la función zeta de Riemann. Se puede demostrar que ζ ( s ) está relacionada con la función de von Mangoldt Λ ( n ) , y por lo tanto con ψ ( x ) , mediante la relación

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,n^{-s}\;.}$

Un análisis delicado de esta ecuación y las propiedades relacionadas de la función zeta, utilizando la transformada de Mellin y la fórmula de Perron , muestra que para x no entero la ecuación

${\displaystyle \psi (x)=x\;-\;\log(2\pi )\;-\!\!\!\!\sum \limits _{\rho :\,\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}}$

se cumple, donde la suma es sobre todos los ceros (triviales y no triviales) de la función zeta. Esta sorprendente fórmula es una de las llamadas fórmulas explícitas de la teoría de números , y ya es sugerente del resultado que deseamos demostrar, ya que el término x (que se afirma que es el orden asintótico correcto de ψ ( x ) ) aparece en el lado derecho, seguido de términos asintóticos (presumiblemente) de orden inferior.

El siguiente paso en la demostración implica un estudio de los ceros de la función zeta. Los ceros triviales −2, −4, −6, −8, ... pueden tratarse por separado:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

que se desvanece para x grande . Los ceros no triviales, es decir, aquellos en la franja crítica 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 , pueden ser potencialmente de un orden asintótico comparable al término principal x si Re( ρ ) = 1 , por lo que necesitamos demostrar que todos los ceros tienen una parte real estrictamente menor que 1.

Para ello, damos por sentado que ζ ( s ) es meromórfico en el semiplano Re( s ) > 0 , y es analítico allí excepto por un polo simple en s = 1 , y que hay una fórmula de producto

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

para Re( s ) > 1 . Esta fórmula del producto se deduce de la existencia de una factorización prima única de los números enteros, y muestra que ζ ( s ) nunca es cero en esta región, de modo que su logaritmo está definido allí y

${\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum _{p}\log \left(1-p^{-s}\right)=\sum _{p,n}{\frac {p^{-ns}}{n}}\;.}$

Escribe s = x + iy  ; entonces

${\displaystyle {\big |}\zeta (x+iy){\big |}=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {\cos ny\log p}{np^{nx}}}\right)\;.}$

Ahora observe la identidad

${\displaystyle 3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0\;,}$

de modo que

${\displaystyle \left|\zeta (x)^{3}\zeta (x+iy)^{4}\zeta (x+2iy)\right|=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {3+4\cos(ny\log p)+\cos(2ny\log p)}{np^{nx}}}\right)\geq 1}$

para todo x > 1 . Supongamos ahora que ζ (1 + iy ) = 0 . Ciertamente y no es cero, ya que ζ ( s ) tiene un polo simple en s = 1 . Supongamos que x > 1 y sea x tiende a 1 desde arriba. Como tiene un polo simple en s = 1 y ζ ( x + 2 iy ) sigue siendo analítica, el lado izquierdo en la desigualdad anterior tiende a 0, una contradicción.${\displaystyle \zeta (s)}$

Finalmente, podemos concluir que la PNT es heurísticamente verdadera. Para completar rigurosamente la prueba todavía hay serios tecnicismos que superar, debido al hecho de que la suma sobre ceros zeta en la fórmula explícita para ψ ( x ) no converge de manera absoluta sino solo condicional y en un sentido de "valor principal". Hay varias formas de solucionar este problema pero muchas de ellas requieren estimaciones analíticas complejas bastante delicadas. El libro de Edwards ^[17] proporciona los detalles. Otro método es utilizar el teorema de Tauber de Ikehara , aunque este teorema es en sí bastante difícil de probar. DJ Newman observó que no se necesita toda la fuerza del teorema de Ikehara para el teorema de los números primos, y uno puede salirse con la suya con un caso especial que es mucho más fácil de probar.

DJ Newman ofrece una demostración rápida del teorema de los números primos (TNP). La demostración es "no elemental" en virtud de que se basa en el análisis complejo, pero utiliza sólo técnicas elementales de un primer curso sobre el tema: la fórmula integral de Cauchy , el teorema integral de Cauchy y las estimaciones de integrales complejas. A continuación se presenta un breve esbozo de esta demostración. Véase ^[15] para obtener los detalles completos.

La demostración utiliza los mismos preliminares que en la sección anterior excepto que en lugar de la función , se utiliza la función de Chebyshev , que se obtiene eliminando algunos de los términos de la serie para . Es fácil demostrar que la PNT es equivalente a . Asimismo, en lugar de se utiliza la función , que se obtiene eliminando algunos términos de la serie para . Las funciones y difieren en una función holomorfa en . Dado que, como se mostró en la sección anterior, no tiene ceros en la línea , no tiene singularidades en .${\textstyle \psi }$${\textstyle \quad \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$${\textstyle \psi }$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\vartheta (x)/x=1}$${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$${\displaystyle \Phi (s)=\sum _{p\leq x}\log p\,\,p^{-s}}$${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$${\displaystyle \Phi (s)}$${\displaystyle -\zeta '(s)/\zeta (s)}$${\displaystyle \Re s=1}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \Re s=1}$${\displaystyle \Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}}$${\displaystyle \Re s=1}$

Otro dato necesario en la prueba de Newman, y que es la clave de las estimaciones de su método simple, es que está acotado. Esto se demuestra utilizando un método ingenioso y sencillo creado por Chebyshev.${\displaystyle \vartheta (x)/x}$

La integración por partes muestra cómo y están relacionados. Para , ${\displaystyle \vartheta (x)}$${\displaystyle \Phi (s)}$${\displaystyle \Re s>1}$

${\displaystyle \Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt.}$

El método de Newman demuestra la PNT mostrando la integral

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1\right)\,dt.}$

converge, y por lo tanto el integrando tiende a cero cuando , que es la PNT. En general, la convergencia de la integral impropia no implica que el integrando tienda a cero en el infinito, ya que puede oscilar, pero como es creciente, es fácil demostrarlo en este caso.${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle \vartheta }$

Para mostrar la convergencia de , sea ${\displaystyle I}$${\displaystyle \Re z>0}$

${\displaystyle g_{T}(z)=\int _{0}^{T}f(t)e^{-zt}\,dt}$ Y donde${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-zt}\,dt}$${\displaystyle f(t)={\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1}$

entonces

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)=g(z)={\frac {\Phi (s)}{s}}-{\frac {1}{s-1}}\quad \quad {\text{where}}\quad z=s-1}$

que es igual a una función holomorfa en la línea .${\displaystyle \Re z=0}$

La convergencia de la integral , y por lo tanto de la PNT, se demuestra mostrando que . Esto implica un cambio de orden de los límites, ya que puede escribirse y, por lo tanto, clasificarse como un teorema de Tauber.${\displaystyle I}$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$${\textstyle \lim _{T\to \infty }\lim _{z\to 0}g_{T}(z)=\lim _{z\to 0}\lim _{T\to \infty }g_{T}(z)}$

La diferencia se expresa utilizando la fórmula integral de Cauchy y luego se demuestra que es pequeña para grande estimando el integrando. Fije y tal que sea holomorfo en la región donde , y sea el límite de esta región. Dado que 0 está en el interior de la región, la fórmula integral de Cauchy da ${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R>0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle |z|\leq R{\text{ and }}\Re z\geq -\delta }$${\displaystyle C}$

${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right){\frac {dz}{z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right)F(z){\frac {dz}{z}}}$

donde es el factor introducido por Newman, que no cambia la integral ya que es entera y .${\displaystyle F(z)=e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(0)=1}$

Para estimar la integral, se parte el contorno en dos partes, donde y . Luego, donde . Puesto que , y por lo tanto , está acotado, sea un límite superior para el valor absoluto de . Este límite junto con la estimación de da como resultado que la primera integral en valor absoluto es . El integrando sobre en la segunda integral es entero , por lo que, por el teorema de la integral de Cauchy , el contorno se puede modificar a un semicírculo de radio en el semiplano izquierdo sin cambiar la integral, y el mismo argumento que para la primera integral da como resultado que el valor absoluto de la segunda integral es . Finalmente, dejando , la tercera integral tiende a cero ya que y por lo tanto tiende a cero en el contorno. Combinando las dos estimaciones y el límite se obtiene${\displaystyle C}$${\displaystyle C=C_{+}+C_{-}}$${\displaystyle C_{+}=C\cap \left\{z\,\vert \,\Re z>0\right\}}$${\displaystyle C_{-}\cap \left\{\Re z\leq 0\right\}}$${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)=\int _{C_{+}}\int _{T}^{\infty }H(t,z)dtdz-\int _{C_{-}}\int _{0}^{T}H(t,z)dtdz+\int _{C_{-}}g(z)F(z){\frac {dz}{2\pi iz}}}$${\displaystyle H(t,z)=f(t)e^{-tz}F(z)/2\pi i}$${\displaystyle \vartheta (x)/x}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle |F|\leq 2\exp(T\Re z)|\Re z|/R}$${\displaystyle |z|=R}$${\displaystyle \leq B/R}$${\displaystyle C_{-}}$${\displaystyle C_{-}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \leq B/R}$${\displaystyle T\to \infty }$${\displaystyle e^{zT}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \limsup _{T\to \infty }|g(0)-g_{T}(0)|\leq {\frac {2B}{R}}.}$

Esto es válido para cualquier so y el PNT le sigue.${\displaystyle R}$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$

En una nota manuscrita en una reimpresión de su artículo de 1838 " Sobre el uso de las series infinitas en la teoría de los nombres ", que envió por correo a Gauss, Dirichlet conjeturó (bajo una forma ligeramente diferente, apelando a una serie en lugar de a una integral) que una aproximación aún mejor a π ( x ) está dada por la función integral logarítmica desplazada Li( x ) , definida por

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

De hecho, esta integral sugiere fuertemente la noción de que la "densidad" de primos alrededor de t debería ser 1 / log t . Esta función está relacionada con el logaritmo por la expansión asintótica

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x)^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots }$

Por lo tanto, el teorema de los números primos también se puede escribir como π ( x ) ~ Li( x ) . De hecho, en otro artículo ^[18] de 1899, de la Vallée Poussin demostró que

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

para alguna constante positiva a , donde O (...) es la notación O grande . Esto se ha mejorado a

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}}{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\right)\right)}$donde . ^[19]${\displaystyle A=0.2098}$

En 2016, Trudgian demostró un límite superior explícito para la diferencia entre y :${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.455}}}\right)}$

para . ^[20]${\displaystyle x\geq 229}$

La conexión entre la función zeta de Riemann y π ( x ) es una de las razones por las que la hipótesis de Riemann tiene una importancia considerable en la teoría de números: si se estableciera, produciría una estimación mucho mejor del error involucrado en el teorema de los números primos que la disponible hoy en día. Más específicamente, Helge von Koch demostró en 1901 ^[21] que si la hipótesis de Riemann es verdadera, el término de error en la relación anterior se puede mejorar a

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right)}$

(esta última estimación es de hecho equivalente a la hipótesis de Riemann). La constante involucrada en la notación O grande fue estimada en 1976 por Lowell Schoenfeld , ^[22] asumiendo la hipótesis de Riemann:

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\log x}{8\pi }}}$

para todo x ≥ 2657. También derivó un límite similar para la función de conteo de primos de Chebyshev ψ :

${\displaystyle {\big |}\psi (x)-x{\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}(\log x)^{2}}{8\pi }}}$

para todo x ≥ 73,2  . Se ha demostrado que este último límite expresa una varianza con respecto a la ley de potencia media (cuando se considera como una función aleatoria sobre los números enteros) y1/ F ⁠  ruido y también corresponde a la distribución de Poisson compuesta de Tweedie . (Las distribuciones de Tweedie representan una familia de distribuciones invariantes de escala que sirven como focos de convergencia para una generalización del teorema del límite central . ^{[23] )} JE Littlewood también deriva un límite inferior , asumiendo la hipótesis de Riemann: ^{[24] [25] [26]}

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}=\Omega \left({\sqrt {x}}{\frac {\log \log \log x}{\log x}}\right)}$

La integral logarítmica li( x ) es mayor que π ( x ) para valores "pequeños" de x . Esto se debe a que (en cierto sentido) no cuenta primos, sino potencias de primos, donde una potencia p ⁿ de un primo p se cuenta como ⁠1/ norte ⁠ de un primo. Esto sugiere que li( x ) debería ser mayor que π ( x ) aproximadamente y, en particular, siempre debería ser mayor que π ( x ) . Sin embargo, en 1914, Littlewood demostró que cambia de signo infinitamente a menudo. ^[24] El primer valor de x donde π ( x ) excede a li( x ) es probablemente alrededor de x ~ 10${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x}})\ ,}$${\displaystyle \ \pi (x)-\operatorname {li} (x)\ }$³¹⁶ ; véase el artículo sobreel número de Skewespara más detalles. (Por otra parte, laintegral logarítmica desfasada Li( x )es menor que π ( x )ya para x = 2; de hecho,Li(2) = 0, mientras que π (2) = 1.)

En la primera mitad del siglo XX, algunos matemáticos (notablemente GH Hardy ) creían que existe una jerarquía de métodos de prueba en matemáticas dependiendo de qué tipos de números ( enteros , reales , complejos ) requiere una prueba, y que el teorema de los números primos (NTP) es un teorema "profundo" en virtud de requerir un análisis complejo . ^[10] Esta creencia fue sacudida un poco por una prueba del TNP basada en el teorema tauberiano de Wiener , aunque la prueba de Wiener en última instancia se basa en propiedades de la función zeta de Riemann en la línea , donde se debe utilizar el análisis complejo.${\displaystyle {\text{re}}(s)=1}$

En marzo de 1948, Atle Selberg estableció, por medios "elementales", la fórmula asintótica

${\displaystyle \vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\ \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)=2x\log(x)+O(x)}$

dónde

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}}$

para primos p . ^[12] Para julio de ese año, Selberg y Paul Erdős ^[13] habían obtenido cada uno pruebas elementales del PNT, ambos usando la fórmula asintótica de Selberg como punto de partida. ^{[10] [27]} Estas pruebas efectivamente pusieron fin a la noción de que el PNT era "profundo" en ese sentido, y mostraron que los métodos técnicamente "elementales" eran más poderosos de lo que se creía. Sobre la historia de las pruebas elementales del PNT, incluida la disputa de prioridad Erdős-Selberg , véase un artículo de Dorian Goldfeld . ^[10]

Existe cierto debate sobre la importancia del resultado de Erdős y Selberg. No existe una definición rigurosa y ampliamente aceptada de la noción de prueba elemental en teoría de números, por lo que no está claro exactamente en qué sentido su prueba es "elemental". Aunque no utiliza análisis complejo, es de hecho mucho más técnica que la prueba estándar de PNT. Una posible definición de una prueba "elemental" es "una que puede llevarse a cabo en aritmética de Peano de primer orden ". Hay enunciados teóricos de números (por ejemplo, el teorema de París-Harrington ) demostrables utilizando métodos de segundo orden pero no de primer orden , pero tales teoremas son raros hasta la fecha. La prueba de Erdős y Selberg ciertamente puede formalizarse en aritmética de Peano, y en 1994, Charalambos Cornaros y Costas Dimitracopoulos demostraron que su prueba puede formalizarse en un fragmento muy débil de PA, a saber, I Δ ₀ + exp . ^[28] Sin embargo, esto no aborda la cuestión de si la prueba estándar de PNT puede formalizarse o no en PA.

Una prueba "elemental" más reciente del teorema de los números primos utiliza la teoría ergódica , debida a Florian Richter. ^[29] El teorema de los números primos se obtiene allí en una forma equivalente a que la suma de Cesaro de los valores de la función de Liouville sea cero. La función de Liouville es donde es el número de factores primos, con multiplicidad, del entero . Bergelson y Richter (2022) obtienen entonces esta forma del teorema de los números primos a partir de un teorema ergódico que prueban:${\displaystyle (-1)^{\omega (n)}}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle n}$

Sea un espacio métrico compacto, una autoaplicación continua de , y una medida de probabilidad de Borel -invariante para la cual es únicamente ergódica . Entonces, para cada ,${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f\in C(X)}$

$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(T^{\omega (n)}x)\to \int _{X}f\,d\mu ,\quad \forall x\in X.}$$Este teorema ergódico también se puede utilizar para dar pruebas "suaves" de resultados relacionados con el teorema de los números primos, como el teorema de Pillai-Selberg y el teorema de Erdős-Delange .

En 2005, Avigad et al. emplearon el demostrador de teoremas de Isabelle para idear una variante verificada por computadora de la prueba de Erdős–Selberg del PNT. ^[30] Esta fue la primera prueba verificada por computadora del PNT. Avigad eligió formalizar la prueba de Erdős–Selberg en lugar de una analítica porque, si bien la biblioteca de Isabelle en ese momento podía implementar las nociones de límite, derivada y función trascendental , casi no tenía una teoría de la integración de la que hablar. ^{[30] : 19}

En 2009, John Harrison empleó HOL Light para formalizar una prueba empleando análisis complejo . ^[31] Al desarrollar la maquinaria analítica necesaria, incluida la fórmula integral de Cauchy , Harrison pudo formalizar "una prueba directa, moderna y elegante en lugar del argumento 'elemental' más complicado de Erdős-Selberg".

Sea π _{d , a} ( x ) el número de primos en la progresión aritmética a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , ... que son menores que x . Dirichlet y Legendre conjeturaron, y de la Vallée Poussin demostró, que si a y d son coprimos , entonces

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {\operatorname {Li} (x)}{\varphi (d)}}\ ,}$

donde φ es la función totiente de Euler . En otras palabras, los primos se distribuyen uniformemente entre las clases de residuos [ a ] ​​módulo d con mcd( a , d ) = 1  . Esto es más fuerte que el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas (que solo establece que hay una infinidad de primos en cada clase) y se puede demostrar utilizando métodos similares utilizados por Newman para su prueba del teorema de los números primos. ^[32]

El teorema de Siegel-Walfisz proporciona una buena estimación de la distribución de primos en clases de residuos.

Bennett et al. ^[33] demostraron la siguiente estimación que tiene constantes explícitas A y B (Teorema 1.3): Sea d un entero y sea a un entero que es coprimo con d . Entonces hay constantes positivas A y B tales que${\displaystyle \geq 3}$

${\displaystyle \left|\pi _{d,a}(x)-{\frac {\ \operatorname {Li} (x)\ }{\ \varphi (d)\ }}\right|<{\frac {A\ x}{\ (\log x)^{2}\ }}\quad {\text{ for all }}\quad x\geq B\ ,}$

dónde

${\displaystyle A={\frac {1}{\ 840\ }}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{4}\quad {\text{ and }}\quad A={\frac {1}{\ 160\ }}\quad {\text{ if }}\quad d>10^{4}~,}$

y

${\displaystyle B=8\cdot 10^{9}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{5}\quad {\text{ and }}\quad B=\exp(\ 0.03\ {\sqrt {d\ }}\ (\log {d})^{3}\ )\quad {\text{ if }}\quad d>10^{5}\ .}$

Aunque tenemos en particular

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x)\ ,}$

empíricamente los primos congruentes con 3 son más numerosos y casi siempre están por delante en esta "carrera de números primos"; la primera inversión ocurre en x = 26861. [ ^{34] : 1–2} Sin embargo Littlewood demostró en 1914 ^{[34] : 2} que hay infinitos cambios de signo para la función

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x)~,}$

Por lo tanto, el líder de la carrera cambia de posición infinitas veces. El fenómeno de que π _4,3 ( x ) esté por delante la mayor parte del tiempo se denomina sesgo de Chebyshev . La carrera de números primos se generaliza a otros módulos y es objeto de mucha investigación; Pál Turán preguntó si siempre es el caso de que π ( x ; a , c ) y π ( x ; b , c ) cambien de lugar cuando a y b son coprimos con c . ^[35] Granville y Martin ofrecen una exposición y un estudio exhaustivos. ^[34]

Otro ejemplo es la distribución del último dígito de los números primos. A excepción del 2 y el 5, todos los números primos terminan en 1, 3, 7 o 9. El teorema de Dirichlet afirma que, asintóticamente, el 25 % de todos los primos terminan en cada uno de estos cuatro dígitos. Sin embargo, la evidencia empírica muestra que el número de primos que terminan en 3 o 7 menor que n tiende a ser ligeramente mayor que el número de primos que terminan en 1 o 9 menor que n (una generación del sesgo de Chebyshev). ^[36] De esto se deduce que 1 y 9 son residuos cuadráticos módulo 10, y 3 y 7 son no residuos cuadráticos módulo 10.

El teorema de los números primos es un resultado asintótico . Da una cota ineficaz para π ( x ) como consecuencia directa de la definición del límite: para todo ε > 0 , existe una S tal que para todo x > S ,

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;<\;\pi (x)\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;.}$

Sin embargo, se conocen mejores límites para π ( x ) , por ejemplo, el de Pierre Dusart

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right)\;.}$

La primera desigualdad se cumple para todos los x ≥ 599 y la segunda para x ≥ 355991. [ ^37]

Un límite más débil pero a veces útil para x ≥ 55 es ^[38]

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-4}}\;.}$

En la tesis de Pierre Dusart existen versiones más fuertes de este tipo de desigualdad que son válidas para valores mayores de x . Más tarde, en 2010, Dusart demostró: ^[39]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}\;&<\;\pi (x)&&{\text{ for }}x\geq 5393\;,{\text{ and }}\\\pi (x)\;&<\;{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{ for }}x\geq 60184\;.\end{aligned}}}$

La prueba de de la Vallée Poussin implica lo siguiente: Para cada ε > 0 , existe una S tal que para todo x > S ,

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}\;.}$

Como consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión asintótica para el n -ésimo número primo, denotado por p _n :

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$^[40]

Una mejor aproximación es ^[41]

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{n}}=\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {(\log \log n)^{2}-6\log \log n+11}{2(\log n)^{2}}}+o\left({\frac {1}{(\log n)^{2}}}\right).}$

Nuevamente considerando la2 × 10 ^17.º número primo8 512 677 386 048 191 063 , esto da una estimación de8 512 681 315 554 715 386 ; los primeros 5 dígitos coinciden y el error relativo es de aproximadamente 0,00005%.

El teorema de Rosser establece que

${\displaystyle p_{n}>n\log n.}$

Esto se puede mejorar con el siguiente par de límites: ^{[38] [42]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\log n+\log \log n-1\;&<\;{\frac {p_{n}}{n}}&&{\text{ for }}n\geq 6\;,{\text{ and }}\\{\frac {p_{n}}{n}}\;&<\;\log n+\log \log n-0.9484&&{\text{ for }}n\geq 39017\;.\end{aligned}}}$

La tabla compara los valores exactos de π ( x ) con las dos aproximaciones x / log x y li( x ) . La última columna, x / π ( x ) , es el promedio de la brecha prima por debajo de  x .

incógnita	π ( x )	π ( x ) − ⁠incógnita/registro( x )⁠	li( x ) − π ( x )	⁠incógnita/registro( x )%  de error	li( x )  % de error	⁠incógnita/π ( x )⁠
10	4	0	2	8,22%	42,606%	2.500
10 2	25	3	5	14,06%	18,597%	4.000
10 3	168	23	10	14,85%	5,561%	5.952
10 4	1.229	143	17	12,37%	1.384%	8.137
10 5	9,592	906	38	9,91%	0,393%	10.425
10 6	78,498	6.116	130	8,11%	0,164%	12.739
10 7	664.579	44.158	339	6,87%	0,051%	15.047
10 8	5.761.455	332.774	754	5,94%	0,013%	17.357
10 9	50.847.534	2.592.592	1.701	5,23%	3,34 × 10 −3  %	19.667
10 10	455.052.511	20.758.029	3.104	4,66%	6,82 × 10 −4  %	21.975
10 11	4.118.054.813	169.923.159	11,588	4,21%	2,81 × 10 −4  %	24.283
10 12	37.607.912.018	1.416.705.193	38.263	3,83%	1,02 × 10 −4  %	26.590
10 13	346.065.536.839	11.992.858.452	108.971	3,52%	3,14 × 10 −5  %	28.896
10 14	3.204.941.750.802	102.838.308.636	314.890	3,26%	9,82 × 10 −6  %	31.202
10 15	29.844.570.422.669	891.604.962.452	1.052.619	3,03%	3,52 × 10 −6  %	33.507
10 16	279.238.341.033.925	7.804.289.844.393	3.214.632	2,83%	1,15 × 10 −6  %	35.812
10 17	2.623.557.157.654.233	68.883.734.693.928	7.956.589	2,66%	3,03 × 10 −7  %	38.116
10 18	24.739.954.287.740.860	612.483.070.893.536	21.949.555	2,51%	8,87 × 10 −8  %	40.420
10 19	234.057.667.276.344.607	5.481.624.169.369.961	99.877.775	2,36%	4,26 × 10 −8  %	42.725
10 20	2.220.819.602.560.918.840	49.347.193.044.659.702	222.744.644	2,24%	1,01 × 10 −8  %	45.028
10 21	21.127.269.486.018.731.928	446.579.871.578.168.707	597.394.254	2,13%	2,82 × 10 −9  %	47.332
10 22	201.467.286.689.315.906.290	4.060.704.006.019.620.994	1.932.355.208	2,03%	9,59 × 10 −10  %	49.636
10 23	1.925.320.391.606.803.968.923	37.083.513.766.578.631.309	7.250.186.216	1,94%	3,76 × 10 −10  %	51.939
10 24	18.435.599.767.349.200.867.866	339.996.354.713.708.049.069	17.146.907.278	1,86%	9,31 × 10 −11  %	54.243
10 25	176.846.309.399.143.769.411.680	3.128.516.637.843.038.351.228	55.160.980.939	1,78%	3,21 × 10 −11  %	56.546
10 26	1.699.246.750.872.437.141.327.603	28.883.358.936.853.188.823.261	155.891.678.121	1,71%	9,17 × 10 −12  %	58.850
10 27	16.352.460.426.841.680.446.427.399	267.479.615.610.131.274.163.365	508.666.658.006	1,64%	3,11 × 10 −12  %	61.153
10 28	157.589.269.275.973.410.412.739.598	2.484.097.167.669.186.251.622.127	1.427.745.660.374	1,58%	9,05 × 10 −13  %	63.456
10 29	1.520.698.109.714.272.166.094.258.063	23.130.930.737.541.725.917.951.446	4.551.193.622.464	1,53%	2,99 × 10 −13  %	65.759

El valor de π (10 ²⁴ ) se calculó originalmente asumiendo la hipótesis de Riemann ; ^[43] desde entonces se ha verificado incondicionalmente. ^[44]

Existe un análogo del teorema de los números primos que describe la "distribución" de polinomios irreducibles en un campo finito ; la forma que adopta es sorprendentemente similar al caso del teorema clásico de los números primos.

Para expresarlo con precisión, sea F = GF( q ) el cuerpo finito con q elementos, para algún q fijo , y sea N _n el número de polinomios mónicos irreducibles sobre F cuyo grado es igual a n . Es decir, estamos viendo polinomios con coeficientes elegidos de F , que no pueden escribirse como productos de polinomios de menor grado. En este contexto, estos polinomios desempeñan el papel de los números primos, ya que todos los demás polinomios mónicos se construyen a partir de productos de ellos. Se puede demostrar entonces que

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

Si hacemos la sustitución x = q ⁿ , entonces el lado derecho es simplemente

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}},}$

lo que hace que la analogía sea más clara. Dado que hay exactamente q ⁿ polinomios mónicos de grado n (incluidos los reducibles), esto se puede reformular de la siguiente manera: si se selecciona aleatoriamente un polinomio mónico de grado n , entonces la probabilidad de que sea irreducible es de aproximadamente  ⁠1/norte⁠ .

Incluso se puede demostrar un análogo de la hipótesis de Riemann, a saber:

${\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right).}$

Las demostraciones de estas afirmaciones son mucho más sencillas que en el caso clásico. Implican un breve argumento combinatorio , ^[45] resumido de la siguiente manera: cada elemento de la extensión de grado n de F es una raíz de algún polinomio irreducible cuyo grado d divide a n ; contando estas raíces de dos maneras diferentes se establece que

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},}$

donde la suma es sobre todos los divisores d de n . La inversión de Möbius produce entonces

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},}$

donde μ ( k ) es la función de Möbius . (Esta fórmula era conocida por Gauss.) El término principal aparece para d = n , y no es difícil acotar los términos restantes. El enunciado de la "hipótesis de Riemann" depende del hecho de que el mayor divisor propio de n no puede ser mayor que ⁠norte/2⁠ .

• Teoría analítica de números abstracta para obtener información sobre las generalizaciones del teorema.
• Teorema de los ideales primos de Landau para una generalización a los ideales primos en campos de números algebraicos.
• Hipótesis de Riemann

• Granville, Andrew (1995). "Harald Cramér y la distribución de números primos" (PDF) . Scandinavian Actuarial Journal . 1 : 12–28. CiteSeerX  10.1.1.129.6847 . doi :10.1080/03461238.1995.10413946.
• Hardy, GH ; Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función zeta de Riemann y a la teoría de la distribución de primos". Acta Mathematica . 41 : 119–196. doi : 10.1007/BF02422942 . S2CID  53405990.
• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1.ª ed. 1938], Introducción a la teoría de números , revisada por DR Heath-Brown y JH Silverman , con prólogo de Andrew Wiles (6.ª ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921985-8
• Narkiewicz, Władysław (2000), El desarrollo de la teoría de los números primos: desde Euclides hasta Hardy y Littlewood , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-13157-2, ISBN 978-3-540-66289-1, ISSN  1439-7382

• "Distribución de números primos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tabla de números primos de Anton Felkel.
• Vídeo corto que visualiza el Teorema de los Números Primos.
• Fórmulas primos y teorema de los números primos en MathWorld .
• ¿Cuántos números primos hay? Archivado el 15 de octubre de 2012 en Wayback Machine y The Gaps between Primes de Chris Caldwell, Universidad de Tennessee en Martin .
• Tablas de funciones de conteo de primos de Tomás Oliveira e Silva
• Eberl, Manuel y Paulson, LC El teorema de los números primos (Desarrollo de pruebas formales en Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)
• El teorema de los números primos: la prueba "elemental" − Una exposición de la prueba elemental del teorema de los números primos de Atle Selberg y Paul Erdős en www.dimostriamogoldbach.it/en/