Clase pregaussiana

En teoría de probabilidad , una clase pregaussiana o un conjunto pregaussiano de funciones es un conjunto de funciones integrables al cuadrado con respecto a alguna medida de probabilidad , tales que existe un cierto proceso gaussiano , indexado por este conjunto, que satisface las condiciones siguientes.

Para un espacio de probabilidad ( S , Σ, P ), denotamos por un conjunto de funciones integrables al cuadrado con respecto a P , es decir$Estilo de visualización L_{P}^{2}(S)}$${\displaystyle f:S\to R}$

${\displaystyle \int f^{2}\,dP<\infty }$

Consideremos un conjunto . Existe un proceso gaussiano , indexado por , con media 0 y covarianza${\displaystyle {\mathcal {F}}\subconjunto L_{P}^{2}(S)}$ $Estilo de visualización G_{P}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (G_{P}(f),G_{P}(g))=EG_{P}(f)G_{P}(g)=\int fg\,dP-\int f\,dP\int g\,dP{\text{ para }}f,g\in {\mathcal {F}}}$

Este proceso existe porque la covarianza dada es definida positiva. Esta covarianza define un producto semiinterno así como una pseudométrica dada por$Estilo de visualización L_{P}^{2}(S)}$

${\displaystyle \varrho_{P}(f,g)=(E(G_{P}(f)-G_{P}(g))^{2})^{1/2}}$

Definición Una clase se denomina pregaussiana si para cada una de ellas la función en es acotada, uniformemente continua y prelineal.${\displaystyle {\mathcal {F}}\subconjunto L_{P}^{2}(S)}$${\displaystyle \omega \en S,}$${\displaystyle f\mapsto G_{P}(f)(\omega )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \varrho_{P}}$

El proceso es una generalización del puente browniano . Consideremos que P es la medida uniforme . En este caso, el proceso indexado por las funciones indicadoras , para es de hecho el puente browniano estándar B ( x ). Este conjunto de funciones indicadoras es pregaussiano, además, es la clase Donsker.$Estilo de visualización G_{P}}$${\displaystyle S=[0,1],}$$Estilo de visualización G_{P}}$ ${\displaystyle I_{[0,x]}}$${\displaystyle x\en [0,1],}$

• RM Dudley (1999), Teoremas de límite central uniforme , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, pág. 436, ISBN 0-521-46102-2