Péndulo (mecánica)

Parte de una serie sobre
Mecánica clásica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ Segunda ley del movimiento
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Un péndulo es un cuerpo suspendido de un soporte fijo de modo que oscila libremente hacia adelante y hacia atrás bajo la influencia de la gravedad. Cuando un péndulo se desplaza lateralmente desde su posición de reposo, de equilibrio, se ve sometido a una fuerza restauradora debida a la gravedad que lo acelerará de nuevo hacia la posición de equilibrio. Cuando se libera, la fuerza restauradora que actúa sobre la masa del péndulo hace que oscile alrededor de la posición de equilibrio, oscilando hacia adelante y hacia atrás. Las matemáticas de los péndulos son, en general, bastante complicadas. Se pueden hacer suposiciones simplificadoras que, en el caso de un péndulo simple, permiten resolver analíticamente las ecuaciones de movimiento para oscilaciones de ángulo pequeño.

Un péndulo de gravedad simple ^[1] es un modelo matemático idealizado de un péndulo real. ^{[2] [3] [4]} Es un peso (o péndulo ) en el extremo de una cuerda sin masa suspendida de un pivote, sin fricción . Dado que en el modelo no hay pérdida de energía por fricción, cuando se le da un desplazamiento inicial oscila hacia adelante y hacia atrás con una amplitud constante . El modelo se basa en los supuestos:

• La varilla o cuerda no tiene masa, es inextensible y permanece siempre bajo tensión.
• El bob es una masa puntual.
• El movimiento ocurre en dos dimensiones .
• El movimiento no pierde energía por la fricción externa o la resistencia del aire .
• El campo gravitacional es uniforme.
• El soporte es inmóvil.

La ecuación diferencial que gobierna el movimiento de un péndulo simple es

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0}$$

( Ecuación 1 )

donde g es la magnitud del campo gravitacional , ℓ es la longitud de la varilla o cuerda y θ es el ángulo desde la vertical hasta el péndulo.

Derivación de la "fuerza" de ( Ec. 1 )

Considere la Figura 1 a la derecha, que muestra las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple. Observe que la trayectoria del péndulo barre un arco de círculo. El ángulo θ se mide en radianes y esto es crucial para esta fórmula. La flecha azul es la fuerza gravitacional que actúa sobre la plomada y las flechas violetas son esa misma fuerza descompuesta en componentes paralelos y perpendiculares al movimiento instantáneo de la plomada. La dirección de la velocidad instantánea de la plomada siempre apunta a lo largo del eje rojo, que se considera el eje tangencial porque su dirección siempre es tangente al círculo. Considere la segunda ley de Newton , donde F es la suma de las fuerzas sobre el objeto, m es la masa y a es la aceleración. La ecuación de Newton se puede aplicar solo al eje tangencial. Esto se debe a que solo los cambios en la velocidad son de interés y la plomada se ve obligada a permanecer en una trayectoria circular. La flecha violeta corta representa el componente de la fuerza gravitacional en el eje tangencial y se puede utilizar la trigonometría para determinar su magnitud. Por lo tanto, donde g es la aceleración debida a la gravedad cerca de la superficie de la Tierra. El signo negativo en el lado derecho implica que θ y a siempre apuntan en direcciones opuestas. Esto tiene sentido porque cuando un péndulo oscila más hacia la izquierda, se espera que acelere de nuevo hacia la derecha.$${\displaystyle F=ma}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}F&=-mg\sin \theta =ma,\qquad {\text{so}}\\a&=-g\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

Esta aceleración lineal a a lo largo del eje rojo se puede relacionar con el cambio en el ángulo θ mediante las fórmulas de longitud de arco; s es la longitud del arco: por lo tanto:$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\ell \theta ,\\v&={\frac {ds}{dt}}=\ell {\frac {d\theta }{dt}},\\a&={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&=-g\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta &=0.\end{aligned}}}$$

Derivación de "energía" de ( Ec. 1 )

También se puede obtener a través del principio de conservación de la energía mecánica : cualquier objeto que caiga una distancia vertical adquiriría energía cinética igual a la que perdió en la caída. En otras palabras, la energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética. El cambio en la energía potencial está dado por${\displaystyle h}$$${\displaystyle \Delta U=mgh.}$$

El cambio en la energía cinética (cuerpo que parte del reposo) viene dado por$${\displaystyle \Delta K={\tfrac {1}{2}}mv^{2}.}$$

Como no se pierde energía, la ganancia en uno debe ser igual a la pérdida en el otro.$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}=mgh.}$$

El cambio de velocidad para un cambio dado de altura se puede expresar como$${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}.}$$

Usando la fórmula de longitud de arco anterior, esta ecuación se puede reescribir en términos de ⁠dθ/es⁠ : donde h es la distancia vertical que cayó el péndulo. Observa la Figura 2, que presenta la trigonometría de un péndulo simple. Si el péndulo comienza su oscilación desde un ángulo inicial θ ₀ , entonces y ₀ , la distancia vertical desde el tornillo, está dada por$${\displaystyle {\begin{aligned}v=\ell {\frac {d\theta }{dt}}&={\sqrt {2gh}},\quad {\text{so}}\\{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {\sqrt {2gh}}{\ell }},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle y_{0}=\ell \cos \theta _{0}.}$$

De manera similar, cuando y ₁ , entonces$${\displaystyle y_{1}=\ell \cos \theta .}$$

Entonces h es la diferencia de los dos$${\displaystyle h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right).}$$

En términos de ⁠dθ/es⁠ da

$${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}.}$$

( Ecuación 2 )

Esta ecuación se conoce como la primera integral del movimiento , da la velocidad en función de la posición e incluye una constante de integración relacionada con el desplazamiento inicial ( θ ₀ ). A continuación, se deriva aplicando la regla de la cadena , respecto del tiempo para obtener la aceleración.$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {d}{dt}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}},\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\frac {d\theta }{dt}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,\end{aligned}}}$$

que es el mismo resultado que se obtiene mediante el análisis de fuerza.

Derivación "Lagrange" de ( Ec. 1 )

La ecuación 1 también se puede obtener mediante la mecánica lagrangiana . Más específicamente, utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange (o ecuaciones de Lagrange de segundo tipo) identificando el lagrangiano del sistema ( ), las restricciones ( ) y resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle q}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{j}}}}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}.}$$

Si el origen del sistema de coordenadas cartesianas se define como el punto de suspensión (o simplemente pivote), entonces el cuerpo está en

$${\displaystyle x=\ell \sin {\theta },}$$$${\displaystyle y=-\ell \cos {\theta },}$$

y la velocidad de la plomada, calculada mediante la diferenciación de las coordenadas con respecto al tiempo (usando la notación de puntos para indicar las derivadas del tiempo)

$${\displaystyle {\dot {x}}=\ell {\dot {\theta }}\cos {\theta },}$$$${\displaystyle {\dot {y}}=\ell {\dot {\theta }}\sin {\theta }.}$$

Por lo tanto, el lagrangiano es

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=E_{k}-E_{p}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}+mgh\\&={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-mg\ell (1-\cos {\theta })\\&={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell +mg\ell \cos {\theta }.\end{aligned}}}$$

La ecuación de Euler-Lagrange (singular ya que solo hay una restricción, ) es entonces ${\displaystyle q=\theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\\{\frac {d}{dt}}(m\ell ^{2}{\dot {\theta }})&=-mg\ell \sin {\theta }\\m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}&=-mg\ell \sin {\theta }\\{\ddot {\theta }}&=-{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }.\\\end{aligned}}}$$

Que luego puede reorganizarse para que coincida con la ecuación 1 , obtenida a través del análisis de fuerza.

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }=0.}$$

La derivación a través de la mecánica de Lagrangian, si bien es excesiva con un solo péndulo, es útil para sistemas más complicados y caóticos , como un péndulo doble .

La ecuación diferencial dada anteriormente no es fácil de resolver y no existe una solución que pueda escribirse en términos de funciones elementales. Sin embargo, si se agrega una restricción al tamaño de la amplitud de la oscilación, se obtiene una forma cuya solución puede obtenerse fácilmente. Si se supone que el ángulo es mucho menor que 1  radián (a menudo se cita como menor que 0,1 radianes, aproximadamente 6°), o si se sustituye sen θ en la ecuación 1 utilizando la aproximación de ángulo pequeño , se obtiene la ecuación para un oscilador armónico ,$${\displaystyle \theta \ll 1,}$$$${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta =0.}$$

El error debido a la aproximación es del orden de θ ³ (de la expansión de Taylor para sen θ ).

Sea el ángulo inicial θ ₀ . Si se supone que el péndulo se suelta con velocidad angular cero , la solución se convierte en

El movimiento es un movimiento armónico simple donde θ ₀ es la amplitud de la oscilación (es decir, el ángulo máximo entre la varilla del péndulo y la vertical). El período aproximado correspondiente del movimiento es entonces

que se conoce como ley de Christiaan Huygens para el período. Nótese que bajo la aproximación de ángulo pequeño, el período es independiente de la amplitud θ ₀ ; esta es la propiedad del isocronismo que descubrió Galileo .

$${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$$da$${\displaystyle \ell ={\frac {g}{\pi ^{2}}}{\frac {T_{0}^{2}}{4}}.}$$

Si se utilizan unidades del SI (es decir, se mide en metros y segundos), y asumiendo que la medición se realiza en la superficie de la Tierra, entonces g ≈ 9,81 m/s ² , ygramo/π2^​≈ 1 m/s ² (0,994 es la aproximación a 3 decimales).

Por lo tanto, aproximaciones relativamente razonables para la longitud y el período son: donde T ₀ es el número de segundos entre dos tiempos (un tiempo para cada lado del swing), y l se mide en metros.$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell &\approx {\frac {T_{0}^{2}}{4}},\\T_{0}&\approx 2{\sqrt {\ell }}\end{aligned}}}$$

Para amplitudes más allá de la aproximación de ángulo pequeño , se puede calcular el período exacto invirtiendo primero la ecuación para la velocidad angular obtenida del método de energía ( Ec. 2 ), y luego integrando sobre un ciclo completo, o dos veces el medio ciclo o cuatro veces el cuarto de ciclo, lo que conduce a$${\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {1}{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$$$${\displaystyle T=t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}),}$$$${\displaystyle T=2t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}),}$$$${\displaystyle T=4t(\theta _{0}\rightarrow 0),}$$$${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.}$$

Obsérvese que esta integral diverge a medida que θ ₀ se acerca a la vertical , de modo que un péndulo con la energía justa para ir en vertical nunca llegará a esa posición. (Por el contrario, un péndulo cercano a su máximo puede tardar un tiempo arbitrario en caer).$${\displaystyle \lim _{\theta _{0}\to \pi }T=\infty ,}$$

Esta integral se puede reescribir en términos de integrales elípticas como donde F es la integral elíptica incompleta de primer tipo definida por$${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}F\left({\frac {\pi }{2}},\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}$$$${\displaystyle F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

O más concisamente mediante la sustitución que expresa θ en términos de u ,$${\displaystyle \sin {u}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}$$

Aquí K es la integral elíptica completa de primer tipo definida por

$${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

Para comparar la aproximación a la solución completa, considere el período de un péndulo de longitud 1 m en la Tierra ( g =9.806 65  m/s ² ) en un ángulo inicial de 10 grados es La aproximación lineal da$${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\ K\left(\sin {\frac {10^{\circ }}{2}}\right)\approx 2.0102{\text{ s}}.}$$

$${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\approx 2.0064{\text{ s}}.}$$

La diferencia entre ambos valores, inferior al 0,2%, es mucho menor que la causada por la variación de g con la ubicación geográfica.

A partir de aquí hay muchas formas de proceder para calcular la integral elíptica.

Dada la ecuación 3 y la solución polinomial de Legendre para la integral elíptica: donde n !! denota el factorial doble , una solución exacta para el período de un péndulo simple es:$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{n}\right)^{2}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right)\\&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left(\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2n}{\frac {\theta _{0}}{2}}\right).\end{alignedat}}}$$

La figura 4 muestra los errores relativos utilizando la serie de potencias. T ₀ es la aproximación lineal y T ₂ a T ₁₀ incluyen respectivamente los términos desde la 2.ª hasta la 10.ª potencia.

Se puede encontrar otra formulación de la solución anterior si se utiliza la siguiente serie de Maclaurin: en la solución del polinomio de Legendre anterior. La serie de potencias resultante es: ^[5]$${\displaystyle \sin {\frac {\theta _{0}}{2}}={\frac {1}{2}}\theta _{0}-{\frac {1}{48}}\theta _{0}^{3}+{\frac {1}{3\,840}}\theta _{0}^{5}-{\frac {1}{645\,120}}\theta _{0}^{7}+\cdots .}$$

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3\,072}}\theta _{0}^{4}+{\frac {173}{737\,280}}\theta _{0}^{6}+{\frac {22\,931}{1\,321\,205\,760}}\theta _{0}^{8}+{\frac {1\,319\,183}{951\,268\,147\,200}}\theta _{0}^{10}+{\frac {233\,526\,463}{2\,009\,078\,326\,886\,400}}\theta _{0}^{12}+\cdots \right),}$$más fracciones disponibles en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros con OEIS : A223067 que tiene los numeradores y OEIS : A223068 que tiene los denominadores.

Dada la ecuación 3 y la solución de la media aritmético-geométrica de la integral elíptica: donde M ( x , y ) es la media aritmético-geométrica de x e y .$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1-k,1+k)}},}$$

Esto produce una fórmula alternativa y de convergencia más rápida para el período: ^{[6] [7] [8]}$${\displaystyle T={\frac {2\pi }{M\left(1,\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$$

La primera iteración de este algoritmo da$${\displaystyle T_{1}={\frac {2T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}.}$$

Esta aproximación tiene un error relativo de menos del 1% para ángulos de hasta 96,11 grados. ^[6] Dado que la expresión se puede escribir de forma más concisa como${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$$${\displaystyle T_{1}=T_{0}\sec ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}}.}$$

La expansión de segundo orden de se reduce a${\displaystyle \sec ^{2}(\theta _{0}/4)}$${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$

Una segunda iteración de este algoritmo da$${\displaystyle T_{2}={\frac {4T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}+2{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}}={\frac {4T_{0}}{\left(1+{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}\right)^{2}}}.}$$

Esta segunda aproximación tiene un error relativo de menos del 1% para ángulos de hasta 163,10 grados. ^[6]

Aunque el período exacto se puede determinar, para cualquier amplitud finita rad, evaluando la integral elíptica completa correspondiente , donde , esto se evita a menudo en aplicaciones porque no es posible expresar esta integral en una forma cerrada en términos de funciones elementales. Esto ha dado paso a la investigación sobre fórmulas aproximadas simples para el aumento del período del péndulo con la amplitud (útil en laboratorios de física introductoria, mecánica clásica, electromagnetismo, acústica, electrónica, superconductividad, etc. ^[9] Las fórmulas aproximadas encontradas por diferentes autores se pueden clasificar de la siguiente manera:${\displaystyle T}$${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$${\displaystyle K(k)}$${\displaystyle k\equiv \sin(\theta _{0}/2)}$

• Fórmulas de "ángulos no tan grandes", es decir, que dan buenas estimaciones para amplitudes inferiores al rad (un límite natural para una plomada en el extremo de una cuerda flexible), aunque la desviación con respecto al período exacto aumenta monótonamente con la amplitud, siendo inadecuada para amplitudes cercanas al rad. Una de las fórmulas más simples que se encuentran en la literatura es la siguiente de Lima (2006): , donde . ^[10]${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \pi }$${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$${\displaystyle a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}}$
• Fórmulas de "ángulos muy grandes", es decir, aquellas que aproximan el período exacto de manera asintótica para amplitudes cercanas al rad, con un error que aumenta monótonamente para amplitudes más pequeñas (es decir, no son adecuadas para amplitudes pequeñas). Una de las mejores fórmulas de este tipo es la de Cromer, a saber: ^[11] .${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle T\approx {\frac {2}{\pi }}\,T_{0}\,\ln {(4/a)}}$

Por supuesto, el aumento de con la amplitud es más evidente cuando , como se ha observado en muchos experimentos que utilizan una varilla rígida o un disco. ^[12] Como actualmente se dispone de temporizadores y sensores precisos incluso en los laboratorios de física introductoria, los errores experimentales encontrados en experimentos de "ángulo muy grande" ya son lo suficientemente pequeños para una comparación con el período exacto, y se ha encontrado una muy buena concordancia entre la teoría y los experimentos en los que la fricción es insignificante. Dado que muchos instructores han alentado esta actividad, se buscó una fórmula aproximada simple para el período del péndulo válida para todas las amplitudes posibles, con la que se pudieran comparar los datos experimentales. En 2008, Lima derivó una fórmula de promedio ponderado con esta característica: ^[9] donde , que presenta un error máximo de solo 0,6% (en ).${\displaystyle T}$${\displaystyle \pi /2<\theta _{0}<\pi }$$${\displaystyle T\approx {\frac {r\,a^{2}\,T_{\text{Lima}}+k^{2}\,T_{\text{Cromer}}}{r\,a^{2}+k^{2}}},}$$${\displaystyle r=7.17}$${\displaystyle \theta _{0}=95^{\circ }}$

La expansión de la serie de Fourier de está dada por ^{[13] [14]}${\displaystyle \theta (t)}$

$${\displaystyle \theta (t)=8\sum _{n\geq 1{\text{ odd}}}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {n/2}\right\rfloor }}{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}\cos(n\omega t)}$$

donde es el nombre elíptico y la frecuencia angular.${\displaystyle q}$${\displaystyle q=\exp \left({-\pi K{\bigl (}{\sqrt {\textstyle 1-k^{2}}}{\bigr )}{\big /}K(k)}\right),}$ ${\displaystyle k=\sin(\theta _{0}/2),}$${\displaystyle \omega =2\pi /T}$

Si se define, se puede aproximar utilizando la expansión (ver OEIS : A002103 ). Nótese que para , por lo tanto, la aproximación es aplicable incluso para grandes amplitudes.$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}{1+{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}}}$$${\displaystyle q}$$${\displaystyle q=\varepsilon +2\varepsilon ^{5}+15\varepsilon ^{9}+150\varepsilon ^{13}+1707\varepsilon ^{17}+20910\varepsilon ^{21}+\cdots }$$${\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$

De manera equivalente, el ángulo se puede dar en términos de la función elíptica de Jacobi con módulo ^[15].${\displaystyle \operatorname {cd} }$${\displaystyle k}$$${\displaystyle \theta (t)=2\arcsin \left(k\operatorname {cd} \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t;k\right)\right),\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$$

Para pequeños , , y , entonces la solución está bien aproximada por la solución dada en Péndulo (mecánica)#Aproximación de ángulos pequeños.${\displaystyle x}$${\displaystyle \sin x\approx x}$${\displaystyle \arcsin x\approx x}$${\displaystyle \operatorname {cd} (t;0)=\cos t}$

Las animaciones que aparecen a continuación muestran el movimiento de un péndulo simple (sin fricción) con cantidades crecientes de desplazamiento inicial de la plomada o, equivalentemente, con una velocidad inicial en aumento. El pequeño gráfico que se encuentra sobre cada péndulo es el diagrama del plano de fase correspondiente ; el eje horizontal es el desplazamiento y el eje vertical es la velocidad. Con una velocidad inicial lo suficientemente grande, el péndulo no oscila hacia atrás y hacia delante, sino que gira completamente alrededor del pivote.

• 
  Ángulo inicial de 0°, equilibrio estable
• 
  Angulo inicial de 45°
• 
  Angulo inicial de 90°
• 
  Angulo inicial de 135°
• 
  Angulo inicial de 170°
• 
  Ángulo inicial de 180°, equilibrio inestable
• 
  Péndulo con apenas suficiente energía para un movimiento completo
• 
  Péndulo con suficiente energía para un movimiento completo

Un péndulo compuesto (o péndulo físico ) es aquel en el que la varilla no carece de masa y puede tener un tamaño extendido; es decir, un cuerpo rígido de forma arbitraria que oscila mediante un pivote . En este caso, el período del péndulo depende de su momento de inercia alrededor del punto de pivote.${\displaystyle O}$ ${\displaystyle I_{O}}$

La ecuación del torque da: donde: es la aceleración angular. es el torque$${\displaystyle \tau =I\alpha }$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \tau }$

El torque es generado por la gravedad por lo que: donde:${\displaystyle \tau =-mgr_{\oplus }\sin \theta }$

• ${\displaystyle m}$es la masa total del cuerpo rígido (barra y plomada)
• ${\displaystyle r_{\oplus }}$es la distancia desde el punto pivote hasta el centro de masa del sistema
• ${\displaystyle \theta }$es el ángulo desde la vertical

Por lo tanto, bajo la aproximación de ángulo pequeño, (o equivalentemente cuando ), donde es el momento de inercia del cuerpo alrededor del punto de pivote .${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }\ll 1}$$${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta \approx -{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\theta }$$${\displaystyle I_{O}}$${\displaystyle O}$

La expresión para tiene la misma forma que el péndulo simple convencional y da un período de ^[2]${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}}$$

Y una frecuencia de$${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}}}$$

Si se toma en consideración el ángulo inicial (para grandes amplitudes), entonces la expresión para se convierte en: y da un período de: donde es el ángulo máximo de oscilación (con respecto a la vertical) y es la integral elíptica completa de primer tipo .${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}=-{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta }$$$${\displaystyle T=4\operatorname {K} \left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right){\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}}$$${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }}$${\displaystyle \operatorname {K} (k)}$

Un concepto importante es la longitud equivalente , , la longitud de un péndulo simple que tiene la misma frecuencia angular que el péndulo compuesto:${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {g}{\ell ^{\mathrm {eq} }}}:={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\implies \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\oplus }}}}$

Consideremos los siguientes casos:

• El péndulo simple es el caso especial en el que toda la masa se encuentra en el cuerpo que oscila a una distancia del pivote. Por lo tanto, y , por lo que la expresión se reduce a: . Observe , como se esperaba (la definición de longitud equivalente).${\displaystyle \ell }$${\displaystyle r_{\oplus }=\ell }$${\displaystyle I_{O}=m\ell ^{2}}$${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\ell }{m\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}}$${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell }$
• Una varilla homogénea de masa y longitud que oscila desde su extremo tiene y , por lo que la expresión se reduce a: . Observe que una varilla homogénea oscila como si fuera un péndulo simple de dos tercios de su longitud.${\displaystyle m}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle r_{\oplus }={\frac {1}{2}}\ell }$${\displaystyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\,{\frac {1}{2}}\ell }{{\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}}={\frac {g}{{\frac {2}{3}}\ell }}}$${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {2}{3}}\ell }$
• Un péndulo simple y pesado: combinación de una varilla homogénea de masa y longitud que oscila en su extremo y una pesa en el otro extremo. Entonces el sistema tiene una masa total de , y los otros parámetros son (por definición del centro de masas) y , por lo que la expresión se reduce a:${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$${\displaystyle mr_{\oplus }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}}$${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}}$Donde . Nótese que estas fórmulas se pueden particularizar en los dos casos anteriores estudiados simplemente considerando que la masa de la varilla o de la plomada es cero respectivamente. Nótese también que la fórmula no depende tanto de la masa de la plomada como de la varilla, sino en realidad de su relación, . Se puede hacer una aproximación para :${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell {\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}}}$${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}\approx {\frac {g}{\ell }}\left(1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}+\cdots \right)}$

Observe cuán similar es a la frecuencia angular en un sistema resorte-masa con masa efectiva .

El análisis anterior se centra en el cuerpo de un péndulo sobre el que actúa únicamente la fuerza de la gravedad. Supongamos que una fuerza de amortiguación, por ejemplo, la resistencia del aire, así como una fuerza impulsora sinusoidal actúan sobre el cuerpo. Este sistema es un oscilador amortiguado y accionado , y es caótico .

La ecuación (1) se puede escribir como

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta }$$

(ver la derivación del torque de la ecuación (1) arriba).

Se puede agregar un término de amortiguación y un término de forzamiento al lado derecho para obtener

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta -b{\frac {d\theta }{dt}}+a\cos(\Omega t)}$$

donde se supone que la amortiguación es directamente proporcional a la velocidad angular (esto es cierto para la resistencia del aire a baja velocidad, consulte también Arrastre (física) ). y son constantes que definen la amplitud de la fuerza y ​​el grado de amortiguación respectivamente. es la frecuencia angular de las oscilaciones impulsoras.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\textstyle \Omega }$

Dividiendo por :${\textstyle ml^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{ml^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {g}{l}}{\sin \theta }-{\frac {a}{ml^{2}}}\cos(\Omega t)=0.}$$

Para un péndulo físico:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{I}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {mgr_{\oplus }}{I}}{\sin \theta }-{\frac {a}{I}}\cos(\Omega t)=0.}$$

Esta ecuación muestra un comportamiento caótico . El movimiento exacto de este péndulo solo se puede determinar numéricamente y depende en gran medida de las condiciones iniciales, por ejemplo, la velocidad inicial y la amplitud inicial. Sin embargo, la aproximación de ángulo pequeño descrita anteriormente se puede utilizar en las condiciones requeridas para obtener una solución analítica aproximada.

La función elíptica jacobiana que expresa la posición de un péndulo en función del tiempo es una función doblemente periódica con un período real y un período imaginario . El período real es, por supuesto, el tiempo que tarda el péndulo en completar un ciclo completo. Paul Appell señaló una interpretación física del período imaginario: ^[16] si θ ₀ es el ángulo máximo de un péndulo y 180° − θ ₀ es el ángulo máximo de otro, entonces el período real de cada uno es la magnitud del período imaginario del otro.

Los péndulos acoplados pueden afectar el movimiento de cada uno de ellos, ya sea a través de una conexión direccional (como un resorte que conecta las pesas) o a través de movimientos en una estructura de soporte (como una mesa). Las ecuaciones de movimiento para dos péndulos simples idénticos acoplados por un resorte que conecta las pesas se pueden obtener utilizando la mecánica de Lagrange .

La energía cinética del sistema es: donde es la masa de las pesas, es la longitud de las cuerdas y , son los desplazamientos angulares de las dos pesas desde el equilibrio.$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

La energía potencial del sistema es:$${\displaystyle E_{\text{p}}=mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})+{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$

donde es la aceleración gravitacional y es la constante del resorte . El desplazamiento del resorte desde su posición de equilibrio asume la aproximación de ángulo pequeño .${\displaystyle g}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L(\theta _{2}-\theta _{1})}$

El lagrangiano es entonces el que conduce al siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas:$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})-{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{1}+{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{2}-{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$

Sumando y restando estas dos ecuaciones a su vez, y aplicando la aproximación del ángulo pequeño, se obtienen dos ecuaciones de oscilador armónico en las variables y : con las soluciones correspondientes donde${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}}$${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}(\theta _{1}+\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{1}-{\ddot {\theta }}_{2}+\left({\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}\right)(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}+\theta _{2}&=A\cos(\omega _{1}t+\alpha )\\\theta _{1}-\theta _{2}&=B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {g}{L}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {{\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}}}\end{aligned}}}$$

y , , , son constantes de integración .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

Expresando las soluciones en términos de y solo:${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )+{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\\\theta _{2}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )-{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$

Si no se les da un empujón inicial a los bobs, entonces la condición requiere , lo que da como resultado (después de algún reordenamiento):${\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0}$${\displaystyle \alpha =\beta =0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\theta _{1}(0)+\theta _{2}(0)\\B&=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0)\end{aligned}}}$$

• Armonógrafo
• Péndulo cónico
• Péndulo cicloidal
• Péndulo doble
• Péndulo invertido
• El péndulo de Kapitza
• Péndulo de Rayleigh-Lorentz
• Péndulo elástico
• Función de Mathieu
• Ecuaciones del péndulo (software)

• Baker, Gregory L.; Blackburn, James A. (2005). El péndulo: un estudio de caso de física (PDF) . Oxford University Press.
• Ochs, Karlheinz (2011). "Una solución analítica integral del péndulo no lineal". Revista Europea de Física . 32 (2): 479–490. Bibcode :2011EJPh...32..479O. doi :10.1088/0143-0807/32/2/019. S2CID  53621685.
• Sala, Kenneth L. (1989). "Transformaciones de la función de amplitud jacobiana y su cálculo a través de la media aritmético-geométrica". SIAM J. Math. Anal . 20 (6): 1514–1528. doi :10.1137/0520100.

• Artículo de Mathworld sobre la función de Mathieu