Parábola

En matemáticas , una parábola es una curva plana con simetría especular y con forma aproximada de U. Se ajusta a varias descripciones matemáticas superficialmente diferentes , que pueden demostrar que definen exactamente las mismas curvas.

Una descripción de una parábola implica un punto (el foco ) y una línea (la directriz ). El foco no se encuentra en la directriz. La parábola es el lugar geométrico de los puntos en ese plano que son equidistantes de la directriz y el foco. Otra descripción de una parábola es como una sección cónica , creada a partir de la intersección de una superficie cónica circular recta y un plano paralelo a otro plano que es tangente a la superficie cónica. ^[a]

La gráfica de una función cuadrática (con ) es una parábola cuyo eje es paralelo al eje y . A la inversa, cada una de estas parábolas es la gráfica de una función cuadrática.${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle a\neq 0}$

La línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco (es decir, la línea que divide la parábola por la mitad) se llama "eje de simetría". El punto donde la parábola interseca su eje de simetría se llama " vértice " y es el punto donde la parábola está más curvada. La distancia entre el vértice y el foco, medida a lo largo del eje de simetría, es la "distancia focal". El " latus rectum " es la cuerda de la parábola que es paralela a la directriz y pasa por el foco. Las parábolas pueden abrirse hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda, hacia la derecha o en alguna otra dirección arbitraria. Cualquier parábola se puede reposicionar y reescalar para que encaje exactamente en cualquier otra parábola, es decir, todas las parábolas son geométricamente similares .

Las parábolas tienen la propiedad de que, si están hechas de un material que refleja la luz , entonces la luz que viaja paralela al eje de simetría de una parábola e incide en su lado cóncavo se refleja en su foco, independientemente de en qué parte de la parábola se produzca la reflexión. Por el contrario, la luz que se origina en una fuente puntual en el foco se refleja en un haz paralelo (" colimado "), dejando la parábola paralela al eje de simetría. Los mismos efectos ocurren con el sonido y otras ondas . Esta propiedad reflectante es la base de muchos usos prácticos de las parábolas.

La parábola tiene muchas aplicaciones importantes, desde una antena parabólica o un micrófono parabólico hasta reflectores de faros de automóviles y el diseño de misiles balísticos . Se utiliza con frecuencia en física , ingeniería y muchas otras áreas.

El trabajo más antiguo conocido sobre secciones cónicas fue realizado por Menecmo en el siglo IV a. C. Descubrió una forma de resolver el problema de doblar el cubo usando parábolas. (La solución, sin embargo, no cumple con los requisitos de la construcción con regla y compás ). El área encerrada por una parábola y un segmento de línea, el llamado "segmento de parábola", fue calculada por Arquímedes por el método de exhaución en el siglo III a. C., en su Cuadratura de la parábola . El nombre "parábola" se debe a Apolonio , quien descubrió muchas propiedades de las secciones cónicas. Significa "aplicación", refiriéndose al concepto de "aplicación de áreas", que tiene una conexión con esta curva, como Apolonio había demostrado. ^[1] La propiedad foco-directriz de la parábola y otras secciones cónicas se debe a Pappus .

Galileo demostró que la trayectoria de un proyectil sigue una parábola, consecuencia de la aceleración uniforme debida a la gravedad.

La idea de que un reflector parabólico podía producir una imagen ya era bien conocida antes de la invención del telescopio reflector . ^{[2] Muchos} matemáticos propusieron diseños a principios y mediados del siglo XVII , entre ellos René Descartes , Marin Mersenne , ^[3] y James Gregory . ^[4] Cuando Isaac Newton construyó el primer telescopio reflector en 1668, omitió el uso de un espejo parabólico debido a la dificultad de fabricación, optando por un espejo esférico . Los espejos parabólicos se utilizan en la mayoría de los telescopios reflectores modernos y en antenas parabólicas y receptores de radar . ^[5]

Una parábola se puede definir geométricamente como un conjunto de puntos ( lugar geométrico de puntos ) en el plano euclidiano:

Una parábola es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto del conjunto la distancia a un punto fijo , el foco , es igual a la distancia a una recta fija , la directriz :${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización |PF|}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle |Pl|}$${\estilo de visualización l}$$${\displaystyle \{P:|PF|=|Pl|\}.}$$

El punto medio de la perpendicular desde el foco hasta la directriz se llama vértice y la línea es el eje de simetría de la parábola.${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización l}$${\estilo de visualización FV}$

Si se introducen coordenadas cartesianas , tales que y la directriz tiene la ecuación , se obtiene para un punto de la ecuación . Resolviendo para se obtiene${\displaystyle F=(0,f),\f>0,}$${\displaystyle y=-f}$${\displaystyle P=(x,y)}$${\displaystyle |PF|^{2}=|Pl|^{2}}$${\displaystyle x^{2}+(yf)^{2}=(y+f)^{2}}$${\estilo de visualización y}$$${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}x^{2}.}$$

Esta parábola tiene forma de U ( se abre hacia arriba ).

La cuerda horizontal que pasa por el foco (ver la imagen en la sección inicial) se llama lado recto ; una mitad de ella es el semilato recto . El lado recto es paralelo a la directriz. El semilato recto se designa con la letra . De la imagen se obtiene ${\displaystyle p}$$${\displaystyle p=2f.}$$

El lado recto se define de manera similar para las otras dos cónicas: la elipse y la hipérbola. El lado recto es la línea trazada a través de un foco de una sección cónica paralela a la directriz y terminada en ambos sentidos por la curva. Para cualquier caso, es el radio del círculo osculador en el vértice. Para una parábola, el semilado recto, , es la distancia del foco a la directriz. Usando el parámetro , la ecuación de la parábola puede reescribirse como${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle x^{2}=2py.}$$

De manera más general, si el vértice es , el foco y la directriz , se obtiene la ecuación${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$${\displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)}$${\displaystyle y=v_{2}-f}$$${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.}$$

Observaciones :

1. En el caso de la parábola tiene una apertura hacia abajo.${\displaystyle f<0}$
2. La presunción de que el eje es paralelo al eje y permite considerar una parábola como el gráfico de un polinomio de grado 2, y viceversa: el gráfico de un polinomio arbitrario de grado 2 es una parábola (véase la siguiente sección).
3. Si se intercambian y , se obtienen ecuaciones de la forma . Estas parábolas abren hacia la izquierda (si ) o hacia la derecha (si ).${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{2}=2px}$${\displaystyle p<0}$${\displaystyle p>0}$

Si el foco es , y la directriz , entonces se obtiene la ecuación${\displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$${\displaystyle ax+by+c=0}$$${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}}$$

(el lado izquierdo de la ecuación utiliza la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ).${\displaystyle |Pl|}$

Para una ecuación paramétrica de una parábola en posición general, véase § Como imagen afín de la parábola unitaria.

La ecuación implícita de una parábola está definida por un polinomio irreducible de grado dos: tal que o, equivalentemente, tal que es el cuadrado de un polinomio lineal .$${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}$$${\displaystyle b^{2}-4ac=0,}$${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

La sección anterior muestra que cualquier parábola con el origen como vértice y el eje y como eje de simetría puede considerarse como la gráfica de una función.$${\displaystyle f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.}$$

Las parábolas se abren hacia arriba y las parábolas se abren hacia abajo (ver figura). De la sección anterior se obtiene:${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a<0}$

• El enfoque es ,${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{4a}}\right)}$
• La distancia focal , el semi-lato recto es ,${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• El vértice es ,${\displaystyle (0,0)}$
• La directriz tiene la ecuación ,${\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}}$
• La tangente en el punto tiene la ecuación .${\displaystyle (x_{0},ax_{0}^{2})}$${\displaystyle y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}}$

La parábola es la parábola unitaria de ecuación . Su foco es , el semilato recto , y la directriz tiene ecuación .${\displaystyle a=1}$${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)}$${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{4}}}$

La función general de grado 2 es Completar el cuadrado da como resultado la ecuación de una parábola con$${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c~~{\text{ with }}~~a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0.}$$$${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},}$$

• el eje (paralelo al eje y ),${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$
• la distancia focal , el semi-lato recto ,${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• el vértice ,${\displaystyle V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$
• El foco ,${\displaystyle F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)}$
• la directriz ,${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}}$
• el punto de la parábola que interseca el eje y tiene coordenadas ,${\displaystyle (0,c)}$
• La tangente en un punto del eje y tiene la ecuación .${\displaystyle y=bx+c}$

Dos objetos en el plano euclidiano son semejantes si uno puede transformarse en el otro mediante una semejanza , es decir, una composición arbitraria de movimientos rígidos ( traslaciones y rotaciones ) y escalas uniformes .

Una parábola con vértice puede transformarse mediante la traslación en una que tenga el origen como vértice. Una rotación adecuada alrededor del origen puede transformar la parábola en una que tenga el eje y como eje de simetría. Por lo tanto, la parábola puede transformarse mediante un movimiento rígido en una parábola con una ecuación . Dicha parábola puede luego transformarse mediante el escalado uniforme en la parábola unitaria con ecuación . Por lo tanto, cualquier parábola puede mapearse a la parábola unitaria por una semejanza. ^[6]${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$${\displaystyle (x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle y=ax^{2},\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x,y)\to (ax,ay)}$${\displaystyle y=x^{2}}$

También se puede utilizar un enfoque sintético , utilizando triángulos similares, para establecer este resultado. ^[7]

El resultado general es que dos secciones cónicas (necesariamente del mismo tipo) son similares si y solo si tienen la misma excentricidad. ^[6] Por lo tanto, solo los círculos (todos con excentricidad 0) comparten esta propiedad con las parábolas (todas con excentricidad 1), mientras que las elipses generales y las hipérbolas no.

Existen otras transformaciones afines simples que asignan la parábola a la parábola unitaria, como . Pero esta asignación no es una semejanza, y solo muestra que todas las parábolas son afínmente equivalentes (véase § Como la imagen afín de la parábola unitaria).${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle (x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)}$

El lápiz de secciones cónicas con eje x como eje de simetría, un vértice en el origen (0, 0) y el mismo semilato recto se puede representar mediante la ecuación con excentricidad .${\displaystyle p}$$${\displaystyle y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,}$$${\displaystyle e}$

• Porque la cónica es un círculo (círculo osculador del lápiz),${\displaystyle e=0}$
• para una elipse ,${\displaystyle 0<e<1}$
• para la parábola con ecuación${\displaystyle e=1}$${\displaystyle y^{2}=2px,}$
• para una hipérbola (ver imagen).${\displaystyle e>1}$

Si p > 0 , la parábola con ecuación (apertura hacia la derecha) tiene la representación polar donde .${\displaystyle y^{2}=2px}$$${\displaystyle r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}}$$${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi }$

Su vértice es y su foco es .${\displaystyle V=(0,0)}$${\displaystyle F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)}$

Si se desplaza el origen hacia el foco, es decir, se obtiene la ecuación${\displaystyle F=(0,0)}$$${\displaystyle r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.}$$

Observación 1: Invertir esta forma polar muestra que una parábola es la inversa de un cardioide .

Observación 2: La segunda forma polar es un caso especial de un lápiz de cónicas con foco (ver imagen): ( es la excentricidad).${\displaystyle F=(0,0)}$$${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}}$$${\displaystyle e}$

El diagrama representa un cono cuyo eje es AV . El punto A es su vértice . Una sección transversal inclinada del cono, que se muestra en rosa, está inclinada respecto del eje en el mismo ángulo θ que el lado del cono. Según la definición de parábola como sección cónica, el límite de esta sección transversal rosa EPD es una parábola.

Por el vértice P de la parábola pasa una sección transversal perpendicular al eje del cono. Esta sección transversal es circular, pero vista oblicuamente parece elíptica , como se muestra en el diagrama. Su centro es V y PK es un diámetro. Llamaremos a su radio  r .

Otra sección transversal circular perpendicular al eje del cono está más alejada del vértice A que la que acabamos de describir. Tiene una cuerda DE que une los puntos donde la parábola corta al círculo. Otra cuerda BC es la mediatriz de DE y, en consecuencia, un diámetro del círculo. Estas dos cuerdas y el eje de simetría de la parábola PM se cortan en el punto M.

Todos los puntos marcados, excepto D y E, son coplanares . Están en el plano de simetría de toda la figura. Esto incluye el punto F, que no se menciona arriba. Se define y analiza más adelante, en § Posición del foco.

Llamemos a la longitud de DM y de EM x , y a la longitud de PM  y .

Las longitudes de BM y CM son:

Utilizando el teorema de las cuerdas que se intersectan en las cuerdas BC y DE , obtenemos$${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.}$$

Sustituyendo:$${\displaystyle 4ry\cos \theta =x^{2}.}$$

Reorganizando:$${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4r\cos \theta }}.}$$

Para cualquier cono y parábola dados, r y θ son constantes, pero x e y son variables que dependen de la altura arbitraria a la que se realiza la sección transversal horizontal BECD. Esta última ecuación muestra la relación entre estas variables. Pueden interpretarse como coordenadas cartesianas de los puntos D y E, en un sistema en el plano rosa con P como origen. Como x está elevado al cuadrado en la ecuación, el hecho de que D y E estén en lados opuestos del eje y no es importante. Si la sección transversal horizontal se mueve hacia arriba o hacia abajo, acercándose o alejándose del vértice del cono, D y E se mueven a lo largo de la parábola, manteniendo siempre la relación entre x e y mostrada en la ecuación. La curva parabólica es, por lo tanto, el lugar geométrico de los puntos donde se satisface la ecuación, lo que la convierte en un gráfico cartesiano de la función cuadrática en la ecuación.

Se demuestra en una sección anterior que si una parábola tiene su vértice en el origen y se abre en la dirección y positiva, entonces su ecuación es y = ⁠x2^​/4f​⁠ , donde f es su longitud focal. ^[b] Comparando esto con la última ecuación anterior se muestra que la longitud focal de la parábola en el cono es r sen θ .

En el diagrama anterior, el punto V es el pie de la perpendicular desde el vértice de la parábola hasta el eje del cono. El punto F es el pie de la perpendicular desde el punto V hasta el plano de la parábola. ^[c] Por simetría, F está en el eje de simetría de la parábola. El ángulo VPF es complementario de θ , y el ángulo PVF es complementario del ángulo VPF, por lo tanto, el ángulo PVF es θ . Como la longitud de PV es r , la distancia de F desde el vértice de la parábola es r sen θ . Se muestra arriba que esta distancia es igual a la longitud focal de la parábola, que es la distancia desde el vértice hasta el foco. El foco y el punto F están, por lo tanto, igualmente distantes del vértice, a lo largo de la misma línea, lo que implica que son el mismo punto. Por lo tanto, el punto F, definido arriba, es el foco de la parábola .

Esta discusión comenzó con la definición de una parábola como una sección cónica, pero ahora ha conducido a una descripción como un gráfico de una función cuadrática. Esto demuestra que estas dos descripciones son equivalentes. Ambas definen curvas con exactamente la misma forma.

Se puede hacer una prueba alternativa utilizando esferas de Dandelin . Funciona sin cálculos y utiliza únicamente consideraciones geométricas elementales (ver la derivación a continuación).

La intersección de un cono vertical con un plano , cuya inclinación respecto de la vertical es la misma que la generatriz (también conocida como línea generadora, una línea que contiene el vértice y un punto en la superficie del cono) del cono, es una parábola (curva roja en el diagrama).${\displaystyle \pi }$${\displaystyle m_{0}}$

Esta generatriz es la única generatriz del cono que es paralela al plano . De lo contrario, si hay dos generatrices paralelas al plano de intersección, la curva de intersección será una hipérbola (o hipérbola degenerada , si las dos generatrices están en el plano de intersección). Si no hay ninguna generatriz paralela al plano de intersección, la curva de intersección será una elipse o un círculo (o un punto ).${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \pi }$

Sea plano el plano que contiene el eje vertical del cono y la recta . La inclinación del plano respecto de la vertical es la misma que la de la recta, lo que significa que, viéndolo de lado (es decir, el plano es perpendicular al plano ), .${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$

Para demostrar la propiedad directriz de una parábola (ver § Definición como lugar geométrico de puntos arriba), se utiliza una esfera de Dandelin , que es una esfera que toca al cono a lo largo de un círculo y un plano en el punto . El plano que contiene al círculo interseca al plano en la línea . Existe una simetría especular en el sistema que consta del plano , la esfera de Dandelin y el cono (el plano de simetría es ).${\displaystyle d}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle l}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \sigma }$

Como el plano que contiene el círculo es perpendicular al plano , y , su línea de intersección también debe ser perpendicular al plano . Como la línea está en el plano , .${\displaystyle c}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \pi \perp \sigma }$${\displaystyle l}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle l\perp m_{0}}$

Resulta que es el foco de la parábola, y es la directriz de la parábola.${\displaystyle F}$${\displaystyle l}$

1. Sea un punto arbitrario de la curva de intersección.${\displaystyle P}$
2. La generatriz del cono que contiene interseca al círculo en el punto .${\displaystyle P}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$
3. Los segmentos de línea y son tangentes a la esfera y, por lo tanto, tienen la misma longitud.${\displaystyle {\overline {PF}}}$${\displaystyle {\overline {PA}}}$${\displaystyle d}$
4. La generatriz interseca el círculo en el punto . Los segmentos de línea y son tangentes a la esfera y, por lo tanto, tienen la misma longitud.${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\overline {ZD}}}$${\displaystyle {\overline {ZA}}}$${\displaystyle d}$
5. Sea recta la recta paralela al punto y que pasa por él . Como y el punto está en el plano , la recta debe estar en el plano . Como , también lo sabemos .${\displaystyle q}$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle m_{0}\perp l}$${\displaystyle q\perp l}$
6. Sea punto el pie de la perpendicular del punto a la recta , es decir, es un segmento de recta , y por tanto .${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$${\displaystyle l}$${\displaystyle {\overline {PB}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}}$
7. Del teorema de intersección y sabemos que . Como , sabemos que , lo que significa que la distancia desde al foco es igual a la distancia desde a la directriz .${\displaystyle {\overline {ZD}}={\overline {ZA}}}$${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PF}}}$${\displaystyle {\overline {PF}}={\overline {PB}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle l}$

La propiedad de reflexión establece que si una parábola puede reflejar la luz, entonces la luz que entra en ella viajando paralela al eje de simetría se refleja hacia el foco. Esto se deriva de la óptica geométrica , basada en el supuesto de que la luz viaja en rayos.

Considere la parábola y = x ² . Como todas las parábolas son similares, este caso simple representa a todas las demás.

El punto E es un punto arbitrario de la parábola. El foco es F, el vértice es A (el origen) y la línea FA es el eje de simetría. La línea EC es paralela al eje de simetría, interseca el eje x en D e interseca la directriz en C. El punto B es el punto medio del segmento FC .

El vértice A es equidistante del foco F y de la directriz. Como C está sobre la directriz, las coordenadas y de F y C son iguales en valor absoluto y opuestas en signo. B es el punto medio de FC . Su coordenada x es la mitad de la de D, es decir, x /2 . La pendiente de la recta BE es el cociente de las longitudes de ED y BD , que es ⁠x2^​/x /2⁠ = 2 x . Pero 2 x es también la pendiente (primera derivada) de la parábola en E. Por lo tanto, la línea BE es la tangente a la parábola en E.

Las distancias EF y EC son iguales porque E está en la parábola, F es el foco y C está en la directriz. Por lo tanto, como B es el punto medio de FC , los triángulos △FEB y △CEB son congruentes (tres lados), lo que implica que los ángulos marcados con α son congruentes. (El ángulo sobre E es el ángulo verticalmente opuesto ∠BEC). Esto significa que un rayo de luz que entra en la parábola y llega a E viajando paralelo al eje de simetría será reflejado por la línea BE, por lo que viaja a lo largo de la línea EF , como se muestra en rojo en el diagrama (asumiendo que las líneas pueden reflejar la luz de alguna manera). Como BE es la tangente a la parábola en E, la misma reflexión será realizada por un arco infinitesimal de la parábola en E. Por lo tanto, la luz que entra en la parábola y llega a E viajando paralela al eje de simetría de la parábola es reflejada por la parábola hacia su foco.

Esta conclusión sobre la luz reflejada se aplica a todos los puntos de la parábola, como se muestra en el lado izquierdo del diagrama. Esta es la propiedad de reflexión.

Hay otros teoremas que pueden deducirse simplemente del argumento anterior.

La prueba anterior y el diagrama que la acompaña muestran que la tangente BE biseca el ángulo ∠FEC. En otras palabras, la tangente a la parábola en cualquier punto biseca el ángulo entre las líneas que unen el punto con el foco y perpendicularmente a la directriz.

Como los triángulos △FBE y △CBE son congruentes, FB es perpendicular a la tangente BE . Como B está en el eje x , que es la tangente a la parábola en su vértice, se deduce que el punto de intersección entre cualquier tangente a una parábola y la perpendicular desde el foco a esa tangente se encuentra en la línea que es tangente a la parábola en su vértice. Véase el diagrama animado ^[8] y la curva pedal .

Si la luz viaja a lo largo de la línea CE , se mueve paralela al eje de simetría y golpea el lado convexo de la parábola en E. Del diagrama anterior se desprende claramente que esta luz se reflejará directamente lejos del foco, a lo largo de una extensión del segmento FE .

Las demostraciones anteriores de las propiedades de reflexión y bisección tangente utilizan una línea de cálculo. Aquí se presenta una demostración geométrica.

En este diagrama, F es el foco de la parábola, y T y U se encuentran en su directriz. P es un punto arbitrario en la parábola. PT es perpendicular a la directriz, y la línea MP biseca el ángulo ∠FPT. Q es otro punto en la parábola, con QU perpendicular a la directriz. Sabemos que FP  =  PT y FQ  =  QU . Claramente, QT  >  QU , por lo que QT  >  FQ . Todos los puntos en la bisectriz MP son equidistantes de F y T, pero Q está más cerca de F que de T. Esto significa que Q está a la izquierda de MP , es decir, en el mismo lado que el foco. Lo mismo sería cierto si Q estuviera ubicado en cualquier otro lugar de la parábola (excepto en el punto P), por lo que toda la parábola, excepto el punto P, está en el lado del foco de MP . Por lo tanto, MP es la tangente a la parábola en P. Dado que biseca el ángulo ∠FPT, esto demuestra la propiedad de bisección de la tangente.

La lógica del último párrafo se puede aplicar para modificar la prueba anterior de la propiedad reflexiva. Demuestra efectivamente que la línea BE es la tangente a la parábola en E si los ángulos α son iguales. La propiedad reflexiva se deduce como se mostró anteriormente.

La definición de una parábola por su foco y directriz se puede utilizar para dibujarla con ayuda de alfileres y cuerdas: ^[9]

1. Elija el foco y la directriz de la parábola.${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$
2. Tome un triángulo de una escuadra y prepare una cuerda con la longitud (ver diagrama).${\displaystyle |AB|}$
3. Sujete un extremo de la cuerda en el punto del triángulo y el otro en el foco .${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$
4. Coloque el triángulo de manera que el segundo borde del ángulo recto pueda deslizarse libremente a lo largo de la directriz.
5. Tome un bolígrafo y sujete la cuerda firmemente contra el triángulo.
6. Al mover el triángulo a lo largo de la directriz, el lápiz dibuja un arco de parábola, debido a (ver definición de parábola).${\displaystyle |PF|=|PB|}$

Una parábola puede considerarse como la parte afín de una cónica proyectiva no degenerada con un punto en la línea del infinito , que es la tangente en . Las degeneraciones de 5, 4 y 3 puntos del teorema de Pascal son propiedades de una cónica que trata con al menos una tangente. Si se considera esta tangente como la línea en el infinito y su punto de contacto como el punto en el infinito del eje y , se obtienen tres afirmaciones para una parábola.${\displaystyle Y_{\infty }}$${\displaystyle g_{\infty }}$${\displaystyle Y_{\infty }}$

Las siguientes propiedades de una parábola se refieren únicamente a los términos conexos , intersecantes y paralelos , que son invariantes de semejanzas . Por lo tanto, es suficiente demostrar cualquier propiedad para la parábola unitaria con ecuación .${\displaystyle y=x^{2}}$

Cualquier parábola puede describirse en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación .${\displaystyle y=ax^{2}}$

Sean cuatro puntos de la parábola , y la intersección de la recta secante con la recta y sea la intersección de la recta secante con la recta (ver figura). Entonces la recta secante es paralela a la recta . (Las rectas y son paralelas al eje de la parábola).${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})}$${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{1}P_{4}}$${\displaystyle x=x_{2},}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle P_{2}P_{3}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle P_{3}P_{4}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$

Demostración: cálculo sencillo para la parábola unitaria .${\displaystyle y=x^{2}}$

Aplicación: La propiedad de los 4 puntos de una parábola se puede utilizar para la construcción del punto , mientras que y se dan.${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$${\displaystyle Q_{2}}$

Observación: la propiedad de 4 puntos de una parábola es una versión afín de la degeneración de 5 puntos del teorema de Pascal.

Sean tres puntos de la parábola con ecuación y la intersección de la recta secante con la recta y la intersección de la recta secante con la recta (ver figura). Entonces la tangente en el punto es paralela a la recta . (Las rectas y son paralelas al eje de la parábola).${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{0}P_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle P_{0}P_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$

Demostración: se puede realizar para la parábola unitaria . Un cálculo breve muestra: la pendiente de la recta es la pendiente de la tangente en el punto .${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle 2x_{0}}$${\displaystyle P_{0}}$

Aplicación: La propiedad 3-puntos-1-tangente de una parábola se puede utilizar para la construcción de la tangente en el punto , mientras se dan.${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{0}}$

Observación: La propiedad de tangente de 3 puntos y 1 de una parábola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal.

Sean dos puntos de la parábola con ecuación , y la intersección de la tangente en el punto con la recta , y la intersección de la tangente en el punto con la recta (ver figura). Entonces la secante es paralela a la recta . (Las rectas y son paralelas al eje de la parábola).${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$${\displaystyle Q_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$

Demostración: cálculo sencillo para la parábola unitaria .${\displaystyle y=x^{2}}$

Aplicación: La propiedad 2-puntos-2-tangentes se puede utilizar para la construcción de la tangente de una parábola en el punto , si y la tangente en están dadas.${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$

Observación 1: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes de una parábola es una versión afín de la degeneración de 3 puntos del teorema de Pascal.

Observación 2: La propiedad de 2 puntos y 2 tangentes no debe confundirse con la siguiente propiedad de una parábola, que también trata con 2 puntos y 2 tangentes, pero no está relacionada con el teorema de Pascal.

Las afirmaciones anteriores presuponen el conocimiento de la dirección del eje de la parábola para construir los puntos . La siguiente propiedad determina los puntos a partir de dos puntos dados y sus tangentes únicamente, y el resultado es que la línea es paralela al eje de la parábola.${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$

Dejar

1. ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$sean dos puntos de la parábola , y sean sus tangentes;${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
2. ${\displaystyle Q_{1}}$sea ​​la intersección de las tangentes ,${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
3. ${\displaystyle Q_{2}}$sea ​​la intersección de la línea paralela a través con la línea paralela a través (ver imagen).${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$

Entonces la recta es paralela al eje de la parábola y tiene la ecuación${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$${\displaystyle x=(x_{1}+x_{2})/2.}$

Demostración: se puede hacer (como las propiedades anteriores) para la parábola unitaria .${\displaystyle y=x^{2}}$

Aplicación: Esta propiedad se puede utilizar para determinar la dirección del eje de una parábola, si se dan dos puntos y sus tangentes. Una forma alternativa es determinar los puntos medios de dos cuerdas paralelas, consulte la sección sobre cuerdas paralelas.

Observación: Esta propiedad es una versión afín del teorema de dos triángulos en perspectiva de una cónica no degenerada. ^[10]

Steiner estableció el siguiente procedimiento para la construcción de una cónica no degenerada (ver cónica de Steiner ):

Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y respectivamente) y una aplicación proyectiva pero no perspectiva de sobre , los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.${\displaystyle B(U),B(V)}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$

Este procedimiento se puede utilizar para una construcción simple de puntos en la parábola :${\displaystyle y=ax^{2}}$

• Considere el lápiz en el vértice y el conjunto de líneas que son paralelas al eje y .${\displaystyle S(0,0)}$${\displaystyle \Pi _{y}}$
  1. Sea un punto en la parábola, y , .${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle A=(0,y_{0})}$${\displaystyle B=(x_{0},0)}$
  2. El segmento de recta se divide en n segmentos igualmente espaciados, y esta división se proyecta (en la dirección ) sobre el segmento de recta (ver figura). Esta proyección da lugar a una aplicación proyectiva del lápiz sobre el lápiz .${\displaystyle {\overline {BP}}}$${\displaystyle BA}$${\displaystyle {\overline {AP}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Pi _{y}}$
  3. La intersección de la línea y el i -ésimo paralelo al eje y es un punto en la parábola.${\displaystyle SB_{i}}$

Prueba: cálculo sencillo.

Observación: La generación de Steiner también está disponible para elipses e hipérbolas .

Una parábola dual consiste en el conjunto de tangentes de una parábola ordinaria.

La generación de Steiner de una cónica se puede aplicar a la generación de una cónica dual cambiando los significados de los puntos y las líneas:

Sean dos conjuntos de puntos en dos líneas , y una función proyectiva pero no perspectiva entre estos conjuntos de puntos, entonces las líneas de conexión de los puntos correspondientes forman una cónica dual no degenerada.${\displaystyle u,v}$${\displaystyle \pi }$

Para generar elementos de una parábola dual, se comienza con

1. tres puntos que no están en una línea,${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$
2. divide las secciones de línea y cada una en segmentos de línea igualmente espaciados y suma números como se muestra en la imagen.${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}}}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle n}$
3. Entonces las líneas son tangentes de una parábola, y por lo tanto elementos de una parábola dual.${\displaystyle P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc }$
4. La parábola es una curva de Bézier de grado 2 con puntos de control .${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$

La prueba es una consecuencia del algoritmo de Casteljau para una curva de Bézier de grado 2.

Una parábola con ecuación está determinada de forma única por tres puntos con coordenadas x diferentes . El procedimiento habitual para determinar los coeficientes es insertar las coordenadas de los puntos en la ecuación. El resultado es un sistema lineal de tres ecuaciones, que se puede resolver mediante la eliminación gaussiana o la regla de Cramer , por ejemplo. Una forma alternativa utiliza el teorema del ángulo inscrito para las parábolas.${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$${\displaystyle a,b,c}$

A continuación, se medirá el ángulo de dos rectas por la diferencia de las pendientes de la recta respecto a la directriz de la parábola. Es decir, para una parábola de ecuación el ángulo entre dos rectas de ecuaciones se mide por${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}}$${\displaystyle m_{1}-m_{2}.}$

De manera análoga al teorema del ángulo inscrito para círculos, se tiene el teorema del ángulo inscrito para parábolas : ^{[11] [12]}

Cuatro puntos con coordenadas x diferentes (ver figura) están en una parábola con ecuación si y solo si los ángulos en y tienen la misma medida, como se definió anteriormente. Es decir,${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,\ldots ,4,}$${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle P_{3}}$${\displaystyle P_{4}}$$${\displaystyle {\frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{\frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$$

(Demostración: cálculo sencillo: si los puntos están en una parábola, se pueden traducir las coordenadas para tener la ecuación , entonces se tiene si los puntos están en la parábola).${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle {\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}}$

Una consecuencia es que la ecuación (en ) de la parábola determinada por 3 puntos con diferentes coordenadas x es (si dos coordenadas x son iguales, no existe parábola con directriz paralela al eje x , que pase por los puntos) Multiplicando por los denominadores que dependen de uno se obtiene la forma más estándar${\displaystyle {\color {green}x},{\color {red}y}}$${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,}$$${\displaystyle {\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$$${\displaystyle {\color {green}x},}$$${\displaystyle (x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.}$$

En un sistema de coordenadas adecuado, cualquier parábola puede describirse mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto es Se obtiene la función sobre el conjunto de puntos de la parábola sobre el conjunto de tangentes.${\displaystyle y=ax^{2}}$${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}}$$${\displaystyle y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.}$$$${\displaystyle (x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}}$$

Obviamente, esta función se puede extender al conjunto de todos los puntos de hasta una biyección entre los puntos de y las rectas con ecuaciones . La aplicación inversa es Esta relación se llama relación polo-polar de la parábola , donde el punto es el polo y la recta correspondiente su polar .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle {\text{line }}y=mx+d~~\rightarrow ~~{\text{point }}({\tfrac {m}{2a}},-d).}$$

Mediante el cálculo se comprueban las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la parábola:

• Para un punto (polo) de la parábola, la polar es la tangente en ese punto (ver imagen: ).${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$
• Para un polo exterior a la parábola los puntos de intersección de su polar con la parábola son los puntos de contacto de las dos tangentes que pasan por ella (ver figura: ).${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{2},\ p_{2}}$
• Para un punto dentro de la parábola, la polar no tiene ningún punto en común con la parábola (ver imagen: y ).${\displaystyle P_{3},\ p_{3}}$${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$
• El punto de intersección de dos líneas polares (por ejemplo, ) es el polo de la línea de conexión de sus polos (en el ejemplo: ).${\displaystyle p_{3},p_{4}}$${\displaystyle P_{3},P_{4}}$
• El foco y la directriz de la parábola son un par polo-polar.

Observación: También existen relaciones polo-polar para elipses e hipérbolas.

Sea la línea de simetría la que interseca la parábola en el punto Q, y denotemos el foco como punto F y su distancia al punto Q como f . Sea la perpendicular a la línea de simetría, que pasa por el foco, la que interseca la parábola en un punto T. Entonces (1) la distancia de F a T es 2 f , y (2) una tangente a la parábola en el punto T interseca la línea de simetría en un ángulo de 45°. ^{[13] : 26}

Si dos tangentes a una parábola son perpendiculares entre sí, entonces se cortan en la directriz. A la inversa, dos tangentes que se cortan en la directriz son perpendiculares. En otras palabras, en cualquier punto de la directriz toda la parábola subtiende un ángulo recto.

Supongamos que tres tangentes a una parábola forman un triángulo. Entonces, el teorema de Lambert establece que el foco de la parábola se encuentra en la circunferencia circunscrita al triángulo. ^{[14] [8] : Corolario 20}

El recíproco de Tsukerman al teorema de Lambert establece que, dadas tres líneas que delimitan un triángulo, si dos de las líneas son tangentes a una parábola cuyo foco se encuentra en el círculo circunscrito del triángulo, entonces la tercera línea también es tangente a la parábola. ^[15]

Supongamos que una cuerda corta una parábola perpendicular a su eje de simetría. Sea c la longitud de la cuerda entre los puntos donde corta la parábola y d la distancia desde el vértice de la parábola hasta la cuerda, medida a lo largo del eje de simetría . La distancia focal, f , de la parábola está dada por$${\displaystyle f={\frac {c^{2}}{16d}}.}$$

El área encerrada entre una parábola y una cuerda (ver diagrama) es dos tercios del área de un paralelogramo que la rodea. Un lado del paralelogramo es la cuerda y el lado opuesto es una tangente a la parábola. ^{[16] [17]} La ​​pendiente de los otros lados paralelos es irrelevante para el área. A menudo, como aquí, se dibujan paralelos al eje de simetría de la parábola, pero esto es arbitrario.

En el siglo III a. C., Arquímedes dedujo un teorema equivalente a éste, pero diferente en detalles . Utilizó las áreas de los triángulos, en lugar de las del paralelogramo. ^[d] Véase La cuadratura de la parábola .

Si la cuerda tiene una longitud b y es perpendicular al eje de simetría de la parábola, y si la distancia perpendicular desde el vértice de la parábola hasta la cuerda es h , el paralelogramo es un rectángulo, con lados b y h . El área A del segmento parabólico encerrado por la parábola y la cuerda es, por lo tanto,$${\displaystyle A={\frac {2}{3}}bh.}$$

Esta fórmula se puede comparar con el área de un triángulo :1/2⁠ bh .

En general, el área encerrada se puede calcular de la siguiente manera. Primero, localiza el punto en la parábola donde su pendiente es igual a la de la cuerda. Esto se puede hacer con cálculo, o usando una línea que sea paralela al eje de simetría de la parábola y pase por el punto medio de la cuerda. El punto requerido es donde esta línea interseca la parábola. ^[e] Luego, usando la fórmula dada en Distancia de un punto a una línea , calcula la distancia perpendicular desde este punto a la cuerda. Multiplica esto por la longitud de la cuerda para obtener el área del paralelogramo, luego por 2/3 para obtener el área encerrada requerida.

Un corolario de la discusión anterior es que si una parábola tiene varias cuerdas paralelas, sus puntos medios se encuentran todos en una línea paralela al eje de simetría. Si se trazan tangentes a la parábola a través de los puntos finales de cualquiera de estas cuerdas, las dos tangentes se intersecan en esta misma línea paralela al eje de simetría (véase Dirección del eje de una parábola). ^[f]

Si un punto X está ubicado en una parábola con longitud focal f , y si p es la distancia perpendicular de X al eje de simetría de la parábola, entonces las longitudes de los arcos de la parábola que terminan en X se pueden calcular a partir de f y p de la siguiente manera, asumiendo que todos están expresados ​​en las mismas unidades. ^[g]$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}}$$

Esta cantidad s es la longitud del arco entre X y el vértice de la parábola.

La longitud del arco entre X y el punto simétricamente opuesto en el otro lado de la parábola es 2 s .

La distancia perpendicular p puede tener un signo positivo o negativo para indicar en qué lado del eje de simetría se encuentra X. Al invertir el signo de p se invierten los signos de h y s sin cambiar sus valores absolutos. Si estas cantidades tienen signo, la longitud del arco entre dos puntos cualesquiera de la parábola siempre se muestra por la diferencia entre sus valores de s . El cálculo se puede simplificar utilizando las propiedades de los logaritmos:$${\displaystyle s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.}$$

Esto puede ser útil, por ejemplo, para calcular el tamaño del material necesario para fabricar un reflector parabólico o un canal parabólico .

Este cálculo se puede utilizar para una parábola en cualquier orientación. No se limita a la situación en la que el eje de simetría es paralelo al eje y .

S es el foco y V es el vértice principal de la parábola VG. Dibuje VX perpendicular a SV.

Tomar cualquier punto B en VG y trazar una perpendicular BQ desde B hasta VX. Trazar la perpendicular ST que interseca a BQ, prolongada si es necesario, en T. En B trazar la perpendicular BJ, que interseca a VX en J.

Para la parábola, el segmento VBV, el área encerrada por la cuerda VB y el arco VB, es igual a ∆VBQ / 3, también .${\displaystyle BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}}$

El área del sector parabólico .${\displaystyle SVB=\triangle SVB+{\frac {\triangle VBQ}{3}}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}}$

Como los triángulos TSB y QBJ son similares,$${\displaystyle VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.}$$

Por lo tanto, el área del sector parabólico y se puede encontrar a partir de la longitud de VJ, como se encontró arriba.${\displaystyle SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}}$

Un círculo que pasa por S, V y B también pasa por J.

Por el contrario, si se busca un punto B en la parábola VG de modo que el área del sector SVB sea igual a un valor especificado, se determina el punto J en VX y se construye un círculo a través de S, V y J. Como SJ es el diámetro, el centro del círculo está en su punto medio y se encuentra en la bisectriz perpendicular de SV, a una distancia de la mitad de VJ de SV. El punto B buscado es donde este círculo interseca la parábola.

Si un cuerpo sigue la trayectoria de la parábola debido a una fuerza inversa del cuadrado dirigida hacia S, el área SVB aumenta a una velocidad constante a medida que el punto B se mueve hacia adelante. De ello se deduce que J se mueve a velocidad constante a lo largo de VX a medida que B se mueve a lo largo de la parábola.

Si la velocidad del cuerpo en el vértice donde se mueve perpendicularmente a SV es v , entonces la velocidad de J es igual a 3 v /4 .

La construcción se puede extender simplemente para incluir el caso en el que ninguno de los radios coincide con el eje SV de la siguiente manera. Sea A un punto fijo en VG entre V y B, y el punto H la intersección en VX con la perpendicular a SA en A. De lo anterior, el área del sector parabólico .${\displaystyle SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}}$

Por el contrario, si se requiere encontrar el punto B para un área particular SAB, se encuentra el punto J desde HJ y el punto B como antes. Según el Libro 1, Proposición 16, Corolario 6 de los Principia de Newton , la velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de una parábola con una fuerza dirigida hacia el foco es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio. Si la velocidad en A es v , entonces en el vértice V es , y el punto J se mueve a una velocidad constante de .${\displaystyle {\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v}$${\displaystyle {\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}}$

La construcción anterior fue ideada por Isaac Newton y se puede encontrar en el Libro 1 de Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica como Proposición 30.

La distancia focal de una parábola es la mitad de su radio de curvatura en su vértice.

Prueba

• 
  La imagen está invertida. AB es el eje x . C es el origen. O es el centro. A es ( x , y ) . OA = OC = R . PA = x . CP = y . OP = ( R − y ) . Otros puntos y líneas son irrelevantes para este propósito.
• 
  El radio de curvatura en el vértice es el doble de la distancia focal. Las medidas que se muestran en el diagrama anterior están en unidades del lado recto, que es cuatro veces la distancia focal.
• 

Consideremos un punto ( x , y ) en un círculo de radio R y con centro en el punto (0, R ) . El círculo pasa por el origen. Si el punto está cerca del origen, el teorema de Pitágoras demuestra que$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}}$$

Pero si ( x , y ) está extremadamente cerca del origen, ya que el eje x es una tangente al círculo, y es muy pequeña comparada con x , por lo que y ² es despreciable en comparación con los otros términos. Por lo tanto, extremadamente cerca del origen

$${\displaystyle x^{2}=2Ry.}$$

( 1 )

Compare esto con la parábola

$${\displaystyle x^{2}=4fy,}$$

( 2 )

que tiene su vértice en el origen, se abre hacia arriba y tiene una distancia focal f (ver secciones anteriores de este artículo).

Las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes si R = 2 f . Por lo tanto, esta es la condición para que el círculo y la parábola coincidan en el origen y extremadamente cerca de él. El radio de curvatura en el origen, que es el vértice de la parábola, es el doble de la distancia focal.

Corolario

Un espejo cóncavo, que es un pequeño segmento de una esfera, se comporta aproximadamente como un espejo parabólico, enfocando la luz paralela en un punto intermedio entre el centro y la superficie de la esfera.

Otra definición de parábola utiliza transformaciones afines :

Cualquier parábola es la imagen afín de la parábola unitaria con ecuación .${\displaystyle y=x^{2}}$

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular ( el determinante no es 0) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , la parábola unitaria se mapea sobre la parábola donde${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},}$$

• ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$es un punto de la parábola,
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}}$es un vector tangente en el punto ,${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$es paralela al eje de la parábola (eje de simetría que pasa por el vértice).

En general, los dos vectores no son perpendiculares, y no es el vértice, a menos que la transformación afín sea una semejanza .${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$

El vector tangente en el punto es . En el vértice el vector tangente es ortogonal a . Por lo tanto el parámetro del vértice es la solución de la ecuación que es y el vértice es${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle t_{0}}$$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,}$$$${\displaystyle t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},}$$$${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

La distancia focal se puede determinar mediante una transformación de parámetros adecuada (que no cambia la forma geométrica de la parábola). La distancia focal es Por lo tanto, el foco de la parábola es$${\displaystyle f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.}$$$${\displaystyle F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

Resolviendo la representación paramétrica para mediante la regla de Cramer y utilizando , se obtiene la representación implícita${\displaystyle \;t,t^{2}\;}$${\displaystyle \;t\cdot t-t^{2}=0\;}$$${\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0.}$$

La definición de parábola en esta sección da una representación paramétrica de una parábola arbitraria, incluso en el espacio, si se permiten vectores en el espacio.${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Una curva de Bézier cuadrática es una curva definida por tres puntos , y , llamados sus puntos de control :${\displaystyle {\vec {c}}(t)}$${\displaystyle P_{0}:{\vec {p}}_{0}}$${\displaystyle P_{1}:{\vec {p}}_{1}}$${\displaystyle P_{2}:{\vec {p}}_{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\[1ex]&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\[2ex]&=\left({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\right)t^{2}+\left(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1}\right)t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}}$$