Pappus de Alejandría

Pappus de Alejandría ( en griego : Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; c.  290  – c.   350 d . C. ) fue un matemático griego de la Antigüedad tardía conocido por su Sinagoga (Συναγωγή ) o Colección ( c.  340 ), [ 1 ^] y por el teorema del hexágono de Pappus en geometría proyectiva . Casi nada se sabe sobre su vida excepto lo que se puede encontrar en sus propios escritos, muchos de los cuales se han perdido. Pappus aparentemente vivió en Alejandría , donde trabajó como profesor de matemáticas para estudiantes de nivel superior, uno de los cuales se llamaba Hermodoro. ^[2]

La Colección , su obra más conocida, es un compendio de matemáticas en ocho volúmenes, la mayor parte de los cuales sobrevive. Abarca una amplia gama de temas que formaban parte del plan de estudios de matemáticas antiguas, incluida la geometría , la astronomía y la mecánica . ^[1]

Pappus estuvo activo en un período generalmente considerado como de estancamiento en los estudios matemáticos, donde se destaca como una notable excepción. ^[3] En muchos aspectos, su destino se parece sorprendentemente al de Diofanto , originalmente de importancia limitada pero que se volvió muy influyente en los períodos del Renacimiento tardío y la Edad Moderna .

En sus escritos supervivientes, Pappus no da ninguna indicación de la fecha de los autores cuyas obras utiliza, ni del momento (pero véase más adelante) en que él mismo escribió. Si no hubiera otra información disponible sobre la fecha, todo lo que se podría saber sería que fue posterior a Ptolomeo (fallecido hacia el año 168 d. C.), a quien cita, y anterior a Proclo (nacido hacia el año  411 d. C. ), quien lo cita. ^[3]

La Suda del siglo X afirma que Pappus era de la misma edad que Teón de Alejandría , que estuvo activo durante el reinado del emperador Teodosio I (372-395). ^{[4] Una nota marginal de un manuscrito de finales del siglo X [3]} (una copia de una tabla cronológica del mismo Teón) da una fecha diferente , que afirma, junto a una entrada sobre el emperador Diocleciano (que reinó entre 284 y 305), que "en esa época escribió Pappus". ^[5]

Sin embargo, una fecha verificable proviene de la datación de un eclipse solar mencionado por el propio Pappus. En su comentario al Almagesto calcula "el lugar y el momento de la conjunción que dio lugar al eclipse en Tybi en 1068 después de Nabonassar ". Esto resulta ser el 18 de octubre de 320, por lo que Pappus debe haber estado activo alrededor de 320. ^[2]

La gran obra de Pappus, en ocho libros y titulada Sinagoga o Colección , no ha sobrevivido en forma completa: el primer libro se ha perdido y el resto ha sufrido considerablemente. La Suda enumera otras obras de Pappus: Χωρογραφία οἰκουμενική ( Chorographia oikoumenike o Descripción del mundo habitado ), comentario sobre los cuatro libros del Almagesto de Ptolomeo , Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβ ύῃ ( Los ríos en Libia ) y Ὀνειροκριτικά ( La interpretación de los sueños). ). ^[4] Pappus mismo menciona otro comentario propio sobre el Ἀνάλημμα ( Analema ) de Diodoro de Alejandría . Pappus también escribió comentarios sobre los Elementos de Euclides (de los cuales se conservan fragmentos en Proclo y los Escolios , mientras que el del décimo Libro ha sido publicado en 1890). se ha encontrado en un manuscrito árabe) y en la Ἁρμονικά ( Harmonika ) de Ptolomeo. ^[3]

Federico Commandino tradujo la Colección de Pappus al latín en 1588. El clasicista alemán e historiador matemático Friedrich Hultsch (1833-1908) publicó una presentación definitiva en tres volúmenes de la traducción de Commandino con las versiones en griego y latín (Berlín, 1875-1878). Utilizando el trabajo de Hultsch, el historiador matemático belga Paul ver Eecke fue el primero en publicar una traducción de la Colección a un idioma europeo moderno; su traducción francesa en dos volúmenes tiene el título Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique. (París y Brujas, 1933). ^[6]

Las características de la Colección de Pappus son que contiene un relato, ordenado sistemáticamente, de los resultados más importantes obtenidos por sus predecesores y, en segundo lugar, notas explicativas o que amplían los descubrimientos anteriores. Estos descubrimientos forman, de hecho, un texto sobre el que Pappus se explaya discursivamente. Heath consideró valiosas las introducciones sistemáticas a los diversos libros, ya que exponen claramente un esquema de los contenidos y el alcance general de los temas que se tratarán. A partir de estas introducciones se puede juzgar el estilo de escritura de Pappus, que es excelente e incluso elegante en el momento en que se libera de las ataduras de las fórmulas y expresiones matemáticas. Heath también encontró que su característica exactitud hacía de su Colección "un sustituto admirable de los textos de los muchos tratados valiosos de matemáticos anteriores de los que el tiempo nos ha privado". ^[3]

Las partes supervivientes de la Colección se pueden resumir de la siguiente manera. ^[7]

El Libro I se ha perdido por completo. Solo podemos conjeturar que el Libro I perdido, al igual que el Libro II, se ocupaba de la aritmética, debido a que el Libro III se presenta claramente como el comienzo de una nueva materia. ^[3]

Todo el Libro II (cuya primera parte se ha perdido, el fragmento existente comienza a mediados de la proposición 14) ^[3] analiza un método de multiplicación de un libro sin nombre de Apolonio de Perge . Las proposiciones finales tratan de multiplicar juntos los valores numéricos de las letras griegas en dos versos de poesía, produciendo dos números muy grandes aproximadamente iguales a2 × 10 ⁵⁴ y2 × 10 ³⁸ . ^[8]

El libro III contiene problemas geométricos, planos y sólidos. Puede dividirse en cinco secciones: ^[3]

1. Sobre el famoso problema de hallar dos medias proporcionales entre dos rectas dadas, que surgió del de la duplicación del cubo, reducido por Hipócrates de Quíos al primero, Pappus da varias soluciones de este problema, incluyendo un método de hacer aproximaciones sucesivas a la solución, cuya importancia aparentemente no apreció; añade su propia solución del problema más general de hallar geométricamente el lado de un cubo cuyo contenido guarda una razón dada con el de otro dado. ^[3]
2. Sobre las medias aritméticas, geométricas y armónicas entre dos líneas rectas y el problema de representar las tres en una misma figura geométrica. Sirve como introducción a una teoría general de las medias, de la que Pappus distingue diez clases y da una tabla que representa ejemplos de cada una en números enteros. ^[3]
3. Sobre un curioso problema sugerido por Euclides I. 21. ^[3]
4. Sobre la inscripción de cada uno de los cinco poliedros regulares en una esfera. ^[3] Aquí Pappus observó que un dodecaedro regular y un icosaedro regular podían inscribirse en la misma esfera de modo que sus vértices se encontraran todos en los mismos 4 círculos de latitud, con 3 de los 12 vértices del icosaedro en cada círculo, y 5 de los 20 vértices del dodecaedro en cada círculo. Esta observación se ha generalizado a politopos duales de dimensiones superiores . ^[9]
5. Un añadido de un escritor posterior sobre otra solución del primer problema del libro. ^[3]

Del libro IV se han perdido el título y el prefacio, de modo que el programa debe ser extraído del propio libro. Al principio se encuentra la conocida generalización de Euclides I.47 ( teorema del área de Pappus ), luego siguen varios teoremas sobre el círculo, que conducen al problema de la construcción de un círculo que circunscriba tres círculos dados, tocándose entre sí dos y dos. Esta y varias otras proposiciones sobre el contacto, por ejemplo, casos de círculos que se tocan entre sí e inscritos en la figura formada por tres semicírculos y conocida como arbelos ("cuchillo de zapatero") forman la primera división del libro; Pappus pasa entonces a considerar ciertas propiedades de la espiral de Arquímedes , la concoide de Nicomedes (ya mencionada en el Libro I como un método para duplicar el cubo) y la curva descubierta muy probablemente por Hipias de Elis alrededor del 420 a. C., y conocida con el nombre de τετραγωνισμός o cuadratriz . La Proposición 30 describe la construcción de una curva de doble curvatura llamada por Pappus la hélice sobre una esfera; se describe por un punto que se mueve uniformemente a lo largo del arco de un círculo máximo, que a su vez gira sobre su diámetro de manera uniforme, describiendo el punto un cuadrante y el círculo máximo una revolución completa en el mismo tiempo. Se encuentra el área de la superficie incluida entre esta curva y su base: el primer ejemplo conocido de una cuadratura de una superficie curva. El resto del libro trata de la trisección de un ángulo y de la solución de problemas más generales del mismo tipo por medio de la cuadratriz y la espiral. En una solución del primer problema se encuentra el primer uso registrado de la propiedad de una cónica (una hipérbola) con referencia al foco y la directriz. ^[10]

En el Libro V, después de un interesante prefacio sobre los polígonos regulares y de observaciones sobre la forma hexagonal de las celdas de los panales , Pappus se dedica a la comparación de las áreas de diferentes figuras planas que tienen todas el mismo perímetro (siguiendo el tratado de Zenodoro sobre este tema), y de los volúmenes de diferentes figuras sólidas que tienen todas la misma área superficial y, por último, una comparación de los cinco sólidos regulares de Platón . Por cierto, Pappus describe los otros trece poliedros delimitados por polígonos equiláteros y equiangulares pero no similares, descubiertos por Arquímedes , y encuentra, mediante un método que recuerda al de Arquímedes, la superficie y el volumen de una esfera. ^[10]

Según el prefacio, el Libro VI tiene por objeto resolver las dificultades que se dan en las llamadas «Obras astronómicas menores» (Μικρὸς Ἀστρονομούμενος), es decir, obras distintas del Almagesto . En consecuencia, comenta la Sphaerica de Teodosio , la Esfera móvil de Autólico , el libro de Teodosio sobre el día y la noche , el tratado de Aristarco Sobre el tamaño y las distancias del Sol y la Luna y la Óptica y fenómenos de Euclides . ^[10]

Desde que Michel Chasles citó este libro de Pappus en su historia de los métodos geométricos, ^[11] se ha convertido en objeto de considerable atención.

El prefacio del Libro VII explica los términos análisis y síntesis, y la distinción entre teorema y problema. Pappus enumera luego las obras de Euclides , Apolonio , Aristeo y Eratóstenes , treinta y tres libros en total, cuya sustancia pretende dar, con los lemas necesarios para su elucidación. Con la mención de los Porismos de Euclides tenemos una explicación de la relación del porismo con el teorema y el problema. En el mismo prefacio se incluye (a) el famoso problema conocido por el nombre de Pappus, a menudo enunciado así: Habiendo dado un número de líneas rectas, encontrar el lugar geométrico de un punto tal que las longitudes de las perpendiculares sobre, o (más generalmente) las líneas dibujadas desde él oblicuamente con inclinaciones dadas a, las líneas dadas satisfagan la condición de que el producto de algunas de ellas pueda guardar una razón constante con el producto de las restantes; (Pappus no lo expresa de esta forma sino por medio de la composición de razones, diciendo que si se da la razón que se compone de las razones de los pares uno de un conjunto y uno de otro de las líneas así dibujadas, y de la razón del impar, si lo hay, a una línea recta dada, el punto estará sobre una curva dada en posición); (b) los teoremas que fueron redescubiertos por Paul Guldin y nombrados en su honor , pero que parecen haber sido descubiertos por el propio Pappus. ^[10]

El libro VII también contiene

1. bajo el título De Sectione Determinata de Apolonio, lemas que, examinados de cerca, resultan ser casos de la involución de seis puntos; ^[10]
2. lemas importantes sobre los porismos de Euclides, ^[10] incluido el llamado teorema del hexágono de Pappus ; ^[12]
3. un lema sobre los lugares geométricos de las superficies de Euclides que establece que el lugar geométrico de un punto tal que su distancia desde un punto dado guarda una relación constante con su distancia desde una línea recta dada es una cónica , y es seguido por pruebas de que la cónica es una parábola , elipse o hipérbola según que la relación constante sea igual a, menor o mayor que 1 (las primeras pruebas registradas de las propiedades, que no aparecen en Apolonio). ^[10]

La cita de Chasles de Pappus fue repetida por Wilhelm Blaschke ^[13] y Dirk Struik ^[14] . En Cambridge, Inglaterra, John J. Milne brindó a los lectores el beneficio de su lectura de Pappus ^[15] . En 1985, Alexander Jones escribió su tesis en la Universidad Brown sobre el tema. Una versión revisada de su traducción y comentario fue publicada por Springer-Verlag el año siguiente. Jones logra demostrar cómo Pappus manipuló el cuadrángulo completo , utilizó la relación de conjugados armónicos proyectivos y mostró un conocimiento de las razones cruzadas de puntos y líneas. Además, el concepto de polo y polar se revela como un lema en el Libro VII ^[16] .

El Libro VIII trata principalmente de la mecánica, las propiedades del centro de gravedad y algunas potencias mecánicas. Se intercalan algunas proposiciones sobre geometría pura. La Proposición 14 muestra cómo dibujar una elipse a través de cinco puntos dados, y la Proposición 15 da una construcción simple para los ejes de una elipse cuando se dan un par de diámetros conjugados . ^[10]

La Colección de Pappus era virtualmente desconocida para los árabes y los europeos medievales, pero ejerció una gran influencia en las matemáticas del siglo XVII después de ser traducida al latín por Federico Commandino . ^[17] La ​​Arithmetica de Diofanto y la Colección de Pappus fueron las dos fuentes principales de Isagoge in artem analyticam (1591) de Viète . ^[18] El problema de Pappus y su generalización llevaron a Descartes al desarrollo de la geometría analítica . ^[19] Fermat también desarrolló su versión de la geometría analítica y su método de Máximos y Mínimos a partir de los resúmenes de Pappus de las obras perdidas de Apolonio Plane Loci y Sobre la sección determinada . ^[20] Otros matemáticos influenciados por Pappus fueron Pacioli , da Vinci , Kepler , van Roomen , Pascal , Newton , Bernoulli , Euler , Gauss , Gergonne , Steiner y Poncelet . ^[21]

• Teorema del hexágono de Pappus
• Teorema del centroide de Pappus
• Cadena de vilano
• Configuración de Pappus
• Gráfica de Pappus

• Heath, Thomas Little (1911). "Porism"  . En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . Vol. 22 (11.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 102–103.{{cite encyclopedia}}: CS1 maint: date and year (link)
• Jones, Alexander, ed. (1986). Pappus of Alexandria, libro 7 de la colección . Fuentes en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Nueva York: Springer. doi :10.1007/978-1-4612-4908-5. ISBN 9781461249085.
• Milne, John J. (1911). Tratado elemental sobre geometría de proporciones cruzadas con notas históricas. Cambridge University Press. pág. 11.

Atribución:

•  Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público :  Heath, Thomas Little (1911). "Pappus of Alexandria". En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . Vol. 20 (11.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 470–471.

• Jones, Alexander Raymond (19 de enero de 2017). "Pappus of Alexandria". Encyclopædia Britannica .

• "Pappus de Alejandría (vivió c. 200–350 d. C.)". Diccionario Hutchinson de biografía científica . Helicon Publishing. 2004. Matemático, astrónomo y geógrafo griego cuya principal importancia radica en sus comentarios sobre el trabajo matemático de sus predecesores.

• Eecke, Paul Ver (1933). Pappus d'Alexandrie: La Collection Mathématique avec une Introduction et des Notes (2 volúmenes Fondation Universitaire de Belgique ed.). París: Albert Blanchard.

Wikiquote tiene citas relacionadas con Pappus de Alejandría .

• Pappi (1660). Colecciones Mathematicae (en latín). ex tipografía HH. de Duccijs.
• Colecciones Pappi Alexandrini Mathematicae. A Federico Commandino Vrbinatae in latinum conuersae y commentarijs illustratae (en ruso). apud Franciscum de Franciscis Senensem. 1589.
• Escaneos de la edición de Hultsch de la colección de Pappus de Alejandría en wilbourhall.org
• Pappos (Biblioteca Augustana)
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Pappus de Alejandría". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor . Universidad de St Andrews .
• "Pappus", Enciclopedia Electrónica Columbia , Sexta Edición en Answer.com.
• Teorema de Pappus en MathPages
• El trabajo de Pappus sobre el problema isoperimétrico en la convergencia