Teorema de Falting

Teorema de Falting

Gerd Faltings
Campo	Geometría aritmética
Conjeturado por	Luis Mordell
Conjeturado en	1922
Primera prueba por	Gerd Faltings
Primera prueba en	1983
Generalizaciones	Conjetura de Bombieri-Lang Conjetura de Mordell-Lang
Consecuencias	Teorema de Siegel sobre puntos integrales

El teorema de Faltings es un resultado de la geometría aritmética , según el cual una curva de género mayor que 1 sobre el cuerpo de números racionales tiene solo un número finito de puntos racionales . Esto fue conjeturado en 1922 por Louis Mordell , ^[1] y conocido como la conjetura de Mordell hasta su demostración en 1983 por Gerd Faltings . ^[2] La conjetura fue generalizada más tarde reemplazando por cualquier cuerpo de números .${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$

Sea una curva algebraica no singular de género sobre . Entonces el conjunto de puntos racionales sobre puede determinarse de la siguiente manera:${\estilo de visualización C}$ ${\estilo de visualización g}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\estilo de visualización C}$

• Cuando no hay puntos o hay infinitos, en tales casos se puede tratar como una sección cónica .${\estilo de visualización g=0}$${\estilo de visualización C}$
• Cuando , si hay puntos, entonces es una curva elíptica y sus puntos racionales forman un grupo abeliano finitamente generado . (Este es el teorema de Mordell , posteriormente generalizado al teorema de Mordell-Weil ). Además, el teorema de torsión de Mazur restringe la estructura del subgrupo de torsión.${\estilo de visualización g=1}$${\estilo de visualización C}$
• Cuando , según el teorema de Falting, sólo tiene un número finito de puntos racionales.${\displaystyle g>1}$${\estilo de visualización C}$

Igor Shafarevich conjeturó que sólo hay un número finito de clases de isomorfismo de variedades abelianas de dimensión fija y grado de polarización fijo sobre un cuerpo numérico fijo con buena reducción fuera de un conjunto finito fijo de lugares . ^[3] Aleksei Parshin demostró que la conjetura de finitud de Shafarevich implicaría la conjetura de Mordell, utilizando lo que ahora se llama el truco de Parshin. ^[4]

Gerd Faltings demostró la conjetura de finitud de Shafarevich utilizando una reducción conocida a un caso de la conjetura de Tate , junto con herramientas de la geometría algebraica , incluida la teoría de los modelos de Néron . ^[5] La idea principal de la prueba de Faltings es la comparación de las alturas de Faltings y las alturas ingenuas a través de las variedades modulares de Siegel . ^[a]

• Paul Vojta dio una prueba basada en la aproximación diofántica . ^[6] Enrico Bombieri encontró una variante más elemental de la prueba de Vojta. ^[7]
• Brian Lawrence y Akshay Venkatesh dieron una prueba basada en la teoría p -ádica de Hodge , tomando prestados también algunos de los ingredientes más fáciles de la prueba original de Faltings. ^[8]

El artículo de Faltings de 1983 tuvo como consecuencias una serie de afirmaciones que ya se habían conjeturado previamente:

• La conjetura de Mordell de que una curva de género mayor que 1 sobre un cuerpo de números tiene sólo un número finito de puntos racionales;
• El teorema de isogenia sostiene que las variedades abelianas con módulos de Tate isomorfos (como -módulos con acción de Galois) son isógenas .${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$

Un ejemplo de aplicación del teorema de Falting es una forma débil del último teorema de Fermat : para cualquier número fijo hay como máximo un número finito de soluciones enteras primitivas ( soluciones coprimas por pares ) para , ya que para ellas la curva de Fermat tiene un género mayor que 1.${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$

Debido al teorema de Mordell-Weil , el teorema de Faltings puede reformularse como una afirmación sobre la intersección de una curva con un subgrupo finitamente generado de una variedad abeliana . La generalización mediante la sustitución por una variedad semiabeliana , por una subvariedad arbitraria de y por un subgrupo arbitrario de rango finito de conduce a la conjetura de Mordell-Lang , que fue demostrada en 1995 por McQuillan ^[9] siguiendo el trabajo de Laurent, Raynaud , Hindry, Vojta y Faltings .${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización A}$

Otra generalización de dimensiones superiores del teorema de Faltings es la conjetura de Bombieri-Lang que sostiene que si es una variedad pseudocanónica (es decir, una variedad de tipo general) sobre un cuerpo de números , entonces no es denso de Zariski en . Paul Vojta ha propuesto conjeturas aún más generales .${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización X(k)}$ ${\estilo de visualización X}$

La conjetura de Mordell para campos de funciones fue demostrada por Yuri Ivanovich Manin ^[10] y por Hans Grauert ^[11] . En 1990, Robert F. Coleman encontró y solucionó un problema en la demostración de Manin. ^[12]