Polinomios de Hermite

En matemáticas , los polinomios de Hermite son una secuencia polinomial ortogonal clásica .

Los polinomios surgen en:

• Procesamiento de señales como wavelets hermíticos para análisis de transformada wavelet
• probabilidad , como la serie de Edgeworth , así como en conexión con el movimiento browniano ;
• combinatoria , como ejemplo de una secuencia de Appell , que obedece al cálculo umbral ;
• análisis numérico como cuadratura gaussiana ;
• física , donde dan lugar a los estados propios del oscilador armónico cuántico ; y también ocurren en algunos casos de la ecuación del calor (cuando el término está presente);${\displaystyle {\begin{alineado}xu_{x}\end{alineado}}}$
• teoría de sistemas en conexión con operaciones no lineales sobre ruido gaussiano .
• teoría de matrices aleatorias en conjuntos gaussianos .

Los polinomios de Hermite fueron definidos por Pierre-Simon Laplace en 1810, ^{[1] [2]} aunque en una forma apenas reconocible, y estudiados en detalle por Pafnuty Chebyshev en 1859. ^[3] El trabajo de Chebyshev fue pasado por alto, y fueron nombrados más tarde en honor a Charles Hermite , quien escribió sobre los polinomios en 1864, describiéndolos como nuevos. ^[4] En consecuencia, no eran nuevos, aunque Hermite fue el primero en definir los polinomios multidimensionales.

Al igual que los demás polinomios ortogonales clásicos , los polinomios de Hermite se pueden definir a partir de varios puntos de partida diferentes. Teniendo en cuenta desde el principio que existen dos estandarizaciones diferentes de uso común, un método conveniente es el siguiente:

• Los "polinomios de Hermite del probabilista" están dados por$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$$
• Mientras que los "polinomios de Hermite del físico" se dan por$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$$

Estas ecuaciones tienen la forma de una fórmula de Rodrigues y también se pueden escribir como,$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

Las dos definiciones no son exactamente idénticas; cada una es una reescalación de la otra:$${\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad \operatorname {He} _{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$$

Éstas son secuencias polinomiales de Hermite de diferentes varianzas; consulte el material sobre varianzas a continuación.

La notación He y H es la utilizada en las referencias estándar. ^[5] Los polinomios He _n a veces se denotan por H _n , especialmente en teoría de probabilidad, porque es la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con valor esperado 0 y desviación estándar 1.$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$$

• Los primeros once polinomios de Hermite del probabilista son:$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{0}(x)&=1,\\\operatorname {He} _{1}(x)&=x,\\\operatorname {He} _{2}(x)&=x^{2}-1,\\\operatorname {He} _{3}(x)&=x^{3}-3x,\\\operatorname {He} _{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\\operatorname {He} _{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\\operatorname {He} _{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\\operatorname {He} _{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\\nombre del operador {He} _{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\\nombre del operador {He} _{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\\nombre del operador {He} _{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}}$$
• Los primeros once polinomios de Hermite del físico son:$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}}$$

El polinomio de Hermite de orden n es un polinomio de grado n . La versión probabilística He _n tiene un coeficiente principal de 1, mientras que la versión física H _n tiene un coeficiente principal de 2 ⁿ .

De las fórmulas de Rodrigues dadas anteriormente, podemos ver que H _n ( x ) y He _n ( x ) son funciones pares o impares dependiendo de n :$${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad \operatorname {He} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x).}$$

H _n ( x ) y He _n ( x ) sonpolinomios de grado n para n = 0, 1, 2, 3,... . Estos polinomios son ortogonales con respecto a la función de peso ( medida ) o sea, tenemos$${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}\operatorname {He} )}$$$${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$$

Además, ¿ dónde está el delta de Kronecker ?$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {He} _{m}(x)\operatorname {He} _{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$$${\displaystyle \delta _{nm}}$

Los polinomios probabilistas son entonces ortogonales con respecto a la función de densidad de probabilidad normal estándar.

Los polinomios de Hermite (de probabilista o de físico) forman una base ortogonal del espacio de Hilbert de funciones que satisfacen en el que el producto interno está dado por la integral que incluye la función de peso gaussiana w ( x ) definida en la sección anterior.$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$$$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$$

Una base ortogonal para L ² ( R , w ( x ) dx ) es un sistema ortogonal completo . Para un sistema ortogonal, la completitud es equivalente al hecho de que la función 0 es la única función f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx ) ortogonal a todas las funciones del sistema.

Dado que el espacio lineal de los polinomios de Hermite es el espacio de todos los polinomios, uno tiene que demostrar (en el caso de la física) que si f satisface para cada n ≥ 0 , entonces f = 0 .$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

Una forma posible de hacer esto es apreciar que toda la función se anula de manera idéntica. El hecho entonces de que F ( it ) = 0 para cada t real significa que la transformada de Fourier de f ( x ) e ^{− x 2} es 0, por lo tanto f es 0 casi en todas partes. Las variantes de la prueba de completitud anterior se aplican a otros pesos con decaimiento exponencial.$${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

En el caso de Hermite, también es posible probar una identidad explícita que implica completitud (ver sección sobre la relación de completitud a continuación).

Una formulación equivalente del hecho de que los polinomios de Hermite son una base ortogonal para L ² ( R , w ( x ) dx ) consiste en introducir funciones de Hermite (ver más abajo), y decir que las funciones de Hermite son una base ortonormal para L ² ( R ) .

Los polinomios de Hermite del probabilista son soluciones de la ecuación diferencial donde λ es una constante. Si se impone la condición de contorno de que u debe estar polinómicamente acotado en el infinito, la ecuación tiene soluciones solo si λ es un entero no negativo, y la solución está dada únicamente por , donde denota una constante.$${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$$${\displaystyle u(x)=C_{1}\operatorname {He} _{\lambda }(x)}$${\displaystyle C_{1}}$

Al reescribir la ecuación diferencial como un problema de valores propios , los polinomios de Hermite pueden entenderse como funciones propias del operador diferencial . Este problema de valores propios se denomina ecuación de Hermite , aunque el término también se utiliza para la ecuación estrechamente relacionada cuya solución se da únicamente en términos de polinomios de Hermite del físico en la forma , donde denota una constante, después de imponer la condición de contorno de que u debe estar polinomialmente acotado en el infinito.$${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$$${\displaystyle \operatorname {He} _{\lambda }(x)}$${\displaystyle L[u]}$$${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$$${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$${\displaystyle C_{1}}$

Las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden anteriores son, de hecho, combinaciones lineales de polinomios de Hermite y funciones hipergeométricas confluentes de primera clase. Por ejemplo, para la ecuación de Hermite del físico, la solución general toma la forma donde y son constantes, son polinomios de Hermite del físico (de primera clase) y son funciones de Hermite del físico (de segunda clase). Las últimas funciones se representan de forma compacta como donde son Funciones hipergeométricas confluentes de primera clase . Los polinomios de Hermite convencionales también se pueden expresar en términos de funciones hipergeométricas confluentes, véase más abajo.$${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$$$${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$

Con condiciones de contorno más generales , los polinomios de Hermite se pueden generalizar para obtener funciones analíticas más generales para λ de valor complejo . También es posible una fórmula explícita de polinomios de Hermite en términos de integrales de contorno (Courant y Hilbert 1989).

La secuencia de polinomios de Hermite del probabilista también satisface la relación de recurrencia . Los coeficientes individuales están relacionados por la siguiente fórmula de recursión: y a _0,0 = 1 , a _1,0 = 0 , a _1,1 = 1 .$${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=x\operatorname {He} _{n}(x)-\operatorname {He} _{n}'(x).}$$$${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

Para los polinomios del físico, suponiendo que tenemos Los coeficientes individuales están relacionados por la siguiente fórmula de recursión: y a _0,0 = 1 , a _1,0 = 0 , a _1,1 = 2 .$${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$$$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$$$${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

Los polinomios de Hermite constituyen una secuencia de Appell , es decir, son una secuencia polinómica que satisface la identidad$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}'(x)&=n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Una recurrencia integral que se deduce y demuestra en ^[6] es la siguiente:$${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}\operatorname {He} _{n}(t)dt-He'_{n}(0),}$$

$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).}$$

De manera equivalente, mediante la expansión de Taylor , estas identidades umbrales son evidentes y se incluyen en la representación del operador diferencial que se detalla a continuación, $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\operatorname {He} _{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)\operatorname {He} _{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{n-k}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

En consecuencia, para las derivadas m se cumplen las siguientes relaciones:$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}\operatorname {He} _{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}\operatorname {He} _{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$$

De ello se deduce que los polinomios de Hermite también satisfacen la relación de recurrencia.$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n+1}(x)&=x\operatorname {He} _{n}(x)-n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Estas últimas relaciones, junto con los polinomios iniciales H ₀ ( x ) y H ₁ ( x ) , se pueden utilizar en la práctica para calcular los polinomios rápidamente.

Las desigualdades de Turán son$${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}$$

Además, se cumple el siguiente teorema de multiplicación :$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\\operatorname {He} _{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}\operatorname {He} _{n-2i}(x).\end{aligned}}}$$

Los polinomios de Hermite del físico se pueden escribir explícitamente como$${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$$

Estas dos ecuaciones se pueden combinar en una usando la función floor :$${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$$

Los polinomios de Hermite del probabilista tienen fórmulas similares, que pueden obtenerse a partir de estas reemplazando la potencia de 2 x con la potencia correspondiente de √ 2  x y multiplicando la suma entera por 2 ^{− ⁠norte/2:}​$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$$

La inversa de las expresiones explícitas anteriores, es decir, aquellas para monomios en términos de polinomios de Hermite del probabilista son$${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}\operatorname {He} _{n-2m}(x).}$$

Las expresiones correspondientes para los polinomios de Hermite del físico H se deducen directamente escalando adecuadamente esto: ^[7]$${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$$

Los polinomios de Hermite están dados por la función generadora exponencial$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

Esta igualdad es válida para todos los valores complejos de x y t , y se puede obtener escribiendo la expansión de Taylor en x de toda la función z → e ^{− z 2} (en el caso del físico). También se puede derivar la función generadora (del físico) utilizando la fórmula integral de Cauchy para escribir los polinomios de Hermite como$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$$

Usando esto en la suma se puede evaluar la integral restante usando el cálculo de residuos y llegar a la función generadora deseada.$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$$

Si X es una variable aleatoria con una distribución normal con desviación estándar 1 y valor esperado μ , entonces$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[\operatorname {He} _{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$$

Los momentos de la normal estándar (con valor esperado cero) se pueden leer directamente de la relación para índices pares: donde (2 n − 1)!! es el factorial doble . Nótese que la expresión anterior es un caso especial de la representación de los polinomios de Hermite del probabilista como momentos:$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}\operatorname {He} _{2n}(0)=(2n-1)!!,}$$$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$$

Asintóticamente, cuando n → ∞ , la expansión ^[8] es válida. Para ciertos casos que involucran un rango más amplio de evaluación, es necesario incluir un factor para cambiar la amplitud: que, utilizando la aproximación de Stirling , puede simplificarse aún más, en el límite, a$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$$$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$$$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

Esta expansión es necesaria para resolver la función de onda de un oscilador armónico cuántico de manera que concuerde con la aproximación clásica en el límite del principio de correspondencia .

Una mejor aproximación, que tiene en cuenta la variación en la frecuencia, viene dada por$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

Una aproximación más fina, ^[9] que tiene en cuenta el espaciamiento desigual de los ceros cerca de los bordes, hace uso de la sustitución con la que se tiene la aproximación uniforme$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$$$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$$

Se aplican aproximaciones similares para las regiones monótonas y de transición. En concreto, si entonces mientras que para con t complejo y acotado, la aproximación es donde Ai es la función de Airy de primera clase.$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$$$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$$$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$$$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$$

Los polinomios de Hermite del físico evaluados con argumento cero H _n (0) se denominan números de Hermite .

$${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$$que satisfacen la relación de recursión H _n (0) = −2( n − 1) H _{n − 2} (0) .

En términos de los polinomios probabilistas esto se traduce en$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$$

Los polinomios de Hermite se pueden expresar como un caso especial de los polinomios de Laguerre :$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}}$$

Los polinomios de Hermite del físico se pueden expresar como un caso especial de las funciones de cilindro parabólico : en el semiplano derecho , donde U ( a , b , z ) es la función hipergeométrica confluente de Tricomi . De manera similar, donde ₁ F ₁ ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z ) es la función hipergeométrica confluente de Kummer .$${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}}$$

De manera similar a la expansión de Taylor, algunas funciones se pueden expresar como una suma infinita de polinomios de Hermite. Específicamente, si , entonces tiene una expansión en los polinomios de Hermite del físico. ^[10]${\displaystyle \int e^{-x^{2}}f(x)^{2}dx<\infty }$

Dado tal , las sumas parciales de la expansión de Hermite de convergen a en la norma si y sólo si . ^[11]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 4/3<p<4}$$${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,(n-2k)!}}\,H_{n-2k}(x)=n!\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,2^{k}\,(n-2k)!}}\,\operatorname {He} _{n-2k}(x),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.}$$$${\displaystyle e^{ax}=e^{a^{2}/4}\sum _{n\geq 0}{\frac {a^{n}}{n!\,2^{n}}}\,H_{n}(x),\qquad a\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} .}$$$${\displaystyle e^{-a^{2}x^{2}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{n!\left(1+a^{2}\right)^{n+1/2}2^{2n}}}\,H_{2n}(x).}$$$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}~dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(2k+1)2^{3k}}}H_{2k}(x).}$$$${\displaystyle \cosh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k)!}}\,H_{2k}(x),\qquad \sinh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x).}$$$${\displaystyle \cos(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k}\,(2k)!}}\,H_{2k}(x)\quad \sin(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x)}$$

Los polinomios de Hermite del probabilista satisfacen la identidad donde D representa la diferenciación con respecto a x y la exponencial se interpreta desarrollándola como una serie de potencias . No hay cuestiones delicadas de convergencia de esta serie cuando opera sobre polinomios, ya que todos los términos, salvo un número finito, se anulan.$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},}$$

Dado que los coeficientes de la serie de potencias de la exponencial son bien conocidos y las derivadas de orden superior del monomio x ⁿ se pueden escribir explícitamente, esta representación del operador diferencial da lugar a una fórmula concreta para los coeficientes de H _n que se puede utilizar para calcular rápidamente estos polinomios.

Como la expresión formal para la transformada de Weierstrass W es e ^{D 2} , vemos que la transformada de Weierstrass de ( √ 2 ) ⁿ He _n ( ⁠incógnita/√ 2⁠ ) ​​es x ⁿ . Esencialmente, la transformada de Weierstrass convierte una serie de polinomios de Hermite en una serie de Maclaurin correspondiente .

La existencia de alguna serie de potencias formal g ( D ) con coeficiente constante distinto de cero, tal que He _n ( x ) = g ( D ) x ⁿ , es otro equivalente a la afirmación de que estos polinomios forman una sucesión de Appell . Puesto que son una sucesión de Appell, son a fortiori una sucesión de Sheffer .

De la representación de la función generadora anterior, vemos que los polinomios de Hermite tienen una representación en términos de una integral de contorno , como con el contorno que rodea el origen.$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}$$

Los polinomios de Hermite del probabilista definidos anteriormente son ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad normal estándar, cuya función de densidad es que tiene un valor esperado 0 y una varianza 1.$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$$

Escalando, se puede hablar análogamente de polinomios de Hermite generalizados ^[12] de varianza α , donde α es cualquier número positivo. Éstos son entonces ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad normal cuya función de densidad es Vienen dados por$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)}$$$${\displaystyle (2\pi \alpha )^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.}$$$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).}$$

Ahora bien, si la secuencia polinómica cuyo término n es se denomina composición umbral de las dos secuencias polinómicas, se puede demostrar que satisface las identidades y La última identidad se expresa diciendo que esta familia parametrizada de secuencias polinómicas se conoce como secuencia cruzada. (Véase la sección anterior sobre secuencias de Appell y sobre la representación del operador diferencial, que conduce a una fácil derivación de la misma. Esta identidad de tipo binomial , para α = β = ⁠$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},}$$$${\displaystyle \left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,\operatorname {He} _{k}^{[\beta ]}(x)}$$$${\displaystyle \left(\operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}\circ \operatorname {He} ^{[\beta ]}\right)(x)=\operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)}$$$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{n-k}^{[\beta ]}(y).}$$1/2, ya se ha encontrado en la sección anterior sobre relaciones de #Recursión).

Como las secuencias polinómicas forman un grupo bajo la operación de composición umbral , se puede denotar por la secuencia que es inversa a la denotada de manera similar, pero sin el signo menos, y así hablar de polinomios de Hermite de varianza negativa. Para α > 0 , los coeficientes de son simplemente los valores absolutos de los coeficientes correspondientes de .$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[-\alpha ]}(x)}$$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[-\alpha ]}(x)}$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}^{[\alpha ]}(x)}$

Estos surgen como momentos de distribuciones de probabilidad normales: El momento n de la distribución normal con valor esperado μ y varianza σ ² es donde X es una variable aleatoria con la distribución normal especificada. Un caso especial de la identidad entre secuencias dice entonces que$${\displaystyle E[X^{n}]=\operatorname {He} _{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{k}^{[\alpha ]}(x)\operatorname {He} _{n-k}^{[-\alpha ]}(y)=\operatorname {He} _{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}$$

Se pueden definir las funciones de Hermite (a menudo llamadas funciones Hermite-Gaussianas) a partir de los polinomios del físico: Así, $${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$$$${\displaystyle {\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x).}$$

Dado que estas funciones contienen la raíz cuadrada de la función de peso y se han escalado adecuadamente , son ortonormales y forman una base ortonormal de L ² ( R ) . Este hecho es equivalente al enunciado correspondiente para los polinomios de Hermite (ver arriba).$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},}$$

Las funciones de Hermite están estrechamente relacionadas con la función de Whittaker (Whittaker y Watson 1996) D _n ( z ) : y por tanto con otras funciones de cilindros parabólicos .$${\displaystyle D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}}$$

Las funciones de Hermite satisfacen la ecuación diferencial Esta ecuación es equivalente a la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico en mecánica cuántica, por lo que estas funciones son las funciones propias .$${\displaystyle \psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}(x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{\sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}}$$

Siguiendo las relaciones de recursión de los polinomios de Hermite, las funciones de Hermite obedecen y$${\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$$$${\displaystyle x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x).}$$

Extender la primera relación a las derivadas m arbitrarias para cualquier entero positivo m conduce a$${\displaystyle \psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x)\operatorname {He} _{k}(x).}$$

Esta fórmula se puede utilizar en conexión con las relaciones de recurrencia para He _n y ψ _n para calcular cualquier derivada de las funciones de Hermite de manera eficiente.

Para x real , las funciones de Hermite satisfacen el siguiente límite debido a Harald Cramér ^{[13] [14]} y Jack Indritz: ^[15]$${\displaystyle {\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

Las funciones de Hermite ψ _n ( x ) son un conjunto de funciones propias de la transformada continua de Fourier F . Para ver esto, tome la versión física de la función generadora y multiplíquela por e ^{− ⁠1/2⁠ x 2} . Esto da$${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$$