Campo fermiónico

En la teoría cuántica de campos , un campo fermiónico es un campo cuántico cuyos cuantos son fermiones ; es decir, obedecen a la estadística de Fermi-Dirac . Los campos fermiónicos obedecen a relaciones de anticonmutación canónicas en lugar de las relaciones de conmutación canónicas de los campos bosónicos .

El ejemplo más destacado de un campo fermiónico es el campo de Dirac, que describe fermiones con espín -1/2: electrones , protones , quarks , etc. El campo de Dirac puede describirse como un espinor de 4 componentes o como un par de espinores de Weyl de 2 componentes. Los fermiones de Majorana de espín 1/2 , como el hipotético neutralino , pueden describirse como un espinor de Majorana dependiente de 4 componentes o como un espinor de Weyl único de 2 componentes. No se sabe si el neutrino es un fermión de Majorana o un fermión de Dirac ; la observación experimental de la desintegración doble beta sin neutrinos resolvería esta cuestión.

Los campos fermiónicos libres (no interactuantes) obedecen a relaciones de anticonmutación canónicas ; es decir, involucran los anticonmutadores { a , b } = ab + ba , en lugar de los conmutadores [ a , b ] = ab − ba de la mecánica cuántica bosónica o estándar. Esas relaciones también son válidas para los campos fermiónicos interactuantes en el panorama de interacción , donde los campos evolucionan en el tiempo como si fueran libres y los efectos de la interacción están codificados en la evolución de los estados.

Son estas relaciones de anticonmutación las que implican las estadísticas de Fermi-Dirac para los cuantos de campo. También dan lugar al principio de exclusión de Pauli : dos partículas fermiónicas no pueden ocupar el mismo estado al mismo tiempo.

El ejemplo más destacado de un campo de fermiones de espín 1/2 es el campo de Dirac (llamado así por Paul Dirac ), y denotado por . La ecuación de movimiento para una partícula de espín 1/2 libre es la ecuación de Dirac ,${\displaystyle \psi(x)}$

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,}$

donde son matrices gamma y es la masa. Las soluciones más simples posibles para esta ecuación son soluciones de ondas planas, y . Estas soluciones de ondas planas forman una base para los componentes de Fourier de , lo que permite la expansión general de la función de onda de la siguiente manera,${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \psi(x)}$${\displaystyle u(p)e^{-ip\cdot x}\,}$${\displaystyle v(p)e^{ip\cdot x}\,}$${\displaystyle \psi(x)}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_ {p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_ {\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

u y v son espinores, etiquetados por su espín, s e índices de espinor . Para el electrón, una partícula de espín 1/2, s = +1/2 o s = −1/2. El factor de energía es el resultado de tener una medida de integración invariante de Lorentz. En la segunda cuantificación , se promueve a un operador, por lo que los coeficientes de sus modos de Fourier también deben ser operadores. Por lo tanto, y son operadores. Las propiedades de estos operadores se pueden discernir a partir de las propiedades del campo. y obedecen las relaciones de anticonmutación:${\displaystyle \alpha \en \{0,1,2,3\}}$${\displaystyle \psi(x)}$${\displaystyle a_{\mathbf {p}}^{s}}$${\displaystyle b_{\mathbf {p}}^{s\dagger}}$${\displaystyle \psi(x)}$${\displaystyle \psi (y)^{\daga }}$

${\displaystyle \left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{ (3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.}$

Imponemos una relación anticonmutadora (en oposición a una relación de conmutación como la que utilizamos para el campo bosónico ) para que los operadores sean compatibles con las estadísticas de Fermi-Dirac . Al introducir las expansiones para y , se pueden calcular las relaciones anticonmutadoras para los coeficientes.${\displaystyle \psi(x)}$${\displaystyle \psi(y)}$

${\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf { q} )\delta ^{rs},\,}$

De manera análoga a los operadores de aniquilación y creación no relativistas y sus conmutadores, estas álgebras conducen a la interpretación física que crea un fermión de momento p y espín s, y crea un antifermión de momento q y espín r . Ahora se ve que el campo general es una suma ponderada (por el factor de energía) sobre todos los espines y momentos posibles para crear fermiones y antifermiones. Su campo conjugado, , es el opuesto, una suma ponderada sobre todos los espines y momentos posibles para aniquilar fermiones y antifermiones.${\displaystyle a_{\mathbf {p}}^{s\dagger}}$${\displaystyle b_{\mathbf {q}}^{r\dagger}}$${\displaystyle \psi(x)}$${\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

Una vez entendidos los modos de campo y definido el campo conjugado, es posible construir cantidades invariantes de Lorentz para campos fermiónicos. La más simple es la cantidad . Esto aclara el motivo de la elección de . Esto se debe a que la transformación general de Lorentz en no es unitaria, por lo que la cantidad no sería invariante bajo tales transformaciones, por lo que la inclusión de es para corregir esto. La otra posible cantidad invariante de Lorentz distinta de cero , hasta una conjugación general, que se puede construir a partir de los campos fermiónicos es .${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}$${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$${\estilo de visualización \psi}$${\displaystyle \psi ^{\daga }\psi }$${\displaystyle \gamma ^{0}\,}$${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _ {\mu }\psi }$

Dado que las combinaciones lineales de estas cantidades también son invariantes de Lorentz, esto conduce naturalmente a la densidad lagrangiana para el campo de Dirac por el requisito de que la ecuación de Euler-Lagrange del sistema recupere la ecuación de Dirac.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,}$

En este tipo de expresiones se suprimen los índices. Cuando se vuelve a introducir, se obtiene la expresión completa.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,}$

La densidad ( de energía ) hamiltoniana también se puede construir definiendo primero el momento canónicamente conjugado a , llamado${\displaystyle \psi(x)}$${\displaystyle \Pi(x):}$

${\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.}$

Con esa definición de , la densidad hamiltoniana es:${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}$

donde es el gradiente estándar de las coordenadas espaciales, y es un vector de las matrices espaciales . Es sorprendente que la densidad hamiltoniana no dependa de la derivada temporal de , directamente, pero la expresión es correcta.${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \psi }$

Dada la expresión para podemos construir el propagador de Feynman para el campo de fermiones:${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle }$

Definimos el producto ordenado en el tiempo para los fermiones con un signo menos debido a su naturaleza anticonmutativa.

${\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}$

Al introducir nuestra expansión de onda plana para el campo de fermiones en la ecuación anterior, obtenemos:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}$

donde hemos empleado la notación de barra de Feynman . Este resultado tiene sentido ya que el factor

${\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}}$

es simplemente el inverso del operador que actúa sobre en la ecuación de Dirac. Nótese que el propagador de Feynman para el campo de Klein–Gordon tiene esta misma propiedad. Dado que todos los observables razonables (como energía, carga, número de partículas, etc.) están construidos a partir de un número par de campos de fermiones, la relación de conmutación se desvanece entre dos observables cualesquiera en puntos del espacio-tiempo fuera del cono de luz. Como sabemos por la mecánica cuántica elemental, dos observables que conmutan simultáneamente se pueden medir simultáneamente. Por lo tanto, hemos implementado correctamente la invariancia de Lorentz para el campo de Dirac y hemos preservado la causalidad .${\displaystyle \psi (x)}$

También se pueden analizar teorías de campo más complicadas que involucran interacciones (como la teoría de Yukawa o la electrodinámica cuántica ) mediante diversos métodos perturbativos y no perturbativos.

Los campos de Dirac son un ingrediente importante del Modelo Estándar .

• Ecuación de Dirac
• Teorema de estadística de espín
• Espinor
• Campo compuesto
• Campo Auxiliar

• Edwards, D. (1981). "Los fundamentos matemáticos de la teoría cuántica de campos: fermiones, campos de calibración y supersimetría, parte I: teorías de campos reticulares". Int. J. Theor. Phys . 20 (7): 503–517. Bibcode :1981IJTP...20..503E. doi :10.1007/BF00669437. S2CID  120108219.
• Peskin, M. y Schroeder, D. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos , Westview Press. (Véase las páginas 35-63.)
• Srednicki, Mark (2007). Teoría cuántica de campos Archivado el 25 de julio de 2011 en Wayback Machine , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86449-7 . 
• Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos , (3 volúmenes) Cambridge University Press.