Transformada senoidal discreta

En matemáticas , la transformada seno discreta (DST) es una transformada relacionada con Fourier similar a la transformada discreta de Fourier (DFT), pero que utiliza una matriz puramente real . Es equivalente a las partes imaginarias de una DFT de aproximadamente el doble de longitud, que opera sobre datos reales con simetría impar (ya que la transformada de Fourier de una función real e impar es imaginaria e impar), donde en algunas variantes los datos de entrada y/o salida se desplazan media muestra.

La DST está relacionada con la transformada discreta del coseno (DCT), que es equivalente a una DFT de funciones reales y pares . Consulte el artículo DCT para una discusión general de cómo las condiciones de contorno relacionan los diversos tipos de DCT y DST. Generalmente, la DST se deriva de la DCT reemplazando la condición de Neumann en x = 0 con una condición de Dirichlet . ^[1] Tanto la DCT como la DST fueron descritas por Nasir Ahmed , T. Natarajan y KR Rao en 1974. ^{[2] [3]} La DST de tipo I (DST-I) fue descrita posteriormente por Anil K. Jain en 1976, y la DST de tipo II (DST-II) fue descrita posteriormente por HB Kekra y JK Solanka en 1978. ^[4]

Las DST se emplean ampliamente para resolver ecuaciones diferenciales parciales mediante métodos espectrales , donde las diferentes variantes de la DST corresponden a condiciones de contorno pares/impares ligeramente diferentes en los dos extremos de la matriz.

Al igual que cualquier transformada relacionada con Fourier, las transformadas seno discretas (DST) expresan una función o una señal en términos de una suma de senos con diferentes frecuencias y amplitudes . Al igual que la transformada de Fourier discreta (DFT), una DST opera sobre una función en un número finito de puntos de datos discretos. La distinción obvia entre una DST y una DFT es que la primera utiliza solo funciones seno , mientras que la segunda utiliza tanto cosenos como senos (en forma de exponenciales complejas ). Sin embargo, esta diferencia visible es meramente una consecuencia de una distinción más profunda: una DST implica diferentes condiciones de contorno que la DFT u otras transformadas relacionadas.

Las transformadas relacionadas con Fourier que operan sobre una función sobre un dominio finito , como la DFT o la DST o una serie de Fourier , pueden considerarse como la definición implícita de una extensión de esa función fuera del dominio. Es decir, una vez que escribe una función como una suma de senos, puede evaluar esa suma en cualquier , incluso para donde no se especificó el original. La DFT, al igual que la serie de Fourier, implica una extensión periódica de la función original. Una DST, al igual que una transformada sinusoidal , implica una extensión impar de la función original.${\estilo de visualización f(x)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización f(x)}$

Sin embargo, debido a que las DST operan en secuencias discretas finitas , surgen dos problemas que no se aplican para la transformada senoidal continua. Primero, uno tiene que especificar si la función es par o impar en los límites izquierdo y derecho del dominio (es decir, los límites min- n y max- n en las definiciones a continuación, respectivamente). Segundo, uno tiene que especificar alrededor de qué punto la función es par o impar. En particular, considere una secuencia ( a , b , c ) de tres puntos de datos igualmente espaciados, y digamos que especificamos un límite izquierdo impar . Hay dos posibilidades sensatas: o bien los datos son impares sobre el punto anterior a a , en cuyo caso la extensión impar es (− c ,− b ,− a ,0, a , b , c ), o bien los datos son impares sobre el punto a medio camino entre a y el punto anterior, en cuyo caso la extensión impar es (− c ,− b ,− a , a , b , c )

Estas opciones dan lugar a todas las variantes estándar de las transformadas de coseno discretas (DCT, por sus siglas en inglés) y también a las transformadas de coseno discretas (DCT, por sus siglas en inglés). Cada límite puede ser par o impar (2 opciones por límite) y puede ser simétrico respecto de un punto de datos o del punto intermedio entre dos puntos de datos (2 opciones por límite), lo que da un total de posibilidades. La mitad de estas posibilidades, aquellas en las que el límite izquierdo es impar, corresponden a los 8 tipos de DST; la otra mitad son los 8 tipos de DCT.${\displaystyle 2\veces 2\veces 2\veces 2=16}$

Estas diferentes condiciones de contorno afectan fuertemente las aplicaciones de la transformada y dan lugar a propiedades excepcionalmente útiles para los diversos tipos de DCT. De manera más directa, cuando se utilizan transformadas relacionadas con Fourier para resolver ecuaciones diferenciales parciales mediante métodos espectrales , las condiciones de contorno se especifican directamente como parte del problema que se está resolviendo.

Formalmente, la transformada seno discreta es una función lineal invertible F  : R ^N -> R ^N (donde R denota el conjunto de números reales ), o equivalentemente una matriz cuadrada N × N . Existen varias variantes de la DST con definiciones ligeramente modificadas. Los N números reales x ₀ ,..., x _{N − 1} se transforman en los N números reales X ₀ ,..., X _{N − 1} según una de las fórmulas:

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{k}&=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N+1}}(n+1)(k+1)\right]&k&=0,\dots ,N-1\\X_{k-1}&=\sum _{n=1}^{N}x_{n-1}\sin \left[{\frac {\pi nk}{N+1}}\right]&k&=1,\dots ,N\end{aligned}}}$

La matriz DST-I es ortogonal (hasta un factor de escala).

Una DST-I es exactamente equivalente a una DFT de una secuencia real que es impar alrededor de los puntos cero y medio, escalada por 1/2. Por ejemplo, una DST-I de N = 3 números reales ( a , b , c ) es exactamente equivalente a una DFT de ocho números reales (0, a , b , c ,0,− c ,− b ,− a ) (simetría impar), escalada por 1/2. (En contraste, las DST de tipo II a IV implican un desplazamiento de media muestra en la DFT equivalente). Esta es la razón del N  + 1 en el denominador de la función seno: la DFT equivalente tiene 2( N +1) puntos y tiene 2π/2( N +1) en su frecuencia sinusoide, por lo que la DST-I tiene π/( N +1) en su frecuencia.

Por lo tanto, la DST-I corresponde a las condiciones de contorno: x _n es impar alrededor de n  = −1 e impar alrededor de n = N ; de manera similar para X _k .

$${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin [{\frac {\pi }{N}} (n+{\frac {1}{2}})(k+1)]\quad \quad k=0,\puntos ,N-1}$$

Algunos autores multiplican además el término X _{N − 1} por 1/ √ 2 (véase más abajo el cambio correspondiente en DST-III). Esto hace que la matriz DST-II sea ortogonal (hasta un factor de escala), pero rompe la correspondencia directa con una DFT de probabilidad real impar de entrada semidesplazada.

La DST-II implica las condiciones de contorno: x _n es impar alrededor de n  = −1/2 e impar alrededor de n  =  N  − 1/2; X _k es impar alrededor de k  = −1 y par alrededor de k  =  N  − 1.

$${\displaystyle X_{k}={\frac {(-1)^{k}}{2}}x_{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin [{\frac {\pi }{N}}(n+1)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}$$

Algunos autores multiplican además el término x _{N − 1} por √ 2 (véase más arriba el cambio correspondiente en DST-II). Esto hace que la matriz DST-III sea ortogonal (hasta un factor de escala), pero rompe la correspondencia directa con una DFT de probabilidad real impar de salida semidesplazada.

La DST-III implica las condiciones de contorno: x _n es impar alrededor de n  = −1 y par alrededor de n  =  N  − 1; X _k es impar alrededor de k  = −1/2 e impar alrededor de k  =  N  − 1/2.

$${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin [{\frac {\pi }{N}} (n+{\frac {1}{2}}) (k+{\frac {1}{2}})] \quad \quad k=0,\dots ,N-1}$$

La matriz DST-IV es ortogonal (hasta un factor de escala).

La DST-IV implica las condiciones de contorno: x _n es impar alrededor de n  = −1/2 y par alrededor de n  =  N  − 1/2; de manera similar para X _k .

Los tipos I a IV de DST son equivalentes a las DFT impares reales de orden par. En principio, existen cuatro tipos adicionales de transformada seno discreta (Martucci, 1994), correspondientes a las DFT impares reales de orden lógicamente impar, que tienen factores de N +1/2 en los denominadores de los argumentos seno. Sin embargo, estas variantes parecen rara vez usarse en la práctica.

La inversa de DST-I es DST-I multiplicado por 2/( N  + 1). La inversa de DST-IV es DST-IV multiplicado por 2/ N. La inversa de DST-II es DST-III multiplicado por 2/ N (y viceversa).

En cuanto a la DFT , el factor de normalización que se encuentra delante de estas definiciones de transformadas es simplemente una convención y difiere entre tratamientos. Por ejemplo, algunos autores multiplican las transformadas por de modo que la inversa no requiere ningún factor multiplicativo adicional.${\textstyle {\sqrt {2/N}}}$

Aunque la aplicación directa de estas fórmulas requeriría operaciones O( N ² ), es posible calcular lo mismo con una complejidad de solo O( N log N ) factorizando el cálculo de manera similar a la transformada rápida de Fourier (FFT). (También se pueden calcular DST mediante FFT combinadas con pasos de pre y posprocesamiento O( N ).)

Se puede calcular una DST-III o DST-IV a partir de una DCT-III o DCT-IV (véase transformada discreta del coseno ), respectivamente, invirtiendo el orden de las entradas e invirtiendo el signo de todas las demás salidas, y viceversa para la DST-II a partir de la DCT-II. De esta manera, se deduce que los tipos II–IV de la DST requieren exactamente el mismo número de operaciones aritméticas (sumas y multiplicaciones) que los tipos DCT correspondientes.

Existe una familia de transformadas compuestas por funciones seno y seno hiperbólicas; estas transformadas se realizan con base en la vibración natural de placas cuadradas delgadas con diferentes condiciones de borde . ^[5]

• SA Martucci, "Convolución simétrica y transformadas discretas de seno y coseno", IEEE Trans. Signal Process. SP-42 , 1038–1051 (1994).
• Matteo Frigo y Steven G. Johnson : FFTW , página de inicio de FFTW. Biblioteca C gratuita ( GPL ) que puede calcular DST rápidos (tipos I–IV) en una o más dimensiones, de tamaño arbitrario. También M. Frigo y SG Johnson, "El diseño y la implementación de FFTW3", Actas del IEEE 93 (2), 216–231 (2005).
• Takuya Ooura: Paquete FFT de propósito general, paquete FFT 1-dim / 2-dim. Bibliotecas C y FORTRAN gratuitas para calcular DST rápidos en una, dos o tres dimensiones, potencias de 2 tamaños.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 12.4.1. Transformada sinusoidal", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-85-0-312-0 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 11-08-2011 , consultado el 13-08-2011.
• R. Chivukula e Y. Reznik, "Cálculo rápido de transformadas discretas de coseno y seno de tipos VI y VII", Proc. SPIE Vol. 8135, 2011.