Colector cerrado

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En matemáticas , una variedad cerrada es una variedad sin borde que es compacta . En comparación, una variedad abierta es una variedad sin borde que solo tiene componentes no compactos .

El único ejemplo unidimensional conexo es un círculo . La esfera , el toro y la botella de Klein son todas variedades bidimensionales cerradas. El espacio proyectivo real RP ⁿ es una variedad n-dimensional cerrada. El espacio proyectivo complejo CP ⁿ es una variedad 2n-dimensional cerrada. ^[1] Una línea no es cerrada porque no es compacta. Un disco cerrado es una variedad bidimensional compacta, pero no es cerrado porque tiene un borde.

Toda variedad cerrada es un retracto de vecindad euclidiana y, por lo tanto, tiene grupos de homología generados finitamente. ^[2]

Si es una n-variedad cerrada y conexa, el n-ésimo grupo de homología es o 0 dependiendo de si es orientable o no. ^[3] Además, el subgrupo de torsión del (n-1)-ésimo grupo de homología es 0 o dependiendo de si es orientable o no. Esto se deduce de una aplicación del teorema del coeficiente universal . ^[4]${\estilo de visualización M}$${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle H_{n-1}(M;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$${\estilo de visualización M}$

Sea un anillo conmutativo. Para -orientable con clase fundamental , la función definida por es un isomorfismo para todo k. Esta es la dualidad de Poincaré . ^[5] En particular, toda variedad cerrada es -orientable. Por lo tanto, siempre hay un isomorfismo .${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle [M]\en H_{n}(M;R)}$${\displaystyle D:H^{k}(M;R)\to H_{nk}(M;R)}$${\displaystyle D(\alpha )=[M]\cap \alpha }$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z}_{2})\cong H_{nk}(M;\mathbb {Z}_{2})}$

Para una variedad conexa, "abierta" es equivalente a "sin límite y no compacta", pero para una variedad desconectada, abierta es más fuerte. Por ejemplo, la unión disjunta de un círculo y una línea no es compacta ya que una línea no es compacta, pero no es una variedad abierta ya que el círculo (uno de sus componentes) es compacto.

La mayoría de los libros generalmente definen una variedad como un espacio que es, localmente, homeomorfo al espacio euclidiano (junto con algunas otras condiciones técnicas), por lo que, según esta definición, una variedad no incluye su borde cuando está incrustada en un espacio más grande. Sin embargo, esta definición no cubre algunos objetos básicos como un disco cerrado , por lo que los autores a veces definen una variedad con borde y dicen abusivamente variedad sin referencia al borde. Pero normalmente, una variedad compacta (compacta con respecto a su topología subyacente) puede usarse como sinónimo de variedad cerrada si se usa la definición habitual de variedad.

La noción de variedad cerrada no está relacionada con la de conjunto cerrado . Una línea es un subconjunto cerrado del plano y una variedad, pero no una variedad cerrada.

La noción de " universo cerrado " puede referirse a que el universo es una variedad cerrada, pero es más probable que se refiera a que el universo es una variedad de curvatura de Ricci positiva constante .

• Colector domesticado

• Michael Spivak : Introducción completa a la geometría diferencial. Volumen 1. Tercera edición con correcciones. Publish or Perish, Houston TX 2005, ISBN  0-914098-70-5 .
• Allen Hatcher , Topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.