Espacio uniforme

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En el campo matemático de la topología , un espacio uniforme es un conjunto con estructura adicional que se utiliza para definir propiedades uniformes , como completitud , continuidad uniforme y convergencia uniforme . Los espacios uniformes generalizan los espacios métricos y los grupos topológicos , pero el concepto está diseñado para formular los axiomas más débiles necesarios para la mayoría de las pruebas en el análisis .

Además de las propiedades usuales de una estructura topológica, en un espacio uniforme se formalizan las nociones de cercanía relativa y cercanía de puntos. En otras palabras, ideas como " x está más cerca de a que y de b " tienen sentido en espacios uniformes. En comparación, en un espacio topológico general, dados los conjuntos A,B, tiene sentido decir que un punto x está arbitrariamente cerca de A (es decir, en la clausura de A ), o quizás que A es un vecindario más pequeño de x que B , pero las nociones de cercanía de puntos y cercanía relativa no se describen bien mediante la estructura topológica por sí sola.

Existen tres definiciones equivalentes de espacio uniforme. Todas ellas consisten en un espacio dotado de una estructura uniforme.

Esta definición adapta la presentación de un espacio topológico en términos de sistemas de vecindad . Una colección no vacía de subconjuntos de es un${\estilo de visualización \Phi}$${\displaystyle X\veces X}$estructura uniforme (o unauniformidad ) si satisface los siguientes axiomas:

1. Si entonces ¿dónde está la diagonal?${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle \Delta \subseteq U,}$${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\en X\}}$${\displaystyle X\veces X.}$
2. Si y entonces${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X\times X}$${\displaystyle V\en \Phi .}$
3. Si y entonces${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle V\en \Phi}$${\displaystyle U\cap V\in \Phi .}$
4. Si entonces existe algo tal que , donde denota el compuesto de consigo mismo. El compuesto de dos subconjuntos y de se define por${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle V\en \Phi}$${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$${\estilo de visualización V\circ V}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle X\veces X}$$${\displaystyle V\circ U=\{(x,z)~:~{\text{ existe }}y\in X\,{\text{ tal que }}\,(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\,\}.}$$
5. Si entonces ¿dónde está la inversa de?${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle U^{-1}\en \Phi,}$${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\en U\}}$${\displaystyle U.}$

El no vacío de tomado junto con (2) y (3) establece que es un filtro en Si se omite la última propiedad, llamamos al espacio${\estilo de visualización \Phi}$${\estilo de visualización \Phi}$${\displaystyle X\veces X.}$cuasiuniforme . Un elementodese llama${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización \Phi}$cercanías oséquito de lafrancesaparaentorno.

Generalmente se escribe donde es la sección transversal vertical de y es la proyección canónica sobre la segunda coordenada. En un gráfico, un entorno típico se dibuja como una mancha que rodea la diagonal " "; todos los diferentes " forman las secciones transversales verticales. Si entonces se dice que y son${\displaystyle U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\nombre del operador {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),}$${\displaystyle U\cap (\{x\}\veces X)}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle \nombre del operador {pr} _{2}}$${\displaystyle y=x}$${\displaystyle U[x]}$${\displaystyle (x,y)\en U}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización U}$-close . De manera similar, si todos los pares de puntos en un subconjuntodeson-close (es decir, siestá contenido en),se llama-small. Un séquitoes${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$simétrico siprecisamente cuandoEl primer axioma establece que cada punto es-cercano a sí mismo para cada entornoEl tercer axioma garantiza que ser "a la vez-cercano y-cercano" es también una relación de cercanía en la uniformidad. El cuarto axioma establece que para cada entornohay un entornoque "no es más de la mitad de grande". Finalmente, el último axioma establece que la propiedad "cercanía" con respecto a una estructura uniforme es simétrica eny${\displaystyle (x,y)\in U}$${\displaystyle (y,x)\in U.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

Abase de séquitos osistema fundamental de entornos (ovecindades) de una uniformidades cualquier conjuntode entornos detal que cada entorno decontiene un conjunto perteneciente aAsí, por la propiedad 2 anterior, un sistemas fundamentales de entornoses suficiente para especificar la uniformidadde forma inequívoca:es el conjunto de subconjuntos deque contienen un conjunto deTodo espacio uniforme tiene un sistema fundamental de entornos que consiste en entornos simétricos.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

La intuición sobre uniformidades la proporciona el ejemplo de los espacios métricos : si es un espacio métrico, los conjuntos forman un sistema fundamental de entornos para la estructura uniforme estándar de Entonces y son -cercanos precisamente cuando la distancia entre y es como máximo${\displaystyle (X,d)}$$${\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0}$$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle U_{a}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a.}$

Una uniformidad es más fina que otra uniformidad en el mismo conjunto si en ese caso se dice que es más gruesa que${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Phi \supseteq \Psi ;}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Phi .}$

Los espacios uniformes pueden definirse de forma alternativa y equivalente utilizando sistemas de pseudometría , un enfoque que es particularmente útil en el análisis funcional (con pseudometría proporcionada por seminormas ). Más precisamente, sea una pseudometría en un conjunto Se puede demostrar que las imágenes inversas para forman un sistema fundamental de séquitos de una uniformidad. La uniformidad generada por es la uniformidad definida por la pseudometría única. Ciertos autores llaman espacios de calibración a los espacios cuya topología se define en términos de pseudometría .${\displaystyle f:X\times X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle U_{a}}$${\displaystyle f.}$

Para una familia de pseudometrías la estructura uniforme definida por la familia es el límite superior mínimo de las estructuras uniformes definidas por las pseudometrías individuales Un sistema fundamental de entornos de esta uniformidad lo proporciona el conjunto de intersecciones finitas de entornos de las uniformidades definidas por las pseudometrías individuales Si la familia de pseudometrías es finita , se puede ver que la misma estructura uniforme está definida por una única pseudometría, a saber, la envolvente superior de la familia.${\displaystyle \left(f_{i}\right)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f_{i}.}$${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle \sup _{}f_{i}}$

De un modo menos trivial, se puede demostrar que una estructura uniforme que admita un sistema fundamental numerable de séquitos (y, por tanto, en particular una uniformidad definida por una familia numerable de pseudometrías) puede definirse mediante una única pseudometría. Una consecuencia es que cualquier estructura uniforme puede definirse como la anterior mediante una familia (posiblemente incontable) de pseudometrías (véase Bourbaki: Topología general, capítulo IX, §1, n.º 4).

Un espacio uniforme es un conjunto dotado de una familia distinguida de recubrimientos denominados "recubrimientos uniformes", extraídos del conjunto de recubrimientos que forman un filtro cuando se ordenan por refinamiento en estrella. Se dice que un recubrimiento es un refinamiento en estrella de recubrimiento escrito si para cada hay un tal que si entonces Axiomáticamente, la condición de ser un filtro se reduce a:${\displaystyle (X,\Theta )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Theta ,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {Q} ,}$${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} ,}$${\displaystyle A\in \mathbf {P} ,}$${\displaystyle U\in \mathbf {Q} }$${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,}$${\displaystyle B\subseteq U.}$

1. ${\displaystyle \{X\}}$es una cubierta uniforme (es decir, ).${\displaystyle \{X\}\in \Theta }$
2. Si con una cubierta uniforme y una cubierta de entonces también es una cubierta uniforme.${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$
3. Si y son coberturas uniformes, entonces hay una cobertura uniforme que refina en estrella tanto a como a${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Dado un punto y una cobertura uniforme se puede considerar la unión de los miembros que lo contienen como un vecindario típico de "tamaño" y esta medida intuitiva se aplica uniformemente sobre el espacio.${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {P} ,}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {P} ,}$

Dado un espacio uniforme en el sentido de entorno, definamos una cobertura como uniforme si existe algún entorno tal que para cada existe un tal que Estas coberturas uniformes forman un espacio uniforme como en la segunda definición. A la inversa, dado un espacio uniforme en el sentido de cobertura uniforme, los superconjuntos de como rangos sobre las coberturas uniformes, son los entornos para un espacio uniforme como en la primera definición. Además, estas dos transformaciones son inversas entre sí. ^[1]${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle A\in \mathbf {P} }$${\displaystyle U[x]\subseteq A.}$${\displaystyle \bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},}$${\displaystyle \mathbf {P} }$

Todo espacio uniforme se convierte en un espacio topológico al definir un subconjunto como abierto si y solo si para cada existe un entorno tal que es un subconjunto de En esta topología, el filtro de vecindad de un punto es Esto se puede demostrar con un uso recursivo de la existencia de un entorno de "tamaño medio". En comparación con un espacio topológico general, la existencia de la estructura uniforme hace posible la comparación de tamaños de vecindades: y se consideran del "mismo tamaño".${\displaystyle X}$${\displaystyle O\subseteq X}$${\displaystyle x\in O}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V[x]}$${\displaystyle O.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{V[x]:V\in \Phi \}.}$${\displaystyle V[x]}$${\displaystyle V[y]}$

La topología definida por una estructura uniforme se dice que esinducida por la uniformidad . Una estructura uniforme en un espacio topológico escompatiblecon la topología si la topología definida por la estructura uniforme coincide con la topología original. En general, varias estructuras uniformes diferentes pueden ser compatibles con una topología dada en${\displaystyle X.}$

Un espacio topológico se llamauniformizable si existe una estructura uniforme compatible con la topología.

Todo espacio uniformizable es un espacio topológico completamente regular . Además, para un espacio uniformizable son equivalentes: ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es un espacio de Kolmogorov
• ${\displaystyle X}$es un espacio de Hausdorff
• ${\displaystyle X}$es un espacio de Tichonoff
• Para cualquier estructura uniforme compatible, la intersección de todos los entornos es la diagonal.${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}.}$

Algunos autores (por ejemplo Engelking) añaden esta última condición directamente en la definición de un espacio uniformizable.

La topología de un espacio uniformizable es siempre una topología simétrica ; es decir, el espacio es un R ₀ -espacio .

Por el contrario, cada espacio completamente regular es uniformizable. Una uniformidad compatible con la topología de un espacio completamente regular puede definirse como la uniformidad más burda que hace que todas las funciones continuas de valor real en sean uniformemente continuas. Un sistema fundamental de entornos para esta uniformidad lo proporcionan todas las intersecciones finitas de conjuntos donde es una función continua de valor real en y es un entorno del espacio uniforme. Esta uniformidad define una topología, que es claramente más burda que la topología original de que también es más fina que la topología original (por lo tanto coincide con ella) es una consecuencia simple de la regularidad completa: para cualquier y un entorno de hay una función continua de valor real con e igual a 1 en el complemento de${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {R} .}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle V}$

En particular, un espacio de Hausdorff compacto es uniformizable. De hecho, para un espacio de Hausdorff compacto el conjunto de todos los entornos de la diagonal forma la única uniformidad compatible con la topología.${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X}$

Un espacio uniforme de Hausdorff es metrizable si su uniformidad puede definirse mediante una familia numerable de pseudométricas. De hecho, como se ha comentado anteriormente, dicha uniformidad puede definirse mediante una única pseudométrica, que es necesariamente una métrica si el espacio es de Hausdorff. En particular, si la topología de un espacio vectorial es de Hausdorff y se puede definir mediante una familia numerable de seminormas , es metrizable.

Similares a las funciones continuas entre espacios topológicos , que conservan propiedades topológicas , son las funciones uniformemente continuas entre espacios uniformes, que conservan propiedades uniformes.

Una función uniformemente continua se define como aquella en la que las imágenes inversas de los entornos son a su vez entornos, o equivalentemente, una en la que las imágenes inversas de las cubiertas uniformes son a su vez cubiertas uniformes. Explícitamente, una función entre espacios uniformes se denomina${\displaystyle f:X\to Y}$uniformemente continua si para cada entornoenexiste un entornoental que sientonceso en otras palabras, siempre quees un entorno enentonceses un entorno en, dondese define por${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)\in U}$${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\times f:X\times X\to Y\times Y}$${\displaystyle (f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).}$

Todas las funciones uniformemente continuas son continuas con respecto a las topologías inducidas.

Los espacios uniformes con funciones uniformes forman una categoría . Un isomorfismo entre espacios uniformes se denominaisomorfismo uniforme ; explícitamente, es unabiyeccióncuyainversatambién es uniformemente continua.La incrustación uniforme es un mapa inyectivo uniformemente continuoentre espacios uniformes cuyo inversotambién es uniformemente continuo, donde la imagentiene la uniformidad del subespacio heredada de${\displaystyle i:X\to Y}$${\displaystyle i^{-1}:i(X)\to X}$${\displaystyle i(X)}$${\displaystyle Y.}$

Generalizando la noción de espacio métrico completo , también se puede definir completitud para espacios uniformes. En lugar de trabajar con sucesiones de Cauchy , se trabaja con filtros de Cauchy (o redes de Cauchy ).

AFiltro de Cauchy (respectivamente, unUn prefiltro de Cauchy )en un espacio uniformees unfiltro(respectivamente, unprefiltro)tal que para cada entornoexisteconEn otras palabras, un filtro es de Cauchy si contiene conjuntos "arbitrariamente pequeños". De las definiciones se deduce que cada filtro que converge (con respecto a la topología definida por la estructura uniforme) es un filtro de Cauchy.${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle A\in F}$${\displaystyle A\times A\subseteq U.}$Un filtro de Cauchy mínimo es un filtro de Cauchy que no contiene ningún filtro de Cauchy más pequeño (es decir, más grueso) (excepto él mismo). Se puede demostrar que cada filtro de Cauchy contiene unfiltro de Cauchy mínimo. El filtro de vecindad de cada punto (el filtro que consiste en todas las vecindades del punto) es un filtro de Cauchy mínimo.

Por el contrario, un espacio uniforme se llamaCompleto si todo filtro de Cauchy converge. Todo espacio de Hausdorff compacto es un espacio uniforme completo con respecto a la uniformidad única compatible con la topología.

Los espacios uniformes completos disfrutan de la siguiente propiedad importante: si es una función uniformemente continua de un subconjunto denso de un espacio uniforme en un espacio uniforme completo , entonces puede extenderse (de manera única) en una función uniformemente continua en todos${\displaystyle f:A\to Y}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$

Un espacio topológico que puede convertirse en un espacio uniforme completo, cuya uniformidad induce la topología original, se denomina espacio completamente uniformizable .

ALa compleción de un espacio uniforme es un parque consiste en un espacio uniforme completoy una incrustación uniformecuya imagenes unsubconjunto densode${\displaystyle X}$${\displaystyle (i,C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle i:X\to C}$${\displaystyle i(C)}$${\displaystyle C.}$

Al igual que con los espacios métricos, cada espacio uniforme tiene una${\displaystyle X}$Completitud de Hausdorff : es decir, existe un espacio uniforme de Hausdorff completoy una función uniformemente continua(sies un espacio uniforme de Hausdorff entonceses unaincrustación topológica) con la siguiente propiedad:${\displaystyle Y}$${\displaystyle i:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$

para cualquier aplicación uniformemente continua de en un espacio uniforme de Hausdorff completo existe una única aplicación uniformemente continua tal que${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z,}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle f=gi.}$

La completitud de Hausdorff es única hasta el isomorfismo. Como conjunto, se puede tomar que consta de los filtros de Cauchy mínimos en Como el filtro de vecindad de cada punto en es un filtro de Cauchy mínimo, la función se puede definir mediante la aplicación a La función así definida no es en general inyectiva; de hecho, el gráfico de la relación de equivalencia es la intersección de todos los entornos de y, por lo tanto, es inyectiva precisamente cuando es Hausdorff.${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbf {B} (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {B} (x).}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i(x)=i(x')}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$

La estructura uniforme se define de la siguiente manera: para cada${\displaystyle Y}$séquito simétrico (es decir, tal queimplica),sea el conjunto de todos los paresde filtros de Cauchy mínimosque tienen en común al menos unconjunto -pequeñoSe puede demostrar quelos conjuntosestá equipado con la estructura uniforme así definida.${\displaystyle V}$${\displaystyle (x,y)\in V}$${\displaystyle (y,x)\in V}$${\displaystyle C(V)}$${\displaystyle (F,G)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle C(V)}$${\displaystyle Y}$

El conjunto es entonces un subconjunto denso de Si es Hausdorff, entonces es un isomorfismo sobre y por lo tanto puede identificarse con un subconjunto denso de su completitud. Además, es siempre Hausdorff; se llama${\displaystyle i(X)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i(X),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i(X)}$Espacio uniforme de Hausdorff asociado con ${\displaystyle X.}$ Sidenota la relación de equivalenciaentonces el espacio cocientees homeomorfo a${\displaystyle R}$${\displaystyle i(x)=i(x'),}$${\displaystyle X/R}$${\displaystyle i(X).}$

1. Todo espacio métrico puede considerarse un espacio uniforme. En efecto, puesto que una métrica es a fortiori una pseudométrica, la definición pseudométrica proporciona una estructura uniforme. Un sistema fundamental de entornos de esta uniformidad lo proporcionan los conjuntos${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$

   ${\displaystyle \qquad U_{a}\triangleq d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\}.}$

   Esta estructura uniforme genera la topología de espacio métrico habitual en Sin embargo, diferentes espacios métricos pueden tener la misma estructura uniforme (un ejemplo trivial lo proporciona un múltiplo constante de una métrica). Esta estructura uniforme produce también definiciones equivalentes de continuidad y completitud uniformes para espacios métricos .${\displaystyle M}$${\displaystyle M.}$
2. Utilizando métricas, se puede construir un ejemplo simple de estructuras uniformes distintas con topologías coincidentes. Por ejemplo, sea la métrica usual en y sea Entonces ambas métricas inducen la topología usual en pero las estructuras uniformes son distintas, ya que es un séquito en la estructura uniforme para pero no para De manera informal, este ejemplo puede verse como si tomara la uniformidad usual y la distorsionara a través de la acción de una función continua pero no uniformemente continua.${\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \{(x,y):|x-y|<1\}}$${\displaystyle d_{1}(x,y)}$${\displaystyle d_{2}(x,y).}$
3. Todo grupo topológico (en particular, todo espacio vectorial topológico ) se convierte en un espacio uniforme si definimos un subconjunto como un entorno si y solo si contiene el conjunto para algún entorno del elemento identidad de Esta estructura uniforme en se llama uniformidad derecha en porque para cada la multiplicación derecha es uniformemente continua con respecto a esta estructura uniforme. También se puede definir una uniformidad izquierda en los dos no necesitan coincidir, pero ambos generan la topología dada en${\displaystyle G}$${\displaystyle V\subseteq G\times G}$${\displaystyle \{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle a\in G,}$${\displaystyle x\to x\cdot a}$${\displaystyle G;}$${\displaystyle G.}$
4. Para cada grupo topológico y su subgrupo el conjunto de clases laterales izquierdas es un espacio uniforme respecto de la uniformidad definida como sigue. Los conjuntos donde recorre los vecindarios de la identidad en forman un sistema fundamental de séquitos para la uniformidad La topología inducida correspondiente en es igual a la topología cociente definida por la función natural${\displaystyle G}$${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle G/H}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},}$${\displaystyle U}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle \Phi .}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle g\to G/H.}$
5. La topología trivial pertenece a un espacio uniforme en el que todo el producto cartesiano es el único entorno .${\displaystyle X\times X}$

Antes de que André Weil diera la primera definición explícita de una estructura uniforme en 1937, los conceptos uniformes, como la completitud, se discutían utilizando espacios métricos . Nicolas Bourbaki proporcionó la definición de estructura uniforme en términos de séquitos en el libro Topologie Générale y John Tukey dio la definición de cubierta uniforme. Weil también caracterizó los espacios uniformes en términos de una familia de pseudometrías.

• Estructura gruesa  : concepto en geometría y topología
• Espacio métrico completo  – Geometría métrica
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán a un punto
• Espacio completamente uniformizable
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Estructura uniforme inicial  : topología más burda que hace que ciertas funciones sean continuasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio de proximidad  : Estructura que describe una noción de "cercanía" entre subconjuntos
• Espacio (matemáticas)  : conjunto matemático con cierta estructura añadida
• Topología de convergencia uniforme
• Continuidad uniforme  – Restricción uniforme del cambio de funciones
• Isomorfismo uniforme  – Homeomorfismo uniformemente continuo
• Propiedad uniforme  – Objeto de estudio en la categoría de espacios topológicos uniformes
• Espacio uniformemente conexo  – Tipo de espacio uniforme

• Nicolas Bourbaki , Topología general ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X (cap. 1–4), ISBN 0-387-19372-3 (cap. 5–10): el Capítulo II es una referencia completa de estructuras uniformes, el Capítulo IX § 1 cubre la pseudometría y el Capítulo III § 3 cubre las estructuras uniformes en grupos topológicos.  
• Ryszard Engelking , Topología general. Edición revisada y completa , Berlín 1989.
• John R. Isbell , Espacios uniformes ISBN 0-8218-1512-1 
• IM James , Introducción a los espacios uniformes ISBN 0-521-38620-9 
• IM James , Espacios topológicos y uniformes ISBN 0-387-96466-5 
• John Tukey , Convergencia y uniformidad en topología ; ISBN 0-691-09568-X 
• André Weil , Sur les espaces à Structure uniforme et sur la topologie générale , Act. Ciencia. Indiana 551 , París, 1937