Teorema de la utilidad de Von Neumann-Morgenstern

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En la teoría de la decisión , el teorema de utilidad de von Neumann-Morgenstern ( VNM ) demuestra que la elección racional en condiciones de incertidumbre implica tomar decisiones que toman la forma de maximizar el valor esperado de alguna función de utilidad cardinal . Esta función se conoce como la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern. El teorema constituye la base de la teoría de la utilidad esperada .

En 1947, John von Neumann y Oskar Morgenstern demostraron que cualquier individuo cuyas preferencias satisficieran cuatro axiomas tiene una función de utilidad , donde las preferencias de dicho individuo pueden representarse en una escala de intervalo y el individuo siempre preferirá acciones que maximicen la utilidad esperada. ^[1] Es decir, demostraron que un agente es (VNM-)racional si y solo si existe una función de valor real u definida por posibles resultados tales que cada preferencia del agente se caracteriza por maximizar el valor esperado de u , que luego puede definirse como la utilidad VNM del agente (es única hasta transformaciones afines, es decir, agregar una constante y multiplicar por un escalar positivo). No se afirma que el agente tenga un "deseo consciente" de maximizar u , solo que u existe.

La utilidad VNM es una utilidad de decisión en el sentido de que se utiliza para describir decisiones . Está relacionada con la utilidad del utilitarismo de Bentham , pero no es necesariamente equivalente a ella . ^[2]

En el teorema, un agente individual se enfrenta a opciones llamadas loterías . Dados algunos resultados mutuamente excluyentes , una lotería es un escenario en el que cada resultado ocurrirá con una probabilidad dada , y todas las probabilidades suman uno. Por ejemplo, para dos resultados A y B ,

${\displaystyle L=0.25A+0.75B}$

denota un escenario donde P ( A ) = 25% es la probabilidad de que A ocurra y P ( B ) = 75% (y exactamente uno de ellos ocurrirá). De manera más general, para una lotería con muchos resultados posibles A _i , escribimos:

${\displaystyle L=\sum p_{i}A_{i},}$

con la suma de los s igual a 1.${\displaystyle p_{i}}$

Los resultados de una lotería pueden ser en sí mismos loterías entre otros resultados, y la expresión expandida se considera una lotería equivalente: 0,5(0,5 A +  0,5 B ) + 0,5 C = 0,25 A  + 0,25 B  + 0,50 C.

Si se prefiere la lotería M a la lotería L , escribimos , o equivalentemente, . Si el agente es indiferente entre L y  M , escribimos la relación de indiferencia ^[3] Si se prefiere M a L o se lo ve con indiferencia , escribimos${\displaystyle M\succ L}$${\displaystyle L\prec M}$ ${\displaystyle L\sim M.}$${\displaystyle L\preceq M.}$

Los cuatro axiomas de la racionalidad VNM son completitud , transitividad , continuidad e independencia . Estos axiomas, además de la continuidad, suelen justificarse utilizando los teoremas del libro holandés (mientras que la continuidad se utiliza para dejar de lado las utilidades lexicográficas o infinitesimales ).

La completitud supone que un individuo tiene preferencias bien definidas:

Axioma 1 (Completitud) Para cualquier lotería y , o .${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \,L\succeq M}$${\displaystyle \,M\succeq L}$

(el individuo debe expresar alguna preferencia o indiferencia ^[4] ). Nótese que esto implica reflexividad .

La transitividad supone que las preferencias son consistentes entre tres opciones cualesquiera:

Axioma 2 (Transitividad) Si y , entonces .${\displaystyle \,L\succeq M}$${\displaystyle \,M\succeq N}$${\displaystyle \,L\succeq N}$

La continuidad supone que existe un "punto de inflexión" entre ser mejor y peor que una opción intermedia dada:

Axioma 3 (Continuidad): Si , entonces existe una probabilidad tal que${\displaystyle \,L\preceq M\preceq N}$${\displaystyle \,p\in [0,1]}$

${\displaystyle \,pL+(1-p)N\,\sim \,M}$

donde la notación del lado izquierdo se refiere a una situación en la que L se recibe con probabilidad p y N se recibe con probabilidad (1– p ​​).

En lugar de la continuidad, se puede suponer un axioma alternativo que no implica una igualdad precisa, llamado propiedad de Arquímedes . ^[3] Dice que cualquier separación en preferencia se puede mantener bajo una desviación suficientemente pequeña en las probabilidades:

Axioma 3′ (propiedad de Arquímedes): Si , entonces existe una probabilidad tal que${\displaystyle \,L\prec M\prec N}$${\displaystyle \,\varepsilon \in (0,1)}$

${\displaystyle \,(1-\varepsilon )L+\varepsilon N\,\prec \,M\,\prec \,\varepsilon L+(1-\varepsilon )N.}$

Sólo es necesario suponer uno de (3) o (3′), y el otro quedará implícito en el teorema.

La independencia supone que una preferencia se mantiene independientemente de la probabilidad de otro resultado.

Axioma 4 (Independencia): Para cualquier y (con la parte "irrelevante" de la lotería subrayada):${\displaystyle N}$${\displaystyle p\in [0,1)}$

${\displaystyle L\preceq N\quad {\text{if and only if}}\quad \,(1-p)\,L+{\underline {pM}}\preceq (1-p)\,N+{\underline {pM}}}$

En otras palabras, las probabilidades de se cancelan y no afectan nuestra decisión, porque la probabilidad de es la misma en ambas loterías.${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Nótese que la dirección "solo si" es necesaria para que el teorema funcione. Sin ella, tenemos este contraejemplo: solo hay dos resultados , y el agente es indiferente a , y estrictamente prefiere todos ellos sobre . Con la dirección "solo si", podemos argumentar que implica , excluyendo así este contraejemplo.${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \{pA+(1-p)B:p\in [0,1)\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}A+{\frac {1}{2}}B\succeq {\frac {1}{2}}B+{\frac {1}{2}}B}$${\displaystyle A\succeq B}$

El axioma de independencia implica el axioma sobre reducción de loterías compuestas: ^[5]

Axioma 4′ (Reducción de loterías compuestas): Para cualquier lotería y cualquier ,${\displaystyle L,L',N,N'}$${\displaystyle p,q\in [0,1]}$

${\displaystyle {\text{if}}\qquad L\sim qL'+(1-q)N',}$

${\displaystyle {\text{then}}\quad pL+(1-p)N\sim pqL'+p(1-q)N'+(1-p)N.}$

Para ver cómo el Axioma 4 implica el Axioma 4', establezca la expresión en el Axioma 4 y desarrolle.${\displaystyle M=qL'+(1-q)N'}$

Para cualquier agente racional VNM (es decir, que satisfaga los axiomas 1-4), existe una función u que asigna a cada resultado A un número real u(A) tal que para dos loterías cualesquiera,

${\displaystyle L\prec M\qquad \mathrm {if\,and\,only\,if} \qquad E(u(L))<E(u(M)),}$

donde E(u(L)) , o más brevemente Eu ( L ) se da por

${\displaystyle Eu(p_{1}A_{1}+\cdots +p_{n}A_{n})=p_{1}u(A_{1})+\cdots +p_{n}u(A_{n}).}$

Como tal, u puede determinarse de forma única (hasta sumar una constante y multiplicar por un escalar positivo) por las preferencias entre loterías simples , es decir, aquellas de la forma pA  + (1 −  p ) B que tienen solo dos resultados. Por el contrario, cualquier agente que actúe para maximizar la expectativa de una función u obedecerá los axiomas 1–4. Dicha función se denomina utilidad de von Neumann–Morgenstern (VNM) del agente .

La prueba es constructiva: muestra cómo se puede construir la función deseada. Aquí describimos el proceso de construcción para el caso en el que el número de resultados seguros es finito. ^{[6] : 132–134}${\displaystyle u}$

Supongamos que hay n resultados seguros, . Nótese que cada resultado seguro puede considerarse como una lotería: es una lotería degenerada en la que el resultado se selecciona con una probabilidad de 1. Por lo tanto, mediante los axiomas de completitud y transitividad, es posible ordenar los resultados del peor al mejor:${\displaystyle A_{1}\dots A_{n}}$

${\displaystyle A_{1}\preceq A_{2}\preceq \cdots \preceq A_{n}}$

Suponemos que al menos una de las desigualdades es estricta (de lo contrario, la función de utilidad es trivial, una constante). Por lo tanto , utilizamos estos dos resultados extremos (el peor y el mejor) como unidad de escala de nuestra función de utilidad y definimos:${\displaystyle A_{1}\prec A_{n}}$

${\displaystyle u(A_{1})=0}$y${\displaystyle u(A_{n})=1}$

Para cada probabilidad , defina una lotería que seleccione el mejor resultado con probabilidad y el peor resultado en caso contrario:${\displaystyle p\in [0,1]}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle L(p)=p\cdot A_{n}+(1-p)\cdot A_{1}}$

Tenga en cuenta que y .${\displaystyle L(0)\sim A_{1}}$${\displaystyle L(1)\sim A_{n}}$

Según el axioma de continuidad, para cada resultado seguro , existe una probabilidad tal que:${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle L(q_{i})\sim A_{i}}$

y

${\displaystyle 0=q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq q_{n}=1}$

Para cada , la función de utilidad para el resultado se define como${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle u(A_{i})=q_{i}}$

Entonces la utilidad de cada lotería es la expectativa de u :${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$

${\displaystyle u(M)=u\left(\sum _{i}p_{i}A_{i}\right)=\sum _{i}p_{i}u(A_{i})=\sum _{i}p_{i}q_{i}}$

Para ver por qué tiene sentido esta función de utilidad, consideremos una lotería que selecciona un resultado con probabilidad . Pero, según nuestro supuesto, al que toma la decisión le es indiferente entre el resultado seguro y la lotería . Por lo tanto, según el axioma de reducción, le es indiferente entre la lotería y la lotería siguiente:${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle M'=\sum _{i}p_{i}[q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}]}$

${\displaystyle M'=\left(\sum _{i}p_{i}q_{i}\right)\cdot A_{n}+\left(\sum _{i}p_{i}(1-q_{i})\right)\cdot A_{1}}$

${\displaystyle M'=u(M)\cdot A_{n}+(1-u(M))\cdot A_{1}}$

La lotería es, en efecto, una lotería en la que el mejor resultado se gana con probabilidad , y el peor resultado en caso contrario.${\displaystyle M'}$${\displaystyle u(M)}$

Por lo tanto, si un tomador de decisiones racional preferiría la lotería a la lotería , porque le da una mayor probabilidad de ganar el mejor resultado.${\displaystyle u(M)>u(L)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$

Por eso:

${\displaystyle L\prec M\;}$Si y sólo si${\displaystyle E(u(L))<E(u(M)).}$

Von Neumann y Morgenstern anticiparon la sorpresa ante la solidez de su conclusión, pero según ellos, la razón por la que su función de utilidad funciona es que está construida precisamente para cumplir la función de algo cuya expectativa se maximiza:

"Muchos economistas pensarán que estamos dando demasiadas suposiciones... ¿No hemos demostrado demasiado?... Hasta donde podemos ver, nuestros postulados [son] plausibles... Hemos definido prácticamente la utilidad numérica como aquello para lo cual es legítimo el cálculo de expectativas matemáticas". – VNM 1953, § 3.1.1 p.16 y § 3.7.1 p. 28 ^[1]

Así, el contenido del teorema es que la construcción de u es posible, y afirman poco sobre su naturaleza.

A menudo, cuando una persona se enfrenta a una situación de riesgo real con dinero, no actúa para maximizar el valor esperado de sus activos en dólares. Por ejemplo, una persona que solo tiene $1000 en ahorros puede ser reacia a arriesgarlo todo por una probabilidad del 20% de ganar $10,000, aunque

${\displaystyle 20\%(\$10\,000)+80\%(\$0)=\$2000>100\%(\$1000)}$

Sin embargo, si la persona es racional VNM, tales hechos se tienen en cuenta automáticamente en su función de utilidad u . En este ejemplo, podríamos concluir que

${\displaystyle 20\%u(\$10\,000)+80\%u(\$0)<u(\$1000)}$

donde las cantidades en dólares aquí representan realmente resultados (cf. " valor "), las tres posibles situaciones a las que podría enfrentarse el individuo. En particular, u puede exhibir propiedades como u ($1)+ u ($1) ≠ u ($2) sin contradecir en absoluto la racionalidad VNM. Esto conduce a una teoría cuantitativa de la aversión al riesgo monetario.

En 1738, Daniel Bernoulli publicó un tratado ^[7] en el que postula que el comportamiento racional puede describirse como la maximización de la expectativa de una función u , que en particular no necesita tener un valor monetario, lo que explica la aversión al riesgo. Esta es la hipótesis de utilidad esperada . Como se dijo, la hipótesis puede parecer una afirmación atrevida. El objetivo del teorema de utilidad esperada es proporcionar "condiciones modestas" (es decir, axiomas) que describan cuándo se cumple la hipótesis de utilidad esperada, que se puede evaluar de manera directa e intuitiva:

"Los axiomas no deben ser demasiado numerosos, su sistema debe ser lo más simple y transparente posible, y cada axioma debe tener un significado intuitivo inmediato por el cual se pueda juzgar directamente su adecuación. En una situación como la nuestra, este último requisito es particularmente vital, a pesar de su vaguedad: queremos hacer que un concepto intuitivo sea susceptible de tratamiento matemático y ver lo más claramente posible qué hipótesis esto requiere." – VNM 1953 § 3.5.2, p. 25 ^[1]

Por lo tanto, las afirmaciones de que la hipótesis de utilidad esperada no caracteriza la racionalidad deben rechazar uno de los axiomas de la utilidad esperada. Han surgido diversas teorías generalizadas de utilidad esperada , la mayoría de las cuales eliminan o flexibilizan el axioma de independencia.

Como el teorema no presupone nada sobre la naturaleza de los posibles resultados de las apuestas, podrían ser eventos moralmente significativos, por ejemplo, que involucren la vida, la muerte, la enfermedad o la salud de otros. Un agente racional de von Neumann-Morgenstern es capaz de actuar con gran preocupación por tales eventos, sacrificando gran parte de su riqueza o bienestar personal, y todas estas acciones serán un factor en la construcción/definición de la función de utilidad VNM del agente. En otras palabras, tanto lo que se percibe naturalmente como "ganancia personal" como lo que se percibe naturalmente como "altruismo" están implícitamente equilibrados en la función de utilidad VNM de un individuo racional VNM. Por lo tanto, la gama completa de comportamientos centrados en el agente y neutrales al agente son posibles con varias funciones de utilidad VNM ^{[ aclaración necesaria ]} .

Si la utilidad de es , un agente racional de von Neumann-Morgenstern debe ser indiferente entre y . Por lo tanto, un agente racional de von Neumann-Morgenstern centrado en el agente no puede favorecer distribuciones de utilidad más equitativas o "justas" entre sus posibles yoes futuros.${\displaystyle N}$${\displaystyle pM}$${\displaystyle 1N}$${\displaystyle pM+(1-p)0}$

Algunas teorías morales utilitaristas se ocupan de cantidades llamadas "utilidad total" y "utilidad media" de los colectivos, y caracterizan la moralidad en términos de favorecer la utilidad o felicidad de los demás sin tener en cuenta la propia. Estas nociones pueden estar relacionadas con la utilidad VNM, pero son distintas de ella:

• 1) La utilidad VNM es una utilidad de decisión : ^[2] es aquello según lo cual uno decide, y por lo tanto, por definición, no puede ser algo que uno desestime.
• 2) La utilidad VNM no es canónicamente aditiva entre múltiples individuos (ver Limitaciones), por lo que la "utilidad VNM total" y la "utilidad VNM promedio" no son inmediatamente significativas (se requiere algún tipo de suposición de normalización).

El término E-utilidad para "utilidad de la experiencia" ha sido acuñado ^[2] para referirse a los tipos de utilidad "hedonista" como la del principio de la mayor felicidad de Bentham . Dado que la moralidad afecta las decisiones, la moral de un agente racional VNM afectará la definición de su propia función de utilidad (véase más arriba). Por lo tanto, la moralidad de un agente racional VNM puede caracterizarse por la correlación de la utilidad VNM del agente con la utilidad VNM, la E-utilidad o la "felicidad" de los demás, entre otros medios, pero no por la indiferencia hacia la propia utilidad VNM del agente, una contradicción en términos.

Dado que si L y M son loterías, entonces pL  + (1 −  p ) M simplemente se "expande" y se considera una lotería en sí misma, el formalismo VNM ignora lo que puede experimentarse como "juego anidado". Esto está relacionado con el problema de Ellsberg , donde las personas eligen evitar la percepción de riesgos sobre los riesgos . Von Neumann y Morgenstern reconocieron esta limitación:

"...conceptos como la utilidad específica del juego no pueden formularse sin contradicciones en este nivel. Puede parecer una afirmación paradójica, pero cualquiera que haya intentado seriamente axiomatizar ese concepto elusivo probablemente estará de acuerdo con ella". – VNM 1953 § 3.7.1, p. 28. ^[1 ]

Dado que para dos agentes VNM cualesquiera X e Y , sus funciones de utilidad VNM u _X y u _Y solo se determinan hasta constantes aditivas y escalares positivos multiplicativos, el teorema no proporciona ninguna forma canónica de comparar las dos. Por lo tanto, expresiones como u _X ( L ) + u _Y ( L ) y u _X ( L ) −  u _Y ( L ) no están definidas canónicamente, ni tampoco comparaciones como u _X ( L ) <  u _Y ( L ) son canónicamente verdaderas o falsas. En particular, la "utilidad VNM total" y la "utilidad VNM promedio" mencionadas anteriormente de una población no son canónicamente significativas sin supuestos de normalización.

Se ha demostrado que la hipótesis de utilidad esperada tiene una precisión predictiva imperfecta en un conjunto de experimentos empíricos de laboratorio, como la paradoja de Allais .