Variedad algebraica

Las variedades algebraicas son los objetos centrales de estudio en la geometría algebraica , un subcampo de las matemáticas . Clásicamente, una variedad algebraica se define como el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas sobre los números reales o complejos . Las definiciones modernas generalizan este concepto de varias maneras diferentes, al tiempo que intentan preservar la intuición geométrica detrás de la definición original. ^{[1] : 58}

Las convenciones en cuanto a la definición de una variedad algebraica difieren ligeramente. Por ejemplo, algunas definiciones requieren que una variedad algebraica sea irreducible , lo que significa que no es la unión de dos conjuntos más pequeños que están cerrados en la topología de Zariski . Bajo esta definición, las variedades algebraicas no irreducibles se denominan conjuntos algebraicos . Otras convenciones no requieren irreducibilidad.

El teorema fundamental del álgebra establece un vínculo entre el álgebra y la geometría al mostrar que un polinomio mónico (un objeto algebraico) en una variable con coeficientes de números complejos está determinado por el conjunto de sus raíces (un objeto geométrico) en el plano complejo . Generalizando este resultado, el Nullstellensatz de Hilbert proporciona una correspondencia fundamental entre los ideales de los anillos polinómicos y los conjuntos algebraicos. Utilizando el Nullstellensatz y resultados relacionados, los matemáticos han establecido una fuerte correspondencia entre las preguntas sobre conjuntos algebraicos y las preguntas de la teoría de anillos . Esta correspondencia es una característica definitoria de la geometría algebraica.

Muchas variedades algebraicas son variedades diferenciables , pero una variedad algebraica puede tener puntos singulares mientras que una variedad diferenciable no. Las variedades algebraicas se pueden caracterizar por su dimensión . Las variedades algebraicas de dimensión uno se denominan curvas algebraicas y las variedades algebraicas de dimensión dos se denominan superficies algebraicas .

En el contexto de la teoría de esquemas moderna , una variedad algebraica sobre un cuerpo es un esquema integral (irreducible y reducido) sobre ese cuerpo cuyo morfismo estructural está separado y es de tipo finito.

Una variedad afín sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es conceptualmente el tipo de variedad más fácil de definir, lo que se hará en esta sección. A continuación, se pueden definir variedades proyectivas y cuasi-proyectivas de una manera similar. La definición más general de una variedad se obtiene juntando variedades cuasi-proyectivas más pequeñas. No es obvio que se puedan construir ejemplos genuinamente nuevos de variedades de esta manera, pero Nagata dio un ejemplo de una variedad nueva de ese tipo en la década de 1950.

Para un cuerpo algebraicamente cerrado K y un número natural n , sea A ⁿ un n -espacio afín sobre K , identificado a través de la elección de un sistema de coordenadas afín . Los polinomios f en el anillo K [ x ₁ , ..., x _n ] pueden verse como funciones de valor K en A ⁿ evaluando f en los puntos en A ⁿ , es decir, eligiendo valores en K para cada x _i . Para cada conjunto S de polinomios en K [ x ₁ , ..., x _n ] , defina el lugar geométrico cero Z ( S ) como el conjunto de puntos en A ⁿ en los que las funciones en S se anulan simultáneamente, es decir$Estilo de visualización K^{n}}$    

${\displaystyle Z(S)=\left\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ para todos }}f\in S\right\}.}$

Un subconjunto V de A ⁿ se denomina conjunto algebraico afín si V = Z ( S ) para algún S . ^{[1] : 2} Un conjunto algebraico afín no vacío V se denomina irreducible si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios . ^{[1] : 3} Un conjunto algebraico afín irreducible también se denomina variedad afín . ^{[1] : 3} (Algunos autores utilizan la frase variedad afín para referirse a cualquier conjunto algebraico afín, irreducible o no. ^{[nota 1]} )

A las variedades afines se les puede dar una topología natural declarando que los conjuntos cerrados son precisamente los conjuntos algebraicos afines. Esta topología se denomina topología de Zariski. ^{[1] : 2}

Dado un subconjunto V de A ⁿ , definimos I ( V ) como el ideal de todas las funciones polinomiales que se desvanecen en V :

${\displaystyle I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ para todo }}x\in V\right\}.}$

Para cualquier conjunto algebraico afín V , el anillo de coordenadas o anillo de estructura de V es el cociente del anillo polinomial por este ideal. ^{[1] : 4}

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado y sea P ⁿ el n -espacio proyectivo sobre k . Sea f en k [ x ₀ , ..., x _n ] un polinomio homogéneo de grado d . No está bien definido evaluar f en puntos en P ⁿ en coordenadas homogéneas . Sin embargo, debido a que f es homogénea, lo que significa que f   ( λx ₀ , ..., λx _n ) = λ ^d f   ( x ₀ , ..., x _n ) , tiene sentido preguntar si f se anula en un punto [ x ₀  : ... : x _n ] . Para cada conjunto S de polinomios homogéneos, defina el lugar geométrico cero de S como el conjunto de puntos en P ⁿ en los que las funciones en S se anulan:          

${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ para todo }}f\in S\}.}$

Un subconjunto V de P ⁿ se denomina conjunto algebraico proyectivo si V = Z ( S ) para algún S . ^{[1] : 9} Un conjunto algebraico proyectivo irreducible se denomina variedad proyectiva . ^{[1] : 10}

Las variedades proyectivas también están equipadas con la topología de Zariski al declarar que todos los conjuntos algebraicos son cerrados.

Dado un subconjunto V de P ⁿ , sea I ( V ) el ideal generado por todos los polinomios homogéneos que se anulan en V . Para cualquier conjunto algebraico proyectivo V , el anillo de coordenadas de V es el cociente del anillo de polinomios por este ideal. ^{[1] : 10}

Una variedad cuasi-proyectiva es un subconjunto abierto de Zariski de una variedad proyectiva. Nótese que cada variedad afín es cuasi-proyectiva. ^[2] Nótese también que el complemento de un conjunto algebraico en una variedad afín es una variedad cuasi-proyectiva; en el contexto de las variedades afines, una variedad cuasi-proyectiva de este tipo no suele denominarse variedad sino conjunto construible .

En la geometría algebraica clásica, todas las variedades eran por definición variedades cuasi-proyectivas , lo que significa que eran subvariedades abiertas de subvariedades cerradas de un espacio proyectivo . Por ejemplo, en el Capítulo 1 de Hartshorne una variedad sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se define como una variedad cuasi-proyectiva , ^{[1] : 15} pero desde el Capítulo 2 en adelante, el término variedad (también llamada variedad abstracta ) se refiere a un objeto más general, que localmente es una variedad cuasi-proyectiva, pero cuando se ve como un todo no es necesariamente cuasi-proyectiva; es decir, podría no tener una incrustación en el espacio proyectivo . ^{[1] : 105} Entonces, clásicamente, la definición de una variedad algebraica requería una incrustación en el espacio proyectivo, y esta incrustación se usaba para definir la topología en la variedad y las funciones regulares en la variedad. La desventaja de tal definición es que no todas las variedades vienen con incrustaciones naturales en el espacio proyectivo. Por ejemplo, según esta definición, el producto P ¹ × P ¹ no es una variedad hasta que se incrusta en un espacio proyectivo mayor; esto se hace habitualmente mediante la incrustación de Segre . Además, cualquier variedad que admita una incrustación en el espacio proyectivo admite muchas otras, por ejemplo, componiendo la incrustación con la incrustación de Veronese ; por lo tanto, muchas nociones que deberían ser intrínsecas, como la de función regular, no lo son obviamente.

El primer intento exitoso de definir una variedad algebraica de forma abstracta, sin una incrustación, fue realizado por André Weil . En su libro Fundamentos de la geometría algebraica , utilizando valoraciones , Claude Chevalley realizó una definición de esquema , que tenía un propósito similar, pero era más general. Sin embargo, la definición de esquema de Alexander Grothendieck es aún más general y ha recibido la aceptación más generalizada. En el lenguaje de Grothendieck, una variedad algebraica abstracta se define generalmente como un esquema integral separado de tipo finito sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, ^{[1] : 104–105} aunque algunos autores eliminan la irreducibilidad o la condición de reducción o separación o permiten que el cuerpo subyacente no sea algebraicamente cerrado. ^{[nota 2]} Las variedades algebraicas clásicas son los esquemas de tipo finito separados integrales cuasiproyectivos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado.

Uno de los primeros ejemplos de una variedad algebraica no cuasiproyectiva fue dado por Nagata. ^[3] El ejemplo de Nagata no era completo (el análogo de compacidad), pero poco después encontró una superficie algebraica que era completa y no proyectiva. ^{[4] [1] : Observación 4.10.2 p.105} Desde entonces se han encontrado otros ejemplos: por ejemplo, es sencillo construir variedades tóricas que no son cuasiproyectivas sino completas. ^[5]

Una subvariedad es un subconjunto de una variedad que es en sí misma una variedad (con respecto a la estructura topológica inducida por la variedad ambiental). Por ejemplo, cada subconjunto abierto de una variedad es una variedad. Véase también inmersión cerrada .

El Nullstellensatz de Hilbert dice que las subvariedades cerradas de una variedad afín o proyectiva están en correspondencia biunívoca con los ideales primos o ideales primos homogéneos no irrelevantes del anillo de coordenadas de la variedad.

Sea k = C y A ^{2 el} espacio afín bidimensional sobre C . Los polinomios en el anillo C [ x , y ] pueden verse como funciones de valor complejo en A ² evaluando en los puntos en A ² . Sea que el subconjunto S de C [ x , y ] contenga un solo elemento f   ( x , y ) : 

${\displaystyle f(x,y)=x+y-1.}$

El lugar geométrico cero de f   ( x , y ) es el conjunto de puntos en A ² en los que esta función se anula: es el conjunto de todos los pares de números complejos ( x , y ) tales que y = 1 − x . Esto se llama línea en el plano afín. (En la topología clásica que proviene de la topología de los números complejos, una línea compleja es una variedad real de dimensión dos.) Este es el conjunto Z (  f  ) : 

${\displaystyle Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.}$

Por lo tanto, el subconjunto V = Z (  f  ) de A ² es un conjunto algebraico. El conjunto V no está vacío. Es irreducible, ya que no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios. Por lo tanto, es una variedad algebraica afín.

Sea k = C y A ² el espacio afín bidimensional sobre C . Los polinomios en el anillo C [ x , y ] pueden verse como funciones de valor complejo en A ² evaluando en los puntos en A ² . Sea el subconjunto S de C [ x , y ] que contiene un solo elemento g ( x , y ):

${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.}$

El lugar geométrico cero de g ( x , y ) es el conjunto de puntos en A ² en los que esta función se anula, es decir, el conjunto de puntos ( x , y ) tales que x ² + y ² = 1. Como g ( x , y ) es un polinomio absolutamente irreducible , se trata de una variedad algebraica. El conjunto de sus puntos reales (es decir, los puntos para los que x e y son números reales) se conoce como círculo unitario ; este nombre también se da a menudo a toda la variedad.

El siguiente ejemplo no es ni una hipersuperficie , ni un espacio lineal , ni un único punto. Sea A ³ el espacio afín tridimensional sobre C . El conjunto de puntos ( x , x ² , x ³ ) para x en C es una variedad algebraica, y más precisamente una curva algebraica que no está contenida en ningún plano. ^{[nota 3]} Es la cúbica torcida que se muestra en la figura anterior. Puede definirse mediante las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}yx^{2}&=0\\zx^{3}&=0\end{aligned}}}$

La irreducibilidad de este conjunto algebraico necesita una demostración. Una forma de hacerlo en este caso es comprobar que la proyección ( x , y , z ) → ( x , y ) es inyectiva sobre el conjunto de las soluciones y que su imagen es una curva plana irreducible.

Para ejemplos más difíciles, siempre se puede dar una prueba similar, pero puede implicar un cálculo difícil: primero un cálculo de base de Gröbner para calcular la dimensión, seguido de un cambio lineal aleatorio de variables (no siempre necesario); luego un cálculo de base de Gröbner para otro ordenamiento monomial para calcular la proyección y demostrar que es genéricamente inyectiva y que su imagen es una hipersuperficie , y finalmente una factorización polinomial para demostrar la irreducibilidad de la imagen.

El conjunto de matrices n por n sobre el cuerpo base k se puede identificar con el n ² -espacio afín con coordenadas tales que es la ( i , j )-ésima entrada de la matriz . El determinante es entonces un polinomio en y por lo tanto define la hipersuperficie en . El complemento de es entonces un subconjunto abierto de que consiste en todas las matrices n por n invertibles, el grupo lineal general . Es una variedad afín, ya que, en general, el complemento de una hipersuperficie en una variedad afín es afín. Explícitamente, considere donde la línea afín tiene la coordenada t dada . Entonces equivale al lugar geométrico cero en del polinomio en :${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$$estilo de visualización x_{ij}}$$Estilo de visualización x_{ij}(A)}$${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización \det}$$estilo de visualización x_{ij}}$${\displaystyle H=V(\det )}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}}$$estilo de visualización x_{ij},t}$

${\displaystyle t\cdot \det[x_{ij}]-1,}$

es decir, el conjunto de matrices A tales que tienen una solución. Esto se ve mejor algebraicamente: el anillo de coordenadas de es la localización , que se puede identificar con .${\displaystyle t\det(A)=1}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle k[x_{ij}\mid 0\leq i,j\leq n][{\det }^{-1}]}$${\displaystyle k[x_{ij},t\mid 0\leq i,j\leq n]/(t\det -1)}$

El grupo multiplicativo k ^* del cuerpo base k es el mismo que y por lo tanto es una variedad afín. Un producto finito de él es un toro algebraico , que es a su vez una variedad afín.${\displaystyle \nombre del operador {GL} _{1}(k)}$${\displaystyle (k^{*})^{r}}$

Un grupo lineal general es un ejemplo de un grupo algebraico lineal , una variedad afín que tiene una estructura de grupo de tal manera que las operaciones de grupo son morfismos de variedades.

Sea A un álgebra no necesariamente conmutativa sobre un cuerpo k . Incluso si A no es conmutativa, puede suceder que A tenga una -filtración de modo que el anillo asociado sea conmutativo, reducido y finitamente generado como una k -álgebra; es decir, es el anillo de coordenadas de una variedad afín (reducible) X . Por ejemplo, si A es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie de dimensión finita , entonces es un anillo polinomial (el teorema PBW ); más precisamente, el anillo de coordenadas del espacio vectorial dual .${\displaystyle \mathbb {Z}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} A=\bigoplus _{i=-\infty }^{\infty }A_{i}/{A_{i-1}}}$${\displaystyle \nombreoperador {gr} A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \nombreoperador {gr} A}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Sea M un módulo filtrado sobre A (es decir, ). Si se genera fintiely como un -álgebra, entonces el soporte de en X ; es decir, el lugar geométrico donde no se anula se llama variedad característica de M . ^[6] La noción juega un papel importante en la teoría de D -módulos .${\displaystyle A_{i}M_{j}\subconjunto M_{i+j}}$${\displaystyle \nombre del operador {gr} M}$${\displaystyle \nombreoperador {gr} A}$${\displaystyle \nombre del operador {gr} M}$${\displaystyle \nombre del operador {gr} M}$

Una variedad proyectiva es una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo, es decir, es el lugar geométrico cero de un conjunto de polinomios homogéneos que generan un ideal primo .

Una curva proyectiva plana es el lugar geométrico cero de un polinomio homogéneo irreducible en tres indeterminados. La línea proyectiva P ¹ es un ejemplo de una curva proyectiva; puede verse como la curva en el plano proyectivo P ² = {[ x , y , z ] } definido por x = 0 . Para otro ejemplo, considere primero la curva cúbica afín

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x.}$

en el espacio afín bidimensional (sobre un cuerpo de característica no dos). Tiene asociada la ecuación polinómica cúbica homogénea:

${\displaystyle y^{2}z=x^{3}-xz^{2},}$

que define una curva en P ² llamada curva elíptica . La curva tiene género uno ( fórmula de género ); en particular, no es isomorfa a la línea proyectiva P ¹ , que tiene género cero. El uso del género para distinguir curvas es muy básico: de hecho, el género es el primer invariante que se usa para clasificar curvas (véase también la construcción de módulos de curvas algebraicas ).

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. La variedad de Grassmann G _n ( V ) es el conjunto de todos los subespacios n -dimensionales de V . Es una variedad proyectiva: está incrustada en un espacio proyectivo a través de la incrustación de Plücker :

${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\wedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}}$

donde b _i es cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en V , es la n -ésima potencia exterior de V , y el corchete [ w ] significa la línea abarcada por el vector distinto de cero w .${\displaystyle \cuña ^{n}V}$

La variedad Grassmanniana viene con un haz vectorial natural (o haz localmente libre en otra terminología) llamado haz tautológico , que es importante en el estudio de clases características como las clases de Chern .

Sea C una curva completa suave y el grupo de Picard de la misma; es decir, el grupo de clases de isomorfismo de fibrados de líneas en C . Puesto que C es suave, puede identificarse como el grupo de clases divisorias de C y por tanto existe el homomorfismo de grado . La variedad jacobiana de C es el núcleo de este mapa de grados; es decir, el grupo de las clases divisorias en C de grado cero. Una variedad jacobiana es un ejemplo de una variedad abeliana , una variedad completa con una estructura de grupo abeliano compatible en ella (el nombre "abeliano" no se debe, sin embargo, a que sea un grupo abeliano). Una variedad abeliana resulta ser proyectiva (en resumen, las funciones theta algebraicas dan una incrustación en un espacio proyectivo. Véanse las ecuaciones que definen las variedades abelianas ); por tanto, es una variedad proyectiva. El espacio tangente a en el elemento identidad es naturalmente isomorfo a ^[7] por tanto, la dimensión de es el género de .${\displaystyle \operatorname {Imagen} (C)}$${\displaystyle \operatorname {Imagen} (C)}$${\displaystyle \operatorname {deg} :\operatorname {Pic} (C)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \nombre del operador {Jac} (C)}$${\displaystyle \nombre del operador {Jac} (C)}$${\displaystyle \nombre del operador {Jac} (C)}$${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C});}$${\displaystyle \nombre del operador {Jac} (C)}$${\estilo de visualización C}$

Fije un punto en . Para cada entero , existe un morfismo natural ^[8]${\estilo de visualización P_{0}}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización n>0}$

${\displaystyle C^{n}\to \nombre del operador {Jac} (C),\,(P_{1},\puntos ,P_{r})\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n}-nP_{0}]}$

donde es el producto de n copias de C . Para (es decir, C es una curva elíptica), el morfismo anterior para resulta ser un isomorfismo; ^{[1] : Cap. IV, Ejemplo 1.3.7.} en particular, una curva elíptica es una variedad abeliana.$Estilo de visualización C^{n}}$${\estilo de visualización g=1}$${\estilo de visualización n=1}$

Dado un entero , el conjunto de clases de isomorfismo de curvas completas suaves de género se llama módulos de curvas de género y se denota como . Hay pocas formas de mostrar que estos módulos tienen una estructura de una variedad algebraica posiblemente reducible; por ejemplo, una forma es usar la teoría de invariantes geométricos que asegura que un conjunto de clases de isomorfismo tiene una estructura de variedad cuasi-proyectiva (reducible). ^[9] Los módulos como los módulos de curvas de género fijo normalmente no son una variedad proyectiva; aproximadamente la razón es que una degeneración (límite) de una curva suave tiende a no ser suave o reducible. Esto conduce a la noción de una curva estable de género , una curva completa no necesariamente suave sin singularidades terriblemente malas y un grupo de automorfismos no tan grande. Los módulos de curvas estables , el conjunto de clases de isomorfismo de curvas estables de género , es entonces una variedad proyectiva que contiene como un subconjunto denso abierto. Dado que se obtiene sumando puntos límite a , se dice coloquialmente que es una compactificación de . Históricamente, un artículo de Mumford y Deligne ^[10] introdujo la noción de una curva estable para demostrar que es irreducible cuando .${\displaystyle g\geq 0}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización g}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$${\displaystyle g\geq 2}$

Los módulos de curvas ejemplifican una situación típica: los módulos de objetos agradables tienden a no ser proyectivos sino solo cuasi-proyectivos. Otro caso es un módulo de fibrados vectoriales en una curva. Aquí, existen las nociones de fibrados vectoriales estables y semiestables en una curva completa suave . Los módulos de fibrados vectoriales semiestables de un rango dado y un grado dado (grado del determinante del fibrado) es entonces una variedad proyectiva denotada como , que contiene el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales estables de rango y grado como un subconjunto abierto. ^[11] Dado que un fibrado lineal es estable, tales módulos son una generalización de la variedad jacobiana de .${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización d}$$Estilo de visualización SU_{C}(n,d)$$Estilo de visualización U_{C}(n,d)}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización C}$

En general, en contraste con el caso de los módulos de curvas, una compactificación de un módulo no necesita ser única y, en algunos casos, se construyen diferentes compactificaciones no equivalentes utilizando diferentes métodos y por diferentes autores. Un ejemplo sobre es el problema de compactificación , el cociente de un dominio simétrico acotado por una acción de un grupo discreto aritmético . ^[12] Un ejemplo básico de es cuando , el semiespacio superior de Siegel y conmensurable con ; en ese caso, tiene una interpretación como los módulos de variedades abelianas complejas principalmente polarizadas de dimensión (una polarización principal identifica una variedad abeliana con su dual). La teoría de variedades tóricas (o incrustaciones de toro) da una forma de compactificar , una compactificación toroidal de este. ^{[13] [14]} Pero hay otras formas de compactificar ; por ejemplo, existe la compactificación mínima de debida a Baily y Borel: es la variedad proyectiva asociada al anillo graduado formado por formas modulares (en el caso de Siegel, formas modulares de Siegel ; ^[15] ver también variedad modular de Siegel ). La no unicidad de las compactificaciones se debe a la falta de interpretaciones de módulos de esas compactificaciones; es decir, no representan (en el sentido de la teoría de categorías) ningún problema de módulos naturales o, en el lenguaje preciso, no hay una pila de módulos naturales que sea análoga a la pila de módulos de curvas estables.${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle D/\Gamma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle D/\Gamma }$${\displaystyle D={\mathfrak {H}}_{g}}$${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle D/\Gamma }$${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle D/\Gamma }$${\displaystyle D/\Gamma }$${\displaystyle D/\Gamma }$

Una variedad algebraica no puede ser ni afín ni proyectiva. Por ejemplo, supongamos que X = P ¹ × A ¹ y p : X → A ¹ es la proyección. Aquí X es una variedad algebraica, ya que es un producto de variedades. No es afín, ya que P ¹ es una subvariedad cerrada de X (como el lugar geométrico cero de p ), pero una variedad afín no puede contener una variedad proyectiva de dimensión positiva como subvariedad cerrada. Tampoco es proyectiva, ya que existe una función regular no constante en X ; a saber, p .

Otro ejemplo de una variedad no afín y no proyectiva es X = A ² − (0, 0) (cf. Morfismo de variedades § Ejemplos ).

Consideremos la línea afín sobre . El complemento del círculo en no es una variedad algebraica (ni siquiera un conjunto algebraico). Nótese que no es un polinomio en (aunque es un polinomio en las coordenadas reales ). Por otra parte, el complemento del origen en es una variedad algebraica (afín), ya que el origen es el lugar geométrico cero de . Esto puede explicarse de la siguiente manera: la línea afín tiene dimensión uno y, por lo tanto, cualquier subvariedad de ella distinta de ella misma debe tener estrictamente una dimensión menor; es decir, cero.${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} {\text{ with }}|z|^{2}=1\}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C} }$${\displaystyle |z|^{2}-1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C} }$${\displaystyle z}$

Por razones similares, un grupo unitario (sobre los números complejos) no es una variedad algebraica, mientras que el grupo lineal especial es una subvariedad cerrada de , el lugar geométrico cero de . (Sin embargo, sobre un cuerpo base diferente, a un grupo unitario se le puede dar una estructura de una variedad).${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \det -1}$

• Un conjunto algebraico afín V es una variedad si y sólo si I ( V ) es un ideal primo ; equivalentemente, V es una variedad si y sólo si su anillo de coordenadas es un dominio integral . ^{[16] : 52  [1] : 4}
• Todo conjunto algebraico afín no vacío puede escribirse únicamente como una unión finita de variedades algebraicas (donde ninguna de las variedades en la descomposición es una subvariedad de ninguna otra). ^{[1] : 5}
• La dimensión de una variedad se puede definir de varias maneras equivalentes. Consulte Dimensión de una variedad algebraica para obtener más detalles.
• Un producto de un número finito de variedades algebraicas (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado) es una variedad algebraica. Un producto finito de variedades afines es afín ^[17] y un producto finito de variedades proyectivas es proyectivo.

Sean V ₁ , V ₂ variedades algebraicas. Decimos que V ₁ y V ₂ son isomorfos , y escribimos V ₁ ≅ V ₂ , si hay funciones regulares φ  : V ₁ → V ₂ y ψ  : V ₂ → V ₁ tales que las composiciones ψ ∘ φ y φ ∘ ψ son las funciones identidad en V ₁ y V ₂ respectivamente.

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Las definiciones y hechos básicos anteriores permiten hacer geometría algebraica clásica. Para poder hacer más —por ejemplo, tratar variedades sobre cuerpos que no son algebraicamente cerrados— se requieren algunos cambios fundamentales. La noción moderna de variedad es considerablemente más abstracta que la anterior, aunque equivalente en el caso de variedades sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Una variedad algebraica abstracta es un tipo particular de esquema; la generalización a esquemas del lado geométrico permite una extensión de la correspondencia descrita anteriormente a una clase más amplia de anillos. Un esquema es un espacio anillado localmente tal que cada punto tiene un entorno que, como espacio anillado localmente, es isomorfo a un espectro de un anillo . Básicamente, una variedad sobre k es un esquema cuyo haz de estructura es un haz de k -álgebras con la propiedad de que los anillos R que aparecen arriba son todos dominios integrales y son todas k -álgebras generadas finitamente , es decir, son cocientes de álgebras polinómicas por ideales primos .

Esta definición funciona sobre cualquier cuerpo k . Permite pegar variedades afines (a lo largo de conjuntos abiertos comunes) sin preocuparse de si el objeto resultante se puede colocar en algún espacio proyectivo. Esto también conduce a dificultades ya que se pueden introducir objetos algo patológicos, por ejemplo, una línea afín con cero duplicado. Dichos objetos normalmente no se consideran variedades y se eliminan al requerir que los esquemas subyacentes a una variedad se separen . (Estrictamente hablando, también hay una tercera condición, a saber, que solo se necesitan un número finito de parches afines en la definición anterior).

Algunos investigadores modernos también eliminan la restricción de que una variedad tenga gráficos afines de dominio integral , y cuando hablan de una variedad solo requieren que los gráficos afines tengan nilradical trivial .

Una variedad completa es una variedad tal que cualquier función de un subconjunto abierto de una curva no singular en él puede extenderse de manera única a toda la curva. Toda variedad proyectiva es completa, pero no viceversa.

Estas variedades se han denominado "variedades en el sentido de Serre", ya que el artículo fundacional de Serre FAC ^[18] sobre cohomología de haces fue escrito para ellas. Siguen siendo objetos típicos para comenzar a estudiar en geometría algebraica, incluso si también se utilizan objetos más generales de manera auxiliar.

Una forma de generalizar es permitir conjuntos algebraicos reducibles (y cuerpos k que no sean algebraicamente cerrados), de modo que los anillos R no puedan ser dominios integrales. Una modificación más significativa es permitir nilpotentes en el haz de anillos, es decir, anillos que no se reducen . Esta es una de las varias generalizaciones de la geometría algebraica clásica que están incorporadas en la teoría de esquemas de Grothendieck .

Permitir elementos nilpotentes en anillos está relacionado con el seguimiento de las "multiplicidades" en geometría algebraica. Por ejemplo, el subesquema cerrado de la línea afín definida por x ² = 0 es diferente del subesquema definido por x = 0 (el origen). De manera más general, la fibra de un morfismo de esquemas X → Y en un punto de Y puede no ser reducida, incluso si X e Y están reducidas. Geométricamente, esto dice que las fibras de buenas aplicaciones pueden tener una estructura "infinitesimal" no trivial.

Existen otras generalizaciones llamadas espacios algebraicos y pilas .

Una variedad algebraica es una variedad algebraica que también es una variedad m -dimensional y, por lo tanto, cada parche local suficientemente pequeño es isomorfo a k ^m . De manera equivalente, la variedad es suave (libre de puntos singulares). Cuando k es el número real, R , las variedades algebraicas se denominan variedades de Nash . Las variedades algebraicas se pueden definir como el conjunto cero de una colección finita de funciones algebraicas analíticas. Las variedades algebraicas proyectivas son una definición equivalente para las variedades proyectivas. La esfera de Riemann es un ejemplo.

• Variedad (desambiguación) : enumera también varios significados matemáticos
• Campo de funciones de una variedad algebraica
• Geometría birracional
• Motivo (geometría algebraica)
• Variedad analítica
• Espacio de Zariski-Riemann
• Conjunto semialgebraico
• Variedad Fano
• Teorema de universalidad de Mnëv

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