Nilradical de un anillo

Ideal de los elementos nilpotentes

En álgebra , el nilradical de un anillo conmutativo es el ideal que consiste en los elementos nilpotentes :

{\mathfrak {N}}_{R}=\lbrace f\in R\mid f^{m}=0{\text{ para algún }}m\in \mathbb {Z} _{>0}\rbrace .

Por lo tanto, es el radical del ideal cero . Si el nilradical es el ideal cero, el anillo se llama anillo reducido . El nilradical de un anillo conmutativo es la intersección de todos los ideales primos .

En el caso de un anillo no conmutativo, no siempre funciona la misma definición. Esto ha dado lugar a que varios radicales generalicen el caso conmutativo de distintas maneras; consulte el artículo Radical de un anillo para obtener más información al respecto.

El nilradical de un álgebra de Lie se define de manera similar para las álgebras de Lie .

Anillos conmutativos

El radical nil de un anillo conmutativo es el conjunto de todos los elementos nilpotentes del anillo o, equivalentemente, el radical del ideal cero . Este es un ideal porque la suma de dos elementos nilpotentes cualesquiera es nilpotente (por la fórmula binomial ), y el producto de cualquier elemento con un elemento nilpotente es nilpotente (por conmutatividad). También se puede caracterizar como la intersección de todos los ideales primos del anillo (de hecho, es la intersección de todos los ideales primos mínimos ).

Proposición ^[1] — Sea un anillo conmutativo. Entonces el nilradical de es igual a la intersección de todos los ideales primos de ${\estilo de visualización R}$ ${\mathfrak {N}}_{R}$ ${\estilo de visualización R}$ ${\estilo de visualización R.}$

Prueba

En primer lugar, el radical nil está contenido en todo ideal primo. En efecto, si se tiene para algún entero positivo Puesto que todo ideal contiene 0 y todo ideal primo que contiene un producto, aquí contiene uno de sus factores, se deduce que todo ideal primo contiene $r\in {\mathfrak {N}}_{R},$ $r^{n}=0$ $n.$ $r^{n}=0,$ ${\estilo de visualización r.}$

Por el contrario, supongamos que tenemos que demostrar que hay un ideal primo que no contiene Consideremos el conjunto de todos los ideales que no contienen ninguna potencia de Uno tiene por definición del nilradical. Para cada cadena de ideales en la unión es un ideal que pertenece a ya que de lo contrario contendría una potencia de que debe pertenecer a algún contradiciendo la definición de $f\notin {\mathfrak {N}}_{R};$ ${\estilo de visualización f.}$ ${\estilo de visualización \Sigma}$ ${\estilo de visualización f.}$ $(0)\en \Sigma ,$ $J_{1}\subseteq J_{2}\subseteq \puntos$ ${\estilo de visualización \Sigma ,}$ ${\textstyle J=\bigcup _{i\geq 1}J_{i}}$ ${\estilo de visualización \Sigma ,}$ ${\estilo de visualización f,}$ $J_{i},$ $J_{i}.$

Entonces, es un conjunto parcialmente ordenado por inclusión tal que cada cadena tiene un límite superior mínimo . Por lo tanto, se aplica el lema de Zorn , y existe un elemento maximalista . Tenemos que demostrar que es un ideal primo. Si no fuera primo habría dos elementos y tales que y . Por maximalidad de uno tiene y Por lo tanto existen enteros positivos y tales que y Se sigue que contradiciendo el hecho de que está en . Esto termina la demostración, ya que hemos demostrado la existencia de un ideal primo que no contiene ${\estilo de visualización \Sigma}$ ${\mathfrak {m}}\en \Sigma$ ${\mathfrak {m}}$ $g\en R$ $h\en R$ $g\notin {\mathfrak {m}},$ $h\notin {\mathfrak {m}},$ $gh\in {\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {m}},$ ${\mathfrak {m}}+(g)\notin \Sigma$ ${\mathfrak {m}}+(h)\notin \Sigma .$ ${\estilo de visualización r}$ ${\estilo de visualización s}$ $f^{r}\in {\mathfrak {m}}+(g)$ $f^{s}\in {\mathfrak {m}}+(h).$ $f^{r}f^{s}=f^{r+s}\in {\mathfrak {m}}+(gh)={\mathfrak {m}},$ ${\mathfrak {m}}$ ${\estilo de visualización \Sigma}$ ${\estilo de visualización f.}$

Un anillo se denomina reducido si no tiene ningún nilpotente distinto de cero. Por lo tanto, un anillo se reduce si y solo si su nilradical es cero. Si R es un anillo conmutativo arbitrario, entonces el cociente de este por el nilradical es un anillo reducido y se denota por . $R_{\text{rojo}}$

Como todo ideal maximal es un ideal primo, el radical de Jacobson —que es la intersección de los ideales maximalistas— debe contener al radical nil. Un anillo R se llama anillo de Jacobson si el radical nil y el radical de Jacobson de R / P coinciden para todos los ideales primos P de R . Un anillo artiniano es de Jacobson, y su radical nil es el ideal nilpotente maximal del anillo. En general, si el radical nil es finitamente generado (por ejemplo, el anillo es noetheriano ), entonces es nilpotente .

Anillos no conmutativos

Para los anillos no conmutativos, hay varios análogos del radical nil. El radical nil inferior (o radical Baer -McCoy, o radical primo) es el análogo del radical del ideal cero y se define como la intersección de los ideales primos del anillo. El análogo del conjunto de todos los elementos nilpotentes es el radical nil superior y se define como el ideal generado por todos los ideales nil del anillo, que es en sí mismo un ideal nil. El conjunto de todos los elementos nilpotentes en sí mismo no necesita ser un ideal (o incluso un subgrupo ), por lo que el radical nil superior puede ser mucho más pequeño que este conjunto. El radical de Levitzki está en el medio y se define como el ideal nilpotente localmente más grande. Como en el caso conmutativo, cuando el anillo es artiniano, el radical de Levitzki es nilpotente y, por lo tanto, es el ideal nilpotente único más grande. De hecho, si el anillo es meramente noetheriano, entonces los radicales inferior, superior y de Levitzki son nilpotentes y coinciden, lo que permite definir el nilradical de cualquier anillo noetheriano como el único ideal nilpotente más grande (izquierdo, derecho o bilateral) del anillo.

Referencias

^ Atiyah, Michael ; Macdonald, Ian (1994). Introducción al álgebra conmutativa . Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5., pág. 5

Eisenbud, David , "Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica", Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
Lam, Tsit-Yuen (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0, Sr. 1838439

Notas

[1] Atiyah, Michael ; Macdonald, Ian (1994). Introducción al álgebra conmutativa . Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5., pág. 5