Coherencia (unidades de medida)

Un sistema coherente de unidades es un sistema de unidades de medida utilizado para expresar magnitudes físicas que se definen de tal manera que las ecuaciones que relacionan los valores numéricos expresados ​​en las unidades del sistema tienen exactamente la misma forma, incluidos los factores numéricos, que las ecuaciones correspondientes que relacionan directamente las magnitudes. ^{[1] [2]} Es un sistema en el que cada magnitud tiene una unidad única, o que no utiliza factores de conversión . ^[3]

Una unidad derivada coherente es una unidad derivada que, para un sistema dado de cantidades y para un conjunto elegido de unidades base , es un producto de potencias de unidades base, siendo el factor de proporcionalidad uno. ^[1]

Si un sistema de cantidades tiene ecuaciones que relacionan cantidades y el sistema asociado de unidades tiene unidades base correspondientes, con sólo una unidad para cada cantidad base, entonces es coherente si y sólo si cada unidad derivada del sistema es coherente.

El concepto de coherencia fue desarrollado a mediados del siglo XIX por, entre otros, Kelvin y James Clerk Maxwell y promovido por la Asociación Británica de Ciencias . El concepto se aplicó inicialmente al sistema de unidades centímetro-gramo-segundo (CGS) en 1873 y al sistema de unidades pie-libra-segundo (FPS) en 1875. El Sistema Internacional de Unidades (SI) fue diseñado en 1960 en torno al principio de coherencia.

En el sistema SI, la unidad derivada m/s es una unidad derivada coherente para la rapidez o velocidad ^{[4] : 139} pero km / h no es una unidad derivada coherente. La rapidez o velocidad se define por el cambio en la distancia dividido por un cambio en el tiempo. La unidad derivada m/s utiliza las unidades base del sistema SI. ^[1] La unidad derivada km/h requiere factores numéricos para relacionarse con las unidades base del SI:1000 m/km y3600 s/h .

En el sistema cgs , m/s no es una unidad derivada coherente. El factor numérico deSe necesitan 100 cm/m para expresar m/s en el sistema cgs.

Las primeras unidades de medida ideadas por la humanidad no guardaban relación entre sí. ^{[ cita requerida ]} A medida que la comprensión de los conceptos filosóficos y la organización de la sociedad se desarrollaron, las unidades de medida se estandarizaron: primero, las unidades de medida particulares tenían el mismo valor en toda una comunidad , luego se les dio una relación fija a diferentes unidades de la misma cantidad (por ejemplo, pies y pulgadas). Aparte de la antigua China, donde las unidades de capacidad y de masa estaban vinculadas a la semilla de mijo rojo , hay poca evidencia de la vinculación de diferentes cantidades hasta la Ilustración . ^[5]

La historia de la medición de la longitud se remonta a la civilización temprana del Medio Oriente (10000 a. C. - 8000 a. C.). Los arqueólogos han podido reconstruir las unidades de medida en uso en Mesopotamia , India , la cultura judía y muchas otras. La evidencia arqueológica y de otro tipo muestra que en muchas civilizaciones, las proporciones entre diferentes unidades para la misma cantidad de medida se ajustaron para que fueran números enteros. En muchas culturas tempranas, como el Antiguo Egipto , no siempre se usaban múltiplos de 2, 3 y 5: el codo real egipcio era 28 dedos o 7 manos . ^[6] En 2150 a. C., el emperador acadio Naram-Sin racionalizó el sistema de medida babilónico, ajustando las proporciones de muchas unidades de medida a múltiplos de 2, 3 o 5; por ejemplo, había 6 she ( granos de cebada ) en un shu-si ( dedo ) y 30 shu-si en un kush ( codo ). ^[7]

Las cantidades no conmensurables tienen diferentes dimensiones físicas , lo que significa que sumarlas o restarlas no tiene sentido. Por ejemplo, sumar la masa de un objeto a su volumen no tiene ningún significado físico. Sin embargo, se pueden derivar nuevas cantidades (y, como tales, unidades) mediante la multiplicación y exponenciación de otras unidades. Como ejemplo, la unidad SI para fuerza es el newton , que se define como kg⋅m⋅s ⁻² . Dado que una unidad derivada coherente es aquella que se define mediante la multiplicación y exponenciación de otras unidades pero no se multiplica por ningún factor de escala distinto de 1, el pascal es una unidad coherente de presión (definida como kg⋅m ⁻¹ ⋅s ⁻² ), pero el bar (definido como100 000  kg⋅m ⁻¹ ⋅s ⁻² ) no lo es.

Tenga en cuenta que la coherencia de una unidad dada depende de la definición de las unidades base. ¿Debería cambiar la unidad estándar de longitud de modo que sea más corta por un factor de100 000 , entonces la barra sería una unidad derivada coherente. Sin embargo, una unidad coherente sigue siendo coherente (y una unidad no coherente sigue siendo no coherente) si las unidades base se redefinen en términos de otras unidades con el factor numérico siempre siendo la unidad.

El concepto de coherencia se introdujo en el sistema métrico recién en el tercer cuarto del siglo XIX; en su forma original, el sistema métrico no era coherente: en particular, el litro equivalía a 0,001 m ³ y el área (de donde se obtiene la hectárea ) equivalía a 100 m ² . Sin embargo, el concepto de coherencia tuvo un antecedente: las unidades de masa y longitud estaban relacionadas entre sí a través de las propiedades físicas del agua, y el gramo se había diseñado como la masa de un centímetro cúbico de agua en su punto de congelación. ^[8]

El sistema CGS tenía dos unidades de energía, el erg , que estaba relacionado con la mecánica , y la caloría , que estaba relacionada con la energía térmica , de modo que solo una de ellas (el erg, equivalente a g⋅cm ² /s ² ) podía tener una relación coherente con las unidades base. Por el contrario, la coherencia era un objetivo de diseño del SI, lo que dio como resultado que solo se definiera una unidad de energía: el joule . ^[9]

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Cada variante del sistema métrico tiene un grado de coherencia, pues las distintas unidades derivadas están directamente relacionadas con las unidades base sin necesidad de factores de conversión intermedios. ^[1] Un criterio adicional es que, por ejemplo, en un sistema coherente las unidades de fuerza , energía y potencia se elijan de manera que las ecuaciones

fuerzaF=masametro×aceleracióna

energíami=fuerzaF×distanciad

fuerzaPAG=energíami÷tiempoa

se cumplen sin la introducción de factores constantes. Una vez que se ha definido un conjunto de unidades coherentes, otras relaciones en física que utilizan esas unidades serán automáticamente verdaderas: la ecuación de masa-energía de Einstein , E  =  mc ² , no requiere constantes extrañas cuando se expresa en unidades coherentes. ^[10]

Isaac Asimov escribió: "En el sistema cgs, una unidad de fuerza se describe como aquella que producirá una aceleración de 1 cm/seg2 ^sobre una masa de 1 gm. Por lo tanto, una unidad de fuerza es 1 cm/seg2 ^multiplicado por 1 gm". ^[11] Estas son afirmaciones independientes. La primera es una definición; la segunda no lo es. La primera implica que la constante de proporcionalidad en la ley de fuerza tiene una magnitud de uno; la segunda implica que es adimensional. Asimov las usa juntas para demostrar que es el número uno puro.

La conclusión de Asimov no es la única posible. En un sistema que utiliza las unidades pie (ft) para longitud, segundo (s) para tiempo, libra (lb) para masa y libra-fuerza (lbf) para fuerza, la ley que relaciona fuerza ( F ), masa ( m ) y aceleración ( a ) es F = 0,031081 ma . Dado que la constante de proporcionalidad aquí es adimensional y las unidades en cualquier ecuación deben equilibrarse sin ningún factor numérico distinto de uno, se deduce que 1 lbf = 1 lb⋅ft/s ² . Esta conclusión parece paradójica desde el punto de vista de los sistemas en competencia, según los cuales F = ma y 1 lbf = 32,174 lb⋅ft/s ² . Aunque la libra-fuerza es una unidad derivada coherente en este sistema según la definición oficial, el sistema en sí no se considera coherente debido a la presencia de la constante de proporcionalidad en la ley de fuerza.

Una variante de este sistema aplica la unidad s2 ^/ ft a la constante de proporcionalidad. Esto tiene el efecto de identificar la libra-fuerza con la libra. La libra es entonces tanto una unidad base de masa como una unidad derivada coherente de fuerza. Se puede aplicar cualquier unidad que se desee a la constante de proporcionalidad. Si se le aplica la unidad s2 ^/ lb, entonces el pie se convierte en una unidad de fuerza. En un sistema de cuatro unidades ( unidades de ingeniería inglesas ), la libra y la libra-fuerza son unidades base distintas, y la constante de proporcionalidad tiene la unidad lbf⋅s2 ^/ (lb⋅ft). ^{[12] [13]}

Todos estos sistemas son coherentes. Uno que no lo es es un sistema de tres unidades (también llamado unidades de ingeniería inglesas) en el que F = ma que utiliza la libra y la libra-fuerza, una de las cuales es una unidad base y la otra, una unidad derivada no coherente. En lugar de una constante de proporcionalidad explícita, este sistema utiliza factores de conversión derivados de la relación 1 lbf = 32,174 lb⋅ft/s ² . En los cálculos numéricos, es indistinguible del sistema de cuatro unidades, ya que lo que es una constante de proporcionalidad en el último es un factor de conversión en el primero. La relación entre los valores numéricos de las cantidades en la ley de fuerza es { F } = 0,031081 { m } { a }, donde las llaves denotan los valores numéricos de las cantidades encerradas. A diferencia de este sistema, en un sistema coherente, las relaciones entre los valores numéricos de las cantidades son las mismas que las relaciones entre las cantidades mismas.

El siguiente ejemplo se refiere a definiciones de cantidades y unidades. La velocidad (promedio) ( v ) de un objeto se define como la propiedad física cuantitativa del objeto que es directamente proporcional a la distancia ( d ) recorrida por el objeto e inversamente proporcional al tiempo ( t ) de viaje, es decir, v = kd / t , donde k es una constante que depende de las unidades utilizadas. Supongamos que el metro (m) y el segundo (s) son unidades base; entonces el kilómetro (km) y la hora (h) son unidades derivadas no coherentes. El metro por segundo (mps) se define como la velocidad de un objeto que viaja un metro en un segundo, y el kilómetro por hora (kmph) se define como la velocidad de un objeto que viaja un kilómetro en una hora. Sustituyendo las definiciones de las unidades en la ecuación definitoria de la velocidad obtenemos, 1 mps = k m/s y 1 kmph = k km/h = 1/3,6 k m/s = 1/3,6 mps. Ahora escojamos k = 1; entonces el metro por segundo es una unidad derivada coherente, y el kilómetro por hora es una unidad derivada no coherente. Supongamos que escogemos usar el kilómetro por hora como la unidad de velocidad en el sistema. Entonces el sistema se vuelve no coherente, y la ecuación de valor numérico para la velocidad se convierte en { v } = 3,6 { d }/{ t }. La coherencia puede restaurarse, sin cambiar las unidades, escogiendo k = 3,6; entonces el kilómetro por hora es una unidad derivada coherente, con 1 kmph = 1 m/s, y el metro por segundo es una unidad derivada no coherente, con 1 mps = 3,6 m/s.

Una definición de una cantidad física es una declaración que determina la razón de dos instancias cualesquiera de la cantidad. La especificación del valor de cualquier factor constante no es parte de la definición ya que no afecta la razón. La definición de velocidad anterior satisface este requisito ya que implica que v ₁ / v ₂ = ( d ₁ / d ₂ )/( t ₁ / t ₂ ); por lo tanto, si se determinan las razones de las distancias y los tiempos, entonces también se determina la razón de las velocidades. Una definición de una unidad de una cantidad física es una declaración que determina la razón de cualquier instancia de la cantidad con la unidad. Esta razón es el valor numérico de la cantidad o el número de unidades contenidas en la cantidad. La definición del metro por segundo anterior satisface este requisito ya que, junto con la definición de velocidad, implica que v / mps = ( d / m)/( t / s); por lo tanto, si se determinan las razones de la distancia y el tiempo con sus unidades, entonces también se determina la razón de la velocidad con su unidad. La definición, por sí sola, es inadecuada ya que sólo determina la relación en un caso específico; puede considerarse como una muestra de la unidad.

No es posible definir una nueva unidad coherente simplemente expresándola algebraicamente en términos de unidades ya definidas. Por lo tanto, la afirmación "el metro por segundo es igual a un metro dividido por un segundo" no es, en sí misma, una definición. No implica que se esté definiendo una unidad de velocidad y, si se añade ese hecho, no determina la magnitud de la unidad, ya que ésta depende del sistema de unidades. Para que se convierta en una definición adecuada, deben especificarse tanto la cantidad como la ecuación que la define, incluido el valor de cualquier factor constante. Sin embargo, una vez que una unidad se ha definido de esta manera, tiene una magnitud que es independiente de cualquier sistema de unidades.

Esta lista cataloga relaciones coherentes en varios sistemas de unidades.

La siguiente es una lista de cantidades con sus correspondientes unidades SI coherentes:

frecuencia ( hertz ) = recíproco del tiempo ( segundos inversos )

fuerza ( newtons ) = masa (kilogramos) × aceleración (m/s ² )

presión ( pascales ) = fuerza (newtons) ÷ área (m ² )

energía ( julios ) = fuerza (newtons) × distancia (metros)

potencia ( vatios ) = energía (julios) ÷ tiempo (segundos)

diferencia de potencial ( voltios ) = potencia (vatios) ÷ corriente eléctrica (amperios)

carga eléctrica ( culombios ) = corriente eléctrica (amperios) × tiempo (segundos)

dosis de radiación equivalente ( sieverts ) = energía (julios) ÷ masa (kilogramos)

dosis de radiación absorbida ( grays ) = energía (julios) ÷ masa (kilogramos)

actividad radiactiva ( becquerelios ) = recíproco del tiempo (s ⁻¹ )

capacitancia ( faradios ) = carga eléctrica (culombios) ÷ diferencia de potencial (voltios)

resistencia eléctrica ( ohmios ) = diferencia de potencial (voltios) ÷ corriente eléctrica (amperios)

conductancia eléctrica ( siemens ) = corriente eléctrica (amperios) ÷ diferencia de potencial (voltios)

flujo magnético ( weber ) = diferencia de potencial ( voltios ) × tiempo (segundos)

Densidad de flujo magnético ( tesla ) = flujo magnético (webers) ÷ área (metros cuadrados)

La siguiente es una lista coherente del sistema de unidades centímetro-gramo-segundo (CGS):

aceleración ( gals ) = distancia (centímetros) ÷ tiempo (s ² )

fuerza ( dinas ) = ​​masa (gramos) × aceleración (cm/s ² )

energía ( ergios ) = fuerza (dinas) × distancia (centímetros)

presión ( baria ) = fuerza (dinas) ÷ área (cm ² )

viscosidad dinámica ( poise ) = masa (gramos) ÷ (distancia (centímetros) × tiempo (segundos))

viscosidad cinemática ( stokes ) = área (cm2 ⁾ ÷ tiempo (segundos)

La siguiente es una lista coherente del sistema de unidades pie-libra-segundo (FPS):

fuerza (poundal) = masa (libras) × aceleración (ft/s ² )

• Sistemas de medición
• Sistema de unidades geometrizadas
• Unidades de Planck
• Unidades atómicas
• Sistema metro-kilogramo-segundo (MKS)
• Sistema metro-tonelada-segundo (MTS)
• Sistema de cuadrante-undécimo-gramo-segundo (SQE)