Polígono estrellado
Polígono regular no convexo
Dos tipos de pentágonos estelares

{5/2}
|5/2|
Un pentágono regular en forma de estrella , {5/2}, tiene cinco vértices (las puntas de sus esquinas) y cinco aristas que se intersecan, mientras que un decágono cóncavo , |5/2|, tiene diez aristas y dos conjuntos de cinco vértices. El primero se utiliza en las definiciones de poliedros en estrella y teselados uniformes en estrella , mientras que el segundo se utiliza a veces en teselados planos.

Pequeño dodecaedro estrellado
Mosaico

En geometría , un polígono estrellado es un tipo de polígono no convexo . Los polígonos estrellados regulares se han estudiado en profundidad; si bien los polígonos estrellados en general parecen no haber sido definidos formalmente, pueden surgir algunos notables a través de operaciones de truncamiento en polígonos simples o estrellados regulares.

Branko Grünbaum identificó dos usos primarios de esta terminología de Johannes Kepler , uno correspondiente a los polígonos estrellados regulares con aristas que se cruzan y que no generan nuevos vértices, y el otro a los polígonos simples cóncavos isotoxales . [1]

Los poligramas incluyen polígonos como el pentagrama , pero también figuras compuestas como el hexagrama .

Una definición de un polígono estrellado , utilizada en gráficos de tortugas , es un polígono que tiene q ≥ 2 vueltas ( q se llama número de vueltas o densidad ), como en los espirolaterales . [2]

Nombres

Los nombres de polígonos estelares combinan un prefijo numeral , como penta- , con el sufijo griego -grama (en este caso generando la palabra pentagrama ). El prefijo normalmente es un cardinal griego , pero existen sinónimos que utilizan otros prefijos. Por ejemplo, un polígono de nueve puntas o eneagrama también se conoce como nonagrama , utilizando el ordinal nona del latín . [ cita requerida ] El sufijo -grama deriva de γραμμή ( grammḗ ), que significa línea. [3] El nombre polígono estelar refleja la semejanza de estas formas con los picos de difracción de las estrellas reales.

Polígono estrellado regular


{5/2}
{7/2}
{7/3}		...
Polígonos regulares convexos y estrellados de 3 a 12 vértices, etiquetados con sus símbolos Schläfli

Un polígono estrellado regular es un polígono autointersecante, equilátero y equiangular .

Un polígono estrellado regular se denota por su símbolo de Schläfli { p / q }, donde p (el número de vértices) y q (la densidad ) son primos entre sí (no comparten ningún factor) y donde q ≥ 2. La densidad de un polígono también se puede llamar su número de giro : la suma de los ángulos de giro de todos los vértices, dividida por 360°.

El grupo de simetría de { p / q } es el grupo diedro D p , de orden 2 p , independiente de q .

Los polígonos estelares regulares fueron estudiados sistemáticamente por primera vez por Thomas Bradwardine y más tarde por Johannes Kepler . [4]

Construcción mediante conexión de vértices

Los polígonos regulares en forma de estrella se pueden crear conectando un vértice de un polígono simple regular de p lados con otro vértice, no adyacente al primero, y continuando el proceso hasta que se alcance nuevamente el vértice original. [5] Alternativamente, para los números enteros p y q , se puede considerar que se construye conectando cada punto q de p puntos espaciados regularmente en una colocación circular. [6] Por ejemplo, en un pentágono regular, se puede obtener una estrella de cinco puntas trazando una línea desde el 1.er al 3.er vértice, desde el 3.er al 5.º vértice, desde el 5.º al 2.º vértice, desde el 2.º al 4.º vértice y desde el 4.º al 1.er vértice.

Si q ≥ p /2, entonces la construcción de { p / q } dará como resultado el mismo polígono que { p /( p − q )}; conectar cada tercer vértice del pentágono dará un resultado idéntico al de conectar cada segundo vértice. Sin embargo, los vértices se alcanzarán en la dirección opuesta, lo que marca una diferencia cuando se incorporan polígonos retrógrados en politopos de dimensiones superiores. Por ejemplo, un antiprisma formado a partir de un pentagrama prógrado {5/2} da como resultado un antiprisma pentagrammico ; la construcción análoga a partir de un "pentagrama cruzado" retrógrado {5/3} da como resultado un antiprisma cruzado pentagrammico . Otro ejemplo es el tetrahemihexaedro , que puede verse como un "triángulo cruzado" {3/2} cuploide .

Polígonos estelares regulares degenerados

Si p y q no son primos entre sí, se obtendrá un polígono degenerado con vértices y aristas coincidentes. Por ejemplo, {6/2} aparecerá como un triángulo, pero se puede etiquetar con dos conjuntos de vértices: 1-3 y 4-6. Esto no debe verse como dos triángulos superpuestos, sino como un hexágono unicursal simple de doble vuelta. [7] [8]

Construcción por estelación

Alternativamente, un polígono estrellado regular también puede obtenerse como una secuencia de estelaciones de un polígono central regular convexo . Las construcciones basadas en la estelación también permiten obtener compuestos poligonales regulares en casos en los que la densidad q y la cantidad p de vértices no son coprimos. Sin embargo, al construir polígonos estrellados a partir de la estelación, si q > p /2, las líneas divergirán infinitamente, y si q = p /2, las líneas serán paralelas, y ambas resultarán en que no haya más intersecciones en el espacio euclidiano. Sin embargo, puede ser posible construir algunos de estos polígonos en el espacio esférico, de manera similar al monógono y al dígono ; dichos polígonos aún no parecen haber sido estudiados en detalle.

Polígonos simples de estrellas isotoxales

Cuando se eliminan los segmentos de línea que se intersecan de un poligono regular de n estrellas , la figura resultante ya no es regular, sino que puede verse como un poligono simple 2n cóncavo isotoxal , con vértices alternados en dos radios diferentes. Branko Grünbaum , en Tilings and patterns , representa una estrella que coincide con el contorno de un poligrama regular { n / d } como | n / d |, o más generalmente con { n 𝛼 }, que denota un poligono simple 2n cóncavo o convexo isotoxal con un ángulo interno externo 𝛼.

  • Para | n / d |, el ángulo interno externo 𝛼 = 180(1 − 2 d / n ) grados, necesariamente, y los vértices internos (nuevos) tienen un ángulo externo β ext = 180[1 − 2( d − 1)/ n ] grados, necesariamente.
  • Para { n 𝛼 }, los ángulos internos externos y externos internos, también denotados por 𝛼 y β ext , no tienen que coincidir con los de ningún poligrama regular { n / d }; sin embargo, 𝛼 < 180(1 − 2/ n ) grados y β ext < 180°, necesariamente (aquí, { n 𝛼 } es cóncavo). [1]
Ejemplos de polígonos simples de estrellas isotoxales
| n / d |
{ n 𝛼 }		|9/4|
{9 20° }		 
{3 30° }		 
{6 30° }		|5/2|
{5 36° }		 
{4 45° }		|8/3|
{8 45° }		|6/2|
{6 60° }		 
{5 72° }
𝛼20°30°36°45°60°72°
β ext60°150°90°108°135°90°120°144°
Estrella isotoxal
simple de
n puntas
Poligrama
regular relacionado { n / d }


{9/4}
{12/5}
{5/2}
{8/3}
Figura de 2{3} estrellas

{10/3}

Ejemplos en teselas

Estos polígonos se ven a menudo en patrones de teselación. El ángulo paramétrico 𝛼 (en grados o radianes) se puede elegir para que coincida con los ángulos internos de los polígonos vecinos en un patrón de teselación. En su obra de 1619 Harmonices Mundi , entre los teselados periódicos, Johannes Kepler incluye teselados no periódicos, como aquel con tres pentágonos regulares y un pentágono estrellado regular que encajan alrededor de ciertos vértices, 5.5.5.5/2, y relacionado con los teselados modernos de Penrose . [9]

Ejemplos de teselado isogonal con estrellas simples isotoxales [10]
Estrellas isotoxales simples de
n puntas		Estrellas "triangulares"
( n = 3)		Estrellas "cuadradas"
( n = 4)		Estrellas "hexagonales"
( n = 6)		Estrellas "octogonales"
( n = 8)
Imagen de mosaico
Configuración de vértice.3.3*
𝛼.3.3**
𝛼		8.4*
π/4.8.4*
π/4		6.6*
π/3.6.6*
π/3		3.6*
π/3.6**
π/3		3.6.6*
π/3.6		no de borde a borde

Interiores

El interior de un polígono estelar puede tratarse de diferentes maneras. Se ilustran tres de estos tratamientos para un pentagrama. Branko Grünbaum y Geoffrey Shephard consideran dos de ellos, como n- ágonos estelares regulares y como 2n - ágonos isotoxales cóncavos simples . [9]

Estos tres tratamientos son:

  • Cuando aparece un segmento de línea, un lado se considera externo y el otro interno. Esto se muestra en la ilustración de la izquierda y ocurre comúnmente en la representación de gráficos vectoriales por computadora .
  • La cantidad de veces que la curva poligonal se enrolla alrededor de una región dada determina su densidad . Al exterior se le asigna una densidad de 0 y cualquier región con una densidad > 0 se trata como interna. Esto se muestra en la ilustración central y ocurre comúnmente en el tratamiento matemático de los poliedros . (Sin embargo, para los poliedros no orientables, la densidad solo se puede considerar módulo 2 y, por lo tanto, en esos casos, por coherencia, a veces se utiliza el primer tratamiento en su lugar).
  • Siempre que se puede dibujar un segmento de línea entre dos lados, la región en la que se encuentra el segmento de línea se considera dentro de la figura. Esto se muestra en la ilustración de la derecha y ocurre comúnmente cuando se hace un modelo físico.

Cuando se calcula el área del polígono, cada uno de estos enfoques produce un resultado diferente.

En el arte y la cultura

Los polígonos en forma de estrella ocupan un lugar destacado en el arte y la cultura. Estos polígonos pueden ser regulares o no , pero siempre son muy simétricos . Algunos ejemplos son:


Un octagrama {8/3} construido en un octágono regular
Sello de Salomón con círculo y puntos (figura de estrella)

Véase también

Referencias

  1. ^ de Grünbaum y Shephard (1987). Mosaicos y patrones. Sección 2.5
  2. ^ Abelson, Harold, diSessa, Andera, 1980, Geometría de la tortuga , MIT Press, pág. 24
  3. ^ γραμμή, Henry George Liddell, Robert Scott, Un léxico griego-inglés , sobre Perseo
  4. ^ Coxeter, Introducción a la geometría, segunda edición, 2.8 Polígonos estelares , págs. 36–38
  5. ^ Coxeter, Harold Scott Macdonald (1973). Politopos regulares . Courier Dover Publications. pág. 93. ISBN 978-0-486-61480-9.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Polígono estelar". MathWorld .
  7. ^ ¿ Son tus poliedros iguales a los míos? Archivado el 3 de agosto de 2016 en Wayback Machine , Branko Grünbaum
  8. ^ Coxeter, The Densities of the Regular Polytopes I, p. 43:
    Si q es impar, el truncamiento de { p / q } es naturalmente {2 p / q }. Pero si q es par, el truncamiento de { p / q } consiste en dos { p /( q /2)} coincidentes; dos, porque cada lado surge una vez de un lado original y una vez de un vértice original. Como 2( q /2) = q , la densidad de un polígono nunca se altera por el truncamiento.
  9. ^ de Branko Grunbaum y Geoffrey C. Shephard, Teselación mediante polígonos regulares, Mathematics Magazine #50 (1977), págs. 227-247, y #51 (1978), págs. 205-206
  10. ^ Mosaico con polígonos estelares regulares, Joseph Myers
  11. ^ Broug, Eric (27 de mayo de 2008). Patrones geométricos islámicos. Londres: Thames and Hudson. pp. 183–185, 193. ISBN 978-0-500-28721-7.
  • Cromwell, P.; Poliedros , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. 1999, ISBN 0-521-66405-5 . pág. 175  
  • Grünbaum, B. y GC Shephard; Tilings and Patterns , Nueva York: WH Freeman & Co. (1987), ISBN 0-7167-1193-1 . 
  • Grünbaum, B. ; Poliedros con caras huecas, Actas de la Conferencia OTAN-ASI sobre politopos... etc. (Toronto, 1993) , ed. T. Bisztriczky et al. , Kluwer Academic (1994), págs. 43–70.
  • John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things , 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, pág. 404: Politopos estelares regulares, dimensión 2) 
  • Branko Grünbaum , Metamorfosis de polígonos , publicado en El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la Conferencia en memoria de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia (1994)
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