Número trascendental

En matemáticas , un número trascendental es un número real o complejo que no es algebraico : es decir, no es la raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes enteros (o, equivalentemente, racionales ) . Los números trascendentales más conocidos son π y e . ^{[1] [2]} La cualidad de un número de ser trascendental se llama trascendencia .

Aunque sólo se conocen unas pocas clases de números trascendentales, en parte porque puede ser extremadamente difícil demostrar que un número dado es trascendental, los números trascendentales no son raros: de hecho, casi todos los números reales y complejos son trascendentales, ya que los números algebraicos forman un conjunto contable , mientras que el conjunto de números reales y el conjunto de números complejos son ambos conjuntos incontables y, por lo tanto, más grandes que cualquier conjunto contable.

Todos los números reales trascendentales (también conocidos como números reales trascendentales o números irracionales trascendentales ) son números irracionales , ya que todos los números racionales son algebraicos. ^{[3] [4] [5] [6]} Lo inverso no es cierto: no todos los números irracionales son trascendentales. Por lo tanto, el conjunto de números reales consta de conjuntos no superpuestos de números reales racionales, algebraicos no racionales y trascendentales. ^[3] Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, pero no es un número trascendental ya que es una raíz de la ecuación polinómica x ² − 2 = 0 . La proporción áurea (denotada o ) es otro número irracional que no es trascendental, ya que es una raíz de la ecuación polinómica x ² − x − 1 = 0 .${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización \phi}$

El nombre "trascendental" proviene del latín trānscendere  'escalar sobre o más allá, superar', ^[7] y fue utilizado por primera vez para el concepto matemático en el artículo de Leibniz de 1682 en el que demostró que sen x no es una función algebraica de x . ^[8] Euler , en el siglo XVIII, fue probablemente la primera persona en definir los números trascendentales en el sentido moderno. ^[9]

Johann Heinrich Lambert conjeturó que e y π eran ambos números trascendentales en su artículo de 1768 que demostraba que el número π es irracional , y propuso una prueba esquemática tentativa de que π es trascendental. ^[10]

Joseph Liouville demostró por primera vez la existencia de números trascendentales en 1844, ^[11] y en 1851 dio los primeros ejemplos decimales como la constante de Liouville.

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\[2pt]&=10^{-1}+10 ^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\[4pt]&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}000000000000000000{\textbf {1}}0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots \end{aligned}}}$$

en el que el n- ésimo dígito después del punto decimal es 1 si n es igual a k ! ( k factorial ) para algún k y 0 en caso contrario. ^[12] En otras palabras, el n- ésimo dígito de este número es 1 solo si n es uno de los números 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 , etc. Liouville demostró que este número pertenece a una clase de números trascendentales que pueden aproximarse más estrechamente mediante números racionales que cualquier número algebraico irracional, y esta clase de números se llama números de Liouville , nombrados en su honor. Liouville demostró que todos los números de Liouville son trascendentales. ^[13]

El primer número que se demostró trascendental sin haber sido construido específicamente con el propósito de probar la existencia de números trascendentales fue e , de Charles Hermite en 1873.

En 1874, Georg Cantor demostró que los números algebraicos son contables y los números reales son incontables. También dio un nuevo método para construir números trascendentales. ^[14] Aunque esto ya estaba implícito en su prueba de la numerabilidad de los números algebraicos, Cantor también publicó una construcción que demuestra que hay tantos números trascendentales como números reales. ^[a] El trabajo de Cantor estableció la ubicuidad de los números trascendentales.

En 1882, Ferdinand von Lindemann publicó la primera prueba completa de que π es trascendental. Primero demostró que e ^a es trascendental si a es un número algebraico distinto de cero. Entonces, como e ^iπ = −1 es algebraico (ver identidad de Euler ), iπ debe ser trascendental. Pero como i es algebraico, π debe ser trascendental. Este enfoque fue generalizado por Karl Weierstrass a lo que ahora se conoce como el teorema de Lindemann-Weierstrass . La trascendencia de π implica que las construcciones geométricas que involucran solo compás y regla no pueden producir ciertos resultados, por ejemplo, la cuadratura del círculo .

En 1900 David Hilbert planteó una cuestión sobre los números trascendentales, el séptimo problema de Hilbert : si a es un número algebraico que no es cero ni uno, y b es un número algebraico irracional, ¿es a ^b necesariamente trascendental? La respuesta afirmativa fue proporcionada en 1934 por el teorema de Gelfond-Schneider . Este trabajo fue ampliado por Alan Baker en la década de 1960 en su trabajo sobre límites inferiores para formas lineales en cualquier número de logaritmos (de números algebraicos). ^[16]

Un número trascendental es un número (posiblemente complejo) que no es la raíz de ningún polinomio entero. Todo número trascendental real debe ser también irracional , ya que un número racional es la raíz de un polinomio entero de grado uno. ^[17] El conjunto de los números trascendentales es incontablemente infinito . Puesto que los polinomios con coeficientes racionales son contables , y puesto que cada uno de esos polinomios tiene un número finito de ceros , los números algebraicos también deben ser contables. Sin embargo, el argumento diagonal de Cantor demuestra que los números reales (y por tanto también los números complejos ) son incontables. Puesto que los números reales son la unión de los números algebraicos y trascendentales, es imposible que ambos subconjuntos sean contables. Esto hace que los números trascendentales sean incontables.

Ningún número racional es trascendental y todos los números trascendentales reales son irracionales. Los números irracionales contienen todos los números trascendentales reales y un subconjunto de los números algebraicos, incluidos los irracionales cuadráticos y otras formas de irracionales algebraicos.

La aplicación de cualquier función algebraica de una sola variable no constante a un argumento trascendental produce un valor trascendental. Por ejemplo, al saber que π es trascendental, se puede deducir inmediatamente que números como , , y también son trascendentales.${\estilo de visualización 5\pi}$${\displaystyle {\tfrac {\pi -3}{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle ({\sqrt {\pi }}-{\sqrt {3}})^{8}}$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi ^{5}+7}}}$

Sin embargo, una función algebraica de varias variables puede producir un número algebraico cuando se aplica a números trascendentales si estos números no son algebraicamente independientes . Por ejemplo, π y (1 − π ) son ambos trascendentales, pero π + (1 − π ) = 1 obviamente no lo es. Se desconoce si e + π , por ejemplo, es trascendental, aunque al menos uno de e + π y eπ debe ser trascendental. De manera más general, para dos números trascendentales cualesquiera a y b , al menos uno de a + b y ab debe ser trascendental. Para ver esto, considere el polinomio ( x − a )( x − b ) = x ² − ( a + b ) x + ab  . Si ( a + b ) y ab fueran ambos algebraicos, entonces este sería un polinomio con coeficientes algebraicos. Como los números algebraicos forman un cuerpo algebraicamente cerrado , esto implicaría que las raíces del polinomio, a y b , deben ser algebraicas. Pero esto es una contradicción y, por lo tanto, debe darse el caso de que al menos uno de los coeficientes sea trascendental.

Los números no computables son un subconjunto estricto de los números trascendentales.

Todos los números de Liouville son trascendentes, pero no viceversa. Cualquier número de Liouville debe tener cocientes parciales ilimitados en su desarrollo fraccionario continuo simple . Mediante un argumento de conteo se puede demostrar que existen números trascendentales que tienen cocientes parciales acotados y, por lo tanto, no son números de Liouville.

Utilizando la expansión explícita de e en fracciones continuas , se puede demostrar que e no es un número de Liouville (aunque los cocientes parciales en su expansión en fracciones continuas no están acotados). Kurt Mahler demostró en 1953 que π tampoco es un número de Liouville. Se conjetura que todas las fracciones continuas infinitas con términos acotados, que tienen una estructura "simple" y que no son eventualmente periódicas son trascendentales ^[18] (en otras palabras, las raíces irracionales algebraicas de al menos polinomios de tercer grado no tienen un patrón aparente en sus expansiones en fracciones continuas, ya que las fracciones continuas eventualmente periódicas corresponden a irracionales cuadráticos, véase el problema de Hermite ).

Números que demostraron ser trascendentales:

• π (según el teorema de Lindemann-Weierstrass ).
• ${\displaystyle e^{a}}$si es algebraico y distinto de cero (por el teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular el número de Euler e .${\estilo de visualización a}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$donde es un entero positivo; en particular la constante de Gelfond (por el teorema de Gelfond-Schneider ).${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$
• Combinaciones algebraicas de y tales como y (siguiendo de su independencia algebraica ). ^[19]${\estilo de visualización \pi}$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}},n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \pi+e^{\pi }}$${\displaystyle \pi e^{\pi }}$
• $Estilo de visualización a^{b}}$donde es algebraico pero no 0 ni 1, y es algebraico irracional, en particular la constante de Gelfond-Schneider (por el teorema de Gelfond-Schneider).${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$ ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$
• El logaritmo natural es algebraico y no es igual a 0 o 1, para cualquier rama de la función logaritmo (por el teorema de Lindemann-Weierstrass).${\displaystyle \ln(a)}$${\estilo de visualización a}$
• $Estilo de visualización: log _{b}(a)$si y son números enteros positivos y no ambos potencias del mismo entero, y no es igual a 1 (por el teorema de Gelfond-Schneider).${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización a}$
• Todos los números de la forma son trascendentales, donde son algebraicos para todos y son algebraicos distintos de cero para todos (por el teorema de Baker ).${\displaystyle \pi +\beta _{1}\ln(a_{1})+\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})}$${\displaystyle \beta _{j}}$${\displaystyle 1\leq j\leq n}$$estilo de visualización a_ {j}}$${\displaystyle 1\leq j\leq n}$

• Las funciones trigonométricas y sus contrapartes hiperbólicas , para cualquier número algebraico distinto de cero , expresado en radianes (por el teorema de Lindemann-Weierstrass).${\displaystyle \sin(x),\cos(x),...}$${\estilo de visualización x}$
• Resultados distintos de cero de las funciones trigonométricas inversas y sus contrapartes hiperbólicas , para cualquier número algebraico (por el teorema de Lindemann-Weierstrass).${\displaystyle \arcsin(x),\arccos(x),...}$${\estilo de visualización x}$
• ${\displaystyle \pi ^{-1}{\arctan(x)}}$, para racional tal que . ^[20]${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x\notin \{0,\pm {1}\}}$
• El punto fijo de la función coseno (también conocido como número de Dottie ): la única solución real de la ecuación , donde está en radianes (según el teorema de Lindemann-Weierstrass). ^[21]${\estilo de visualización d}$${\displaystyle \cos(x)=x}$${\estilo de visualización x}$
• ${\estilo de visualización W(a)}$si es algebraica y distinta de cero, para cualquier rama de la función W de Lambert (por el teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular la constante omega Ω .${\estilo de visualización a}$
• ${\displaystyle W(r,a)}$si ambos y el orden son algebraicos tales que , para cualquier rama de la función W de Lambert generalizada. ^[22]${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$, la raíz cuadrada de cualquier número natural es un entero o trascendental (según el teorema de Gelfond-Schneider).
• Valores de la función gamma de números racionales que tienen la forma o . ^[23]${\displaystyle \Gamma (n/2),\Gamma (n/3),\Gamma (n/4)}$${\displaystyle \Gamma (n/6)}$
• Combinaciones algebraicas de y o de y como la constante lemniscata (que se desprende de sus respectivas independencias algebraicas). ^[19]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \Gamma (1/3)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ ${\displaystyle \varpi }$
• Los valores de la función Beta si y son números racionales no enteros. ^[24]${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a+b}$
• La función de Bessel de primer tipo , su primera derivada y el cociente son trascendentales cuando es racional y es algebraica y distinta de cero, ^[25] y todas las raíces distintas de cero de y son trascendentales cuando es racional. ^[26]${\displaystyle J_{\nu }(x)}$${\displaystyle {\tfrac {J'_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle x}$${\displaystyle J_{\nu }(x)}$${\displaystyle J'_{\nu }(x)}$${\displaystyle \nu }$
• El número , donde y son funciones de Bessel y es la constante de Euler-Mascheroni . ^{[27] [28]}${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$${\displaystyle \gamma }$
• Cualquier número de Liouville , en particular: la constante de Liouville.
• Números con gran medida de irracionalidad , como la constante de Champernowne (por el teorema de Roth ).${\displaystyle C_{10}}$
• Números construidos artificialmente para no ser períodos algebraicos . ^[29]
• Cualquier número no computable , en particular: la constante de Chaitin .
• Números irracionales construidos que no son simplemente normales en ninguna base. ^[30]
• Cualquier número cuyos dígitos con respecto a una base fija forman una palabra sturmiana . ^[31]
• La constante de Prouhet-Thue-Morse ^[32] y la constante de conejo relacionada. ^[33]
• La constante de Komornik-Loreti . ^[34]
• La constante de plegado del papel (también denominada «número de Liouville de Gauss»). ^[35]
• Los valores de las series infinitas con tasa de convergencia rápida según la definición de Y. Gao y J. Gao, como . ^[36]${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}}}$
• Números de la forma y Para b > 1 donde es la función suelo . ^{[11] [37] [38] [39] [40] [41]}${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-b^{k}}}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor b^{k}\right\rfloor }}$${\displaystyle b\mapsto \lfloor b\rfloor }$

• Cualquier número de la forma (donde , son polinomios en variables y , es algebraico y , es cualquier entero mayor que 1). ^[42]${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}(\beta ^{r^{n}})}{F_{n}(\beta ^{r^{n}})}}}$${\displaystyle E_{n}(z)}$${\displaystyle F_{n}(z)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta \neq 0}$${\displaystyle r}$
• Los números y con sólo dos dígitos decimales diferentes cuyas posiciones de dígitos distintas de cero están dadas por la secuencia de Moser-de Bruijn y su doble. ^[43]${\displaystyle \alpha =3.3003300000...}$${\displaystyle \alpha ^{-1}=0.3030000030...}$
• Los valores de la fracción continua de Rogers-Ramanujan donde es algebraica y . ^[44] Los valores lemniscáticos de la función theta (en las mismas condiciones para ) también son trascendentales. ^[45]${\displaystyle R(q)}$${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle 0<|q|<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$${\displaystyle {q}}$
• j ( q )dondees cuadrática algebraica pero no imaginaria (es decir, elconjunto excepcionalde esta función es el cuerpo de números cuyo grado deextensiónes2).${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Las constantes y en la fórmula para el primer índice de ocurrencia de la secuencia de Gijswijt , donde k es cualquier número entero mayor que 1. ^[46]${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle \nu _{k}}$

Números que aún no se ha demostrado que sean trascendentales o algebraicos:

• La mayoría de las combinaciones no triviales de dos o más números trascendentales no son en sí mismas conocidas como trascendentales o incluso irracionales: eπ , e + π , π ^π , e ^e , π ^e , π ^{√ 2} , e ^{π 2} . Se ha demostrado que tanto e + π como π / e no satisfacen ninguna ecuación polinómica de grado y coeficientes enteros de tamaño medio 10 ⁹ . ^{[47] [48]} Al menos uno de los números e ^e y e ^{e 2} es trascendental. ^[49] La conjetura de Schanuel implicaría que todos los números anteriores son trascendentales y algebraicamente independientes . ^[50]${\displaystyle \leq 8}$
• La constante de Euler-Mascheroni γ : En 2010 se demostró que una lista infinita de constantes de Euler-Lehmer (que incluye γ /4 ) contiene como máximo un número algebraico. ^{[51] [52]} En 2012 se demostró que al menos una de γ y la constante de Gompertz δ es trascendental. ^[53]
• Los valores de la función zeta de Riemann ζ (n) en números enteros positivos impares ; en particular, la constante de Apéry ζ (3) , que se sabe que es irracional. Para los demás números ζ (5), ζ (7), ζ (9), ... ni siquiera esto se conoce.${\displaystyle n\geq 3}$
• Los valores de la función beta de Dirichlet β (n) en números enteros positivos pares ; en particular la constante de Catalan β (2) . (ninguno de ellos es irracional). ^[54]${\displaystyle n\geq 2}$
• Los valores de la función gamma Γ (1/n) para números enteros positivos y negativos no son irracionales, y mucho menos trascendentales. ^{[55] [56]} Para al menos uno de los números Γ (1/n) y Γ (2/n) es trascendental. ^[24]${\displaystyle n=5}$${\displaystyle n\geq 7}$${\displaystyle n\geq 2}$
• Cualquier número dado por algún tipo de límite que no sea obviamente algebraico. ^[56]

La primera demostración de que la base de los logaritmos naturales, e , es trascendental data de 1873. A continuación seguiremos la estrategia de David Hilbert (1862–1943) quien dio una simplificación de la demostración original de Charles Hermite . La idea es la siguiente:

Supongamos, con el fin de encontrar una contradicción , que e es algebraica. Entonces existe un conjunto finito de coeficientes enteros c ₀ , c ₁ , ..., c _n que satisfacen la ecuación: Es difícil hacer uso del estado entero de estos coeficientes cuando se multiplican por una potencia del irracional e , pero podemos absorber esas potencias en una integral que “en su mayoría” asumirá valores enteros. Para un entero positivo k , definamos el polinomio y multipliquemos ambos lados de la ecuación anterior por para llegar a la ecuación:$${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0~.}$$$${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}(x)\,e^{-x}\,\mathrm {d} x\ ,}$$$${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)=0~.}$$

Al dividir los respectivos dominios de integración, esta ecuación se puede escribir en la forma donde Aquí P resultará ser un número entero, pero lo más importante es que crece rápidamente con k .$${\displaystyle P+Q=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\end{aligned}}}$$

Hay k arbitrariamente grandes tales que son un entero distinto de cero.${\displaystyle \ {\tfrac {P}{k!}}\ }$

Demostración. Recordemos la integral estándar (caso de la función Gamma ) válida para cualquier número natural . De manera más general,$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{j}e^{-t}\,\mathrm {d} t=j!}$$ ${\displaystyle j}$

si entonces .${\displaystyle g(t)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}t^{j}}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }g(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=0}^{m}b_{j}j!}$

Esto nos permitiría calcular con exactitud, porque cualquier término de puede reescribirse como mediante un cambio de variables . Por lo tanto, esa última suma es un polinomio en con coeficientes enteros, es decir, es una combinación lineal de potencias con coeficientes enteros. Por lo tanto, el número es una combinación lineal (con esos mismos coeficientes enteros) de factoriales ; en particular es un entero.${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x=c_{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-(x-a)}\,\mathrm {d} x=\left\{{\begin{aligned}t&=x-a\\x&=t+a\\\mathrm {d} x&=\mathrm {d} t\end{aligned}}\right\}=c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$$${\displaystyle P=\sum _{a=0}^{n}c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a){\biggr )}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle t^{j}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle j!}$${\displaystyle P}$

Los factoriales más pequeños dividen a los factoriales más grandes, por lo que el más pequeño que aparece en esa combinación lineal también dividirá a la totalidad de . Obtenemos eso del término de menor potencia que aparece con un coeficiente distinto de cero en , pero este exponente más pequeño también es la multiplicidad de como raíz de este polinomio. se elige para que tenga multiplicidad de la raíz y multiplicidad de las raíces para , de modo que el exponente más pequeño es para y para con . Por lo tanto, divide a .${\displaystyle j!}$${\displaystyle P}$${\displaystyle j!}$${\displaystyle t^{j}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle f_{k}(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle a=1,\dots ,n}$${\displaystyle t^{k}}$${\displaystyle f_{k}(t)}$${\displaystyle t^{k+1}}$${\displaystyle f_{k}(t+a)}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle k!}$${\displaystyle P}$

Para establecer la última afirmación del lema, que es distinto de cero, es suficiente probar que no divide a . Para ello, sea cualquier primo mayor que y . Sabemos por lo anterior que divide a cada uno de para , por lo que, en particular, todos ellos son divisibles por . Todo se reduce al primer término . Tenemos (ver factoriales decrecientes y crecientes ) y todos esos términos de grado superior dan lugar a factoriales o mayores. Por lo tanto, Ese lado derecho es un producto de factores enteros distintos de cero menores que el primo , por lo tanto, ese producto no es divisible por , y lo mismo se aplica a ; en particular, no puede ser cero.${\displaystyle P}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle P}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |c_{0}|}$${\displaystyle (k+1)!}$${\displaystyle \textstyle c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$${\displaystyle 1\leqslant a\leqslant n}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle \textstyle c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t}$$${\displaystyle f_{k}(t)=t^{k}{\bigl [}(t-1)\cdots (t-n){\bigr ]}^{k+1}={\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}t^{k}+{\text{higher degree terms}}}$$${\displaystyle (k+1)!}$$${\displaystyle P\equiv c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t\equiv c_{0}{\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}k!{\pmod {(k+1)}}}$$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

Para k suficientemente grande , .${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$

Prueba. Nótese que

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}\left[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)\right]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}}$$

donde u ( x ), v ( x ) son funciones continuas de x para todo x , por lo que están acotadas en el intervalo [0, n ] . Es decir, existen constantes G , H > 0 tales que

$${\displaystyle \ \left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n~.}$$

Por lo tanto, cada una de esas integrales que componen Q está acotada, siendo el peor caso

$${\displaystyle \left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\ \mathrm {d} \ x\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\ \mathrm {d} \ x=nG^{k}H~.}$$

Ahora también es posible acotar la suma Q :

$${\displaystyle |Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+\cdots +|c_{n}|e^{n}\right)=G^{k}\cdot M\ ,}$$

donde M es una constante que no depende de k . De ello se deduce que

$${\displaystyle \ \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty \ ,}$$

terminando la prueba de este lema.

La elección de un valor de k que satisfaga ambos lemas conduce a que un entero distinto de cero sumado a una cantidad infinitamente pequeña sea igual a cero: una imposibilidad. De ello se deduce que la suposición original, de que e puede satisfacer una ecuación polinómica con coeficientes enteros, también es imposible; es decir, e es trascendental.${\displaystyle \left({\tfrac {P}{k!}}\right)}$${\displaystyle \left({\tfrac {Q}{k!}}\right)}$

Se puede utilizar una estrategia similar, diferente del enfoque original de Lindemann , para demostrar que el número π es trascendental. Además de la función gamma y algunas estimaciones como en la prueba para e , los hechos sobre polinomios simétricos desempeñan un papel vital en la prueba.

Para obtener información detallada sobre las pruebas de la trascendencia de π y e , consulte las referencias y los enlaces externos.

• Teoría de números trascendentales , el estudio de cuestiones relacionadas con los números trascendentales.
• Elemento trascendental , generalización de los números trascendentales en el álgebra abstracta
• Teorema de Gelfond-Schneider
• Aproximación diofántica
• Períodos , conjunto contable de números (incluidos todos los números algebraicos y algunos trascendentales) que pueden definirse mediante ecuaciones integrales.

Sistemas de numeración Complejo ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ Real ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ Racional ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ Entero ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ Natural ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ Cero : 0 Uno : 1 Números primos Números compuestos Números enteros negativos Fracción Decimal finito Diádico (binario finito) Decimal periódico Irracional Irracional algebraico Periodo irracional Trascendental Imaginario

Wikisource tiene el texto original relacionado con este artículo:

Über die Transzendenz der Zahlen e und π. (en alemán)

• Weisstein, Eric W. "Número trascendental". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Número de Liouville". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "La constante de Liouville". MathWorld .
• "Prueba de que e es trascendental". planetmath.org .
• "Prueba de que la constante de Liouville es trascendental". deanlmoore.com . Consultado el 12 de noviembre de 2018 .
• Fritsch, R. (29 de marzo de 1988). ¿Transzendenz von e im Leistungskurs? [ ¿Trascendencia de e en cursos avanzados? ] (PDF) . Rahmen der 79. Hauptversammlung des Deutschen Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts [79.ª Asamblea General Anual de la Asociación Alemana para la Promoción de la Educación en Matemáticas y Ciencias]. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (en alemán). vol. 42. Kiel, DE (publicado en 1989). págs. 75–80 (presentación), 375–376 (respuestas). Archivado desde el original (PDF) el 16 de julio de 2011, a través de la Universidad de Munich (mathematik.uni-muenchen.de).— Prueba de que e es trascendental, en alemán.
• Fritsch, R. (2003). "Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl π" (PDF) . Дифференциальная геометрия многообразий фигур (en alemán). 34 : 144-148. Archivado desde el original (PDF) el 16 de julio de 2011, a través de la Universidad de Munich (mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch).