Polinomio simétrico

En matemáticas , un polinomio simétrico es un polinomio P ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) en n variables, tal que si se intercambia cualquiera de las variables, se obtiene el mismo polinomio. Formalmente, P es un polinomio simétrico si para cualquier permutación σ de los subíndices 1, 2, ..., n se tiene P ( X _σ(1) , X _σ(2) , ..., X _{σ( n )} ) =  P ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) .

Los polinomios simétricos surgen de manera natural en el estudio de la relación entre las raíces de un polinomio en una variable y sus coeficientes , ya que los coeficientes pueden darse mediante expresiones polinómicas en las raíces, y todas las raíces desempeñan un papel similar en este contexto. Desde este punto de vista, los polinomios simétricos elementales son los polinomios simétricos más fundamentales. De hecho, un teorema llamado teorema fundamental de los polinomios simétricos establece que cualquier polinomio simétrico puede expresarse en términos de polinomios simétricos elementales. Esto implica que cada expresión polinómica simétrica en las raíces de un polinomio mónico puede darse alternativamente como una expresión polinómica en los coeficientes del polinomio.

Los polinomios simétricos también forman una estructura interesante por sí mismos, independientemente de cualquier relación con las raíces de un polinomio. En este contexto, otras colecciones de polinomios simétricos específicos, como los polinomios homogéneos completos , los polinomios de suma de potencias y los polinomios de Schur , desempeñan papeles importantes junto con los elementales. Las estructuras resultantes, y en particular el anillo de funciones simétricas , son de gran importancia en combinatoria y en teoría de la representación .

Los siguientes polinomios en dos variables X ₁ y X ₂ son simétricos:

$Estilo de visualización X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$

${\displaystyle 4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}}$

como es el siguiente polinomio en tres variables X ₁ , X ₂ , X ₃ :

${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}}$

Hay muchas maneras de hacer polinomios simétricos específicos en cualquier número de variables (ver los distintos tipos a continuación). Un ejemplo de un tipo algo diferente es

${\displaystyle \prod_{1\leq i<j\leq n}(X_{i}-X_{j})^{2}}$

donde primero se construye un polinomio que cambia de signo ante cada intercambio de variables, y al tomar el cuadrado se vuelve completamente simétrico (si las variables representan las raíces de un polinomio mónico, este polinomio da su discriminante ).

Por otra parte, el polinomio en dos variables

$Estilo de visualización X_{1}-X_{2}}$

no es simétrico, ya que si se intercambia y se obtiene un polinomio diferente, . De manera similar en tres variables$Estilo de visualización X_{1}$$Estilo de visualización X_{2}$$Estilo de visualización X_{2}-X_{1}}$

${\displaystyle X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}}$

tiene simetría únicamente bajo permutaciones cíclicas de las tres variables, lo que no es suficiente para ser un polinomio simétrico. Sin embargo, el siguiente es simétrico:

${\displaystyle X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{4}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{2}X_{2}^{4}X_{3}}$

Un contexto en el que se dan funciones polinómicas simétricas es en el estudio de polinomios univariados mónicos de grado n que tienen n raíces en un cuerpo dado . Estas n raíces determinan el polinomio, y cuando se consideran como variables independientes, los coeficientes del polinomio son funciones polinómicas simétricas de las raíces. Además, el teorema fundamental de los polinomios simétricos implica que una función polinómica f de las n raíces puede expresarse como (otra) función polinómica de los coeficientes del polinomio determinado por las raíces si y solo si f está dada por un polinomio simétrico.

Esto nos lleva a la solución de ecuaciones polinómicas invirtiendo esta función, "rompiendo" la simetría: dados los coeficientes del polinomio (los polinomios simétricos elementales en las raíces), ¿cómo se pueden recuperar las raíces? Esto nos lleva a estudiar soluciones de polinomios utilizando el grupo de permutación de las raíces, originalmente en forma de resolventes de Lagrange , desarrollados posteriormente en la teoría de Galois .

Consideremos un polinomio mónico en t de grado n

${\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}}$

con coeficientes a _i en algún campo  K . Existen n raíces x ₁ ,..., x _n de P en algún campo posiblemente mayor (por ejemplo, si K es el campo de los números reales , las raíces existirán en el campo de los números complejos ); algunas de las raíces podrían ser iguales, pero el hecho de que una tenga todas las raíces se expresa mediante la relación

${\displaystyle P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n}).}$

Comparando coeficientes se encuentra que

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}&=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{1}&=(-1)^{n-1}(x_{2}x_{3}\cdots x_{n}+x_{1}x_{3}x_{4}\cdots x_{n}+\cdots +x_{1}x_{2}\cdots x_{n-2}x_{n}+x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1})=\textstyle (-1)^{n-1}\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}x_{j}\\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.\end{aligned}}}$

En realidad, se trata de ejemplos de las fórmulas de Vieta . Muestran que todos los coeficientes del polinomio se dan en términos de las raíces mediante una expresión polinómica simétrica : aunque para un polinomio P dado puede haber diferencias cualitativas entre las raíces (como estar o no en el cuerpo base  K , ser raíces simples o múltiples), nada de esto afecta la forma en que aparecen las raíces en estas expresiones.

Ahora se puede cambiar el punto de vista, tomando las raíces en lugar de los coeficientes como parámetros básicos para describir P , y considerándolos como indeterminados en lugar de como constantes en un campo apropiado; los coeficientes a _i se convierten entonces simplemente en los polinomios simétricos particulares dados por las ecuaciones anteriores. Esos polinomios, sin el signo , se conocen como los polinomios simétricos elementales en x ₁ , ..., x _n . Un hecho básico, conocido como el teorema fundamental de los polinomios simétricos , establece que cualquier polinomio simétrico en n variables puede darse por una expresión polinómica en términos de estos polinomios simétricos elementales. De ello se deduce que cualquier expresión polinómica simétrica en las raíces de un polinomio mónico puede expresarse como un polinomio en los coeficientes del polinomio, y en particular que su valor se encuentra en el campo base K que contiene esos coeficientes. Por lo tanto, cuando se trabaja únicamente con expresiones polinómicas simétricas en las raíces, no es necesario saber nada particular acerca de esas raíces, ni realizar cálculos en un campo mayor que K en el que puedan encontrarse esas raíces. De hecho, los valores de las raíces mismas se vuelven bastante irrelevantes, y las relaciones necesarias entre los coeficientes y las expresiones polinómicas simétricas se pueden encontrar mediante cálculos en términos de polinomios simétricos únicamente. Un ejemplo de tales relaciones son las identidades de Newton , que expresan la suma de cualquier potencia fija de las raíces en términos de los polinomios simétricos elementales.${\displaystyle (-1)^{ni}}$

Hay algunos tipos de polinomios simétricos en las variables X ₁ , X ₂ , ..., X _n que son fundamentales.

Para cada entero no negativo k , el polinomio simétrico elemental e _k ( X ₁ , ..., X _n ) es la suma de todos los productos distintos de k variables distintas. (Algunos autores lo denotan por σ _k en cambio.) Para k  = 0 solo existe el producto vacío por lo que e ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) = 1, mientras que para k  >  n , no se puede formar ningún producto, por lo que e _k ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) = 0 en estos casos. Los n polinomios simétricos elementales restantes son bloques de construcción para todos los polinomios simétricos en estas variables: como se mencionó anteriormente, cualquier polinomio simétrico en las variables consideradas se puede obtener a partir de estos polinomios simétricos elementales usando solo multiplicaciones y sumas. De hecho, uno tiene los siguientes hechos más detallados:

• cualquier polinomio simétrico P en X ₁ , ..., X _n puede escribirse como una expresión polinómica en los polinomios e _k ( X ₁ , ..., X _n ) con 1 ≤  k  ≤  n ;
• Esta expresión es única hasta la equivalencia de expresiones polinómicas;
• Si P tiene coeficientes integrales , entonces la expresión polinomial también tiene coeficientes integrales.

Por ejemplo, para n = 2, los polinomios simétricos elementales relevantes son e ₁ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ + X ₂ , y e ₂ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ X ₂ . El primer polinomio en la lista de ejemplos anterior puede entonces escribirse como

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=e_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-3e_{2}(X_{1},X_{2})e_{1}(X_{1},X_{2})-7}$

(para una prueba de que esto siempre es posible, véase el teorema fundamental de los polinomios simétricos ).

Las potencias y productos de polinomios simétricos elementales dan lugar a expresiones bastante complicadas. Si uno busca bloques de construcción aditivos básicos para polinomios simétricos, una opción más natural es tomar aquellos polinomios simétricos que contienen solo un tipo de monomio , con solo esas copias requeridas para obtener simetría. Cualquier monomio en X ₁ , ..., X _n se puede escribir como X ₁ ^{α ₁} ... X _n ^{α _n} donde los exponentes α _i son números naturales (posiblemente cero); escribiendo α = (α ₁ ,...,α _n ) esto se puede abreviar a X ^α . El polinomio simétrico monomio m _α ( X ₁ , ..., X _n ) se define como la suma de todos los monomios x ^β donde β abarca todas las permutaciones distintas de (α ₁ ,...,α _n ). Por ejemplo, uno tiene

${\displaystyle m_{(3,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{3}^{3}}$,

${\displaystyle m_{(3,2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}^{3}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{3}.}$

Claramente m _α  =  m _β cuando β es una permutación de α, por lo que normalmente se consideran solo aquellos m _α para los que α ₁  ≥ α ₂  ≥ ... ≥ α _n , en otras palabras para los que α es una partición de un entero . Estos polinomios simétricos monomiales forman una base de espacio vectorial : cada polinomio simétrico P puede escribirse como una combinación lineal de los polinomios simétricos monomiales. Para ello basta con separar los diferentes tipos de monomio que aparecen en P . En particular, si P tiene coeficientes enteros, entonces también los tendrá la combinación lineal.

Los polinomios simétricos elementales son casos particulares de polinomios simétricos monomiales: para 0 ≤  k  ≤  n se tiene

${\displaystyle e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=m_{\alpha }(X_{1},\ldots ,X_{n})}$donde α es la partición de k en k partes 1 (seguida de n  −  k ceros).

Para cada entero k  ≥ 1, el polinomio simétrico monomio m _{( k ,0,...,0)} ( X ₁ , ..., X _n ) es de especial interés. Es el polinomio simétrico de suma de potencias, definido como

${\displaystyle p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}.}$

Todos los polinomios simétricos pueden obtenerse a partir de la primera suma de n potencias de polinomios simétricos mediante adiciones y multiplicaciones, posiblemente involucrando coeficientes racionales . Más precisamente,

Cualquier polinomio simétrico en X ₁ , ..., X _n puede expresarse como una expresión polinomial con coeficientes racionales en la suma de potencias de polinomios simétricos p ₁ ( X ₁ , ..., X _n ), ..., p _n ( X ₁ , ..., X _n ).

En particular, los polinomios de suma de potencias restantes p _k ( X ₁ , ..., X _n ) para k  >  n pueden expresarse así en los primeros n polinomios de suma de potencias; por ejemplo

${\displaystyle p_{3}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {3}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2})-{\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}.}$

A diferencia de la situación de los polinomios homogéneos elementales y completos, un polinomio simétrico en n variables con coeficientes enteros no necesita ser una función polinómica con coeficientes enteros de los polinomios simétricos suma de potencias. Por ejemplo, para n  = 2, el polinomio simétrico

${\displaystyle m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}}$

tiene la expresión

${\displaystyle m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-{\frac {1}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2}).}$

Usando tres variables se obtiene una expresión diferente

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\\&=p_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})p_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})-p_{3}(X_{1},X_{2},X_{3}).\end{aligned}}}$

La expresión correspondiente era válida también para dos variables (basta con poner X ₃ a cero), pero como implica p ₃ , no podía utilizarse para ilustrar el enunciado para n  = 2. El ejemplo muestra que el que la expresión para un polinomio simétrico monomial dado en términos de los primeros n polinomios suma de potencias implique o no coeficientes racionales puede depender de n . Pero siempre se necesitan coeficientes racionales para expresar polinomios simétricos elementales (excepto los constantes, y e ₁ que coincide con la primera suma de potencias) en términos de polinomios suma de potencias. Las identidades de Newton proporcionan un método explícito para hacer esto; implica la división por números enteros hasta n , lo que explica los coeficientes racionales. Debido a estas divisiones, el enunciado mencionado falla en general cuando los coeficientes se toman en un cuerpo de característica finita ; sin embargo, es válido con coeficientes en cualquier anillo que contenga los números racionales.

Para cada entero no negativo k , el polinomio simétrico homogéneo completo h _k ( X ₁ , ..., X _n ) es la suma de todos los monomios distintos de grado k en las variables X ₁ , ..., X _n . Por ejemplo

${\displaystyle h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}+X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{3}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}+X_{3}^{3}.}$

El polinomio h _k ( X ₁ , ..., X _n ) es también la suma de todos los polinomios simétricos monomiales distintos de grado k en X ₁ , ..., X _n , por ejemplo para el ejemplo dado

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3})+(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2})+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}}$

Todos los polinomios simétricos en estas variables pueden construirse a partir de polinomios homogéneos completos: cualquier polinomio simétrico en X ₁ , ..., X _n puede obtenerse a partir de los polinomios simétricos homogéneos completos h ₁ ( X ₁ , ..., X _n ), ..., h _n ( X ₁ , ..., X _n ) mediante multiplicaciones y sumas. Más precisamente:

Cualquier polinomio simétrico P en X ₁ , ..., X _n puede escribirse como una expresión polinomial en los polinomios h _k ( X ₁ , ..., X _n ) con 1 ≤  k  ≤  n .

Si P tiene coeficientes integrales, entonces la expresión polinomial también tiene coeficientes integrales.

Por ejemplo, para n = 2, los polinomios simétricos homogéneos completos relevantes son h ₁ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ + X ₂ y h ₂ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ ² + X ₁ X ₂ + X ₂ ² . El primer polinomio en la lista de ejemplos anterior puede entonces escribirse como

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7=-2h_{1}(X_{1},X_{2})^{3}+3h_{1}(X_{1},X_{2})h_{2}(X_{1},X_{2})-7.}$

Como en el caso de las sumas de potencias, la afirmación dada se aplica en particular a los polinomios simétricos homogéneos completos más allá de h _n ( X ₁ , ..., X _n ), lo que permite expresarlos en términos de los hasta ese punto; nuevamente las identidades resultantes se vuelven inválidas cuando se aumenta el número de variables.

Un aspecto importante de los polinomios simétricos homogéneos completos es su relación con los polinomios simétricos elementales, que pueden expresarse como las identidades

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{k-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0}$, para todo k  > 0, y cualquier número de variables  n .

Como e ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) y h ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) son ambos iguales a 1, se puede aislar tanto el primer como el último término de estas sumas; el primero da un conjunto de ecuaciones que permite expresar recursivamente los sucesivos polinomios simétricos homogéneos completos en términos de los polinomios simétricos elementales, y el segundo da un conjunto de ecuaciones que permite hacer lo inverso. Esto muestra implícitamente que cualquier polinomio simétrico se puede expresar en términos de h _k ( X ₁ , ..., X _n ) con 1 ≤  k  ≤  n : primero se expresa el polinomio simétrico en términos de los polinomios simétricos elementales, y luego se expresan estos en términos de los polinomios homogéneos completos mencionados.

Otra clase de polinomios simétricos son los polinomios de Schur, que tienen una importancia fundamental en las aplicaciones de los polinomios simétricos a la teoría de la representación . Sin embargo, no son tan fáciles de describir como los otros tipos de polinomios simétricos especiales; consulte el artículo principal para obtener más detalles.

Los polinomios simétricos son importantes para el álgebra lineal , la teoría de la representación y la teoría de Galois . También son importantes en la combinatoria , donde se estudian principalmente a través del anillo de funciones simétricas , lo que evita tener que llevar un número fijo de variables todo el tiempo.

Análogos a los polinomios simétricos son los polinomios alternados : polinomios que, en lugar de ser invariantes ante la permutación de las entradas, cambian según el signo de la permutación .

Todos estos son productos del polinomio de Vandermonde y un polinomio simétrico, y forman una extensión cuadrática del anillo de polinomios simétricos: el polinomio de Vandermonde es una raíz cuadrada del discriminante.

• Función simétrica
• Las identidades de Newton
• Función simétrica de Stanley
• Desigualdad de Muirhead

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
• Macdonald, IG (1979), Funciones simétricas y polinomios de Hall . Monografías matemáticas de Oxford. Oxford: Clarendon Press.
• IG Macdonald (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall , segunda edición, Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (libro de bolsillo, 1998). 
• Richard P. Stanley (1999), Combinatoria enumerativa , vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1