Azulejos hexagonales

Regular tiling of a two-dimensional space

Azulejos hexagonales

Tipo	Azulejos regulares
Configuración de vértice	6.6.6 (o 6 ³ )
Configuración de la cara	V3.3.3.3.3.3 (o V3 ⁶ )
Símbolo(s) de Schläfli	{6,3} y {3,6}
Símbolo(s) de Wythoff	3 \| 6 2 2 6 \| 3 3 3 3 \|
Diagrama(s) de Coxeter
Simetría	p6m , [6,3], (*632)
Simetría de rotación	p6 , [6,3] ⁺ , (632)
Dual	Azulejos triangulares
Propiedades	Vértice-transitivo , arista-transitivo , cara-transitivo

En geometría , el mosaico hexagonal o teselación hexagonal es un mosaico regular del plano euclidiano , en el que exactamente tres hexágonos se encuentran en cada vértice. Tiene el símbolo de Schläfli ${6,3}$ o $t {3,6}$ (como mosaico triangular truncado ).

El matemático inglés John Conway lo llamó hextille .

El ángulo interno del hexágono es de 120 grados, por lo que tres hexágonos en un punto forman un total de 360 grados. Es una de las tres teselas regulares del plano . Las otras dos son la tesela triangular y la tesela cuadrada .

Aplicaciones

El mosaico hexagonal es la forma más densa de organizar círculos en dos dimensiones. La conjetura del panal de abejas afirma que el mosaico hexagonal es la mejor forma de dividir una superficie en regiones de igual área con el menor perímetro total. La estructura tridimensional óptima para hacer panales de abejas (o más bien, burbujas de jabón) fue investigada por Lord Kelvin , quien creía que la estructura de Kelvin (o red cúbica centrada en el cuerpo ) es óptima. Sin embargo, la estructura de Weaire-Phelan, menos regular, es ligeramente mejor.

Esta estructura existe de forma natural en forma de grafito , donde cada lámina de grafeno se asemeja a una malla de alambre, con fuertes enlaces covalentes de carbono. Se han sintetizado láminas de grafeno tubulares, conocidas como nanotubos de carbono . Tienen muchas aplicaciones potenciales, debido a su alta resistencia a la tracción y propiedades eléctricas. El siliceno es similar.

La malla de gallinero consiste en una red hexagonal (a menudo no regular) de alambres.

El empaquetamiento circular más denso está dispuesto como los hexágonos en este mosaico.
Cerca de alambre de gallinero
Grafeno
Un nanotubo de carbono puede verse como un mosaico hexagonal sobre una superficie cilíndrica .
Azulejo persa hexagonal de alrededor de 1955

El mosaico hexagonal aparece en muchos cristales. En tres dimensiones, el empaquetamiento cúbico centrado en las caras y el empaquetamiento hexagonal son estructuras cristalinas comunes. Son los empaquetamientos esféricos más densos en tres dimensiones. Estructuralmente, comprenden capas paralelas de mosaicos hexagonales, similares a la estructura del grafito. Se diferencian en la forma en que las capas están escalonadas entre sí, siendo el cúbico centrado en las caras el más regular de los dos. El cobre puro , entre otros materiales, forma una red cúbica centrada en las caras.

Coloraciones uniformes

Hay tres coloraciones uniformes distintas de un mosaico hexagonal, todas generadas a partir de la simetría reflexiva de las construcciones de Wythoff . ( h , k ) representan la repetición periódica de un mosaico coloreado, contando las distancias hexagonales como h primero y k segundo. El mismo conteo se utiliza en los poliedros de Goldberg , con una notación { p +,3} _{h , k} , y se puede aplicar a mosaicos hiperbólicos para p > 6.

k -uniforme	1-uniform			2-uniform		3-uniform
Simetría	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		pág. 6, (632)
Imagen
Bandera	1	2	3	2	4	2	7
(h,k)	(1,0)	(1,1)		(2,0)		(2,1)
Colapso	{6,3}	t{3,6}	t{3 ^[3] }
Wythoff	3 \| 6 2	2 6 \| 3	3 3 3 \|
Coxeter
Conway	yo	tΔ		cH=t6daH		¿Cuánto tiempo lleva?

El mosaico de tres colores es una teselación generada por los permutoedros de orden 3 .

Azulejo hexagonal biselado

Un mosaico hexagonal achaflanado reemplaza las aristas por nuevos hexágonos y se transforma en otro mosaico hexagonal. En el límite, las caras originales desaparecen y los nuevos hexágonos degeneran en rombos, y se convierte en un mosaico rómbico .

El *mosaico hexagonal achaflanado* degenera en un mosaico romboidal en el límite.

Hexágonos (H)	Hexágonos biselados (cH)			Rombos (daH)

Mosaicos relacionados

Los hexágonos se pueden dividir en conjuntos de 6 triángulos. Este proceso da lugar a dos mosaicos 2-uniformes y al mosaico triangular :

Azulejos regulares	Disección	2-azulejos uniformes		Azulejos regulares	Recuadro	Azulejos dobles
Original		1/3 diseccionado	2/3 diseccionado	completamente diseccionado		De E a IH a FH a H

El mosaico hexagonal puede considerarse un mosaico rómbico alargado , en el que cada vértice del mosaico rómbico se estira hasta formar una nueva arista. Esto es similar a la relación de los teselados del dodecaedro rómbico y del dodecaedro rombohexagonal en tres dimensiones.

Azulejos rómbicos	Azulejos hexagonales	La esgrima utiliza esta relación

También es posible subdividir los prototiles de ciertas teselaciones hexagonales en dos, tres, cuatro o nueve pentágonos iguales:

Revestimiento pentagonal tipo 1 con superposiciones de hexágonos regulares (cada uno compuesto por 2 pentágonos).	mosaico pentagonal tipo 3 con superposiciones de hexágonos regulares (cada uno compuesto por 3 pentágonos).	Revestimiento pentagonal tipo 4 con superposiciones de hexágonos semirregulares (cada uno de ellos compuesto por 4 pentágonos).	Teselación pentagonal tipo 3 con superposiciones de dos tamaños de hexágonos regulares (compuestos por 3 y 9 pentágonos respectivamente).

Mutaciones de simetría

Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de mosaicos regulares con caras hexagonales , comenzando con el mosaico hexagonal, con símbolo de Schläfli {6,n} y diagrama de Coxeter. , progresando hasta el infinito.

* n 62 mutación de simetría de teselaciones regulares: {6, n } en a mi
Esférico	Euclidiano	Teselación hiperbólica
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

Este teselado está relacionado topológicamente con poliedros regulares con figura de vértice n ³ , como parte de una secuencia que continúa en el plano hiperbólico .

* n 32 mutación de simetría de teselaciones regulares: { n ,3} en a mi
Esférico				Euclidiano	Hiperb. compacta.		Paraíso.	Hiperbólica no compacta

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

Está relacionado de manera similar con los poliedros truncados uniformes con figura de vértice n .° 6.6.

* n 32 mutación de simetría de teselaciones truncadas: n .6.6 en a mi
Sím. * n 42 [n,3]	Esférico				Euclides.	Compacto		Parac.	Hiperbólica no compacta
Sím. * n 42 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Cifras truncadas
Configuración.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
figuras n-kis
Configuración.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Este mosaico también forma parte de una secuencia de poliedros rómbicos truncados y mosaicos con simetría de grupo de Coxeter [n,3] . El cubo puede verse como un hexaedro rómbico donde los rombos son cuadrados. Las formas truncadas tienen n-gonos regulares en los vértices truncados y caras hexagonales no regulares.

Mutaciones de simetría de teselados cuasirregulares duales: V(3.n) ²
*n32	Esférico			Euclidiano	Hiperbólico
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Embaldosado
Conferencia.	V(3.3) ²	V(3.4) ²	V(3,5) ²	V(3.6) ²	V(3.7) ²	V(3.8) ²	V(3.∞) ²

Construcciones Wythoff a partir de teselas hexagonales y triangulares

Al igual que los poliedros uniformes, hay ocho teselas uniformes que pueden basarse en la teselación hexagonal regular (o en la teselación triangular dual ).

Al dibujar los mosaicos coloreados de rojo en las caras originales, de amarillo en los vértices originales y de azul en los bordes originales, se obtienen 8 formas, 7 de las cuales son topológicamente distintas. (El mosaico triangular truncado es topológicamente idéntico al mosaico hexagonal).

Teselación hexagonal/triangular uniforme
Dominios fundamentales	Simetría : [6,3], (*632)							[6,3] ⁺ , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}


Configuración.	6 ³	3.12.12	(6.3) ²	6.6.6	3 ⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Teselación hexagonal convexa monoédrica

Hay 3 tipos de teselación hexagonal convexa monoédrica. ^[1] Todas son isoédricas . Cada una tiene variaciones paramétricas dentro de una simetría fija. El tipo 2 contiene reflexiones de deslizamiento y es 2-isoédrica, lo que mantiene los pares quirales separados.

3 tipos de teselaciones hexagonales convexas monoédricas
1	2		3
pág. 2, 2222	pág., 22×	pág. 2, 2222	pág. 3, 333

b = eB + C + D = 360°	b = e, d = fB + C + E = 360°		a = f, b = c, d = e B = D = F = 120°
Celosía de 2 tejas	Celosía de 4 tejas		Celosía de 3 tejas

Teselación topológicamente equivalente

Los mosaicos hexagonales se pueden realizar con la topología {6,3} idéntica a la del mosaico regular (3 hexágonos alrededor de cada vértice). Con caras isoédricas, hay 13 variaciones. La simetría dada supone que todas las caras son del mismo color. Los colores aquí representan las posiciones de la red. ^[2] Las redes de un solo color (1 mosaico) son hexágonos en paralelo .

13 hexágonos con teselas isoédricas
pág. (××)	pág. 3 (333)	pmg (22*)

página (22×)	p31m (3*3)	pág. 2 (2222)	cmm (2*22)	p6m (*632)

Otros mosaicos hexagonales topológicos isoédricos se consideran cuadriláteros y pentágonos que no son de borde con borde, sino que se interpretan como bordes adyacentes colineales:

Cuadriláteros con teselas isoédricas
pmg (22*)		página (22×)			cmm (2*22)	pág. 2 (2222)
Paralelogramo	Trapecio	Paralelogramo	Rectángulo	Paralelogramo	Rectángulo	Rectángulo

Pentágonos con teselas isoédricas
pág. 2 (2222)	página (22×)	pág. 3 (333)

Las teselaciones 2-uniformes y 3-uniformes tienen un grado de libertad rotacional que distorsiona 2/3 de los hexágonos, incluido un caso colineal que también puede verse como un mosaico de hexágonos y triángulos más grandes sin borde con borde. ^[3]

También se puede distorsionar en un patrón tejido tridireccional quiral de 4 colores, distorsionando algunos hexágonos en paralelogramos . El patrón tejido con 2 caras coloreadas tiene simetría rotacional 632 (p6) . Un patrón de chevron tiene simetría pmg (22*), que se reduce a p1 (°) con 3 o 4 mosaicos coloreados.

Regular	Girado	Regular	Tejido	Cheurón
p6m, (*632)	pág. 6, (632)	p6m (*632)	pág. 6 (632)	p1 (°)

p3m1, (*333)	pág. 3, (333)	p6m (*632)	pág. 2 (2222)	p1 (°)

Empaquetado circular

El mosaico hexagonal se puede utilizar como un empaquetamiento circular , colocando círculos de igual diámetro en el centro de cada punto. Cada círculo está en contacto con otros 3 círculos en el empaquetamiento ( número de besos ). ^[4] El espacio dentro de cada hexágono permite un círculo, creando el empaquetamiento más denso del mosaico triangular , con cada círculo en contacto con un máximo de 6 círculos.

Apeirogones complejos regulares relacionados

Hay 2 apeirógonos complejos regulares que comparten los vértices del mosaico hexagonal. Los apeirógonos complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirógonos regulares p { q } r están restringidos por: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Las aristas tienen p vértices y las figuras de vértices son r -gonales. ^[5]

El primero está formado por dos aristas, tres alrededor de cada vértice, el segundo tiene aristas hexagonales, tres alrededor de cada vértice. Un tercer apeirógono complejo, que comparte los mismos vértices, es cuasirregular, que alterna dos y seis aristas.

2{12}3 o	6{4}3 o

Véase también

Referencias

^ Teselación y patrones , Sec. 9.3 Otras teselación monoédrica mediante polígonos convexos
^ Teselación y patrones , de la lista de 107 teselación isoédrica, págs. 473–481
^ Azulejos y patrones , mosaicos uniformes que no están borde con borde
^ Orden en el espacio: un libro de referencia sobre diseño, Keith Critchlow, págs. 74-75, patrón 2
^ Coxeter, Politopos complejos regulares, págs. 111-112, pág. 136.

Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 pág. 296, Tabla II: Panales regulares
Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Mosaicos y patrones . Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Capítulo 2.1: Teselación regular y uniforme , págs. 58-65)
Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc., pág. 35. ISBN 0-486-23729-X.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Cuadrícula hexagonal". MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teselación regular". MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teselación uniforme". MathWorld .
Klitzing, Richard. "Teselación euclidiana 2D o3o6x – hexat – O3".

en a mi Panales fundamentales convexos regulares y uniformes en dimensiones 2–9
Espacio	Familia	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\tilde {E}}_{n-1}$
Y ²	Azulejos uniformes	0 _[3]	delta ₃	hδ3	qδ3	Hexagonal
Y ³	Panal de abeja convexo uniforme	0 _[4]	delta ₄	hδ4	qδ4
E4	Uniforme de 4 panales	0 _[5]	del ₅	hδ5	qδ5	Panal de abeja de 24 celdas
E ⁵	Uniforme de 5 panales	0 _[6]	delta ₆	hδ6	qδ6
E6	Uniforme de 6 panales	0 _[7]	delta ₇	hδ7	qδ7	2 ₂₂
E7	Uniforme de 7 panales	0 _[8]	del ₈	hδ8	qδ8	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E8	Uniforme de 8 panales	0 _[9]	del ₉	hδ9	qδ9	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E9	Uniforme de 9 panales	0 _[10]	delta ₁₀	hδ10	qδ10
E10	Uniforme de 10 panales	0 _[11]	delta ₁₁	hδ11	qδ11
En ^-1	Uniforme ( n -1)- panal	0 _{[ n ]}	delta _n	hδn	qδn	1 _k2 • 2 _k1 • k21

[1] Teselación y patrones , Sec. 9.3 Otras teselación monoédrica mediante polígonos convexos

[2] Teselación y patrones , de la lista de 107 teselación isoédrica, págs. 473–481

[3] Azulejos y patrones , mosaicos uniformes que no están borde con borde

[Critchlow-4] Orden en el espacio: un libro de referencia sobre diseño, Keith Critchlow, págs. 74-75, patrón 2

[5] Coxeter, Politopos complejos regulares, págs. 111-112, pág. 136.