Teoremas de Helmholtz

Movimiento 3D del fluido cerca de las líneas de vórtice

En mecánica de fluidos , los teoremas de Helmholtz , llamados así por Hermann von Helmholtz , describen el movimiento tridimensional de un fluido en las proximidades de las líneas de vórtice . Estos teoremas se aplican a flujos no viscosos y a flujos en los que la influencia de las fuerzas viscosas es pequeña y puede ignorarse.

Los tres teoremas de Helmholtz son los siguientes: ^[1]

Primer teorema de Helmholtz: La fuerza de una línea de vórtice es constante a lo largo de su longitud.
Segundo teorema de Helmholtz: Una línea de vórtice no puede terminar en un fluido; debe extenderse hasta los límites del fluido o formar un camino cerrado.
Tercer teorema de Helmholtz: Un elemento fluido que inicialmente es irrotacional sigue siendo irrotacional.

Los teoremas de Helmholtz se aplican a flujos no viscosos. En las observaciones de vórtices en fluidos reales, la fuerza de los vórtices siempre decae gradualmente debido al efecto disipativo de las fuerzas viscosas .

Las expresiones alternativas de los tres teoremas son las siguientes:

La fuerza de un tubo de vórtice no varía con el tiempo. ^[2]
Los elementos de fluido que se encuentran en una línea de vórtice en un instante determinado continúan estando en esa línea. En términos más simples, las líneas de vórtice se mueven con el fluido. Además, las líneas de vórtice y los tubos deben aparecer como un bucle cerrado, extenderse hasta el infinito o comenzar/terminar en límites sólidos.
Los elementos fluidos inicialmente libres de vorticidad permanecen libres de vorticidad.

Los teoremas de Helmholtz tienen aplicación para comprender:

En la actualidad, los teoremas de Helmholtz se prueban generalmente con referencia al teorema de circulación de Kelvin . Sin embargo, los teoremas de Helmholtz se publicaron en 1858, ^[3] nueve años antes de la publicación del teorema de Kelvin en 1867.

Notas

^ Kuethe y Schetzer, Fundamentos de la aerodinámica , Sección 2.14
^ La fuerza de un tubo de vórtice ( circulación ), se define como: donde es también la circulación, es el vector de vorticidad , es el vector normal a una superficie A , formado al tomar una sección transversal del tubo de vórtice con área elemental dA , es el vector de velocidad en la curva cerrada C , que limita la superficie A. La convención para definir el sentido de circulación y la normal a la superficie A viene dada por la regla del tornillo de la mano derecha . El tercer teorema establece que esta fuerza es la misma para todas las secciones transversales A del tubo y es independiente del tiempo. Esto es equivalente a decir $\Gamma =\int _{A}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}dA=\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}$ ${\estilo de visualización \Gamma}$ ${\vec {\omega }}$ ${\vec {n}}$ ${\vec {u}}$ ${\frac {D\Gamma}{Dt}}=0$
^ Helmholtz, H. (1858). "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 55 : 25–55. ISSN 0075-4102.

Referencias

MJ Lighthill, Una introducción informal a la mecánica teórica de fluidos , Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-853630-5
PG Saffman , Dinámica de vórtices , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-42058-X
GK Batchelor , Introducción a la dinámica de fluidos , Cambridge University Press (1967, reimpreso en 2000).
Kundu, P y Cohen, I, Mecánica de fluidos , 2ª edición, Academic Press 2002.
George B. Arfken y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos , 4.ª edición, Academic Press: San Diego (1995), págs. 92-93
AM Kuethe y JD Schetzer (1959), Fundamentos de la aerodinámica , 2.ª edición. John Wiley & Sons, Inc. Nueva York ISBN 0-471-50952-3

[1] Kuethe y Schetzer, Fundamentos de la aerodinámica , Sección 2.14

[2] La fuerza de un tubo de vórtice ( circulación ), se define como: donde es también la circulación, es el vector de vorticidad , es el vector normal a una superficie A , formado al tomar una sección transversal del tubo de vórtice con área elemental dA , es el vector de velocidad en la curva cerrada C , que limita la superficie A. La convención para definir el sentido de circulación y la normal a la superficie A viene dada por la regla del tornillo de la mano derecha . El tercer teorema establece que esta fuerza es la misma para todas las secciones transversales A del tubo y es independiente del tiempo. Esto es equivalente a decir $\Gamma =\int _{A}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}dA=\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}$ ${\estilo de visualización \Gamma}$ ${\vec {\omega }}$ ${\vec {n}}$ ${\vec {u}}$ ${\frac {D\Gamma}{Dt}}=0$

[3] Helmholtz, H. (1858). "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 55 : 25–55. ISSN 0075-4102.