Teorema de Clark-Ocone

En matemáticas , el teorema de Clark-Ocone (también conocido como teorema de Clark-Ocone-Haussmann o fórmula ) es un teorema de análisis estocástico . Expresa el valor de una función F definida en el espacio de Wiener clásico de trayectorias continuas que comienzan en el origen como la suma de su valor medio y una integral de Itô con respecto a esa trayectoria. Recibe su nombre de las contribuciones de los matemáticos J. M. C. Clark (1970), Daniel Ocone (1984) y U. G. Haussmann (1978).

Enunciado del teorema

Sea C 0 ([0,  T ];  R ) (o simplemente C 0 para abreviar) un espacio clásico de Wiener con medida de Wiener γ . Sea F  :  C 0  →  R una función BC 1 , es decir, F está acotada y es diferenciable según Fréchet con derivada acotada D F  :  C 0  → Lin( C 0R ). Entonces

F ( σ ) = do 0 F ( pag ) d gamma ( pag ) + 0 yo mi [ a yo F ( ) | Σ a ] ( σ ) d σ a . {\displaystyle F(\sigma )=\int _ {C_{0}}F(p)\,\mathrm {d} \gamma (p)+\int _{0}^{T}\mathbf {E} \left[\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{H}F(-)\right|\Sigma _{t}\right](\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}.}

En lo anterior

  • F ( σ ) es el valor de la función F en algún camino específico de interés, σ ;
  • la primera integral,
do 0 F ( pag ) d gamma ( pag ) = mi [ F ] {\displaystyle \int _{C_{0}}F(p)\,\mathrm {d} \gamma (p)=\mathbf {E} [F]}
es el valor esperado de F en todo el espacio de Wiener C 0 ;
  • la segunda integral,
0 yo d σ ( a ) {\displaystyle \int _{0}^{T}\cdots \,\mathrm {d} \sigma (t)}
es una integral de Itô ;

De manera más general, la conclusión es válida para cualquier F en L 2 ( C 0R ) que sea diferenciable en el sentido de Malliavin.

Integración por partes en el espacio de Wiener

El teorema de Clark-Ocone da lugar a una fórmula de integración por partes en el espacio de Wiener clásico y a escribir las integrales de Itô como divergencias :

Sea B un movimiento browniano estándar y sea L 0 2,1 el espacio de Cameron–Martin para C 0 (véase el espacio abstracto de Wiener) . Sea V  :  C 0  →  L 0 2,1 un campo vectorial tal que

V ˙ = V a : [ 0 , yo ] × do 0 R {\displaystyle {\dot {V}}={\frac {\partial V}{\partial t}}:[0,T]\times C_{0}\to \mathbb {R} }

está en L 2 ( B ) (es decir, es integrable y, por lo tanto, es un proceso adaptado ). Sea F  :  C 0  →  R BC 1 como se indicó anteriormente. Entonces

do 0 D F ( σ ) ( V ( σ ) ) d gamma ( σ ) = do 0 F ( σ ) ( 0 yo V ˙ a ( σ ) d σ a ) d gamma ( σ ) , {\displaystyle \int _{C_{0}}\mathrm {D} F(\sigma )(V(\sigma ))\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )=\int _{C_{0) }}F(\sigma )\left(\int _{0}^{T}{\dot {V}}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}\right)\,\mathrm {d} \gamma (\sigma ),}

es decir

do 0 yo F ( σ ) , V ( σ ) yo 0 2 , 1 d gamma ( σ ) = do 0 F ( σ ) división ( V ) ( σ ) d gamma ( σ ) {\displaystyle \int _{C_{0}}\left\langle \nabla _{H}F(\sigma ),V(\sigma )\right\rangle _{L_{0}^{2,1}} \,\mathrm {d} \gamma (\sigma )=-\int _{C_{0}}F(\sigma )\operatorname {div} (V)(\sigma )\,\mathrm {d} \gamma (\sigma)}

o, escribiendo las integrales sobre C 0 como expectativas:

mi [ yo F , V ] = mi [ F división V ] , {\displaystyle \mathbb {E} {\big [}\langle \nabla _{H}F,V\rangle {\big ]}=-\mathbb {E} {\big [}F\nombre del operador {div} V{\big ]},}

donde la "divergencia" div( V ) :  C 0  →  R se define por

división ( V ) ( σ ) := 0 yo V ˙ a ( σ ) d σ a . {\displaystyle \operatorname {div} (V)(\sigma ):=-\int _{0}^{T}{\dot {V}}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}.}

La interpretación de las integrales estocásticas como divergencias conduce a conceptos como la integral de Skorokhod y las herramientas del cálculo de Malliavin .

Véase también

Referencias

  • Nualart, David (2006). El cálculo de Malliavin y temas relacionados . Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York) (Segunda edición). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.
  • Friz, Peter K. (10 de abril de 2005). "Introducción al cálculo de Malliavin" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de abril de 2007. Consultado el 23 de julio de 2007 .
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