Proceso adaptado

En el estudio de los procesos estocásticos , un proceso estocástico es adaptado (también denominado proceso no anticipativo o no anticipativo ) si la información sobre el valor del proceso en un momento dado está disponible en ese mismo momento. Una interpretación informal [1] es que X es adaptado si y solo si, para cada realización y cada n , X n es conocido en el momento n . El concepto de proceso adaptado es esencial, por ejemplo, en la definición de la integral de Itō , que solo tiene sentido si el integrando es un proceso adaptado.

Definición

Dejar

  • ( Ohmio , F , PAG ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} sea ​​un espacio de probabilidad ;
  • I {\displaystyle I} ser un conjunto de índices con un orden total (a menudo, es , o ); {\estilo de visualización \leq} I {\displaystyle I} norte {\displaystyle \mathbb {N}} norte 0 {\displaystyle \mathbb {N}_{0}} [ 0 , yo ] {\estilo de visualización [0,T]} [ 0 , + ) {\displaystyle [0,+\infty )}
  • F = ( F i ) i I {\displaystyle \mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}} sea ​​una filtración del álgebra sigma ; F {\displaystyle {\mathcal {F}}}
  • ( S , Σ ) {\estilo de visualización (S,\Sigma )} ser un espacio medible , el espacio de estados ;
  • incógnita i : I × Ohmio S {\displaystyle X_{i}:I\times \Omega \to S} ser un proceso estocástico .

Se dice que el proceso estocástico está adaptado a la filtración si la variable aleatoria es una función medible para cada . [2] ( incógnita i ) i I {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} ( F i ) i I {\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}} incógnita i : Ohmio S {\displaystyle X_{i}:\Omega \to S} ( F i , Σ ) {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )} i I {\displaystyle i\en I}

Ejemplos

Consideremos un proceso estocástico X  : [0, T ] × Ω → R , y equipemos la línea real R con su álgebra sigma de Borel habitual generada por los conjuntos abiertos .

  • Si tomamos la filtración natural F X , donde F t X es la σ -álgebra generada por las preimágenes X s −1 ( B ) para los subconjuntos de Borel B de R y tiempos 0 ≤ st , entonces X es automáticamente F X -adaptado. Intuitivamente, la filtración natural F X contiene "información total" sobre el comportamiento de X hasta el tiempo  t .
  • Esto ofrece un ejemplo simple de un proceso no adaptado X  : [0, 2] × Ω → R : establezca F t como la σ -álgebra trivial {∅, Ω} para tiempos 0 ≤  t  < 1, y F t = F t X para tiempos 1 ≤ t ≤ 2 . Dado que la única forma en que una función puede ser medible con respecto a la σ -álgebra trivial es ser constante, cualquier proceso X que no sea constante en [0, 1] no estará F • -adaptado. La naturaleza no constante de un proceso de este tipo "usa información" de las σ -álgebras "futuras" más refinadas F t , 1 ≤ t ≤ 2 .

Véase también

Referencias

  1. ^ Wiliams, David (1979). "II.25". Difusiones, Procesos de Markov y Martingalas: Fundamentos . vol. 1. Wiley. ISBN 0-471-99705-6.
  2. ^ Øksendal, Bernt (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas . Springer. pág. 25. ISBN. 978-3-540-04758-2.
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