Teorema de Bohr-Mollerup

En análisis matemático , el teorema de Bohr-Mollerup ^{[1] [2]} es un teorema demostrado por los matemáticos daneses Harald Bohr y Johannes Mollerup . ^[3] El teorema caracteriza la función gamma , definida para x > 0 por

${\displaystyle \Gamma(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$

como la única función positiva  f  , con dominio en el intervalo x > 0 , que tiene simultáneamente las tres propiedades siguientes:

•  f  (1) = 1 , y
•  f  ( x + 1) = x  f  ( x ) para x > 0 y
•  f  es logarítmicamente convexa .

Un tratamiento de este teorema se encuentra en el libro de Artin The Gamma Function , ^[4] que ha sido reimpreso por la AMS en una colección de los escritos de Artin. ^[5]

El teorema se publicó por primera vez en un libro de texto sobre análisis complejo , ya que Bohr y Mollerup pensaron que ya había sido demostrado. ^[3]

El teorema admite una generalización de largo alcance a una amplia variedad de funciones (que tienen propiedades de convexidad o concavidad de cualquier orden). ^[6]

Teorema de Bohr-Mollerup.     Γ( x ) es la única función que satisface f  ( x + 1) = x f  ( x ) con log(  f  ( x )) convexo y también con f  (1) = 1 .   

Sea Γ( x ) una función con las propiedades supuestas establecidas anteriormente: Γ( x + 1) = x Γ( x ) y log(Γ( x )) es convexo, y Γ(1) = 1 . De Γ( x + 1) = x Γ( x ) podemos establecer

${\displaystyle \Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)}$

El propósito de la estipulación de que Γ(1) = 1 fuerza la propiedad Γ( x + 1) = x Γ( x ) a duplicar los factoriales de los enteros, de modo que ahora podemos concluir que Γ( n ) = ( n − 1)! si n ∈ N y si Γ( x ) existe. Debido a nuestra relación para Γ( x + n ) , si podemos entender completamente Γ( x ) para 0 < x ≤ 1 entonces entendemos Γ( x ) para todos los valores de x .

Para x ₁ , x ₂ , la pendiente S ( x ₁ , x ₂ ) del segmento de línea que une los puntos ( x ₁ , log(Γ ( x ₁ ))) y ( x ₂ , log(Γ ( x ₂ ))) es monótonamente creciente en cada argumento con x ₁ < x ₂ ya que hemos estipulado que log(Γ( x )) es convexo. Por lo tanto, sabemos que

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)\quad {\text{para todo }}x\en (0,1].}$

Después de simplificar utilizando las diversas propiedades del logaritmo, y luego exponenciar (lo que preserva las desigualdades ya que la función exponencial aumenta monótonamente) obtenemos

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!.}$

A partir de trabajos anteriores, esto se amplía a:

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!,}$

y entonces

${\displaystyle {\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right).}$

La última línea es una afirmación contundente. En particular, es cierta para todos los valores de n . Es decir, Γ( x ) no es mayor que el lado derecho para ninguna elección de n y, asimismo, Γ( x ) no es menor que el lado izquierdo para ninguna otra elección de n . Cada desigualdad es independiente y puede interpretarse como una afirmación independiente. Debido a este hecho, somos libres de elegir diferentes valores de n para el lado derecho y el lado izquierdo. En particular, si mantenemos n para el lado derecho y elegimos n + 1 para el lado izquierdo, obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\derecha)\end{alineado}}}$

De esta última línea se desprende claramente que se está intercalando una función entre dos expresiones, una técnica de análisis común para demostrar diversas cosas, como la existencia de un límite o la convergencia. Sea n → ∞ :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n+x}{n}}=1}$

Por lo tanto, el lado izquierdo de la última desigualdad se lleva a ser igual al lado derecho en el límite y

${\displaystyle {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

está intercalado entre ambos. Esto sólo puede significar que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}=\Gamma (x).}$

En el contexto de esta prueba esto significa que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

tiene las tres propiedades especificadas que pertenecen a Γ( x ) . Además, la prueba proporciona una expresión específica para Γ( x ) . Y la parte crítica final de la prueba es recordar que el límite de una secuencia es único. Esto significa que para cualquier elección de 0 < x ≤ 1 solo puede existir un número posible Γ( x ) . Por lo tanto, no hay otra función con todas las propiedades asignadas a Γ( x ) .

El cabo suelto que queda es la cuestión de demostrar que Γ( x ) tiene sentido para todo x donde

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

existe. El problema es que nuestra primera doble desigualdad

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)}$

se construyó con la restricción 0 < x ≤ 1 . Si, por ejemplo, x > 1 entonces el hecho de que S sea monótonamente creciente haría que S ( n + 1, n ) < S ( n + x , n ) , contradiciendo la desigualdad sobre la que se construye toda la prueba. Sin embargo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim _{n\to \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}}$

que demuestra cómo aplicar Γ( x ) a todos los valores de x donde el límite está definido.

• Teorema de Wielandt