Caracterización (matemáticas)

En matemáticas , una caracterización de un objeto es un conjunto de condiciones que, aunque posiblemente diferentes de la definición del objeto, es lógicamente equivalente a ella. ^[1] Decir que "La propiedad P caracteriza al objeto X " es decir que no solo X tiene la propiedad P , sino que X es lo único que tiene la propiedad P (es decir, P es una propiedad definitoria de X ). De manera similar, se dice que un conjunto de propiedades P caracteriza a X , cuando estas propiedades distinguen a X de todos los demás objetos. Aunque una caracterización identifica un objeto de una manera única, pueden existir varias caracterizaciones para un solo objeto. Las expresiones matemáticas comunes para una caracterización de X en términos de P incluyen " P es necesario y suficiente para X ", y " X se cumple si y solo si P ".

También es común encontrar afirmaciones como "La propiedad Q caracteriza a Y hasta el isomorfismo ". El primer tipo de afirmación dice con diferentes palabras que la extensión de P es un conjunto unitario , mientras que el segundo dice que la extensión de Q es una única clase de equivalencia (para el isomorfismo, en el ejemplo dado —dependiendo de cómo se utilice hasta el isomorfismo, podría estar involucrada alguna otra relación de equivalencia— ).

Una referencia sobre terminología matemática señala que la palabra característica se origina del término griego kharax , "una estaca puntiaguda":

Del griego kharax proviene kharakhter , un instrumento utilizado para marcar o grabar un objeto. Una vez que un objeto estaba marcado, se volvía distintivo, por lo que el carácter de algo pasó a significar su naturaleza distintiva. El sufijo del griego tardío -istikos convirtió el sustantivo carácter en el adjetivo característica , que, además de mantener su significado adjetival, más tarde se convirtió también en sustantivo. ^[2]

Así como en química, la propiedad característica de un material servirá para identificar una muestra, o en el estudio de los materiales, las estructuras y propiedades determinarán la caracterización , en matemáticas existe un esfuerzo continuo por expresar propiedades que distinguirán una característica deseada en una teoría o sistema. La caracterización no es exclusiva de las matemáticas, pero como la ciencia es abstracta, gran parte de la actividad puede describirse como "caracterización". Por ejemplo, en Mathematical Reviews , a partir de 2018, más de 24.000 artículos contienen la palabra en el título del artículo y 93.600 en algún lugar de la revisión.

En un contexto arbitrario de objetos y características, las caracterizaciones se han expresado a través de la relación heterogénea aRb , lo que significa que el objeto a tiene la característica b . Por ejemplo, b puede significar abstracto o concreto . Los objetos pueden considerarse las extensiones del mundo, mientras que las características son expresiones de las intenciones . Un programa continuo de caracterización de varios objetos conduce a su categorización .

• Un número racional , generalmente definido como un cociente de dos números enteros, puede caracterizarse como un número con expansión decimal finita o periódica . ^[1]
• Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Una de sus características es que sus diagonales se bisecan entre sí. Esto significa que las diagonales de todos los paralelogramos se bisecan entre sí y, a la inversa, que cualquier cuadrilátero cuyas diagonales se bisecan entre sí debe ser un paralelogramo.
• "Entre las distribuciones de probabilidad en el intervalo de 0 a ∞ en la línea real, la falta de memoria caracteriza a las distribuciones exponenciales ". Esta afirmación significa que las distribuciones exponenciales son las únicas distribuciones de probabilidad que no tienen memoria, siempre que la distribución sea continua como se definió anteriormente (consulte Caracterización de distribuciones de probabilidad para obtener más información).
• "Según el teorema de Bohr-Mollerup , entre todas las funciones f tales que f (1) = 1 y xf ( x ) = f ( x + 1) para x > 0, la log-convexidad caracteriza a la función gamma ". Esto significa que entre todas esas funciones, la función gamma es la única que es log-convexa . ^[3]
• El círculo se caracteriza como variedad por ser unidimensional, compacto y conexo ; aquí la caracterización, como variedad suave, corresponde al difeomorfismo .

• Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos
• Caracterización de la función exponencial  – Concepto matemático
• Característica (álgebra)  – Número entero más pequeño n para el cual n es igual a 0 en un anillo
• Característica (notación exponencial)  – Función matemáticaPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Teorema de clasificación  : describe los objetos de un tipo determinado, hasta cierta equivalencia.
• Característica de Euler  : invariante topológico en matemáticas
• Carácter (matemáticas)