Límite inferior y límite superior

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En matemáticas , el límite inferior y el límite superior de una secuencia pueden considerarse como límites limitantes (es decir, eventuales y extremos) de la secuencia. Pueden considerarse de manera similar para una función (ver límite de una función ). Para un conjunto , son el ínfimo y el supremo de los puntos límite del conjunto , respectivamente. En general, cuando hay múltiples objetos alrededor de los cuales se acumula una secuencia, función o conjunto, los límites inferior y superior extraen el más pequeño y el más grande de ellos; el tipo de objeto y la medida del tamaño dependen del contexto, pero la noción de límites extremos es invariante. El límite inferior también se llama límite ínfimo , límite ínfimo , liminf , límite inferior , límite inferior o límite interno ; el límite superior también se conoce como límite supremo , límite supremum , limsup , límite superior , límite superior o límite externo .

El límite inferior de una secuencia se denota por y el límite superior de una secuencia se denota por${\displaystyle (x_{n})}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n},}$$${\displaystyle (x_{n})}$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.}$$

ElEl límite inferior de una secuencia (x _n ) se define por o$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup \,\{\,\inf \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

De manera similar, laEl límite superior de (x _n ) está definido por o$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf \,\{\,\sup \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

Alternativamente, a veces se utilizan las notaciones y .${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

Los límites superior e inferior pueden definirse de manera equivalente utilizando el concepto de límites subsiguientes de la sucesión . ^[1] Un elemento de los números reales extendidos es un límite subsiguiente de si existe una sucesión estrictamente creciente de números naturales tal que . Si es el conjunto de todos los límites subsiguientes de , entonces ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (n_{k})}$${\displaystyle \xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$${\displaystyle E\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E}$

y

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.}$

Si los términos de la sucesión son números reales , el límite superior y el límite inferior siempre existen, ya que los números reales junto con ±∞ (es decir, la recta numérica real extendida ) son completos . En términos más generales, estas definiciones tienen sentido en cualquier conjunto parcialmente ordenado , siempre que existan el supremo y el ínfimo , como en un retículo completo .

Siempre que exista el límite ordinario, el límite inferior y el límite superior son ambos iguales a él; por lo tanto, cada uno puede considerarse una generalización del límite ordinario, lo cual es principalmente interesante en los casos en que el límite no existe . Siempre que existan lim inf  x _n y lim sup  x _n , tenemos

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

Los límites inferior y superior están relacionados con la notación O mayúscula en el sentido de que limitan una secuencia solo "en el límite"; la secuencia puede exceder el límite. Sin embargo, con la notación O mayúscula la secuencia solo puede exceder el límite en un prefijo finito de la secuencia, mientras que el límite superior de una secuencia como e ^{− n} puede ser en realidad menor que todos los elementos de la secuencia. La única promesa que se hace es que alguna cola de la secuencia puede estar limitada por arriba por el límite superior más una constante positiva arbitrariamente pequeña, y limitada por abajo por el límite inferior menos una constante positiva arbitrariamente pequeña.

El límite superior y el límite inferior de una secuencia son un caso especial de los de una función (ver más abajo).

En el análisis matemático , el límite superior y el límite inferior son herramientas importantes para estudiar sucesiones de números reales . Dado que el supremo y el ínfimo de un conjunto ilimitado de números reales pueden no existir (los reales no son una red completa), es conveniente considerar sucesiones en el sistema de números reales extendido afínmente : sumamos los infinitos positivos y negativos a la línea real para obtener el conjunto completo totalmente ordenado [−∞,∞], que es una red completa.

Consideremos una sucesión formada por números reales. Supongamos que el límite superior y el límite inferior son números reales (es decir, no infinitos).${\displaystyle (x_{n})}$

• El límite superior de es el número real más pequeño tal que, para cualquier número real positivo , existe un número natural tal que para todo . En otras palabras, cualquier número mayor que el límite superior es una cota superior eventual para la sucesión. Solo un número finito de elementos de la sucesión son mayores que .${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon }$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle b+\varepsilon }$
• El límite inferior de es el mayor número real tal que, para cualquier número real positivo , existe un número natural tal que para todo . En otras palabras, cualquier número por debajo del límite inferior es una cota inferior eventual para la sucesión. Solo un número finito de elementos de la sucesión son menores que .${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon }$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle b-\varepsilon }$

La relación entre el límite inferior y el límite superior para sucesiones de números reales es la siguiente:$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$$

Como se mencionó anteriormente, es conveniente extender a Entonces, en converge si y solo si en cuyo caso es igual a su valor común. (Tenga en cuenta que cuando se trabaja solo en convergencia a o no se consideraría como convergencia). Dado que el límite inferior es como máximo el límite superior, se cumplen las siguientes condiciones${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}}$$

Si y , entonces el intervalo no necesita contener ninguno de los números , pero cada pequeña ampliación para índices arbitrariamente pequeños contendrá para todos, excepto un número finito . De hecho, el intervalo es el intervalo cerrado más pequeño con esta propiedad. Podemos formalizar esta propiedad de esta manera: existen subsecuencias y de (donde y son crecientes) para las cuales tenemos${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle [I,S]}$${\displaystyle x_{n},}$${\displaystyle [I-\epsilon ,S+\epsilon ],}$${\displaystyle \epsilon >0,}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle [I,S]}$ ${\displaystyle x_{k_{n}}}$${\displaystyle x_{h_{n}}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle k_{n}}$${\displaystyle h_{n}}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$$

Por otra parte, existe un modo en que para todos${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq n_{0}}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$$

Para recapitular:

• Si es mayor que el límite superior, hay como máximo un número finito de mayores que si es menor, hay un número infinito de mayores.${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \Lambda ;}$
• Si es menor que el límite inferior, hay como máximo un número finito de menores que si es mayor, hay un número infinito de menores.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \lambda ;}$

Por el contrario, también se puede demostrar que:

• Si hay infinitos mayores o iguales que , entonces es menor o igual que el límite supremo; si hay sólo un número finito mayor que , entonces es mayor o igual que el límite supremo.${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$
• Si hay infinitos menores o iguales que , entonces es mayor o igual que el límite inferior; si hay sólo un número finito de menores que , entonces es menor o igual que el límite inferior. ^[2]${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

En general, liminf y limsup de una secuencia son respectivamente los puntos del grupo más pequeño y más grande . ^[3]$${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.}$$

• Para cualesquiera dos secuencias de números reales, el límite superior satisface la subaditividad siempre que el lado derecho de la desigualdad esté definido (es decir, no sea o ):${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$${\displaystyle \infty -\infty }$${\displaystyle -\infty +\infty }$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.}$$

De manera análoga, el límite inferior satisface la superaditividad : en el caso particular de que una de las secuencias realmente converja, digamos entonces que las desigualdades anteriores se convierten en igualdades (con o siendo reemplazados por ). $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.}$$${\displaystyle a_{n}\to a,}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle a}$

• Para cualesquiera dos secuencias de números reales no negativos, las desigualdades y${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)}$$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)}$$

mantener siempre que el lado derecho no tenga la forma${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

Si existe (incluido el caso ) y entonces siempre que no sea de la forma${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$${\displaystyle A=+\infty }$${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

• Como ejemplo, considere la secuencia dada por la función seno : Usando el hecho de que π es irracional , se deduce que y (Esto se debe a que la secuencia está equidistribuida módulo 2π , una consecuencia del teorema de equidistribución ).${\displaystyle x_{n}=\sin(n).}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}$$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.}$$${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$

• Un ejemplo de la teoría de números es donde es el -ésimo número primo .$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(p_{n+1}-p_{n}),}$$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle n}$

Se supone que el valor de este límite inferior es 2 –esta es la conjetura de los primos gemelos– , pero hasta abril de 2014 ^[update]solo se ha demostrado que es menor o igual a 246. ^[4] El límite superior correspondiente es , porque hay brechas arbitrariamente grandes entre primos consecutivos .${\displaystyle +\infty }$

Supongamos que una función se define a partir de un subconjunto de los números reales a los números reales. Como en el caso de las sucesiones, el límite inferior y el límite superior están siempre bien definidos si permitimos los valores +∞ y −∞; de hecho, si ambos coinciden, entonces el límite existe y es igual a su valor común (de nuevo posiblemente incluyendo los infinitos). Por ejemplo, dado , tenemos y . La diferencia entre los dos es una medida aproximada de cuán "salvajemente" oscila la función, y en observación de este hecho, se llama oscilación de f en 0. Esta idea de oscilación es suficiente para, por ejemplo, caracterizar a las funciones integrables de Riemann como continuas excepto en un conjunto de medida cero . ^[5] Nótese que los puntos de oscilación distintos de cero (es decir, puntos en los que f se " comporta mal ") son discontinuidades que, a menos que formen un conjunto de cero, están confinadas a un conjunto despreciable.${\displaystyle f(x)=\sin(1/x)}$${\displaystyle \limsup _{x\to 0}f(x)=1}$${\displaystyle \liminf _{x\to 0}f(x)=-1}$

Existe una noción de limsup y liminf para funciones definidas en un espacio métrico cuya relación con los límites de funciones de valor real refleja la relación entre limsup, liminf y el límite de una secuencia real. Tome un espacio métrico , un subespacio contenido en , y una función . Defina, para cualquier punto límite de ,${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$$y

$${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$$

donde denota la bola métrica de radio aproximadamente .${\displaystyle B(a,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle a}$

Nótese que a medida que ε se contrae, el supremo de la función sobre la pelota no es creciente (es estrictamente decreciente o permanece igual), por lo que tenemos

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$$y de manera similar$${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right).}$$

Esto finalmente motiva las definiciones de espacios topológicos generales . Tome X , E y a como antes, pero ahora sea X un espacio topológico. En este caso, reemplazamos las bolas métricas con vecindarios :

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

(Hay una manera de escribir la fórmula usando "lim" usando redes y el filtro de vecindad ). Esta versión es a menudo útil en discusiones de semi-continuidad que surgen en el análisis con bastante frecuencia. Una nota interesante es que esta versión subsume la versión secuencial al considerar las secuencias como funciones de los números naturales como un subespacio topológico de la línea real extendida, en el espacio (la clausura de N en [−∞,∞], la línea de números reales extendida , es  N  ∪ {∞}.)

El conjunto potencia ℘( X ) de un conjunto X es una red completa que está ordenada por inclusión de conjuntos , y por lo tanto el supremo y el ínfimo de cualquier conjunto de subconjuntos (en términos de inclusión de conjuntos) siempre existen. En particular, cada subconjunto Y de X está acotado superiormente por X e inferiormente por el conjunto vacío ∅ porque ∅ ⊆ Y ⊆ X . Por lo tanto, es posible (y a veces útil) considerar límites superiores e inferiores de sucesiones en ℘( X ) (es decir, sucesiones de subconjuntos de X ).

Existen dos formas comunes de definir el límite de sucesiones de conjuntos. En ambos casos:

• La secuencia se acumula alrededor de conjuntos de puntos en lugar de puntos individuales en sí mismos. Es decir, como cada elemento de la secuencia es en sí mismo un conjunto, existen conjuntos de acumulación que están de alguna manera cerca de una cantidad infinita de elementos de la secuencia.
• El límite superior/externo es un conjunto que une estos conjuntos de acumulación. Es decir, es la unión de todos los conjuntos de acumulación. Al ordenar por inclusión de conjuntos, el límite superior es el límite superior mínimo del conjunto de puntos de acumulación porque contiene a cada uno de ellos. Por lo tanto, es el supremo de los puntos límite.
• El límite ínfimo/inferior/interno es un conjunto en el que se encuentran todos estos conjuntos de acumulación . Es decir, es la intersección de todos los conjuntos de acumulación. Al ordenar por inclusión de conjuntos, el límite ínfimo es el límite inferior máximo del conjunto de puntos de acumulación porque está contenido en cada uno de ellos. Por lo tanto, es el ínfimo de los puntos límite.
• Como el ordenamiento se realiza por inclusión de conjuntos, el límite externo siempre contendrá al límite interno (es decir, lim inf  X _n ⊆ lim sup  X _n ). Por lo tanto, al considerar la convergencia de una secuencia de conjuntos, generalmente basta con considerar la convergencia del límite externo de esa secuencia.

La diferencia entre las dos definiciones tiene que ver con la forma en que se define la topología (es decir, cómo cuantificar la separación). De hecho, la segunda definición es idéntica a la primera cuando se utiliza la métrica discreta para inducir la topología en X.

Una secuencia de conjuntos en un espacio metrizable se aproxima a un conjunto límite cuando los elementos de cada miembro de la secuencia se aproximan a los elementos del conjunto límite. En particular, si es una secuencia de subconjuntos de entonces:${\displaystyle X}$${\displaystyle (X_{n})}$${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle \limsup X_{n},}$que también se llama límite exterior , consta de aquellos elementos que son límites de puntos tomados de un número (contablemente) infinito. Es decir, si y solo si existe una secuencia de puntos y una subsecuencia de tales que y${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle x\in \limsup X_{n}}$${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (X_{n_{k}})}$${\displaystyle (X_{n})}$${\displaystyle x_{k}\in X_{n_{k}}}$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$
• ${\displaystyle \liminf X_{n},}$que también se llama límite interno , consta de aquellos elementos que son límites de puntos en para todos excepto un número finito (es decir, un número cofinito ). Es decir, si y solo si existe una secuencia de puntos tal que y${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\in \liminf X_{n}}$${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle x_{k}\in X_{k}}$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$

El límite existe si y sólo si y concuerdan, en cuyo caso ^[6] Los límites externo e interno no deben confundirse con los límites de la teoría de conjuntos superior e inferior, ya que estos últimos conjuntos no son sensibles a la estructura topológica del espacio.${\displaystyle \lim X_{n}}$${\displaystyle \liminf X_{n}}$${\displaystyle \limsup X_{n}}$${\displaystyle \lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.}$

Esta es la definición que se utiliza en la teoría de la medida y la probabilidad . En el límite de la teoría de conjuntos se ofrecen más ejemplos y análisis desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, a diferencia del punto de vista topológico que se analiza a continuación .

Según esta definición, una secuencia de conjuntos se aproxima a un conjunto límite cuando el conjunto límite incluye elementos que están en todos los conjuntos de la secuencia excepto en un número finito y no incluye elementos que están en todos los complementos de los conjuntos de la secuencia excepto en un número finito. Es decir, este caso especializa la definición general cuando la topología en el conjunto X se induce a partir de la métrica discreta .

Específicamente, para los puntos x , y ∈ X , la métrica discreta se define por

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

bajo la cual una secuencia de puntos ( x _k ) converge al punto x ∈ X si y solo si x _k = x para todos excepto un número finito de k . Por lo tanto, si el conjunto límite existe , contiene los puntos y solo los puntos que están en todos excepto un número finito de los conjuntos de la secuencia. Dado que la convergencia en la métrica discreta es la forma más estricta de convergencia (es decir, la que más requiere), esta definición de un conjunto límite es la más estricta posible.

Si ( X _n ) es una secuencia de subconjuntos de X , entonces siempre existe lo siguiente:

• lim sup  X _n consiste en elementos de X que pertenecen a X _n para un número infinito de n (ver infinito numerable ). Es decir, x ∈ lim sup  X _n si y solo si existe una subsucesión ( X _{n k} ) de ( X _n ) tal que x ∈ X _{n k} para todo k .
• lim inf  X _n consiste en elementos de X que pertenecen a X _n para todos excepto un número finito de n (es decir, para un número cofinito de n ). Es decir, x ∈ lim inf  X _n si y solo si existe algún m > 0 tal que x ∈ X _n para todo n > m .

Obsérvese que x ∈ lim sup  X _n si y sólo si x ∉ lim inf  X _n ^c .

• lim  X _n existe si y sólo si lim inf  X _n y lim sup  X _n concuerdan, en cuyo caso lim  X _n = lim sup  X _n = lim inf  X _n .

En este sentido, la secuencia tiene un límite siempre que cada punto en X aparezca en todos excepto un número finito de X _n o aparezca en todos excepto un número finito de X _n ^c . ^[7]

Utilizando el lenguaje estándar de la teoría de conjuntos, la inclusión de conjuntos proporciona un ordenamiento parcial en la colección de todos los subconjuntos de X que permite que la intersección de conjuntos genere un límite inferior máximo y la unión de conjuntos genere un límite superior mínimo. Por lo tanto, el ínfimo o encuentro de una colección de subconjuntos es el límite inferior máximo, mientras que el supremo o unión es el límite superior mínimo. En este contexto, el límite interno, lim inf  X _n , es el mayor encuentro de colas de la secuencia, y el límite externo, lim sup  X _n , es la menor unión de colas de la secuencia. Lo siguiente lo hace preciso.

• Sea I _n el punto de encuentro de la n- ^ésima cola de la secuencia. Es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

La secuencia ( I _n ) no es decreciente (es decir, I _n ⊆ I _{n +1} ) porque cada I _{n +1} es la intersección de menos conjuntos que I _n . El límite superior mínimo de esta secuencia de encuentros de colas es

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el límite ínfimo contiene todos los subconjuntos que son límites inferiores para todos los conjuntos de la secuencia, excepto un número finito.

• De manera similar, sea J _n la unión de la n ^ésima cola de la secuencia. Es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

La secuencia ( J _n ) no es creciente (es decir, J _n ⊇ J _{n +1} ) porque cada J _{n +1} es la unión de menos conjuntos que J _n . El límite inferior máximo de esta secuencia de uniones de colas es

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el límite supremo está contenido en todos los subconjuntos que son límites superiores para todos los conjuntos de la secuencia, excepto un número finito.

A continuación se presentan varios ejemplos de convergencia de conjuntos. Se han dividido en secciones con respecto a la métrica utilizada para inducir la topología en el conjunto X.

Utilizando la métrica discreta

• El lema de Borel-Cantelli es un ejemplo de aplicación de estas construcciones.

Utilizando la métrica discreta o la métrica euclidiana

• Consideremos el conjunto X = {0,1} y la secuencia de subconjuntos:

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

Los elementos "pares" e "impares" de esta sucesión forman dos subsecuencias, ({0}, {0}, {0}, ...) y ({1}, {1}, {1}, ...), que tienen puntos límite 0 y 1, respectivamente, por lo que el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que puedan tomarse de la sucesión ( X _n ) en su conjunto, por lo que el límite interior o inferior es el conjunto vacío { }. Es decir,

• límite superior  X _n = {0,1}
• límite inf  X _n = { }

Sin embargo, para ( Y _n ) = ({0}, {0}, {0}, ...) y ( Z _n ) = ({1}, {1}, {1}, ...):

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {0}
• lím sup  Z _n = lím inf  Z _n = lím  Z _n = {1}

• Consideremos el conjunto X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} y la secuencia de subconjuntos:

${\displaystyle (X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

Al igual que en los dos ejemplos anteriores,

• límite superior  X _n = {0,1}
• límite inf  X _n = { }

Es decir, los cuatro elementos que no coinciden con el patrón no afectan a lim inf y lim sup porque solo hay un número finito de ellos. De hecho, estos elementos podrían ubicarse en cualquier parte de la secuencia. Mientras se mantengan las colas de la secuencia, los límites externo e interno no cambiarán. Los conceptos relacionados de límites internos y externos esenciales , que utilizan el supremo esencial y el ínfimo esencial , proporcionan una modificación importante que "aplasta" un número contable de adiciones intersticiales (en lugar de un número finito).

Utilizando la métrica euclidiana

• Consideremos la secuencia de subconjuntos de números racionales :

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).}$

Los elementos "pares" e "impares" de esta sucesión forman dos subsecuencias, ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) y ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...), que tienen como puntos límite 1 y 0, respectivamente, por lo que el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que puedan tomarse de la sucesión ( X _n ) en su conjunto, por lo que el límite interior o inferior es el conjunto vacío { }. Por lo tanto, como en el ejemplo anterior,

• límite superior  X _n = {0,1}
• límite inf  X _n = { }

Sin embargo, para ( Y _n ) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) y ( Z _n ) = ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...):

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {1}
• lím sup  Z _n = lím inf  Z _n = lím  Z _n = {0}

En cada uno de estos cuatro casos, los elementos de los conjuntos límite no son elementos de ninguno de los conjuntos de la secuencia original.

• El límite Ω (es decir, el conjunto límite ) de una solución de un sistema dinámico es el límite exterior de las trayectorias de solución del sistema. ^{[6] : 50–51} Debido a que las trayectorias se acercan cada vez más a este conjunto límite, las colas de estas trayectorias convergen al conjunto límite.

• Por ejemplo, un sistema LTI que es la conexión en cascada de varios sistemas estables con un sistema LTI de segundo orden no amortiguado (es decir, relación de amortiguamiento cero ) oscilará sin fin después de ser perturbado (por ejemplo, una campana ideal después de ser golpeada). Por lo tanto, si la posición y la velocidad de este sistema se grafican una contra la otra, las trayectorias se aproximarán a un círculo en el espacio de estados . Este círculo, que es el conjunto límite Ω del sistema, es el límite exterior de las trayectorias de solución del sistema. El círculo representa el lugar geométrico de una trayectoria correspondiente a una salida de tono sinusoidal puro; es decir, la salida del sistema se aproxima a un tono puro.

Las definiciones anteriores son inadecuadas para muchas aplicaciones técnicas. De hecho, son especializaciones de las definiciones siguientes.

El límite inferior de un conjunto X  ⊆  Y es el ínfimo de todos los puntos límites del conjunto. Es decir,

${\displaystyle \liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

De manera similar, el límite superior de X es el supremo de todos los puntos límites del conjunto. Es decir,

${\displaystyle \limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Nótese que el conjunto X debe definirse como un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado Y que también es un espacio topológico para que estas definiciones tengan sentido. Además, tiene que ser una red completa para que el supremo y el ínfimo siempre existan. En ese caso, cada conjunto tiene un límite superior y un límite inferior. Nótese también que el límite inferior y el límite superior de un conjunto no tienen que ser elementos del conjunto.

Tome un espacio topológico X y una base de filtro B en ese espacio. El conjunto de todos los puntos del grupo para esa base de filtro está dado por

${\displaystyle \bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

donde es el cierre de . Claramente se trata de un conjunto cerrado y es similar al conjunto de puntos límite de un conjunto. Supóngase que X también es un conjunto parcialmente ordenado . El límite superior de la base del filtro B se define como${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$${\displaystyle B_{0}}$

${\displaystyle \limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

Cuando existe ese supremo, cuando X tiene un orden total , es una red completa y tiene la topología de orden ,

${\displaystyle \limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

De manera similar, el límite inferior de la base del filtro B se define como

${\displaystyle \liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

cuando ese ínfimo existe; si X está totalmente ordenado, es una red completa y tiene la topología de orden, entonces

${\displaystyle \liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

Si el límite inferior y el límite superior coinciden, entonces debe haber exactamente un punto de agrupamiento y el límite de la base del filtro es igual a este único punto de agrupamiento.

Nótese que las bases de filtro son generalizaciones de redes , que son generalizaciones de secuencias . Por lo tanto, estas definiciones dan también el límite inferior y el límite superior de cualquier red (y, por lo tanto, de cualquier secuencia). Por ejemplo, tomemos el espacio topológico y la red , donde es un conjunto dirigido y para todos los . La base de filtro ("de colas") generada por esta red se define por${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$${\displaystyle (A,{\leq })}$${\displaystyle x_{\alpha }\in X}$${\displaystyle \alpha \in A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,}$

Por lo tanto, el límite inferior y el límite superior de la red son iguales al límite superior y al límite inferior de respectivamente. De manera similar, para el espacio topológico , tomemos la secuencia donde para cualquier . La base de filtro ("de colas") generada por esta secuencia se define por${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x_{n}\in X}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,}$

Por lo tanto, el límite inferior y el límite superior de la secuencia son iguales al límite superior y al límite inferior respectivamente.${\displaystyle C}$

• Ínfimo esencial y supremo esencial
• Envolvente (ondas)
• Límite unilateral
• Derivados de Dini
• Límite de teoría de conjuntos

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• "Límites superior e inferior", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]