Límites superior e inferior
En matemáticas , particularmente en teoría del orden , un límite superior o mayor [1] de un subconjunto S de algún conjunto preordenado ( K , ≤) es un elemento de K que es mayor o igual a cada elemento de S. [2] [3] Dualmente , un límite inferior o minorante de S se define como un elemento de K que es menor o igual a cada elemento de S. Se dice que un conjunto con un límite superior (respectivamente, inferior) está acotado por arriba o mayorizado [1] (respectivamente acotado por abajo o minorizado ) por ese límite. Los términos acotado por encima ( acotado por debajo ) también se utilizan en la literatura matemática para conjuntos que tienen límites superiores (respectivamente inferiores). [4]
Ejemplos
Por ejemplo, 5 es un límite inferior para el conjunto S = {5, 8, 42, 34, 13934} (como un subconjunto de los números enteros o de los números reales , etc.), y también lo es 4. Por otro lado, 6 no es un límite inferior para S ya que no es menor que cada elemento en S. 13934 y otros números x tales que x ≥ 13934 serían un límite superior para S.
El conjunto S = {42} tiene 42 como límite superior y como límite inferior; todos los demás números son un límite superior o un límite inferior para ese S.
Todo subconjunto de los números naturales tiene un límite inferior, ya que los números naturales tienen un elemento mínimo (0 o 1, según la convención). Un subconjunto infinito de los números naturales no puede estar acotado desde arriba. Un subconjunto infinito de los números enteros puede estar acotado desde abajo o desde arriba, pero no ambos. Un subconjunto infinito de los números racionales puede estar acotado desde abajo o no, y puede estar acotado desde arriba o no.
Cada subconjunto finito de un conjunto totalmente ordenado no vacío tiene límites superiores e inferiores.
Límites de funciones
Las definiciones pueden generalizarse a funciones e incluso a conjuntos de funciones.
Dada una función f con dominio D y un conjunto preordenado ( K , ≤) como codominio , un elemento y de K es un límite superior de f si y ≥ f ( x ) para cada x en D . El límite superior se llama preciso si la igualdad se cumple para al menos un valor de x . Indica que la restricción es óptima y, por lo tanto, no se puede reducir más sin invalidar la desigualdad.
De manera similar, una función g definida en el dominio D y que tiene el mismo codominio ( K , ≤) es un límite superior de f , si g ( x ) ≥ f ( x ) para cada x en D . Se dice además que la función g es un límite superior de un conjunto de funciones, si es un límite superior de cada función en ese conjunto.
La noción de límite inferior para (conjuntos de) funciones se define de forma análoga, reemplazando ≥ por ≤.
Límites estrictos
Se dice que un límite superior es un límite superior estricto , un límite superior mínimo o un supremo si ningún valor menor es un límite superior. De manera similar, se dice que un límite inferior es un límite inferior estricto , un límite inferior máximo o un ínfimo si ningún valor mayor es un límite inferior.
Límites superiores exactos
Se dice que un límite superior u de un subconjunto S de un conjunto preordenado ( K , ≤) es un límite superior exacto para S si cada elemento de K que está estrictamente mayorizado por u también está mayorizado por algún elemento de S . Los límites superiores exactos de productos reducidos de órdenes lineales juegan un papel importante en la teoría PCF . [5]
Véase también
Referencias
- ^ ab Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8. Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. p. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135 .
- ^ Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1991). Álgebra . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . p. 145. ISBN 0-8218-1646-2.
- ^ "Definición de límite superior (Diccionario ilustrado de matemáticas)". Math is Fun . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Límite superior". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
- ^ Kojman, Menachem (21 de agosto de 1998). "Límites superiores exactos y sus usos en la teoría de conjuntos". Anales de lógica pura y aplicada . 92 (3): 267–282. doi :10.1016/S0168-0072(98)00011-6.
