Sistema de coordenadas

En geometría , un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números , o coordenadas , para determinar de forma única la posición de los puntos u otros elementos geométricos en una variedad como el espacio euclidiano . ^{[1] [2]} El orden de las coordenadas es significativo, y a veces se identifican por su posición en una tupla ordenada y a veces por una letra, como en "la coordenada x ". Las coordenadas se toman como números reales en matemáticas elementales , pero pueden ser números complejos o elementos de un sistema más abstracto como un anillo conmutativo . El uso de un sistema de coordenadas permite que los problemas de geometría se traduzcan en problemas sobre números y viceversa ; esta es la base de la geometría analítica . ^[3]

El ejemplo más simple de un sistema de coordenadas es la identificación de puntos en una línea con números reales utilizando la línea numérica . En este sistema, se elige un punto arbitrario O (el origen ) en una línea dada. La coordenada de un punto P se define como la distancia con signo de O a P , donde la distancia con signo es la distancia tomada como positiva o negativa dependiendo de qué lado de la línea se encuentra P. A cada punto se le asigna una coordenada única y cada número real es la coordenada de un punto único. ^[4]

El ejemplo prototípico de un sistema de coordenadas es el sistema de coordenadas cartesianas . En el plano , se eligen dos líneas perpendiculares y las coordenadas de un punto se toman como las distancias con signo a las líneas. ^[5] En tres dimensiones, se eligen tres planos mutuamente ortogonales y las tres coordenadas de un punto son las distancias con signo a cada uno de los planos. ^[6] Esto se puede generalizar para crear n coordenadas para cualquier punto en el espacio euclidiano de n dimensiones.

Dependiendo de la dirección y el orden de los ejes de coordenadas, el sistema tridimensional puede ser un sistema diestro o zurdo.

Otro sistema de coordenadas común para el plano es el sistema de coordenadas polares . ^[7] Se elige un punto como polo y un rayo desde este punto se toma como eje polar . Para un ángulo dado θ , hay una sola línea a través del polo cuyo ángulo con el eje polar es θ (medido en sentido antihorario desde el eje hasta la línea). Luego hay un punto único en esta línea cuya distancia con signo desde el origen es r para un número dado r . Para un par dado de coordenadas ( r ,  θ ) hay un solo punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenadas. Por ejemplo, ( r ,  θ ), ( r ,  θ +2 π ) y (− r ,  θ + π ) son todas coordenadas polares para el mismo punto. El polo está representado por (0, θ ) para cualquier valor de θ .

Existen dos métodos comunes para extender el sistema de coordenadas polares a tres dimensiones. En el sistema de coordenadas cilíndricas , se añade una coordenada z con el mismo significado que en las coordenadas cartesianas a las coordenadas polares r y θ, lo que da como resultado una terna ( r ,  θ ,  z ). ^[8] Las coordenadas esféricas llevan esto un paso más allá al convertir el par de coordenadas cilíndricas ( r ,  z ) en coordenadas polares ( ρ ,  φ ), lo que da como resultado una terna ( ρ ,  θ ,  φ ). ^[9]

Un punto en el plano puede representarse en coordenadas homogéneas mediante una tripleta ( x ,  y ,  z ) donde x / z e y / z son las coordenadas cartesianas del punto. ^[10] Esto introduce una coordenada "extra" ya que solo se necesitan dos para especificar un punto en el plano, pero este sistema es útil porque representa cualquier punto en el plano proyectivo sin el uso del infinito . En general, un sistema de coordenadas homogéneo es uno donde solo las razones de las coordenadas son significativas y no los valores reales.

Algunos otros sistemas de coordenadas comunes son los siguientes:

• Las coordenadas curvilíneas son una generalización de los sistemas de coordenadas en general; el sistema se basa en la intersección de curvas.
  • Coordenadas ortogonales : las superficies de coordenadas se encuentran en ángulos rectos
  • Coordenadas oblicuas : las superficies de coordenadas no son ortogonales
• El sistema de coordenadas log-polares representa un punto en el plano mediante el logaritmo de la distancia desde el origen y un ángulo medido desde una línea de referencia que interseca el origen.
• Las coordenadas de Plücker son una forma de representar líneas en el espacio euclidiano 3D utilizando una séxtupla de números como coordenadas homogéneas .
• En el tratamiento lagrangiano de la mecánica se utilizan coordenadas generalizadas .
• Las coordenadas canónicas se utilizan en el tratamiento hamiltoniano de la mecánica.
• Sistema de coordenadas baricéntrico utilizado para gráficos ternarios y, de forma más general, en el análisis de triángulos .
• Las coordenadas trilineales se utilizan en el contexto de triángulos.

Existen formas de describir curvas sin coordenadas, mediante ecuaciones intrínsecas que utilizan cantidades invariantes como la curvatura y la longitud del arco . Entre ellas se incluyen:

• La ecuación de Whewell relaciona la longitud del arco y el ángulo tangencial .
• La ecuación de Cesáro relaciona la longitud del arco y la curvatura.

Los sistemas de coordenadas se utilizan a menudo para especificar la posición de un punto, pero también pueden utilizarse para especificar la posición de figuras más complejas, como líneas, planos, círculos o esferas . Por ejemplo, las coordenadas de Plücker se utilizan para determinar la posición de una línea en el espacio. ^[11] Cuando es necesario, se utiliza el tipo de figura que se describe para distinguir el tipo de sistema de coordenadas; por ejemplo, el término coordenadas de línea se utiliza para cualquier sistema de coordenadas que especifique la posición de una línea.

Puede ocurrir que los sistemas de coordenadas de dos conjuntos diferentes de figuras geométricas sean equivalentes en términos de su análisis. Un ejemplo de esto son los sistemas de coordenadas homogéneas para puntos y líneas en el plano proyectivo. Los dos sistemas en un caso como este se dicen dualistas . Los sistemas dualistas tienen la propiedad de que los resultados de un sistema pueden trasladarse al otro ya que estos resultados son solo interpretaciones diferentes del mismo resultado analítico; esto se conoce como el principio de dualidad . ^[12]

A menudo, existen muchos sistemas de coordenadas posibles para describir figuras geométricas. La relación entre los diferentes sistemas se describe mediante transformaciones de coordenadas , que dan fórmulas para las coordenadas de un sistema en términos de las coordenadas de otro sistema. Por ejemplo, en el plano, si las coordenadas cartesianas ( x ,  y ) y las coordenadas polares ( r ,  θ ) tienen el mismo origen, y el eje polar es el eje x positivo , entonces la transformación de coordenadas de coordenadas polares a cartesianas viene dada por x  =  r  cos θ e y  =  r  sen θ .

A cada biyección del espacio hacia sí mismo se pueden asociar dos transformaciones de coordenadas:

• De tal manera que las nuevas coordenadas de la imagen de cada punto sean las mismas que las antiguas coordenadas del punto original (las fórmulas para el mapeo son las inversas de las de la transformación de coordenadas)
• De tal manera que las antiguas coordenadas de la imagen de cada punto sean las mismas que las nuevas coordenadas del punto original (las fórmulas para el mapeo son las mismas que las de la transformación de coordenadas)

Por ejemplo, en 1D , si la función es una traslación de 3 hacia la derecha, la primera mueve el origen de 0 a 3, de modo que la coordenada de cada punto se vuelve 3 menos, mientras que la segunda mueve el origen de 0 a −3, de modo que la coordenada de cada punto se vuelve 3 más.

Dado un sistema de coordenadas, si una de las coordenadas de un punto varía mientras que las otras coordenadas se mantienen constantes, entonces la curva resultante se llama curva de coordenadas . Si una curva de coordenadas es una línea recta , se llama línea de coordenadas . Un sistema de coordenadas para el cual algunas curvas de coordenadas no son líneas se llama sistema de coordenadas curvilíneo . ^[13] Las coordenadas ortogonales son un caso especial pero extremadamente común de coordenadas curvilíneas.

Una línea de coordenadas con todas las demás coordenadas constantes iguales a cero se llama eje de coordenadas , una línea orientada que se utiliza para asignar coordenadas. En un sistema de coordenadas cartesianas , todas las curvas de coordenadas son líneas y, por lo tanto, hay tantos ejes de coordenadas como coordenadas. Además, los ejes de coordenadas son ortogonales entre sí por pares .

Un sistema de coordenadas polares es un sistema curvilíneo en el que las curvas de coordenadas son líneas o círculos . Sin embargo, una de las curvas de coordenadas se reduce a un único punto, el origen, que a menudo se considera un círculo de radio cero. De manera similar, los sistemas de coordenadas esféricos y cilíndricos tienen curvas de coordenadas que son líneas, círculos o círculos de radio cero.

Muchas curvas pueden presentarse como curvas de coordenadas. Por ejemplo, las curvas de coordenadas de coordenadas parabólicas son parábolas .

En el espacio tridimensional, si una coordenada se mantiene constante y las otras dos pueden variar, la superficie resultante se denomina superficie de coordenadas . Por ejemplo, las superficies de coordenadas obtenidas manteniendo ρ constante en el sistema de coordenadas esféricas son las esferas con centro en el origen. En el espacio tridimensional, la intersección de dos superficies de coordenadas es una curva de coordenadas. En el sistema de coordenadas cartesianas podemos hablar de planos de coordenadas . De manera similar, las hipersuperficies de coordenadas son los espacios ( n − 1) -dimensionales resultantes de fijar una única coordenada de un sistema de coordenadas n -dimensional. ^[14]

El concepto de mapa de coordenadas , o diagrama de coordenadas, es central para la teoría de variedades. Un mapa de coordenadas es esencialmente un sistema de coordenadas para un subconjunto de un espacio dado con la propiedad de que cada punto tiene exactamente un conjunto de coordenadas. Más precisamente, un mapa de coordenadas es un homeomorfismo de un subconjunto abierto de un espacio X a un subconjunto abierto de R ⁿ . ^[15] A menudo no es posible proporcionar un sistema de coordenadas consistente para un espacio entero. En este caso, se junta una colección de mapas de coordenadas para formar un atlas que cubra el espacio. Un espacio equipado con un atlas de este tipo se llama variedad y se puede definir una estructura adicional en una variedad si la estructura es consistente donde los mapas de coordenadas se superponen. Por ejemplo, una variedad diferenciable es una variedad donde el cambio de coordenadas de un mapa de coordenadas a otro es siempre una función diferenciable.

En geometría y cinemática , los sistemas de coordenadas se utilizan para describir la posición (lineal) de puntos y la posición angular de ejes, planos y cuerpos rígidos . ^[16] En el último caso, la orientación de un segundo sistema de coordenadas (normalmente denominado "local"), fijo al nodo, se define en función del primero (normalmente denominado sistema de coordenadas "global" o "mundial"). Por ejemplo, la orientación de un cuerpo rígido se puede representar mediante una matriz de orientación , que incluye, en sus tres columnas, las coordenadas cartesianas de tres puntos. Estos puntos se utilizan para definir la orientación de los ejes del sistema local; son las puntas de tres vectores unitarios alineados con esos ejes.

La Tierra en su conjunto es uno de los espacios geométricos más comunes que requieren la medición precisa de la ubicación y, por lo tanto, de sistemas de coordenadas. A partir de los griegos del período helenístico , se han desarrollado diversos sistemas de coordenadas basados ​​en los tipos anteriores, entre los que se incluyen:

• Sistema de coordenadas geográficas , las coordenadas esféricas de latitud y longitud.
• Sistemas de coordenadas proyectadas , incluidos miles de sistemas de coordenadas cartesianas , cada uno basado en una proyección de mapa para crear una superficie plana del mundo o una región.
• Sistema de coordenadas geocéntricas , un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales que modela la Tierra como un objeto, y se utiliza más comúnmente para modelar las órbitas de los satélites , incluido el Sistema de Posicionamiento Global y otros sistemas de navegación por satélite .

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• Sistemas de coordenadas hexagonales