Espacio interior del producto

En matemáticas , un espacio de producto interno (o, raramente, un espacio de Hausdorff pre-Hilbert ^{[1] [2]} ) es un espacio vectorial real o un espacio vectorial complejo con una operación llamada producto interno . El producto interno de dos vectores en el espacio es un escalar , a menudo denotado con corchetes angulares como en . Los productos internos permiten definiciones formales de nociones geométricas intuitivas, como longitudes, ángulos y ortogonalidad (producto interno cero) de vectores. Los espacios de producto interno generalizan los espacios vectoriales euclidianos , en los que el producto interno es el producto escalar o el producto escalar de las coordenadas cartesianas . Los espacios de producto interno de dimensión infinita se utilizan ampliamente en el análisis funcional . Los espacios de producto interno sobre el cuerpo de números complejos a veces se denominan espacios unitarios . El primer uso del concepto de espacio vectorial con un producto interno se debe a Giuseppe Peano , en 1898. ^[3]${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

Un producto interno induce naturalmente una norma asociada , (denotada y en la imagen); por lo tanto, cada espacio de producto interno es un espacio vectorial normado . Si este espacio normado también es completo (es decir, un espacio de Banach ), entonces el espacio de producto interno es un espacio de Hilbert . ^[1] Si un espacio de producto interno H no es un espacio de Hilbert, puede extenderse por completitud a un espacio de Hilbert Esto significa que es un subespacio lineal del producto interno de es la restricción de la de y es denso en para la topología definida por la norma. ^{[1] [4]}${\estilo de visualización |x|}$${\displaystyle |y|}$${\displaystyle {\overline {H}}.}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle {\overline {H}},}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle {\overline {H}},}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle {\overline {H}}}$

En este artículo, F denota un campo que está formado por números reales o por números complejos . Por lo tanto, un escalar es un elemento de F. Una barra sobre una expresión que representa un escalar denota el conjugado complejo de este escalar. Se denota un vector cero para distinguirlo del escalar 0 .${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbf {0}}$

Un espacio de producto interno es un espacio vectorial V sobre el cuerpo F junto con un producto interno , es decir, una función

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\veces V\a F}$

que satisface las tres propiedades siguientes para todos los vectores y todos los escalares . ^{[5] [6]}${\displaystyle x,y,z\en V}$${\displaystyle a,b\en F}$

• Simetría conjugada : como si y solo si es real, la simetría conjugada implica que siempre es un número real. Si F es , la simetría conjugada es simplemente simetría.$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}$$${\textstyle a={\overline {a}}}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle \langle x,x\rangle }$${\displaystyle \mathbb {R}}$
• Linealidad en el primer argumento: ^{[Nota 1]} $${\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle .}$$
• Definitividad positiva : si no es cero, entonces (la simetría conjugada implica que es real).${\estilo de visualización x}$$${\displaystyle \langle x,x\rangle >0}$$${\displaystyle \langle x,x\rangle }$

Si se reemplaza la condición de definitividad positiva por el simple requisito de que para todos , entonces se obtiene la definición de forma hermítica semidefinida positiva . Una forma hermítica semidefinida positiva es un producto interno si y solo si para todos , si entonces . ^[7]${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$${\displaystyle x=\mathbf {0}}$

En las siguientes propiedades, que resultan casi inmediatamente de la definición de un producto interno, x , y y z son vectores arbitrarios, y a y b son escalares arbitrarios.

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}$
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$es real y no negativo.
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$Si y sólo si${\displaystyle x=\mathbf {0} .}$
• ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle .}$
  Esto implica que un producto interno es una forma sesquilínea .
• ${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}$donde denota la parte real de su argumento.${\displaystyle \nombreoperador {Re} }$
  

Sobre , la simetría conjugada se reduce a simetría y la sesquilinealidad se reduce a bilinealidad. Por lo tanto, un producto interno en un espacio vectorial real es una forma bilineal simétrica definida positiva . La expansión binomial de un cuadrado se convierte en${\displaystyle \mathbb {R}}$

${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$

Algunos autores, especialmente en física y álgebra matricial , prefieren definir productos internos y formas sesquilíneas con linealidad en el segundo argumento en lugar de en el primero. Entonces, el primer argumento se convierte en lineal conjugado, en lugar del segundo. La notación bra-ket en mecánica cuántica también utiliza una notación ligeramente diferente, es decir , donde .${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle x|y\rangle :=\izquierda(y,x\derecha)}$

Se utilizan varias notaciones para productos internos, entre ellas , , y , así como el producto escalar habitual.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \izquierda(\cdot ,\cdot \derecha)}$${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$${\displaystyle \izquierda(\cdot |\cdot \derecha)}$

Entre los ejemplos más simples de espacios de producto interno se encuentran y Los números reales son un espacio vectorial sobre el cual se convierte un espacio de producto interno con la multiplicación aritmética como su producto interno:${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ para }}x,y\in \mathbb {R} .}$$

Los números complejos son un espacio vectorial sobre el que se convierte un espacio de producto interno con el producto interno. A diferencia de los números reales, la asignación no define un producto interno complejo sobre el que${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .}$$${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

De manera más general, el espacio real${\estilo de visualización n}$ con el producto escalar es un espacio de producto interno, un ejemplo de un espacio vectorial euclidiano . donde es la transpuesta de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vpuntos \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vpuntos \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\textsf {T}}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$$${\displaystyle x^{\nombre del operador {T} }}$${\estilo de visualización x.}$

Una función es un producto interno de si y solo si existe una matriz simétrica definida positiva tal que para todo Si es la matriz identidad entonces es el producto escalar. Por ejemplo, si y es definida positiva (lo que sucede si y solo si y uno/ambos elementos diagonales son positivos), entonces para cualquier Como se mencionó anteriormente, cada producto interno de es de esta forma (donde y satisfacen ).${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {M}}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \mathbf {M}}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$${\estilo de visualización n=2}$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}$${\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle ad>b^{2}}$

La forma general de un producto interno de se conoce como forma hermítica y está dada por donde es cualquier matriz hermítica definida positiva y es la transpuesta conjugada de Para el caso real, esto corresponde al producto escalar de los resultados de escalar en direcciones diferentes los dos vectores, con factores de escala positivos y direcciones de escala ortogonales. Es una versión de suma ponderada del producto escalar con ponderaciones positivas, hasta una transformación ortogonal.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y^{\dagger }}$${\displaystyle y.}$

El artículo sobre espacios de Hilbert tiene varios ejemplos de espacios de producto interno, en los que la métrica inducida por el producto interno produce un espacio métrico completo . Un ejemplo de un espacio de producto interno que induce una métrica incompleta es el espacio de funciones complejas continuas y en el intervalo El producto interno es Este espacio no es completo; considere por ejemplo, para el intervalo [−1, 1] la secuencia de funciones "escalonadas" continuas, definidas por:${\displaystyle C([a,b])}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle [a,b].}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$$${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

Esta secuencia es una secuencia de Cauchy para la norma inducida por el producto interno precedente, que no converge a una función continua .

Para las variables aleatorias reales , el valor esperado de su producto es un producto interno. ^{[8] [9] [10]} En este caso, si y solo si (es decir, casi con seguridad ), donde denota la probabilidad del evento. Esta definición de expectativa como producto interno también se puede extender a los vectores aleatorios .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$$${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}$$${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$${\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}$${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

El producto interno para matrices cuadradas complejas del mismo tamaño es el producto interno de Frobenius . Dado que la traza y la transposición son lineales y la conjugación está en la segunda matriz, es un operador sesquilineal. Obtenemos además la simetría hermítica mediante, Finalmente, dado que para valores distintos de cero, , obtenemos que el producto interno de Frobenius también es definido positivo y, por lo tanto, es un producto interno.${\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)}$$${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}$

En un espacio de producto interno, o más generalmente en un espacio vectorial con una forma no degenerada (de ahí un isomorfismo ), los vectores se pueden enviar a covectores (en coordenadas, a través de una transposición), de modo que se puede tomar el producto interno y el producto externo de dos vectores, no simplemente de un vector y un covector.${\displaystyle V\to V^{*}}$

Cada espacio de producto interno induce una norma , llamada sunorma canónica , que se define por Con esta norma, todo espacio producto interno se convierte en unespacio vectorial normado. $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$

Por lo tanto, todas las propiedades generales de los espacios vectoriales normados se aplican a los espacios de producto interno. En particular, se tienen las siguientes propiedades:

Homogeneidad absoluta

$${\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}$$para cada y (esto resulta de ).${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }$

Desigualdad triangular

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$Estas dos propiedades demuestran que efectivamente se tiene una norma.${\displaystyle x,y\in V.}$

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$para cada con igualdad si y sólo si y son linealmente dependientes .${\displaystyle x,y\in V,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Ley del paralelogramo

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$La ley del paralelogramo es una condición necesaria y suficiente para que una norma sea definida por un producto interno.${\displaystyle x,y\in V.}$

Identidad de polarización

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$para cada El producto interno se puede recuperar de la norma mediante la identidad de polarización, ya que su parte imaginaria es la parte real de${\displaystyle x,y\in V.}$${\displaystyle \langle x,iy\rangle .}$

La desigualdad de Ptolomeo

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}$$pues toda desigualdad de Ptolomeo es una condición necesaria y suficiente para que una seminorma sea la norma definida por un producto interno. ^[11]${\displaystyle x,y,z\in V.}$

Ortogonalidad

Se dice que dos vectores y son${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ortogonal , a menudo escritosi su producto interno es cero, es decir, si Esto sucede si y solo sipara todos los escalares^[12]y si y solo si la función de valor realno es negativa. (Esto es una consecuencia del hecho de que, sientonces el escalarse minimizacon valorque siempre es no positivo). Para unespacio de producto internocomplejoun operador lineales idénticamentesi y solo sipara cada^[12]Esto no es cierto en general para espacios de producto interno real, ya que es una consecuencia de que la simetría conjugada es distinta de la simetría para productos internos complejos. Un contraejemplo en un espacio de producto interno real esuna rotación de 90° en, que asigna cada vector a un vector ortogonal pero no es idénticamente.${\displaystyle x\perp y,}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$
${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}$${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}$
${\displaystyle H,}$${\displaystyle T:V\to V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x\perp Tx}$${\displaystyle x\in V.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle 0}$

Complemento ortogonal

El complemento ortogonal de un subconjunto es el conjunto de los vectores que son ortogonales a todos los elementos de C ; es decir, Este conjunto es siempre un subespacio vectorial cerrado de y si el cierre de en es un subespacio vectorial entonces${\displaystyle C\subseteq V}$${\displaystyle C^{\bot }}$$${\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}$$${\displaystyle C^{\bot }}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

Teorema de Pitágoras

Si y son ortogonales, entonces Esto puede demostrarse expresando las normas al cuadrado en términos de los productos internos, utilizando la aditividad para expandir el lado derecho de la ecuación. El nombre teorema de Pitágoras surge de la interpretación geométrica en la geometría euclidiana .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$

La identidad de Parseval

Una inducción sobre el teorema de Pitágoras da como resultado: si son ortogonales por pares, entonces${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

Ángulo

Cuando es un número real, la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que y, por lo tanto, que es un número real. Esto permite definir el ángulo (no orientado) de dos vectores en las definiciones modernas de la geometría euclidiana en términos de álgebra lineal . Esto también se utiliza en el análisis de datos , bajo el nombre de " similitud de coseno ", para comparar dos vectores de datos.${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$$${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$

Supongamos que es un producto interno de (por lo que es antilineal en su segundo argumento). La identidad de polarización muestra que la parte real del producto interno es${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

Si es un espacio vectorial real entonces y la parte imaginaria (también llamada parte compleja ) de es siempre${\displaystyle V}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle 0.}$

Supongamos para el resto de esta sección que es un espacio vectorial complejo. La identidad de polarización para espacios vectoriales complejos muestra que${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

La función definida por para todos satisface los axiomas del producto interno excepto que es antilineal en su primer argumento, en lugar de en el segundo. La parte real de ambos y son iguales a pero los productos internos difieren en su parte compleja:${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$

La última igualdad es similar a la fórmula que expresa una función lineal en términos de su parte real.

Estas fórmulas muestran que todo producto interno complejo está completamente determinado por su parte real. Además, esta parte real define un producto interno en un espacio vectorial real. Por lo tanto, existe una correspondencia biunívoca entre los productos internos complejos en un espacio vectorial complejo y los productos internos reales en un espacio vectorial complejo.${\displaystyle V,}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle V.}$

Por ejemplo, supongamos que para algún entero Cuando se considera como un espacio vectorial real de la forma habitual (es decir, que se identifica con el espacio vectorial real dimensional con cada identificado con ), entonces el producto escalar define un producto interno real en este espacio. El único producto interno complejo en inducido por el producto escalar es la función que envía a (porque la parte real de esta función es igual al producto escalar). ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n>0.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 2n-}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$${\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}$${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \langle c,d\rangle :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}}$${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$

Productos internos reales y complejos

Sea denotado como un espacio vectorial sobre los números reales en lugar de los números complejos. La parte real del producto interno complejo es la función que necesariamente forma un producto interno real sobre el espacio vectorial real. Todo producto interno sobre un espacio vectorial real es una función bilineal y simétrica . ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}$

Por ejemplo, si con producto interno donde es un espacio vectorial sobre el cuerpo entonces es un espacio vectorial sobre y es el producto escalar donde se identifica con el punto (y de manera similar para ); por lo tanto, el producto interno estándar sobre es una "extensión" del producto escalar . Además, se hubiera definido en cambio como la función simétrica (en lugar de la función simétrica conjugada habitual ), entonces su parte real no sería el producto escalar; además, sin el conjugado complejo, si pero entonces entonces la asignación no definiría una norma.${\displaystyle V=\mathbb {C} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\cdot y,}$${\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }$${\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =xy}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$${\displaystyle x\not \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )}$${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

Los siguientes ejemplos muestran que aunque los productos internos reales y complejos tienen muchas propiedades y resultados en común, no son completamente intercambiables. Por ejemplo, si entonces pero el siguiente ejemplo muestra que la inversa en general no es cierta. Dado cualquier el vector (que es el vector rotado 90°) pertenece a y por lo tanto también pertenece a (aunque la multiplicación escalar de por no está definida en el vector en denotado por es sin embargo también un elemento de ). Para el producto interno complejo, mientras que para el producto interno real el valor es siempre${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$${\displaystyle x\in V,}$${\displaystyle ix}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} },}$${\displaystyle V}$${\displaystyle ix}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}$${\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$

Si es un producto interno complejo y es un operador lineal continuo que satisface para todos entonces Esta afirmación ya no es verdadera si es en cambio un producto interno real, como muestra el siguiente ejemplo. Supongamos que tiene el producto interno mencionado anteriormente. Entonces la función definida por es una función lineal (lineal tanto para como para ) que denota la rotación por en el plano. Como y son vectores perpendiculares y es simplemente el producto escalar, para todos los vectores sin embargo, esta función de rotación ciertamente no es idénticamente Por el contrario, al usar el producto interno complejo se obtiene que (como se esperaba) no es idénticamente cero.${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle A:V\to V}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =0}$${\displaystyle x\in V,}$${\displaystyle A=0.}$${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle V=\mathbb {C} }$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}}$${\displaystyle A:V\to V}$${\displaystyle Ax=ix}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Ax}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}$${\displaystyle x;}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2},}$

Sea un espacio de producto interno de dimensión finita de dimensión Recordemos que cada base de consiste en vectores exactamente linealmente independientes. Utilizando el proceso de Gram-Schmidt podemos empezar con una base arbitraria y transformarla en una base ortonormal. Es decir, en una base en la que todos los elementos son ortogonales y tienen norma unitaria. En símbolos, una base es ortonormal si para cada y para cada índice${\displaystyle V}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$${\displaystyle i.}$

Esta definición de base ortonormal se generaliza al caso de espacios de producto interno de dimensión infinita de la siguiente manera. Sea cualquier espacio de producto interno. Entonces una colección es una base para si el subespacio de generado por combinaciones lineales finitas de elementos de es denso en (en la norma inducida por el producto interno). Digamos que es una base ortonormal para si es una base y si y para todos${\displaystyle V}$$${\displaystyle E=\left\{e_{a}\right\}_{a\in A}}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \left\langle e_{a},e_{b}\right\rangle =0}$$${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle \langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$${\displaystyle a,b\in A.}$

Utilizando un análogo de dimensión infinita del proceso de Gram-Schmidt se puede demostrar:

Teorema. Todo espacio producto interior separable tiene una base ortonormal.

Utilizando el principio máximo de Hausdorff y el hecho de que en un espacio de producto interno completo la proyección ortogonal sobre subespacios lineales está bien definida, también se puede demostrar que

Teorema. Todo espacio de producto interior completo tiene una base ortonormal.

Los dos teoremas anteriores plantean la cuestión de si todos los espacios de producto interno tienen una base ortonormal. La respuesta es negativa. Este es un resultado no trivial y se demuestra a continuación. La siguiente demostración está tomada del libro A Hilbert Space Problem Book de Halmos (ver las referencias). ^{[ cita requerida ]}

Prueba

Recordemos que la dimensión de un espacio de producto interior es la cardinalidad de un sistema ortonormal maximal que contiene (por el lema de Zorn contiene al menos uno, y dos cualesquiera tienen la misma cardinalidad). Una base ortonormal es ciertamente un sistema ortonormal maximal pero la inversa no tiene por qué cumplirse en general. Si es un subespacio denso de un espacio de producto interior entonces cualquier base ortonormal para es automáticamente una base ortonormal para Por lo tanto, basta con construir un espacio de producto interior con un subespacio denso cuya dimensión sea estrictamente menor que la de${\displaystyle G}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$ Sea un espacio de Hilbert de dimensión (por ejemplo, ). Sea una base ortonormal de por lo que Extendamos a una base de Hamel para donde Como se sabe que la dimensión de Hamel de es la cardinalidad del continuo, debe ser que${\displaystyle K}$${\displaystyle \aleph _{0}.}$${\displaystyle K=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle |E|=\aleph _{0}.}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cup F}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle E\cap F=\varnothing .}$${\displaystyle K}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle |F|=c.}$ Sea un espacio de Hilbert de dimensión (por ejemplo, ). Sea una base ortonormal para y sea una biyección. Entonces existe una transformación lineal tal que para y para${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$${\displaystyle L=\ell ^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \varphi :F\to B}$${\displaystyle T:K\to L}$${\displaystyle Tf=\varphi (f)}$${\displaystyle f\in F,}$${\displaystyle Te=0}$${\displaystyle e\in E.}$ Sea y sea la gráfica de Sea el cierre de en ; demostraremos que Como para cualquier tenemos se sigue que${\displaystyle V=K\oplus L}$${\displaystyle G=\{(k,Tk):k\in K\}}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle {\overline {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\overline {G}}=V.}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle (e,0)\in G,}$${\displaystyle K\oplus 0\subseteq {\overline {G}}.}$ A continuación, si entonces para algún así ; puesto que además, también tenemos Se sigue que así y es denso en${\displaystyle b\in B,}$${\displaystyle b=Tf}$${\displaystyle f\in F\subseteq K,}$${\displaystyle (f,b)\in G\subseteq {\overline {G}}}$${\displaystyle (f,0)\in {\overline {G}}}$${\displaystyle (0,b)\in {\overline {G}}.}$${\displaystyle 0\oplus L\subseteq {\overline {G}},}$${\displaystyle {\overline {G}}=V,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V.}$ Finalmente, es un conjunto ortonormal maximo en ; si para todos entonces también lo es el vector cero en Por lo tanto, la dimensión de es mientras que está claro que la dimensión de es Esto completa la prueba.${\displaystyle \{(e,0):e\in E\}}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle 0=\langle (e,0),(k,Tk)\rangle =\langle e,k\rangle +\langle 0,Tk\rangle =\langle e,k\rangle }$$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle k=0,}$${\displaystyle (k,Tk)=(0,0)}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle |E|=\aleph _{0},}$${\displaystyle V}$${\displaystyle c.}$

La identidad de Parseval conduce inmediatamente al siguiente teorema:

Teorema. Sea un espacio de producto interno separable y una base ortonormal de Entonces la función es una función lineal isométrica con una imagen densa.${\displaystyle V}$${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k}}$${\displaystyle V.}$$${\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }}$$${\displaystyle V\rightarrow \ell ^{2}}$

Este teorema puede considerarse como una forma abstracta de la serie de Fourier , en la que una base ortonormal arbitraria desempeña el papel de la secuencia de polinomios trigonométricos . Nótese que el conjunto de índices subyacente puede tomarse como cualquier conjunto numerable (y de hecho cualquier conjunto, siempre que se defina adecuadamente, como se explica en el artículo Espacio de Hilbert ). En particular, obtenemos el siguiente resultado en la teoría de la serie de Fourier:${\displaystyle \ell ^{2}}$

Teorema. Sea el espacio producto interior Entonces la sucesión (indexada en el conjunto de todos los enteros) de funciones continuas es una base ortonormal del espacio con el producto interior. La aplicación es una aplicación lineal isométrica con imagen densa.${\displaystyle V}$${\displaystyle C[-\pi ,\pi ].}$$${\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}$$${\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}$$

La ortogonalidad de la secuencia se sigue inmediatamente del hecho de que si entonces${\displaystyle \{e_{k}\}_{k}}$${\displaystyle k\neq j,}$$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.}$$

La normalidad de la sucesión es por diseño, es decir, los coeficientes se eligen de manera que la norma sea 1. Finalmente, el hecho de que la sucesión tenga un espacio algebraico denso, en la norma del producto interno , se sigue del hecho de que la sucesión tiene un espacio algebraico denso, esta vez en el espacio de funciones periódicas continuas en con la norma uniforme. Este es el contenido del teorema de Weierstrass sobre la densidad uniforme de polinomios trigonométricos.${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

Existen varios tipos de mapas lineales entre espacios de productos internos y son relevantes:${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

• Aplicaciones lineales continuas :son lineales y continuas con respecto a la métrica definida anteriormente, o equivalentemente,son lineales y el conjunto de números reales no negativosdondelos rangos sobre la bola unitaria cerradaestán acotados.${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\},}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V,}$
• Operadores lineales simétricos : son lineales y para todos${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$${\displaystyle x,y\in V.}$
• Isometrías :satisfacepara todoUna isometría lineal (resp. una isometría antilineal ) es una isometría que también es una función lineal (resp. una función antilineal ). Para espacios de producto interno, la identidad de polarización se puede usar para mostrar quees una isometría si y solo sipara todo Todas las isometrías son inyectivas . El teorema de Mazur-Ulam establece que cada isometría sobreyectiva entre dosespacios normados reales es una transformación afín . En consecuencia, una isometríaentre espacios de producto interno reales es una función lineal si y solo siLas isometrías son morfismos entre espacios de producto interno, y los morfismos de espacios de producto interno reales son transformaciones ortogonales (compárese con matriz ortogonal ).${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle \|Ax\|=\|x\|}$${\displaystyle x\in V.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle Ax,Ay\rangle =\langle x,y\rangle }$${\displaystyle x,y\in V.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A(0)=0.}$
• Isomorfismos isométricos : es una isometría que es sobreyectiva (y por lo tanto biyectiva ). Los isomorfismos isométricos también se conocen como operadores unitarios (compárese con la matriz unitaria ).${\displaystyle A:V\to W}$

Desde el punto de vista de la teoría del espacio de producto interno, no es necesario distinguir entre dos espacios que son isométricamente isomorfos. El teorema espectral proporciona una forma canónica para operadores simétricos, unitarios y, más generalmente, normales en espacios de producto interno de dimensión finita. Una generalización del teorema espectral es válida para operadores normales continuos en espacios de Hilbert. ^[13]

Cualquiera de los axiomas de un producto interno puede debilitarse, dando lugar a nociones generalizadas. Las generalizaciones más cercanas a los productos internos se dan cuando se conservan la bilinealidad y la simetría conjugada, pero se debilita la definitividad positiva.

Si es un espacio vectorial y una forma sesquilineal semidefinida, entonces la función: tiene sentido y satisface todas las propiedades de la norma excepto que no implica (tal funcional se llama entonces una seminorma ). Podemos producir un espacio de producto interno considerando el cociente La forma sesquilineal se factoriza mediante${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$${\displaystyle \|x\|=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle W.}$

Esta construcción se utiliza en numerosos contextos. La construcción Gelfand–Naimark–Segal es un ejemplo particularmente importante del uso de esta técnica. Otro ejemplo es la representación de núcleos semidefinidos en conjuntos arbitrarios.

Alternativamente, se puede requerir que el emparejamiento sea una forma no degenerada , lo que significa que para todo distinto de cero existe alguno tal que aunque no necesariamente sea igual a ; en otras palabras, la función inducida al espacio dual es inyectiva. Esta generalización es importante en geometría diferencial : una variedad cuyos espacios tangentes tienen un producto interno es una variedad de Riemann , mientras que si esto está relacionado con la forma simétrica conjugada no degenerada la variedad es una variedad pseudo-Riemanniana . Por la ley de inercia de Sylvester , así como todo producto interno es similar al producto escalar con pesos positivos en un conjunto de vectores, toda forma simétrica conjugada no degenerada es similar al producto escalar con pesos distintos de cero en un conjunto de vectores, y el número de pesos positivos y negativos se denominan respectivamente índice positivo e índice negativo. El producto de vectores en el espacio de Minkowski es un ejemplo de producto interno indefinido, aunque, técnicamente hablando, no es un producto interno según la definición estándar anterior. El espacio de Minkowski tiene cuatro dimensiones e índices 3 y 1 (la asignación de "+" y "−" a ellos difiere según las convenciones ).${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V\to V^{*}}$

Las afirmaciones puramente algebraicas (aquellas que no utilizan la positividad) generalmente sólo se basan en la no degeneración (el homomorfismo inyectivo ) y, por lo tanto, son válidas de manera más general.${\displaystyle V\to V^{*}}$

El término "producto interno" se opone a producto externo , que es un opuesto ligeramente más general. Simplemente, en coordenadas, el producto interno es el producto de un covector con un vector, lo que produce una matriz (un escalar), mientras que el producto externo es el producto de un vector con un covector, lo que produce una matriz. El producto externo se define para diferentes dimensiones, mientras que el producto interno requiere la misma dimensión. Si las dimensiones son las mismas, entonces el producto interno es la traza del producto externo (la traza solo se define correctamente para matrices cuadradas). En un resumen informal: "el interno es horizontal por vertical y se encoge hacia abajo, el externo es vertical por horizontal y se expande hacia afuera".${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle m\times 1}$${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle m\times n}$

De manera más abstracta, el producto externo es el mapa bilineal que envía un vector y un covector a una transformación lineal de rango 1 ( tensor simple de tipo (1, 1)), mientras que el producto interno es el mapa de evaluación bilineal obtenido al evaluar un covector en un vector; el orden de los espacios vectoriales del dominio aquí refleja la distinción covector/vector.${\displaystyle W\times V^{*}\to \hom(V,W)}$${\displaystyle V^{*}\times V\to F}$

El producto interno y el producto externo no deben confundirse con el producto interior y el producto exterior , que son, en cambio, operaciones sobre campos vectoriales y formas diferenciales , o más generalmente sobre el álgebra exterior .

Como complicación adicional, en álgebra geométrica el producto interno y el producto exterior (Grassmann) se combinan en el producto geométrico (el producto de Clifford en un álgebra de Clifford ) – el producto interno envía dos vectores (1-vectores) a un escalar (un 0-vector), mientras que el producto exterior envía dos vectores a un bivector (2-vector) – y en este contexto el producto exterior usualmente se llama producto externo (alternativamente, producto cuña ). El producto interno se llama más correctamente producto escalar en este contexto, ya que la forma cuadrática no degenerada en cuestión no necesita ser definida positiva (no necesita ser un producto interno).

• Forma bilineal  : función bilineal con valor escalar
• Sistema biortogonal
• Espacio dual  – En matemáticas, espacio vectorial de formas lineales.
• Espacio energético  : subespacio de un espacio de Hilbert real dado equipado con un nuevo producto interno "energético"Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• L-semiproducto interno  – Generalización de productos internos que se aplica a todos los espacios normados
• Distancia de Minkowski  : métrica matemática en el espacio vectorial normalizado
• Base ortogonal
• Complemento ortogonal  – Concepto de álgebra lineal
• Base ortonormal  – Base lineal específica (matemáticas)
• Variedad de Riemann

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