Matriz S

En física , la matriz S o matriz de dispersión relaciona el estado inicial y el estado final de un sistema físico sometido a un proceso de dispersión . Se utiliza en mecánica cuántica , teoría de dispersión y teoría cuántica de campos (QFT).

Más formalmente, en el contexto de la teoría cuántica de campos, la matriz S se define como la matriz unitaria que conecta conjuntos de estados de partículas asintóticamente libres (los estados internos y los estados externos ) en el espacio de Hilbert de estados físicos. Se dice que un estado de múltiples partículas es libre (o no interactuante) si se transforma bajo transformaciones de Lorentz como un producto tensorial , o producto directo en el lenguaje de la física, de estados de una partícula como lo prescribe la ecuación (1) a continuación. Asintóticamente libre significa entonces que el estado tiene esta apariencia en el pasado distante o en el futuro distante.

Si bien la matriz S puede definirse para cualquier fondo ( espacio-tiempo ) que sea asintóticamente solucionable y no tenga horizontes de eventos , tiene una forma simple en el caso del espacio de Minkowski . En este caso especial, el espacio de Hilbert es un espacio de representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz no homogéneo (el grupo de Poincaré ); la matriz S es el operador de evolución entre (el pasado distante) y (el futuro distante). Se define solo en el límite de densidad de energía cero (o distancia de separación de partículas infinita).${\displaystyle t=-\infty}$${\displaystyle t=+\infty}$

Se puede demostrar que si una teoría cuántica de campos en el espacio de Minkowski tiene una brecha de masa , el estado en el pasado asintótico y en el futuro asintótico se describen mediante espacios de Fock .

Los elementos iniciales de la teoría de la matriz S se encuentran en el artículo de Paul Dirac de 1927 "Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge". ^{[1] [2]} La matriz S fue introducida correctamente por primera vez por John Archibald Wheeler en el artículo de 1937 "On the Mathematical Description of Light Nuclei by the Method of Resonating Group Structure". ^[3] En este artículo Wheeler introdujo una matriz de dispersión -una matriz unitaria de coeficientes que conectan "el comportamiento asintótico de una solución particular arbitraria [de las ecuaciones integrales] con el de las soluciones de una forma estándar", ^[4] pero no la desarrolló completamente.

En la década de 1940, Werner Heisenberg desarrolló y confirmó de forma independiente la idea de la matriz S. Debido a las divergencias problemáticas presentes en la teoría cuántica de campos en ese momento, Heisenberg se vio motivado a aislar las características esenciales de la teoría que no se verían afectadas por cambios futuros a medida que la teoría se desarrollara. Al hacerlo, se vio obligado a introducir una matriz S "característica" unitaria . ^[4]

Sin embargo, hoy en día, los resultados exactos de la matriz S son importantes para la teoría de campos conforme , los sistemas integrables y varias áreas más de la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas . Las matrices S no son sustitutos de un tratamiento teórico de campos, sino que más bien complementan los resultados finales de dicho tratamiento.

En física de partículas de alta energía, el interés es calcular la probabilidad de distintos resultados en experimentos de dispersión . Estos experimentos pueden dividirse en tres etapas:

1. Hacer que un conjunto de partículas entrantes colisionen (normalmente dos tipos de partículas con altas energías).
2. Permitir que las partículas entrantes interactúen. Estas interacciones pueden cambiar los tipos de partículas presentes (por ejemplo, si un electrón y un positrón se aniquilan, pueden producir dos fotones ).
3. Medición de las partículas salientes resultantes.

El proceso por el cual las partículas entrantes se transforman (a través de su interacción ) en partículas salientes se denomina dispersión . Para la física de partículas, una teoría física de estos procesos debe ser capaz de calcular la probabilidad de que diferentes partículas salientes colisionen con diferentes energías.

La matriz S de la teoría cuántica de campos logra exactamente esto. Se supone que la aproximación de baja densidad de energía es válida en estos casos.

La matriz S está estrechamente relacionada con la amplitud de probabilidad de transición en mecánica cuántica y con las secciones transversales de varias interacciones; los elementos (entradas numéricas individuales) en la matriz S se conocen como amplitudes de dispersión . Los polos de la matriz S en el plano de energía compleja se identifican con estados ligados , estados virtuales o resonancias . Los cortes de ramificación de la matriz S en el plano de energía compleja están asociados a la apertura de un canal de dispersión .

En el enfoque hamiltoniano de la teoría cuántica de campos, la matriz S puede calcularse como una exponencial ordenada en el tiempo del hamiltoniano integrado en la imagen de interacción ; también puede expresarse utilizando las integrales de trayectoria de Feynman . En ambos casos, el cálculo perturbativo de la matriz S conduce a diagramas de Feynman .

En la teoría de dispersión , la matriz S es un operador que asigna los estados de entrada de partículas libres a los estados de salida de partículas libres ( canales de dispersión ) en la imagen de Heisenberg . Esto es muy útil porque a menudo no podemos describir la interacción (al menos, no las más interesantes) con exactitud.

En primer lugar, se considera, a modo de ejemplo, un prototipo simple en el que la matriz S es bidimensional. En él, las partículas con una energía E muy definida se dispersan a partir de un potencial localizado V según las reglas de la mecánica cuántica unidimensional. Este modelo simple ya presenta algunas características de casos más generales, pero es más fácil de manejar.

Cada energía E produce una matriz S = S ( E ) que depende de V . Por lo tanto, la matriz S total podría, hablando en sentido figurado, visualizarse, de manera adecuada, como una "matriz continua" con cada elemento cero, excepto 2 × 2 bloques a lo largo de la diagonal para un V dado .

Consideremos una barrera de potencial unidimensional localizada V ( x ) , sometida a un haz de partículas cuánticas con energía E . Estas partículas inciden sobre la barrera de potencial de izquierda a derecha.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger fuera de la barrera de potencial son ondas planas dadas por para la región a la izquierda de la barrera de potencial, y para la región a la derecha de la barrera de potencial, donde es el vector de onda . La dependencia del tiempo no es necesaria en nuestra descripción general y, por lo tanto, se omite. El término con coeficiente A representa la onda entrante, mientras que el término con coeficiente C representa la onda saliente. B representa la onda reflejada. Dado que fijamos la onda entrante en movimiento en la dirección positiva (viniendo desde la izquierda), D es cero y se puede omitir.$${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$$$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}}$$$${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$$

La "amplitud de dispersión", es decir, la superposición de transición de las ondas salientes con las ondas entrantes es una relación lineal que define la matriz S ,$${\displaystyle {\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}}.}$$

La relación anterior se puede escribir como donde Los elementos de S caracterizan completamente las propiedades de dispersión de la barrera de potencial V ( x ) .$${\displaystyle \Psi _{\rm {salida}}=S\Psi _{\rm {entrada}}}$$$${\displaystyle \Psi _{\rm {salida}}={\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}},\quad \Psi _{\rm {entrada}}={\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}.}$$

La propiedad unitaria de la matriz S está directamente relacionada con la conservación de la corriente de probabilidad en la mecánica cuántica .

La densidad de corriente de probabilidad J de la función de onda ψ ( x ) se define como La densidad de corriente de probabilidad de a la izquierda de la barrera es mientras que la densidad de corriente de probabilidad de a la derecha de la barrera es$${\displaystyle J={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\parcial \psi }{\parcial x}}-\psi {\frac {\parcial \psi ^{*}}{\parcial x}}\right).}$$$Estilo de visualización J_{\rm {L}}(x)}$${\displaystyle \psi_{\rm {L}}(x)}$$${\displaystyle J_{\rm {L}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|A|^{2}-|B|^{2}\right),}$$$Estilo de visualización J_{\rm {R}}(x)}$${\displaystyle \psi_{\rm {R}}(x)}$$${\displaystyle J_{\rm {R}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|C|^{2}-|D|^{2}\right).}$$

Para la conservación de la corriente de probabilidad, J _L = J _R . Esto implica que la matriz S es una matriz unitaria .

Si el potencial V ( x ) es real, entonces el sistema posee simetría de inversión temporal . Bajo esta condición, si ψ ( x ) es una solución de la ecuación de Schrödinger, entonces ψ *( x ) también es una solución.

La solución invertida en el tiempo se da para la región a la izquierda de la barrera de potencial, y para la región a la derecha de la barrera de potencial, donde los términos con coeficiente B * , C * representan la onda entrante, y los términos con coeficiente A * , D * representan la onda saliente.$${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}}$$$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}}$$

Están nuevamente relacionadas por la matriz S , es decir, Ahora, las relaciones juntas producen una condición. Esta condición, junto con la relación de unitaridad, implica que la matriz S es simétrica, como resultado de la simetría de inversión temporal,$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,}$$
$${\displaystyle \Psi _{\rm {entrada}}^{*}=S\Psi _{\rm {salida}}^{*}.}$$$${\displaystyle \Psi _{\rm {entrada}}^{*}=S\Psi _{\rm {salida}}^{*},\quad \Psi _{\rm {salida}}=S\Psi _{\rm {entrada}}}$$$${\displaystyle S^{*}S=I}$$$${\displaystyle S^{T}=S.}$$

Combinando la simetría y la unitaridad, la matriz S se puede expresar en la forma: con y . Por lo tanto, la matriz S está determinada por tres parámetros reales.$${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{i\varphi }e^{i\delta }\cdot r&e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}\\e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{i\varphi }e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}=e^{i\varphi }{\begin{pmatrix}e^{i\delta }\cdot r&{\sqrt {1-r^{2}}}\\{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$${\displaystyle r\in [0;1]}$

La matriz de transferencia relaciona las ondas planas y del lado derecho del potencial de dispersión con las ondas planas y del lado izquierdo : ^[5]${\displaystyle M}$${\displaystyle Ce^{ikx}}$${\displaystyle De^{-ikx}}$${\displaystyle Ae^{ikx}}$${\displaystyle Be^{-ikx}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}}$$y sus componentes pueden derivarse de los componentes de la matriz S a través de: ^[6] y , con lo que se supone simetría de inversión temporal.${\displaystyle M_{11}=1/S_{12}^{*}=1/S_{21}^{*}{,}\ M_{22}=M_{11}^{*}}$${\displaystyle M_{12}=-S_{11}^{*}/S_{12}^{*}=S_{22}/S_{12}{,}\ M_{21}=M_{12}^{*}}$

En el caso de simetría de inversión temporal, la matriz de transferencia se puede expresar mediante tres parámetros reales:${\displaystyle \mathbf {M} }$

$${\displaystyle M={\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}}}}{\begin{pmatrix}e^{i\varphi }&-r\cdot e^{-i\delta }\\-r\cdot e^{i\delta }&e^{-i\varphi }\end{pmatrix}}}$$ con y (en caso r = 1 no habría conexión entre el lado izquierdo y el lado derecho)${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$${\displaystyle r\in [0;1]}$

El problema unidimensional, no relativista, con simetría de inversión temporal de una partícula con masa m que se aproxima bien a un cuadrado finito (estático) , tiene la función potencial V con La dispersión se puede resolver descomponiendo el paquete de ondas de la partícula libre en ondas planas con números de onda para una onda plana que viene (lejos) del lado izquierdo o igualmente (lejos) del lado derecho.$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&{\text{for}}~~|x|\leq a~~(V_{0}>0)\quad {\text{and}}\\[1ex]0&{\text{for}}~~|x|>a\end{cases}}}$$${\displaystyle A_{k}\exp(ikx)}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle D_{k}\exp(-ikx)}$

La matriz S para la onda plana con número de onda k tiene la solución: ^[6] y  ; por lo tanto y por lo tanto y en este caso.$${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cos(2la)-i\sin(2la){\frac {l^{2}+k^{2}}{2kl}}}}}$$${\displaystyle S_{11}=S_{12}\cdot i\sin(2la){\frac {l^{2}-k^{2}}{2kl}}}$${\displaystyle e^{i\delta }=\pm i}$${\displaystyle -e^{-i\delta }=e^{i\delta }}$${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$

Donde el número de onda (aumentado) de la onda plana dentro del pozo cuadrado es, ya que el valor propio de energía asociado con la onda plana debe permanecer constante:${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle E_{k}}$${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}l^{2}}{2m}}-V_{0}}$

La transmisión es${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{(\cos(2la))^{2}+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}+k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$

En el caso de entonces y por lo tanto y es decir una onda plana con número de onda k pasa por el pozo sin reflexión si para un${\displaystyle \sin(2la)=0}$${\displaystyle \cos(2la)=\pm 1}$${\displaystyle S_{11}=S_{22}=0}$${\displaystyle |S_{21}|=|S_{12}|=1}$${\displaystyle k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{4a^{2}}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

La barrera cuadrada es similar al pozo cuadrado con la diferencia que para .${\displaystyle V(x)=+V_{0}>0}$${\displaystyle |x|\leq a}$

Existen tres casos diferentes dependiendo del valor propio de energía de las ondas planas (con números de onda k respectivamente − k ) alejadas de la barrera:${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$

El coeficiente de transmisión desde la izquierda de la barrera de potencial es, cuando D = 0 ,$${\displaystyle T_{\rm {L}}={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{21}|^{2}.}$$

El coeficiente de reflexión desde la izquierda de la barrera de potencial es, cuando D = 0 ,$${\displaystyle R_{\rm {L}}={\frac {|B|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{11}|^{2}.}$$

De manera similar, el coeficiente de transmisión desde la derecha de la barrera de potencial es, cuando A = 0 ,$${\displaystyle T_{\rm {R}}={\frac {|B|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{12}|^{2}.}$$

El coeficiente de reflexión desde la derecha de la barrera de potencial es, cuando A = 0 ,$${\displaystyle R_{\rm {R}}={\frac {|C|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{22}|^{2}.}$$

Las relaciones entre los coeficientes de transmisión y reflexión son y Esta identidad es una consecuencia de la propiedad de unitaridad de la matriz S.$${\displaystyle T_{\rm {L}}+R_{\rm {L}}=1}$$$${\displaystyle T_{\rm {R}}+R_{\rm {R}}=1.}$$

Con simetría de inversión temporal, la matriz S es simétrica y, por lo tanto , y .${\displaystyle T_{\rm {L}}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}=T_{\rm {R}}}$${\displaystyle R_{\rm {L}}=R_{\rm {R}}}$

En el caso de partículas libres V ( x ) = 0 , la matriz S es ^[8] Sin embargo, siempre que V ( x ) sea diferente de cero, hay una desviación de la matriz S de la forma anterior, a Esta desviación está parametrizada por dos funciones complejas de energía, r y t . De la unitaridad también se sigue una relación entre estas dos funciones,$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}2ir&1+2it\\1+2it&2ir^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}}\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle |r|^{2}+|t|^{2}=\operatorname {Im} (t).}$$

El análogo de esta identidad en tres dimensiones se conoce como teorema óptico .

Una forma sencilla de definir la matriz S comienza considerando la imagen de interacción . ^[9] Sea el hamiltoniano H dividido en la parte libre H ₀ y la interacción V , H = H ₀ + V . En esta imagen, los operadores se comportan como operadores de campo libre y los vectores de estado tienen dinámica de acuerdo con la interacción V . Sea un estado que ha evolucionado a partir de un estado inicial libre El elemento de la matriz S se define entonces como la proyección de este estado sobre el estado final Por lo tanto$${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle }$$$${\displaystyle \left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$$${\displaystyle \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|.}$$$${\displaystyle S_{\rm {fi}}\equiv \lim _{t\rightarrow +\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}|\Psi (t)\right\rangle \equiv \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|S\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$

donde S es el operador S. La gran ventaja de esta definición es que el operador de evolución temporal U que evoluciona un estado en la imagen de interacción se conoce formalmente, ^[10] donde T denota el producto ordenado en el tiempo . Expresado en este operador, de donde Expandiendo usando el conocimiento sobre U se obtiene una serie de Dyson , o, si V viene como una densidad hamiltoniana ,$${\displaystyle U(t,t_{0})=Te^{-i\int _{t_{0}}^{t}d\tau V(\tau )},}$$$${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$$${\displaystyle S=U(\infty ,-\infty ).}$$$${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right].}$$

Al ser un tipo especial de operador de evolución temporal, S es unitario. Para cualquier estado inicial y cualquier estado final se encuentra$${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\left\langle \Phi _{\rm {f}}|S|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle =\left\langle \Phi _{\rm {f}}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right]\right|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$

Este enfoque es un tanto ingenuo, ya que se ocultan los problemas potenciales. ^[11] Esto es intencional. El enfoque funciona en la práctica y algunas de las cuestiones técnicas se abordan en las otras secciones.

En este caso, se adopta un enfoque ligeramente más riguroso para abordar los problemas potenciales que no se tuvieron en cuenta en el enfoque de la imagen de interacción descrito anteriormente. El resultado final es, por supuesto, el mismo que cuando se toma la ruta más rápida. Para ello, se necesitan las nociones de estados de entrada y salida. Estas se desarrollarán de dos maneras, a partir del vacío y a partir de los estados de partículas libres. Huelga decir que los dos enfoques son equivalentes, pero arrojan luz sobre las cuestiones desde diferentes ángulos.

Si a ^† ( k ) es un operador de creación , su adjunto hermítico es un operador de aniquilación y destruye el vacío,$${\displaystyle a(k)\left|*,0\right\rangle =0.}$$

En notación de Dirac , se define como un estado cuántico de vacío , es decir, un estado sin partículas reales. El asterisco significa que no todos los vacíos son necesariamente iguales, y ciertamente no son iguales al estado cero del espacio de Hilbert 0. Todos los estados de vacío se suponen invariantes de Poincaré , invariancia bajo traslaciones, rotaciones y refuerzos, ^[11] formalmente, donde P ^μ es el generador de traslaciones en el espacio y el tiempo, y M ^μν es el generador de transformaciones de Lorentz . Por lo tanto, la descripción del vacío es independiente del marco de referencia. Asociados a los estados de entrada y salida que se definirán están los operadores de campo de entrada y salida (también conocidos como campos ) Φ _i y Φ _o . Aquí se centra la atención en el caso más simple, el de una teoría escalar , para ejemplificar con el menor desorden posible de la notación. Los campos de entrada y salida satisfacen la ecuación libre de Klein-Gordon . Se postula que estos campos tienen las mismas relaciones de conmutación de tiempo igual (ETCR) que los campos libres, donde π _{i , j} es el campo canónicamente conjugado a Φ _{i , j} . Asociados a los campos de entrada y salida hay dos conjuntos de operadores de creación y aniquilación, a ^† _i ( k ) y a ^† _f ( k ) , que actúan en el mismo espacio de Hilbert , ^[12] en dos conjuntos completos distintos ( espacios de Fock ; espacio inicial i , espacio final f ). Estos operadores satisfacen las reglas de conmutación habituales,$${\displaystyle |*,0\rangle }$$$${\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =0,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =0}$$$${\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}(x)=0,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}$$

La acción de los operadores de creación sobre sus respectivos vacíos y estados con un número finito de partículas en los estados de entrada y salida está dada por donde se han ignorado los problemas de normalización. Consulte la siguiente sección para obtener una explicación detallada de cómo se normaliza un estado general de n partículas . Los espacios inicial y final están definidos por$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {i}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0\right\rangle \},}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {f}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \}.}$$

Se supone que los estados asintóticos tienen propiedades de transformación de Poincaré bien definidas, es decir, se supone que se transforman como un producto directo de estados de una partícula. ^[13] Esta es una característica de un campo que no interactúa. De esto se deduce que los estados asintóticos son todos estados propios del operador de momento P ^μ , ^[11] En particular, son estados propios del hamiltoniano completo,$${\displaystyle P^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .}$$$${\displaystyle H=P^{0}.}$$

Se suele postular que el vacío es estable y único, ^{[11] [nb 1]}$${\displaystyle |\mathrm {i} ,0\rangle =|\mathrm {f} ,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}$$

Se supone que la interacción se activa y desactiva adiabáticamente.

De ahora en adelante se emplea la imagen de Heisenberg . En esta imagen, los estados son independientes del tiempo. Un vector de estado de Heisenberg representa así la historia espaciotemporal completa de un sistema de partículas. ^[13] El etiquetado de los estados de entrada y salida se refiere a la apariencia asintótica. Un estado Ψ _{α , in} se caracteriza por que cuando t → −∞ el contenido de partículas es el representado colectivamente por α . Del mismo modo, un estado Ψ _{β , out} tendrá el contenido de partículas representado por β para t → +∞ . Utilizando el supuesto de que los estados de entrada y salida, así como los estados interactuantes, habitan el mismo espacio de Hilbert y suponiendo la completitud de los estados de entrada y salida normalizados (postulado de completitud asintótica ^[11] ), los estados iniciales se pueden expandir en una base de estados finales (o viceversa). La expresión explícita se da más adelante después de que se haya introducido más notación y terminología. Los coeficientes de expansión son precisamente los elementos de la matriz S que se definirán a continuación.

Mientras que los vectores de estado son constantes en el tiempo en la imagen de Heisenberg, los estados físicos que representan no lo son . Si se encuentra que un sistema está en un estado Ψ en el tiempo t = 0 , entonces se encontrará en el estado U ( τ )Ψ = e ^{− iHτ} Ψ en el tiempo t = τ . Este no es (necesariamente) el mismo vector de estado de Heisenberg, pero es un vector de estado equivalente , lo que significa que, al medirlo, se encontrará que es uno de los estados finales de la expansión con coeficiente distinto de cero. Dejando que τ varíe, se ve que el Ψ observado (no medido) es de hecho el vector de estado de la imagen de Schrödinger . Al repetir la medición suficientes veces y promediar, se puede decir que el mismo vector de estado se encuentra de hecho en el tiempo t = τ que en el tiempo t = 0. Esto refleja la expansión anterior de un estado de entrada en estados de salida.

Desde este punto de vista, se debe considerar cómo se lleva a cabo el experimento de dispersión arquetípico. Las partículas iniciales se preparan en estados bien definidos donde están tan separadas que no interactúan. De alguna manera se las hace interactuar, y las partículas finales se registran cuando están tan separadas que han dejado de interactuar. La idea es buscar estados en la imagen de Heisenberg que en el pasado distante tenían la apariencia de estados de partículas libres. Estos serán los estados de entrada. Del mismo modo, un estado de salida será un estado que en el futuro distante tiene la apariencia de un estado de partículas libres. ^[13]

Se utilizará la notación de la referencia general para esta sección, Weinberg (2002). Un estado general de múltiples partículas sin interacción se da por donde$${\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },}$$

• p es el momento,
• σ es el componente z del espín o, en el caso sin masa, la helicidad ,
• n es especie de partícula.

Estos estados se normalizan como Las permutaciones funcionan como tales; si s ∈ S _k es una permutación de k objetos (para un estado de k -partículas ) tal que entonces resulta un término distinto de cero. El signo es más a menos que s implique un número impar de transposiciones de fermiones, en cuyo caso es menos. La notación suele abreviarse dejando una letra griega para toda la colección que describe el estado. En forma abreviada, la normalización se convierte en Al integrar sobre estados de partículas libres, se escribe en esta notación donde la suma incluye solo términos tales que no hay dos términos iguales módulo una permutación de los índices de tipo de partícula. Se supone que los conjuntos de estados buscados son completos . Esto se expresa como que podría parafrasearse como donde para cada α fijo , el lado derecho es un operador de proyección sobre el estado α . Bajo una transformación de Lorentz no homogénea (Λ, a ) , el campo se transforma de acuerdo con la regla$${\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.}$$$${\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,}$$$${\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$$${\displaystyle d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,}$$$${\displaystyle \Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),}$$$${\displaystyle \int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}$$

$${\displaystyle U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2}\cdots }=e^{-ia_{\mu }((\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots )}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}(W(\Lambda ,p_{1}))D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}(W(\Lambda ,p_{2}))\cdots \Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2}\cdots },}$$

( 1 )

donde W (Λ, p ) es la rotación de Wigner y D ^{( j )} es la representación (2 j + 1) -dimensional de SO(3) . Al poner Λ = 1, a = ( τ , 0, 0, 0) , para lo cual U es exp( iHτ ) , en (1) , se sigue inmediatamente que entonces los estados de entrada y salida buscados son estados propios del hamiltoniano completo que son necesariamente no interactuantes debido a la ausencia de términos de energía de partículas mixtas. La discusión en la sección anterior sugiere que los estados de entrada Ψ ⁺ y los estados de salida Ψ ⁻ deberían ser tales que para τ positivo y negativo grande tenga la apariencia del paquete correspondiente, representado por g , de estados de partículas libres, g asumido suave y adecuadamente localizado en momento. Los paquetes de ondas son necesarios, de lo contrario la evolución temporal producirá solo un factor de fase que indica partículas libres, lo que no puede ser el caso. El lado derecho se deduce de que los estados de entrada y salida son estados propios del hamiltoniano indicado anteriormente. Para formalizar este requisito, supongamos que el hamiltoniano completo H se puede dividir en dos términos, un hamiltoniano de partícula libre H ₀ y una interacción V , H = H ₀ + V tal que los estados propios Φ _γ de H ₀ tienen la misma apariencia que los estados de entrada y salida con respecto a las propiedades de normalización y transformación de Lorentz,$${\displaystyle H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,}$$$${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha \ e^{-iE_{\alpha }\tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }}$$ $${\displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },}$$$${\displaystyle (\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$

Los estados de entrada y salida se definen como estados propios del hamiltoniano completo, que satisfacen τ → −∞ o τ → +∞ respectivamente. Defina entonces Esta última expresión funcionará solo usando paquetes de ondas. De estas definiciones se deduce que los estados de entrada y salida se normalizan de la misma manera que los estados de partícula libre, y los tres conjuntos son unitariamente equivalentes. Ahora reescriba la ecuación de valor propio, donde se han agregado los términos ± iε para hacer que el operador en el LHS sea invertible. Dado que los estados de entrada y salida se reducen a los estados de partícula libre para V → 0 , coloque en el RHS para obtener Luego use la completitud de los estados de partícula libre, para finalmente obtener Aquí H ₀ ha sido reemplazado por su valor propio en los estados de partícula libre. Esta es la ecuación de Lippmann-Schwinger .$${\displaystyle H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$$${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha }.}$$$${\displaystyle \Omega (\tau )\equiv e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },}$$$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.}$$$${\displaystyle (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),}$$$${\displaystyle (E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }+V\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$$${\displaystyle i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }}$$$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm }.}$$$${\displaystyle V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta \ (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{\beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },}$$$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta \ {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}$$

Los estados iniciales pueden expandirse en base a estados finales (o viceversa). Utilizando la relación de completitud, donde | C _m | ² es la probabilidad de que la interacción se transforme en Por las reglas ordinarias de la mecánica cuántica, y se puede escribir Los coeficientes de expansión son precisamente los elementos de la matriz S que se definirán a continuación.$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},}$$$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,}$$$${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}}$$$${\displaystyle \left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}.}$$$${\displaystyle C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})}$$$${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~.}$$

La matriz S ahora está definida por ^[13]$${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\langle \mathrm {f} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle ,\qquad |\mathrm {f} ,\beta \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {f}},\quad |\mathrm {i} ,\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {i}}.}$$

Aquí α y β son abreviaturas que representan el contenido de partículas pero suprimen las etiquetas individuales. Asociado a la matriz S está el operador S definido por ^[13].$${\displaystyle \langle \Phi _{\beta }|S|\Phi _{\alpha }\rangle \equiv S_{\beta \alpha },}$$

donde Φ _γ son estados de partículas libres. ^{[13] [nb 2]} Esta definición se ajusta al enfoque directo utilizado en la imagen de interacción. Además, debido a la equivalencia unitaria,$${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{+}|S|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle .}$$

Como requisito físico, S debe ser un operador unitario . Esta es una declaración de conservación de probabilidad en la teoría cuántica de campos. Pero , por completitud, S es la transformación unitaria de los estados internos a los estados externos. La invariancia de Lorentz es otro requisito crucial en la matriz S. ^{[13] [nb 3]} El operador S representa la transformación canónica cuántica de los estados internos iniciales a los estados externos finales . Además, S deja el estado de vacío invariante y transforma los campos internos en campos externos , ^{[nb 4]}$${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle .}$$$${\displaystyle S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle ,}$$$${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle }$$$${\displaystyle \phi _{\mathrm {f} }=S\phi _{\mathrm {i} }S^{-1}~.}$$

En términos de operadores de creación y aniquilación, esto se convierte en por lo tanto Una expresión similar se cumple cuando S opera hacia la izquierda en un estado de salida. Esto significa que la matriz S se puede expresar como$${\displaystyle a_{\rm {f}}(p)=Sa_{\rm {i}}(p)S^{-1},a_{\rm {f}}^{\dagger }(p)=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(p)S^{-1},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}S|\mathrm {i} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle &=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})S^{-1}Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})S^{-1}\cdots Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\[1ex]&=a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})S|0\rangle =a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =|\mathrm {o} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}}}$$$${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \mathrm {o} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {i} ,\beta |S|\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {o} ,\beta |S|\mathrm {o} ,\alpha \rangle .}$$

Si S describe correctamente una interacción, estas propiedades también deben ser verdaderas:

• Si el sistema está formado por una única partícula en estado propio de momento | k ⟩ , entonces S | k ⟩ = | k ⟩ . Esto se desprende del cálculo anterior como un caso especial.
• El elemento de la matriz S puede ser distinto de cero solo cuando el estado de salida tiene el mismo momento total que el estado de entrada. Esto se desprende de la invariancia de Lorentz requerida de la matriz S.

Defina un operador de creación y aniquilación dependiente del tiempo de la siguiente manera, por lo que, para los campos, donde$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}^{\dagger }{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\\[1ex]a{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\,,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \phi _{\rm {f}}=U^{-1}(\infty )\phi _{\rm {i}}U(\infty )=S^{-1}\phi _{\rm {i}}S~,}$$$${\displaystyle S=e^{i\alpha }\,U(\infty ).}$$

Permitimos una diferencia de fase, dada por porque para S ,$${\displaystyle e^{i\alpha }=\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle ^{-1}~,}$$$${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle \Longrightarrow \left\langle 0|S|0\right\rangle =\left\langle 0|0\right\rangle =1~.}$$

Sustituyendo la expresión explícita para U , se tiene donde es la parte de interacción del hamiltoniano y es el ordenamiento temporal.$${\displaystyle S={\frac {1}{\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle }}{\mathcal {T}}e^{-i\int {d\tau H_{\rm {int}}(\tau )}}~,}$$${\displaystyle H_{\rm {int}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$